Une équation différentielle d’ordre 2 apparaît dès que l’on relie une fonction inconnue à sa dérivée seconde. En pratique (Terminale, puis surtout en CPGE), on rencontre très souvent le cas linéaire à coefficients constants, car il se résout vite et proprement… à condition d’appliquer la méthode sans se tromper dans les cas.
Dans cette page, on construit une méthode claire pour résoudre une équation différentielle d’ordre 2 : reconnaître le bon type, traiter l’équation homogène via l’équation caractéristique, gérer un second membre, puis déterminer les constantes avec des conditions initiales. Pour une vision plus large (autres types, autres méthodes), tu peux aussi consulter le cours complet sur les équations différentielles.
Objectif (niveau prépa). À la fin, tu dois être capable de :
- reconnaître une équation du type \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\) ;
- résoudre l’homogène en 2 minutes (cas \(\Delta\) > 0, \(\Delta\) = 0, \(\Delta\) < 0) ;
- traiter un second membre;
- déterminer \(C_1\) et \(C_2\) proprement avec des conditions initiales.
Sommaire
- Définition et vocabulaire
- Reconnaître le bon type
- Étape 1 : homogène & équation caractéristique
- Étape 2 : second membre & superposition
- Conditions initiales
- Exemples guidés
- Erreurs fréquentes
- Exercices d’entraînement
- FAQ
- Applications
Définition : qu’est-ce qu’une équation différentielle d’ordre 2 ?
Ordre 2 : ce que signifie \(y^{\prime\prime}\) dans l’équation
Dire que l’on a une équation différentielle « d’ordre 2 », c’est dire que la dérivée la plus élevée qui apparaît est la dérivée seconde \(y^{\prime\prime}\). Par exemple : \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\) est d’ordre 2, alors que \(y^{\prime}-2y=x\) est d’ordre 1.
Définition. Une équation différentielle d’ordre 2 est une relation de la forme :
\(\mathcal{F}\bigl(x,\,y,\,y^{\prime},\,y^{\prime\prime}\bigr)=0\),
où la fonction inconnue est \(y\) (souvent \(y=y(x)\)).
Homogène vs avec second membre (inhomogène)
Le cas central pour les équations différentielles d’ordre 2 en lycée/prépa est le cas linéaire : \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des constantes.
- Si \(f(x)=0\), l’équation est homogène.
- Si \(f(x)\neq 0\), on dit qu’il y a un second membre (équation inhomogène).
Solutions : famille de fonctions + conditions initiales
Une équation différentielle d’ordre 2 admet (quand tout se passe bien) une famille de solutions avec deux constantes \(C_1\) et \(C_2\). Pour obtenir une solution unique, on impose en général deux conditions initiales, par exemple \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\).
Pour situer le chapitre : si tu veux revoir l’ordre 1 (Terminale), consulte équations différentielles d’ordre 1.
Reconnaître le “bon” type : linéaire à coefficients constants (le cas le plus fréquent)
La forme standard à identifier (et les notations)
Dans cette page, on se concentre sur le cas le plus rentable en termes de méthode et d’exercices :
\(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\), avec \(a\), \(b\), \(c\) constants et \(a\neq 0\).
Traduction rapide : “linéaire” signifie que \(y\), \(y^{\prime}\), \(y^{\prime\prime}\) apparaissent au degré 1 (pas de \(y^2\), pas de \(\sin(y)\), etc.).
Ce qui change si \(a\neq 1\) (normalisation rapide)
Si \(a\neq 1\), on commence presque toujours par diviser toute l’équation par \(a\), pour obtenir :
\(y^{\prime\prime}+p y^{\prime}+qy=g(x)\), avec \(p=\frac{b}{a}\), \(q=\frac{c}{a}\), \(g(x)=\frac{f(x)}{a}\).
Check-list de reconnaissance en 20 secondes
Check-list “prépa”. Avant de calculer :
- Vérifier que l’équation est bien d’ordre 2 (présence de \(y^{\prime\prime}\)).
- Vérifier qu’elle est linéaire (pas de \(y^2\), pas de produits \(y\cdot y^{\prime}\), etc.).
- Vérifier que \(a\), \(b\), \(c\) sont constants.
- Isoler le second membre \(f(x)\) et noter s’il est nul ou non.
- Normaliser en divisant par \(a\) si nécessaire.
Étape 1 : résoudre l’équation homogène avec l’équation caractéristique (aperçu maîtrisé)
Construire l’équation caractéristique
On commence par résoudre l’homogène associée : \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=0\).
L’idée standard est d’essayer une solution exponentielle \(y(x)=e^{rx}\). On obtient alors \(y^{\prime}(x)=r e^{rx}\) et \(y^{\prime\prime}(x)=r^2 e^{rx}\). En remplaçant dans l’équation homogène :
\(a r^2 e^{rx}+b r e^{rx}+c e^{rx}=0\), soit \((a r^2+br+c)e^{rx}=0\). Comme \(e^{rx}\neq 0\), on obtient l’équation caractéristique :
\(a r^2+br+c=0\).
Pour un rappel plus détaillé et des exemples supplémentaires, tu peux consulter : équation caractéristique d’une ED d’ordre 2.
Discriminant. Pour \(a r^2+br+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).
Cas 1 : deux racines réelles distinctes (\(\Delta\) > 0)
Si \(\Delta\) > 0, l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\). La solution générale de l’homogène est :
\(y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\).
Cas 2 : racine double (\(\Delta\) = 0)
Si \(\Delta\) = 0, l’équation caractéristique a une racine double \(r_0\). La solution générale de l’homogène est :
\(y_h(x)=(C_1+C_2 x)e^{r_0 x}\).
Cas 3 : racines complexes (\(\Delta\) < 0)
Si \(\Delta\) < 0, les racines sont complexes conjuguées : \(r=\alpha+i\beta\) et \(r=\alpha-i\beta\), avec \(\beta\neq 0\). La solution réelle s’écrit :
\(y_h(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\).
Comment écrire \(y_h\) proprement (rédaction “premium”)
En copie, on attend une rédaction nette :
- Écrire l’homogène associée.
- Écrire l’équation caractéristique.
- Calculer \(\Delta\) puis traiter le bon cas.
- Donner \(y_h(x)\) sous forme générale avec \(C_1\), \(C_2\).
| Condition | Racines de \(a r^2+br+c=0\) | Forme de \(y_h(x)\) |
|---|---|---|
| \(\Delta\) > 0 | Deux réelles distinctes \(r_1\), \(r_2\) | \(C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\) |
| \(\Delta\) = 0 | Racine double \(r_0\) | \((C_1+C_2 x)e^{r_0 x}\) |
| \(\Delta\) < 0 | \(\alpha\pm i\beta\) avec \(\beta\neq 0\) | \(e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\) |
Étape 2 : avec second membre — principe de superposition (et quoi faire ensuite)
Pourquoi \(y=y_h+y_p\) (idée clé)
Si l’équation est \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\), on résout d’abord l’homogène associée (pour obtenir \(y_h\)), puis on cherche une solution particulière \(y_p\) qui vérifie l’équation complète.
Superposition. Pour une équation linéaire, la solution générale s’écrit :
\(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\).
Quelle méthode choisir selon la forme de \(f(x)\) (aperçu)
En lycée/prépa, le cas le plus courant (et le plus “rentable” en temps) est la méthode des coefficients indéterminés : on “devine” une forme de \(y_p\) en fonction de \(f(x)\), puis on identifie les coefficients.
| Second membre \(f(x)\) | Forme plausible pour \(y_p(x)\) |
|---|---|
| \(P(x)\) polynôme | \(Q(x)\) polynôme (même degré en première intention) |
| \(e^{ax}\) | \(A e^{ax}\) (ou \(x^k A e^{ax}\) en cas de résonance) |
| \(\cos(\omega x)\) ou \(\sin(\omega x)\) | \(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) |
| \(e^{ax}\cos(\omega x)\) ou \(e^{ax}\sin(\omega x)\) | \(e^{ax}\bigl(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\bigr)\) |
Pour une méthode complète (avec tableau de formes, cas de résonance, et exercices), voir : trouver une solution particulière (ordre 2).
Résonance : comment la détecter (aperçu, sans détailler)
Le piège classique : tu proposes une forme pour \(y_p\) qui est déjà une solution de l’homogène. Dans ce cas, tu dois multiplier ton essai par \(x\) (parfois \(x^2\), etc.) jusqu’à obtenir une fonction indépendante de \(y_h\).
Piège. Si \(f(x)=e^{ax}\) et que \(r=a\) est racine de l’équation caractéristique, alors \(e^{ax}\) “appartient” déjà à \(y_h\).
Dans ce cas, on essaye plutôt \(y_p(x)=x A e^{ax}\) (voire \(x^2 A e^{ax}\) si la racine est double).
Quand utiliser variation des constantes (mention + renvoi éventuel)
Quand \(f(x)\) n’est pas une combinaison de fonctions usuelles (ou si l’équation n’a pas des coefficients constants), on peut utiliser des méthodes plus générales (variation des constantes, etc.). Si tu veux une vision d’ensemble, reviens au cours complet sur les équations différentielles.
Déterminer les constantes avec des conditions initiales (gagner des points au DS)
Traduire une condition initiale correctement
Après avoir obtenu \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\), on utilise les conditions initiales (ou conditions aux limites) pour déterminer \(C_1\) et \(C_2\). Par exemple : \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\).
Résoudre le système sur \(C_1\), \(C_2\) sans erreurs
Méthode sûre :
- Écrire \(y(x)\) puis calculer \(y^{\prime}(x)\) (en restant propre sur les exponentielles et trigonométriques).
- Évaluer en \(x=x_0\) : on obtient deux équations.
- Résoudre le système linéaire en \(C_1\), \(C_2\).
Astuce de copie. Note explicitement :
- \(y(x_0)=y_0\) donne une équation “sur \(C_1\) et \(C_2\)”.
- \(y^{\prime}(x_0)=v_0\) donne la seconde équation.
Ça évite 80% des pertes de points (oubli d’un terme, dérivée mal calculée, etc.).
Vérification rapide (substitution / cohérence)
Une fois \(C_1\) et \(C_2\) trouvées :
- revérifie les conditions initiales (remplace \(x\) par \(x_0\)) ;
- si tu as le temps, vérifie l’équation différentielle sur une ligne (au moins mentalement : “ça colle au second membre ?”).
Exemples guidés (cas types) : voir la méthode en action
Exemple 1 : homogène, \(\Delta\) > 0
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\).
Solution. On cherche l’équation caractéristique :
\(r^2-3r+2=0\).
On factorise : \((r-1)(r-2)=0\), donc \(r_1=1\) et \(r_2=2\).
La solution générale est :
\(y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{2x}\).
Exemple 2 : homogène, \(\Delta\) = 0 (racine double)
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0\).
Solution. Équation caractéristique :
\(r^2-2r+1=0\), soit \((r-1)^2=0\).
On a une racine double \(r_0=1\), donc :
\(y(x)=(C_1+C_2 x)e^{x}\).
Remarque (copie). C’est \((C_1+C_2 x)e^{r_0 x}\) : le facteur \(x\) est indispensable (sinon on n’obtient pas 2 solutions indépendantes).
Exemple 3 : \(\Delta\) < 0 (racines complexes → cos/sin)
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}+4y=0\).
Solution. Équation caractéristique :
\(r^2+4=0\), donc \(r=2i\) ou \(r=-2i\).
On est dans le cas complexe (avec \(\alpha=0\) et \(\beta=2\)), donc :
\(y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\).
Exemple 4 (option court) : second membre non nul → renvoi “solution particulière”
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}-y=e^{x}\).
Étape 1 (homogène). \(r^2-1=0\) donc \(r=1\) ou \(r=-1\), et :
\(y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}\).
Étape 2 (particulière). Comme \(e^{x}\) apparaît déjà dans \(y_h\), on est en résonance : on essaye \(y_p(x)=A x e^{x}\).
On obtient (calcul direct) \(y_p^{\prime\prime}(x)-y_p(x)=2A e^{x}\), donc \(2A=1\) et \(A=\frac12\).
Ainsi \(y_p(x)=\frac12 x e^{x}\), et la solution générale :
\(y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}+\frac12 x e^{x}\).
Pour aller plus loin. Pour une méthode systématique (tableau complet + cas de résonance + exercices), voir : trouver une solution particulière (ordre 2).
Erreurs fréquentes & pièges (la partie qui fait la différence)
Oublier le \(x\) en cas de racine double / résonance
Erreur classique. Si l’équation caractéristique a une racine double \(r_0\), la solution n’est pas \(C_1 e^{r_0 x}+C_2 e^{r_0 x}\) (ça ne fait qu’une seule fonction).
La bonne forme est \((C_1+C_2 x)e^{r_0 x}\).
Mal passer de \(\Delta\) < 0 à cos/sin
Beaucoup d’élèves écrivent des exponentielles complexes sans revenir à une solution réelle. Or en DS/concours, on attend généralement : \(e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\).
Mélanger \(y_h\) et \(y_p\)
Quand il y a un second membre, retiens une phrase : l’homogène donne la structure, la particulière ajuste le second membre. Tu n’“absorbes” pas \(y_p\) dans \(y_h\).
Poser les conditions initiales trop tôt (ou mal)
Conseil. Détermine d’abord la forme générale \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\), puis seulement ensuite applique \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\).
Sinon tu risques d’imposer une condition à une solution incomplète (et de perdre du temps).
Exercices d’entraînement (avec renvoi vers les corrigés complets)
Série Niveau 1 (homogène, \(\Delta\) > 0)
- \(y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0\)
- \(2y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-2y=0\)
- \(y^{\prime\prime}-y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=0\)
Série Niveau 2 (\(\Delta\) = 0, \(\Delta\) < 0)
- \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+9y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=0\)
Série Niveau 3 (second membre + conditions initiales)
- \(y^{\prime\prime}-y=e^{x}\)
- \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\)
- \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=4\)
- \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-x}\)
Où trouver les corrigés détaillés (lien interne)
Pour un corrigé rédigé pas à pas (niveau exigent, méthode + pièges), consulte : exercices corrigés d’équations différentielles.
FAQ : les questions que les élèves posent vraiment
Comment reconnaître une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants ?
Vérifie trois points : présence de \(y^{\prime\prime}\), linéarité (pas de \(y^2\), pas de \(\sin(y)\)), et coefficients \(a\), \(b\), \(c\) constants dans \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\).
Que signifie le discriminant \(\Delta\) dans l’équation caractéristique ?
Pour \(a r^2+br+c=0\), \(\Delta=b^2-4ac\) indique la nature des racines : \(\Delta\) > 0 → deux réelles distinctes, \(\Delta\) = 0 → racine double, \(\Delta\) < 0 → racines complexes conjuguées. Cela détermine directement la forme de \(y_h\).
Pourquoi la solution générale contient deux constantes \(C_1\) et \(C_2\) ?
Parce qu’une équation d’ordre 2 “intègre” deux fois : on obtient en général deux degrés de liberté. Deux conditions (par exemple \(y(x_0)\) et \(y^{\prime}(x_0)\)) fixent alors une solution unique.
Que faire quand il y a un second membre \(f(x)\) ?
Tu résous d’abord l’homogène (solution \(y_h\)), puis tu ajoutes une particulière \(y_p\) : \(y=y_h+y_p\). Pour choisir efficacement \(y_p\) selon la forme de \(f(x)\), voir : trouver une solution particulière (ordre 2).
Comment utiliser des conditions initiales sans se tromper ?
Écris la forme générale \(y=y_h+y_p\), calcule \(y^{\prime}\), puis applique \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\). Tu obtiens un système linéaire en \(C_1\), \(C_2\) à résoudre proprement.
Applications classiques (aperçu) : physique & modèles (option courte)
Oscillations / amortissement : pourquoi l’ordre 2 apparaît
En mécanique et en physique, l’ordre 2 apparaît dès que l’on modélise une dynamique avec inertie (accélération). Un modèle canonique est : \(m x^{\prime\prime}+c x^{\prime}+k x=F(t)\), où \(m\) représente une inertie, \(c\) un amortissement, \(k\) une raideur, et \(F(t)\) une force extérieure.
Circuit RC/RLC : renvoi vers la page application dédiée
Pour une application “type bac/prépa” très fréquente (condensateur, constante de temps, etc.), voir : application : circuit RC et équations différentielles.
