Ce formulaire rassemble les développements en série entière (DSE) exigibles en classes préparatoires et en licence. Chaque formule est accompagnée de son rayon de convergence, de son domaine de validité et d’une démonstration dépliable. Conforme au programme CPGE 2025-2026.
I. Tableau des DSE fondamentaux
Voici les douze DSE à connaître par cœur. Le rayon de convergence \(R\) et le domaine de validité (ensemble des \(x\) pour lesquels la série converge vers \(f(x)\)) sont précisés pour chaque fonction.
| Fonction \(f(x)\) | DSE | \(R\) | Domaine |
|---|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) | \(1\) | \(]-1\,;\,1[\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\, x^n\) | \(1\) | \(]-1\,;\,1[\) |
| \(e^x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) | \(+\infty\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(+\infty\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(+\infty\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{sh}\, x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(+\infty\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{ch}\, x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(+\infty\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\) | \(1\) | \(]-1\,;\,1]\) |
| \(\arctan x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(1\) | \([-1\,;\,1]\) |
| \((1+x)^\alpha\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} {\alpha \choose n}\, x^n\) | \(1\) | selon \(\alpha\) † |
| \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\, x^n\) | \(1\) | \(]-1\,;\,1[\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\, x^{2n}\) | \(1\) | \(]-1\,;\,1[\) |
† Domaine de \((1+x)^\alpha\) pour \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\) : \([-1\,;\,1]\) si \(\alpha\) > \(0\) ; \(]-1\,;\,1]\) si \(\alpha \in \,]-1\,;\,0[\) ; \(]-1\,;\,1[\) si \(\alpha \leq -1\). Si \(\alpha \in \mathbb{N}\), le DSE est un polynôme de degré \(\alpha\), valable sur \(\mathbb{R}\).
Rappel — Coefficient binomial généralisé
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\) :
\({\alpha \choose n} = \displaystyle\frac{\alpha(\alpha – 1)(\alpha – 2) \cdots (\alpha – n + 1)}{n!}\), avec la convention \({\alpha \choose 0} = 1\).
La fiche des 17 DSE usuels à imprimer
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II. DSE complémentaires et cas particuliers
Les DSE suivants s’obtiennent par opération élémentaire (substitution, dérivation, intégration, cas particulier de la binomiale) à partir des DSE fondamentaux.
| Fonction | DSE, rayon et domaine | Obtenu par |
|---|---|---|
| \(\ln(1-x)\) | \(-\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\), \(R = 1\), \([-1\,;\,1[\) | Substitution \(x \to -x\) dans \(\ln(1+x)\) |
| \(\sqrt{1+x}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} {1/2 \choose n}\, x^n\), \(R = 1\), \([-1\,;\,1]\) | Cas \(\alpha = 1/2\) de \((1+x)^\alpha\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} {-1/2 \choose n}\, x^n\), \(R = 1\), \(]-1\,;\,1]\) | Cas \(\alpha = -1/2\) de \((1+x)^\alpha\) |
| \(\mathrm{argth}\, x\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\), \(R = 1\), \(]-1\,;\,1[\) | Intégration de \(\displaystyle\frac{1}{1-x^2}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}\) | \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (n+1)\, x^n\), \(R = 1\), \(]-1\,;\,1[\) | Substitution \(x \to -x\) dans \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\) |
Comment retenir les DSE ? Pars de deux sources et dérive tout le reste :
Source 1 — Série géométrique \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) :
- Substitution \(x \to -x\) → \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\)
- Dérivation → \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\)
- Substitution \(x \to -x^2\) → \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) → intégration → \(\arctan x\)
- Intégration de \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\) → \(\ln(1+x)\)
Source 2 — Exponentielle \(e^x\) :
- Parties réelle et imaginaire de \(e^{ix}\) → \(\cos x\) et \(\sin x\)
- Retrait du facteur \((-1)^n\) → \(\mathrm{ch}\, x\) et \(\mathrm{sh}\, x\)
III. Démonstrations des DSE principaux
Les démonstrations ci-dessous utilisent trois techniques : somme de série géométrique, développement de Taylor avec contrôle du reste et résolution d’équation différentielle. Clique sur chaque bloc pour dérouler la preuve.
Démonstration — Série géométrique : DSE de \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\)
Pour \(|x|\) < \(1\), la somme partielle vérifie :
\(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} x^n = \displaystyle\frac{1 – x^{N+1}}{1 – x}\)Comme \(|x|\) < \(1\), on a \(x^{N+1} \to 0\) quand \(N \to +\infty\), d’où \(S_N(x) \to \displaystyle\frac{1}{1-x}\). □
Démonstration — DSE de \(e^x\)
Posons \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\). Le rayon est \(+\infty\) car \(\displaystyle\frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \displaystyle\frac{|x|}{n+1} \to 0\) (critère de d’Alembert).
Par dérivation terme à terme sur \(\mathbb{R}\) : \(S^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)\), et \(S(0) = 1\).
L’unique solution de \(y^\prime = y\), \(y(0) = 1\) est \(y = e^x\). Donc \(S(x) = e^x\) sur \(\mathbb{R}\). □
Démonstration — DSE de \(\ln(1+x)\)
Pour \(|t|\) < \(1\) : \(\displaystyle\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n\). On intègre terme à terme sur \([0\,;\,x]\) (légitime par convergence uniforme sur tout segment de \(]-1\,;\,1[\)) :
\(\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\)En \(x = 1\) : la série \(\sum (-1)^{n-1}/n\) converge (Leibniz). Le théorème d’Abel radial donne \(\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\). □
Démonstration — DSE de \(\sin x\) et \(\cos x\)
Par la formule de Taylor avec reste intégral, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(N \in \mathbb{N}\) :
\(\sin x = \sum_{k=0}^{N} (-1)^k \displaystyle\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2N+2}(x)\)Le reste vérifie \(|R_{2N+2}(x)| \leq \displaystyle\frac{|x|^{2N+3}}{(2N+3)!} \to 0\) pour tout \(x\) fixé. La série de Taylor converge donc vers \(\sin x\) sur \(\mathbb{R}\). Le raisonnement est identique pour \(\cos x\). □
Démonstration — DSE de \((1+x)^\alpha\) (binomiale généralisée)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\) et \(f(x) = (1+x)^\alpha\). On a \((1+x)\,f^\prime(x) = \alpha\,f(x)\) et \(f(0) = 1\).
Posons \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, x^n\). L’identification dans \((1+x)\sum n\,a_n\,x^{n-1} = \alpha\sum a_n\,x^n\) donne la récurrence :
\(a_{n+1} = \displaystyle\frac{\alpha – n}{n+1}\, a_n\)Avec \(a_0 = 1\), on obtient \(a_n = \displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} = {\alpha \choose n}\).
Rayon : \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{|\alpha – n|}{n+1} \to 1\), donc \(R = 1\). L’unicité du problème de Cauchy sur \(]-1\,;\,1[\) assure que la somme est \((1+x)^\alpha\). □
Démonstration — DSE de \(\arctan x\)
Pour \(|t|\) < \(1\) : \(\displaystyle\frac{1}{1+t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\, t^{2n}\) (substitution \(x \to -x^2\) dans la série géométrique). On intègre terme à terme sur \([0\,;\,x]\) :
\(\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\)En \(x = 1\) : la série alternée converge (Leibniz) et Abel donne \(\displaystyle\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}\) (formule de Leibniz-Gregory). Extension analogue en \(x = -1\). □
IV. Opérations sur les séries entières
Les règles suivantes permettent de construire de nouveaux DSE à partir de DSE connus. Pour une présentation complète avec exemples détaillés, consulte le cours sur les techniques de développement en série entière.
Dérivation terme à terme
Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, x^n\) a pour rayon \(R\) > \(0\), alors :
\(f^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n\, a_n\, x^{n-1}\) sur \(]-R\,;\,R[\), avec le même rayon \(R\).
Le domaine de validité aux bornes peut changer.
Intégration terme à terme
Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, x^n\) a pour rayon \(R\) > \(0\), alors :
\(\int_0^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{a_n}{n+1}\, x^{n+1}\) sur \(]-R\,;\,R[\), même rayon \(R\).
Substitution
Si \(f(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, u^n\) a pour rayon \(R\), alors \(f(g(x)) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\,[g(x)]^n\) converge dès que \(|g(x)|\) < \(R\).
Cas courants : \(x \to -x\), \(x \to x^2\), \(x \to ax\).
Produit de Cauchy — Si \(f(x) = \sum a_n\, x^n\) (rayon \(R_1\)) et \(g(x) = \sum b_n\, x^n\) (rayon \(R_2\)), alors \(f(x) \cdot g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n\, x^n\) avec \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}\), de rayon au moins \(\min(R_1,\, R_2)\).
Ces opérations, combinées aux critères de convergence des séries numériques, permettent de déterminer le rayon de convergence des séries obtenues.
V. Exemples d’application
Exemple 1 — Trouver le DSE de \(\displaystyle\frac{1}{2-x}\).
On factorise : \(\displaystyle\frac{1}{2-x} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 – x/2}\). Par substitution \(u = x/2\) dans le DSE de \(\displaystyle\frac{1}{1-u}\) :
\(\displaystyle\frac{1}{2-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{2^{n+1}}\), rayon \(R = 2\), domaine \(]-2\,;\,2[\).
Exemple 2 — Trouver le DSE de \(x\,e^{-x^2}\).
Substitution \(u = -x^2\) dans \(e^u = \sum u^n/n!\) :
\(e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n\, x^{2n}}{n!}\), rayon \(+\infty\).
Puis multiplication par \(x\) : \(x\,e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{n!}\), sur \(\mathbb{R}\).
Exemple 3 — Montrer que \(\ln\!\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) pour \(|x|\) < \(1\).
On décompose : \(\ln\!\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln(1+x) – \ln(1-x)\).
En sommant les DSE de \(\ln(1+x)\) et \(-\ln(1-x)\) :
\(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \displaystyle\frac{x^n}{n} + \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n} = 2\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\)
Les termes de rang pair s’annulent, les termes de rang impair doublent. On retrouve \(2\,\mathrm{argth}\, x\), rayon \(R = 1\).
VI. Pièges classiques et erreurs fréquentes
Piège 1 — Confondre DSE et développement limité (DL)
Le DSE \(e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) est une égalité exacte sur \(\mathbb{R}\). Le DL \(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) est une approximation locale au voisinage de \(0\). Ne jamais écrire « \(+\, o(x^n)\) » dans un DSE : c’est le signal d’une confusion entre les deux notions.
Piège 2 — Oublier de vérifier la convergence aux bornes
Le rayon \(R\) donne l’intervalle ouvert \(]-R\,;\,R[\) de convergence absolue. Mais la série peut aussi converger en \(x = R\) ou \(x = -R\) : il faut toujours le vérifier séparément. Par exemple, le DSE de \(\ln(1+x)\) converge en \(x = 1\) (vers \(\ln 2\)) mais diverge en \(x = -1\) (série harmonique).
Piège 3 — Erreur de signe dans le DSE de \(\ln(1+x)\)
Le terme de rang \(n\) est \((-1)^{n-1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\), et non \((-1)^{n} \displaystyle\frac{x^n}{n}\). Vérification rapide : le premier terme (\(n = 1\)) doit valoir \(+x\), car \(\ln(1+x) \sim x\) au voisinage de \(0\). Si tu trouves \(-x\) en premier terme, l’exposant de \((-1)\) est décalé.
VII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un DSE et une série de Taylor ?
La série de Taylor d’une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) en \(0\) est la série formelle \(\sum \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n\). On parle de DSE lorsque cette série converge et que sa somme est égale à \(f(x)\) sur un intervalle. Un DSE est donc une série de Taylor « qui marche ». Contre-exemple célèbre : \(f(x) = e^{-1/x^2}\) (prolongée par \(f(0) = 0\)) admet une série de Taylor identiquement nulle, qui ne converge pas vers \(f\).
Un DSE converge-t-il toujours vers la fonction ?
Par définition, oui : si on dit qu’une fonction « admet un DSE », cela signifie que la série converge vers la fonction. La question est plutôt : toute fonction \(\mathcal{C}^\infty\) admet-elle un DSE ? La réponse est non. Les fonctions dont le DSE existe sont dites analytiques. Toutes les fonctions usuelles (exp, sin, cos, ln, polynômes…) sont analytiques, mais certaines fonctions \(\mathcal{C}^\infty\) ne le sont pas.
Comment obtenir le DSE d'une fonction composée ?
Utilise la substitution. Si tu connais le DSE de \(f(u) = \sum a_n\, u^n\) et que \(u = g(x)\) vérifie \(|g(x)|\) < \(R\), tu peux remplacer \(u\) par \(g(x)\). Exemple : \(e^{-x^2}\) s’obtient en posant \(u = -x^2\) dans \(e^u = \sum u^n/n!\). Pour des compositions plus complexes (EDO, produit de Cauchy), consulte la page méthode sur les DSE.
Pourquoi le domaine de ln(1+x) inclut-il x = 1 ?
En \(x = 1\), la série \(\sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1}/n\) est alternée et vérifie le critère de Leibniz : elle converge. Le théorème d’Abel radial garantit que la somme coïncide avec \(\ln(1+1) = \ln 2\). En \(x = -1\) en revanche, la série devient \(-\sum 1/n\) (série harmonique), qui diverge. Le domaine de validité aux bornes doit toujours être vérifié au cas par cas.
Comment mémoriser les DSE usuels ?
Retiens deux sources : la série géométrique \(1/(1-x) = \sum x^n\) et l’exponentielle \(e^x = \sum x^n/n!\). Tous les autres DSE s’en déduisent par opération (substitution, dérivation, intégration) ou par identification (équation différentielle pour la binomiale). Voir la carte de connexion dans la section II ci-dessus. Un exercice efficace : refaire les démonstrations de la section III sans regarder les formules.
DSE et développement limité : quelle différence ?
Un développement limité à l’ordre \(n\) est une approximation locale : \(f(x) = P_n(x) + o(x^n)\), avec un reste non explicité. Un DSE est une série entière convergeant vers \(f(x)\) sur tout un intervalle : c’est une identité exacte, pas une approximation. Tout DSE fournit un DL (en tronquant la série à l’ordre voulu), mais un DL ne fournit pas nécessairement un DSE. En concours, ne confonds pas les deux rédactions.
VIII. Pour aller plus loin
Ce formulaire est ton outil de référence rapide pour les DSE. Pour approfondir chaque aspect :
- Développement en série entière : méthode et exemples — toutes les techniques pour trouver un DSE (EDO, produit de Cauchy, composition)
- Séries entières : cours complet — définitions, propriétés et théorème de Cauchy-Hadamard
- Rayon de convergence d’une série entière — méthodes de calcul détaillées (d’Alembert, Cauchy-Hadamard, comparaison)
- Exercices corrigés : séries entières — problèmes de concours étiquetés par difficulté
- Séries de Fourier : cours complet — un autre type de développement en série de fonctions
- Séries numériques : cours complet — les fondamentaux sur la convergence des séries
