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Le sujet de Mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2026, d’une durée de 3 heures et sans calculatrice, est un problème long et structuré consacré aux solutions périodiques d’équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients périodiques. Le sujet se décompose en cinq parties progressives, partant de résultats généraux sur la structure des solutions bornées, jusqu’à un théorème d’existence général démontré via des moyennes de Cesàro. L’impression globale est celle d’un sujet exigeant et technique, qui mêle analyse, algèbre linéaire et séries trigonométriques, avec une montée en difficulté marquée à partir de la partie 4.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie 1 – Résultats généraux (Q1-4) | Structure des solutions bornées et périodicité | Accessible | Sous-espace vectoriel, translation, Cauchy-Lipschitz |
| Partie 2 – Coefficients constants (Q5-10) | Équation y » + ω²y = cos x | Accessible à Élevé | Solution particulière, déterminant, rationalité de ω |
| Partie 3 – Unicité (b négative) (Q11-13) | Convexité et unicité des solutions bornées | Élevé | Convexité de g², fonctions bornées sur ℝ |
| Partie 4 – Existence d’une solution périodique (Q14-21) | Séries trigonométriques et opérateur L | Très élevé | Séries de Fourier, orthogonalité, somme directe |
| Partie 5 – Théorème général (Q22-25) | Existence via moyennes de Cesàro | Très élevé | Compacité en dimension finie, borne inférieure, Cesàro |
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Structure et thèmes du sujet
Le problème étudie l’équation différentielle du second ordre \(y^{\prime\prime} + b(x)y = c(x)\), notée \((E)\), où \(b\) et \(c\) sont continues et \(2\pi\)-périodiques. L’objectif central est de déterminer sous quelles conditions cette équation possède des solutions bornées ou périodiques.
Partie 1 – Résultats généraux (Q1-4)
On établit des propriétés structurelles fondamentales. L’ensemble \(\mathcal{B}(H)\) des solutions bornées de l’équation homogène \((EH)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{S}(H)\). L’opérateur de translation \(T(f)(x) = f(x + 2\pi)\) préserve les solutions, et la question 4 fournit un critère de périodicité via les conditions \(f(0) = f(2\pi)\) et \(f^\prime(0) = f^\prime(2\pi)\).
Partie 2 – Un exemple à coefficients constants (Q5-10)
On spécialise au cas \(b(x) = \omega^2\) et \(c(x) = \cos x\), soit l’équation \(y^{\prime\prime} + \omega^2 y = \cos x\) avec \(\omega \neq 1\). Il faut déterminer une solution particulière de la forme \(f_0(x) = d\cos x\), puis les solutions de l’homogène. Les questions 7 à 9 analysent les conditions d’existence de solutions périodiques via un système linéaire dont le déterminant fait intervenir \(\cos(2k\pi\omega)\) et \(\sin(2k\pi\omega)\). Le cas \(\omega\) irrationnel est distingué du cas rationnel.
Partie 3 – Unicité lorsque b est négative (Q11-13)
Avec \(b(x) = -(1 + \cos x)\), l’équation homogène devient \(y^{\prime\prime} – (1 + \cos x)y = 0\). La clef est de montrer que si \(g\) est solution de \((EH)\), alors \(g^2\) est une fonction convexe. On en déduit que la seule solution bornée de \((EH)\) est la fonction nulle, puis l’unicité de la solution bornée de \((E)\).
Partie 4 – Existence d’une solution périodique (Q14-21)
Cette partie est la plus longue et la plus technique. On construit explicitement une solution périodique lorsque le second membre \(c\) appartient à l’espace \(\mathcal{P}\) des polynômes trigonométriques en sinus. La suite \((a_n)\) bornée vérifiant une récurrence à trois termes permet de définir \(g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)\), solution de \(y^{\prime\prime} – (1+\cos x)y = \sin x\). L’opérateur \(L(p) = p^{\prime\prime} – (1+\cos x)p\) est étudié sur les espaces \(\mathcal{P}_N\), et on montre la décomposition \(L(\mathcal{P}_N) \oplus \mathcal{P}_1 = \mathcal{P}_{N+1}\).
Partie 5 – Un théorème général (Q22-25)
On revient au cas général. Le théorème affirme que si \((E)\) possède une solution \(f_0\) telle que \(f_0\) et \(f_0^\prime\) soient bornées, alors \((E)\) possède une solution périodique. La démonstration utilise l’ensemble \(\mathcal{A} = \{f \in \mathcal{B}(E), \Vert f \Vert \leq M_0\}\), sa compacité dans un sous-espace de dimension finie, et les moyennes de Cesàro \(g_n(x) = \displaystyle\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} T^k(f_0)(x)\) pour forcer la condition de périodicité à la limite.
Notions et chapitres testés
- Équations différentielles linéaires : théorie générale des EDL d’ordre 2, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, structure affine de l’ensemble des solutions, Wronskien.
- Espaces vectoriels et sous-espaces : sous-espace vectoriel, intersection, somme directe, dimension, base.
- Fonctions périodiques et bornées : norme infinie \(\Vert \cdot \Vert_\infty\), fonctions continues et périodiques sur \(\mathbb{R}\).
- Fonctions trigonométriques : linéarisation, orthogonalité de la famille \((\sin(nx))_{n \geq 1}\), produit scalaire \(L^2\).
- Séries numériques et séries de fonctions : convergence absolue, dérivation terme à terme, séries trigonométriques.
- Convexité : dérivée seconde positive, propriétés des fonctions convexes sur \(\mathbb{R}\).
- Algèbre linéaire : déterminant \(2 \times 2\), système linéaire, injectivité d’un endomorphisme, image.
- Topologie en dimension finie : parties fermées bornées, compacité, borne inférieure, extraction de sous-suites convergentes.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la fourchette haute des épreuves de Maths 2 Mines-Ponts PC. Par rapport aux sujets des années 2022 à 2025, on note plusieurs caractéristiques inhabituelles :
- Le sujet est monolithique : un seul problème avec cinq parties fortement imbriquées, ce qui laisse peu de possibilité de « grappiller » des points dans une partie indépendante si on bloque tôt.
- Le mélange analyse-algèbre est prononcé, notamment dans la partie 4 où il faut manipuler simultanément des séries trigonométriques, un opérateur différentiel et des raisonnements de dimension.
- La partie 5 mobilise des arguments de compacité et de moyennes de Cesàro rarement vus en PC, ce qui la rend très discriminante.
En comparaison, le sujet Maths 2 PC 2024 (réduction, formes quadratiques) offrait davantage de questions classiques et indépendantes. L’épreuve 2026 rappelle plutôt l’esprit des sujets X/ENS par sa progression vers un théorème non trivial. Les parties 1 et 2 restent néanmoins accessibles et constituent le cœur des points à assurer.
Pièges et points techniques délicats
Question 4 : L’indication suggère de poser \(h(x) = T(f)(x) – f(x) = f(x + 2\pi) – f(x)\). Le piège est d’oublier que \(h\) est solution de \((EH)\) (et pas de \((E)\)), et que ses conditions initiales \(h(0) = 0\), \(h^\prime(0) = 0\) entraînent \(h = 0\) par unicité de Cauchy-Lipschitz. Ne pas confondre les conditions sur \(f\) et sur \(h\).
Question 7 : On doit montrer que \(T = 2k\pi\) pour un certain \(k \in \mathbb{N}^*\). Le piège est de ne pas justifier proprement que la période d’une solution de \((E)\) doit être commensurable avec \(2\pi\). L’argument repose sur le fait que \(f_0(x) = d\cos x\) est \(2\pi\)-périodique, donc \(f – f_0\) est périodique et solution de \((EH)\), dont les solutions sont des combinaisons de \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\).
Question 9 : Le calcul du déterminant de \(M\) doit donner \((\cos(2k\pi\omega) – 1)^2 + \sin^2(2k\pi\omega) = 2(1 – \cos(2k\pi\omega))\). Ce déterminant est nul si et seulement si \(\cos(2k\pi\omega) = 1\), soit \(2k\pi\omega \in 2\pi\mathbb{Z}\), c’est-à-dire \(\omega \in \mathbb{Q}\). L’erreur classique est de mal simplifier l’expression ou d’oublier le cas \(\omega\) irrationnel versus rationnel.
Question 11 : Pour montrer que \(g^2\) est convexe, il faut calculer \((g^2)^{\prime\prime} = 2(g^\prime)^2 + 2g \cdot g^{\prime\prime}\) et utiliser \(g^{\prime\prime} = (1 + \cos x)g\). On obtient \((g^2)^{\prime\prime} = 2(g^\prime)^2 + 2(1+\cos x)g^2 \geq 0\) car \(1 + \cos x \geq 0\). L’oubli de justifier la positivité de \(1 + \cos x\) est un piège fréquent.
Question 18 : Le calcul de \(L(s_n)\) utilise la linéarisation du produit \(\cos(x)\sin(nx) = \displaystyle\frac{1}{2}[\sin((n+1)x) + \sin((n-1)x)]\). C’est un résultat classique de trigonométrie mais l’erreur de signe est vite commise sous la pression du concours.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Question 1 : Vérifier les trois conditions de sous-espace vectoriel : la fonction nulle est dans \(\mathcal{B}(H)\), stabilité par combinaison linéaire (une combinaison linéaire de solutions bornées de \((EH)\) reste bornée et solution).
Question 2 : Utiliser la structure affine des solutions de \((E)\) : toute solution s’écrit \(f_0 + g\) avec \(g \in \mathcal{S}(H)\). Filtrer par la condition de bornitude.
Question 3 : Vérifier que \(T(f)^{\prime\prime}(x) + b(x)T(f)(x) = c(x)\) en utilisant la \(2\pi\)-périodicité de \(b\) et \(c\).
Question 5 : Injecter \(f_0(x) = d\cos x\) dans l’équation pour obtenir \(d(-\cos x) + \omega^2 d \cos x = \cos x\), soit \(d = \displaystyle\frac{1}{\omega^2 – 1}\). Les solutions \(u\) et \(v\) de \((EH)\) sont \(u(x) = \cos(\omega x)\) et \(v(x) = \displaystyle\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\).
Question 6 : L’ensemble \(\mathcal{S}(E)\) est l’espace affine \(\{f_0 + A\cos(\omega x) + B\displaystyle\frac{\sin(\omega x)}{\omega},\ A, B \in \mathbb{R}\}\). Pour \(\mathcal{B}(E)\) : toutes les solutions sont bornées (car \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\) le sont), donc \(\mathcal{B}(E) = \mathcal{S}(E)\).
Question 8 : La condition \(f(x+T) = f(x)\) avec \(T = 2k\pi\) et \(f = f_0 + Au + Bv\) donne, grâce à la \(2\pi\)-périodicité de \(f_0\), les conditions \(Au(x + 2k\pi) + Bv(x + 2k\pi) = Au(x) + Bv(x)\) pour tout \(x\). Évaluer en \(x = 0\) et dériver puis évaluer en \(x = 0\) pour obtenir le système linéaire annoncé.
Questions 12-13 : Une fonction convexe bornée sur \(\mathbb{R}\) est constante. Si \(g^2\) est convexe et bornée, alors \(g^2\) est constante, donc \(g\) est constante, et l’EDH force \(g = 0\). L’unicité de la solution bornée de \((E)\) découle directement de \(\mathcal{B}(H) = \{0\}\).
Question 14 : Si \(f_0\) est solution bornée, alors \(T(f_0)\) l’est aussi (question 3), et par unicité (question 13), \(T(f_0) = f_0\), ce qui signifie que \(f_0\) est \(2\pi\)-périodique.
Questions 17-19 : L’orthogonalité de \((\sin(nx))\) sur \([0, 2\pi]\) établit que la famille est libre. Le calcul de \(L(s_n) = -n^2 s_n – \displaystyle\frac{1}{2}(s_{n+1} + s_{n-1}) – s_n\) montre que \(L(s_n) \in \mathcal{P}_{n+1}\) et que \(L\) est injectif car le système triangulaire qu’on obtient n’a que la solution nulle.
Questions 22-25 : L’ensemble \(\mathcal{A}\) vit dans un espace de dimension 2 (déterminé par les conditions initiales). La compacité de la boule fermée en dimension finie assure l’existence de \(f_1\) réalisant le minimum \(\alpha\) de \(\mathcal{I}\). La moyenne de Cesàro \(g_n\) est aussi dans \(\mathcal{A}\) et vérifie \(|g_n(2\pi) – g_n(0)| + |g_n^\prime(2\pi) – g_n^\prime(0)| \leq \displaystyle\frac{2(M_0 + M_1)}{n+1}\), ce qui donne \(\alpha = 0\) et permet de conclure via la question 4.
Conseils pour les futurs candidats
Assure les parties 1 et 2 : les questions 1 à 6 relèvent de techniques standard sur les EDL d’ordre 2 et la structure vectorielle des solutions. Ce sont des points quasi-gratuits si tu maîtrises le cours. Ne les bâcle pas pour te précipiter sur la suite.
Travaille la convexité et ses conséquences globales. La question 11 repose sur un calcul direct de dérivée seconde, mais la conclusion (question 12) utilise un résultat profond : une fonction convexe non constante n’est pas majorée sur \(\mathbb{R}\). Ce type d’argument « analyse globale » est de plus en plus fréquent aux concours.
Maîtrise les séries trigonométriques. La partie 4 suppose une aisance complète avec les produits \(\cos \times \sin\), l’orthogonalité \(L^2\), et la convergence des séries de Fourier. En PC, ce chapitre est parfois sous-travaillé au profit de l’algèbre : c’est une erreur stratégique pour Mines-Ponts.
Familiarise-toi avec les arguments de compacité en dimension finie. La partie 5 utilise le fait qu’une partie fermée et bornée d’un espace vectoriel de dimension finie est compacte (théorème de Bolzano-Weierstrass). Ce résultat, combiné aux moyennes de Cesàro, est un outil puissant qui apparaît régulièrement dans les sujets de niveau élevé.
Entraîne-toi sur les sujets longs à fil conducteur. Ce problème se lit comme une démonstration progressive d’un théorème. Chaque question prépare la suivante. Si tu perds le fil, tu risques de ne plus pouvoir avancer. Lis l’intégralité du sujet en début d’épreuve pour comprendre la logique d’ensemble avant de te lancer dans la rédaction.
Conseil de gestion du temps : vise à traiter proprement les parties 1-3 (environ 1h30), puis attaque la partie 4 en ciblant les questions 14-17 qui sont encore abordables. Les questions 20-25 relèvent de la copie d’excellence.
