Tu dois résoudre une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants ? Tu es au bon endroit. Cette page te guide pas à pas, de l’équation caractéristique à la détermination des constantes avec les conditions initiales. Niveau : CPGE (MPSI, PCSI, MP, PC…) et Terminale spé maths (option équations différentielles).
Tu trouveras ici : la définition et le théorème d’existence, les 3 cas du discriminant en tableau, la méthode des coefficients indéterminés (ansatz), la gestion de la résonance, trois exemples entièrement résolus, le wronskien et l’équation d’Euler, puis des exercices d’entraînement.
Naviguer dans le cocon :
- Cours complet sur les équations différentielles (vue d’ensemble)
- Résoudre une équation différentielle d’ordre 1
- → Équation différentielle d’ordre 2 — tu es ici
- Solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2
- Exercices corrigés d’équations différentielles + PDF
- Circuit RC et équation différentielle (Terminale)
Définition : qu’est-ce qu’une équation différentielle d’ordre 2 ?
Ordre 2 : ce que signifie \(y^{\prime\prime}\) dans l’équation
Dire que l’on a une équation différentielle « d’ordre 2 », c’est dire que la dérivée la plus élevée qui apparaît est la dérivée seconde \(y^{\prime\prime}\). Par exemple : \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\) est d’ordre 2, alors que \(y^{\prime}-2y=x\) est d’ordre 1.
Définition. Une équation différentielle d’ordre 2 est une relation de la forme :
\(\mathcal{F}\bigl(x,\,y,\,y^{\prime},\,y^{\prime\prime}\bigr)=0\),
où la fonction inconnue est \(y\) (souvent \(y=y(x)\)).
Homogène vs avec second membre (inhomogène)
Le cas central pour les équations différentielles d’ordre 2 en CPGE est le cas linéaire : \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des constantes.
- Si \(f(x)=0\), l’équation est homogène.
- Si \(f(x)\neq 0\), on dit qu’il y a un second membre (équation inhomogène).
Théorème de Cauchy-Lipschitz : existence et unicité de la solution
Une équation différentielle d’ordre 2 admet (sous des hypothèses vérifiées dans tous les cas qu’on rencontre en prépa) une unique solution dès qu’on fixe deux conditions initiales.
Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis). Soit l’équation \(y^{\prime\prime}+a\,y^{\prime}+b\,y=f(x)\) avec \(a, b\) constants. Pour tout \(x_0\), \(y_0\), \(v_0\) donnés, il existe une unique fonction \(y\) vérifiant :
- \(y^{\prime\prime}+a\,y^{\prime}+b\,y=f(x)\) sur \(\mathbb{R}\),
- \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\).
En pratique : la solution générale contient deux constantes \(C_1\) et \(C_2\) (deux degrés de liberté, car l’équation est d’ordre 2). Deux conditions initiales \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\) fixent alors une solution unique.
Pour situer le chapitre : si tu veux revoir l’ordre 1 (Terminale), consulte le cours sur les équations différentielles d’ordre 1.
Étape 1 : résoudre l’équation homogène avec l’équation caractéristique
L’équation caractéristique
On commence par résoudre l’homogène associée : \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=0\).
Définition. L’équation caractéristique associée à \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=0\) est :
\(a r^2+br+c=0\).
Son discriminant est \(\Delta=b^2-4ac\).
D’où vient-elle ? On cherche des solutions de la forme \(y(x)=e^{rx}\). En substituant, le facteur \(e^{rx}\) (toujours non nul) se simplifie et il reste \(a r^2+br+c=0\).
Les 3 cas du discriminant — tableau récapitulatif
Le discriminant \(\Delta\) détermine la nature des racines et donc la forme de \(y_h\). Dans les deux premiers cas (racines réelles), les formes dans \(\mathbb{R}\) et dans \(\mathbb{C}\) coïncident. La distinction n’apparaît que dans le cas \(\Delta\) < \(0\).
| Condition | Racines | \(y_h\) dans \(\mathbb{R}\) | \(y_h\) dans \(\mathbb{C}\) |
|---|---|---|---|
| \(\Delta\) > \(0\) | \(r_1,\,r_2\) réelles distinctes | \(C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\) | (identique) |
| \(\Delta = 0\) | \(r_0\) racine double | \((C_1+C_2 x)\,e^{r_0 x}\) | (identique) |
| \(\Delta\) < \(0\) | \(\alpha\pm i\beta\) | \(e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\) | \(\tilde{C}_1\,e^{(\alpha+i\beta)x}+\tilde{C}_2\,e^{(\alpha-i\beta)x}\) |
Dans le cas \(\Delta\) < \(0\), les deux écritures sont équivalentes : on passe de la forme complexe à la forme réelle par la formule d’Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), en imposant \(\tilde{C}_2=\overline{\tilde{C}_1}\) pour obtenir une solution réelle.
Piège de copie. En DS/concours, sauf indication contraire, on attend la forme réelle (cos/sin). Ne reste pas sur les exponentielles complexes.
Cas 1 : \(\Delta\) > \(0\) — deux racines réelles distinctes
\(y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\).
Cas 2 : \(\Delta = 0\) — racine double
\(y_h(x)=(C_1+C_2 x)\,e^{r_0 x}\). Le facteur \(x\) est indispensable (sinon on n’a qu’une seule solution indépendante).
Cas 3 : \(\Delta\) < \(0\) — racines complexes conjuguées
\(y_h(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\), avec \(\alpha=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) et \(\beta=\displaystyle\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}\).
Étape 2 : avec second membre — principe de superposition
Pourquoi \(y=y_h+y_p\)
Si l’équation est \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\), on résout d’abord l’homogène associée (pour obtenir \(y_h\)), puis on cherche une solution particulière \(y_p\) qui vérifie l’équation complète.
Superposition. Pour une équation linéaire, la solution générale s’écrit :
\(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\).
Méthode des coefficients indéterminés (ansatz)
La méthode la plus courante en prépa : on « devine » une forme de \(y_p\) en fonction de \(f(x)\), puis on identifie les coefficients.
| Second membre \(f(x)\) | Ansatz \(y_p(x)\) |
|---|---|
| \(P_n(x)\) polynôme de degré \(n\) | \(Q_n(x)\) polynôme de même degré |
| \(e^{\lambda x}\) | \(A\,e^{\lambda x}\) (ou \(A\,x^k e^{\lambda x}\) si résonance) |
| \(\cos(\omega x)\) ou \(\sin(\omega x)\) | \(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) |
| \(e^{\lambda x}\,P_n(x)\) | \(e^{\lambda x}\,Q_n(x)\) (ou \(x^k\,e^{\lambda x}\,Q_n(x)\) si résonance) |
| \(e^{\lambda x}\cos(\omega x)\) ou \(e^{\lambda x}\sin(\omega x)\) | \(e^{\lambda x}\bigl(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\bigr)\) |
Résonance : quand l’ansatz échoue
Si la forme choisie pour \(y_p\) est déjà une solution de l’homogène, on multiplie par \(x\) (ou \(x^2\) si racine double) jusqu’à sortir de l’espace des solutions homogènes.
Règle. Si \(\lambda\) est racine de l’équation caractéristique de multiplicité \(k\) (avec \(k=1\) ou \(k=2\)), on multiplie l’ansatz par \(x^k\).
Pour la méthode complète (gestion de chaque type de résonance, exemples détaillés et 9 exercices corrigés), voir : solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2.
Variation des constantes
Quand \(f(x)\) n’est pas une combinaison de fonctions usuelles (ou si l’ansatz est trop compliqué), on utilise la variation des constantes (méthode de Lagrange). Pour une vision d’ensemble, reviens au cours complet sur les équations différentielles.
Déterminer les constantes avec des conditions initiales
Traduire une condition initiale correctement
Après avoir obtenu \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\), on utilise les conditions initiales pour déterminer \(C_1\) et \(C_2\). Par exemple : \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=v_0\).
Résoudre le système sur \(C_1\), \(C_2\) sans erreurs
Méthode sûre :
- Écrire \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\) en entier, puis calculer \(y^{\prime}(x)\).
- Évaluer en \(x=x_0\) : on obtient deux équations en \(C_1\), \(C_2\).
- Résoudre le système linéaire.
Astuce. Quand l’énoncé le permet, choisis \(x_0=0\) : les exponentielles et les cosinus s’évaluent en 0 très simplement (\(e^0=1\), \(\cos(0)=1\), \(\sin(0)=0\)), et le système se résout souvent de tête.
Exemples guidés : trois équations complètes
Exemple 1 : résonance simple — \(y^{\prime\prime}-y=e^x\)
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}-y=e^x\).
Homogène. Équation caractéristique : \(r^2-1=0\), donc \(r_1=1\) et \(r_2=-1\).
\(y_h(x)=C_1\,e^{x}+C_2\,e^{-x}\).
Particulière. Le second membre est \(e^x\). L’ansatz naturel serait \(y_p=A\,e^x\), mais \(r=1\) est racine simple de l’équation caractéristique : on est en résonance. On multiplie par \(x\) :
\(y_p(x)=A\,x\,e^x\).
Dérivées : \(y_p^{\prime}=A(1+x)\,e^x\), puis \(y_p^{\prime\prime}=A(2+x)\,e^x\).
Substitution : \(y_p^{\prime\prime}-y_p = A(2+x)\,e^x – A\,x\,e^x = 2A\,e^x\).
Identification : \(2A=1\), soit \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Solution générale :
\(y(x)=C_1\,e^{x}+C_2\,e^{-x}+\displaystyle\frac{1}{2}\,x\,e^{x}\).
Exemple 2 : second membre \(e^x\cos x\) — \(y^{\prime\prime}+y=e^x\cos x\)
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}+y=e^x\cos x\).
Homogène. Équation caractéristique : \(r^2+1=0\), donc \(r=\pm\,i\) (cas \(\Delta\) < \(0\) avec \(\alpha=0\), \(\beta=1\)).
\(y_h(x)=C_1\cos x+C_2\sin x\).
Particulière. Le second membre est \(e^x\cos x\), de la forme \(e^{\lambda x}\cos(\omega x)\) avec \(\lambda=1\), \(\omega=1\). Vérifions la résonance : \(\lambda+i\omega=1+i\) n’est pas racine de \(r^2+1=0\) (dont les racines sont \(\pm\,i\)). Pas de résonance.
Ansatz : \(y_p(x)=e^x\bigl(A\cos x+B\sin x\bigr)\).
Dérivées (en factorisant \(e^x\) à chaque étape) :
\(y_p^{\prime}=e^x\bigl((A+B)\cos x+(B-A)\sin x\bigr)\),
\(y_p^{\prime\prime}=e^x\bigl(2B\cos x-2A\sin x\bigr)\).
Substitution dans \(y_p^{\prime\prime}+y_p\) :
\(e^x\bigl((2B+A)\cos x+(-2A+B)\sin x\bigr) = e^x\cos x\).
Identification :
- \(2B+A=1\),
- \(-2A+B=0\), soit \(B=2A\).
En substituant : \(4A+A=5A=1\), donc \(A=\displaystyle\frac{1}{5}\) et \(B=\displaystyle\frac{2}{5}\).
Solution générale :
\(y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\displaystyle\frac{e^x}{5}\bigl(\cos x+2\sin x\bigr)\).
Exemple 3 : second membre \((2x+1)\,e^{-x}\) avec résonance double — \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=(2x+1)\,e^{-x}\)
Énoncé. Résoudre \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=(2x+1)\,e^{-x}\).
Homogène. Équation caractéristique : \(r^2+2r+1=(r+1)^2=0\), donc \(r_0=-1\) racine double.
\(y_h(x)=(C_1+C_2\,x)\,e^{-x}\).
Particulière. Le second membre est \((2x+1)\,e^{-x}\), de la forme \(P_1(x)\,e^{\lambda x}\) avec \(\lambda=-1\) et \(P_1\) de degré 1. Or \(\lambda=-1\) est racine double (\(k=2\)) : on multiplie l’ansatz par \(x^2\).
Ansatz : \(y_p(x)=x^2(ax+b)\,e^{-x}=(ax^3+bx^2)\,e^{-x}\).
Posons \(u(x)=ax^3+bx^2\). Avec \(y_p=u\,e^{-x}\), un calcul direct donne :
\(y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}+y_p = u^{\prime\prime}(x)\,e^{-x}\).
(C’est un résultat classique pour \((D+1)^2\) appliqué à \(u\,e^{-x}\).)
Or \(u^{\prime\prime}(x)=6ax+2b\). On identifie avec \(2x+1\) :
- \(6a=2\), soit \(a=\displaystyle\frac{1}{3}\),
- \(2b=1\), soit \(b=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Solution générale :
\(y(x)=\Bigl(C_1+C_2\,x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}\Bigr)\,e^{-x}\).
Méthodes classiques en exercices avancés
Changement de variable : ramener à coefficients constants
Certaines équations d’ordre 2 à coefficients non constants se ramènent à une équation à coefficients constants par un changement de variable ou de fonction. Le cas le plus classique est l’équation d’Euler.
Équation d’Euler. Une équation de la forme :
\(x^2\,y^{\prime\prime}+\alpha\,x\,y^{\prime}+\beta\,y=g(x), \quad x>0\),
se ramène à une équation à coefficients constants par le changement de variable \(t=\ln(x)\).
Comment ça marche. On pose \(z(t)=y(e^t)\). En utilisant la règle de la chaîne :
- \(x\,y^{\prime}(x)=z^{\prime}(t)\),
- \(x^2\,y^{\prime\prime}(x)=z^{\prime\prime}(t)-z^{\prime}(t)\).
L’équation d’Euler devient alors \(z^{\prime\prime}+(\alpha-1)\,z^{\prime}+\beta\,z=g(e^t)\), qu’on sait résoudre avec la méthode standard.
Exemple. Résoudre \(x^2\,y^{\prime\prime}+x\,y^{\prime}-y=0\) sur \(]0,+\infty[\).
On pose \(t=\ln(x)\). Ici \(\alpha=1\), \(\beta=-1\), donc l’équation transformée est :
\(z^{\prime\prime}+(1-1)\,z^{\prime}-z=0\), soit \(z^{\prime\prime}-z=0\).
Équation caractéristique : \(r^2-1=0\), donc \(r=\pm 1\).
\(z(t)=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}\).
On revient à \(x\) avec \(e^t=x\) : \(y(x)=C_1\,x+C_2\,x^{-1}\).
En exercice, le changement de variable n’est pas toujours \(t=\ln(x)\) : l’énoncé peut demander de poser \(y(x)=u(x)\,\varphi(x)\) pour un certain \(\varphi\) donné, ou de vérifier qu’un changement suggéré simplifie l’équation.
Wronskien : vérifier l’indépendance et construire une solution
Le wronskien de deux fonctions \(y_1\), \(y_2\) est le déterminant :
\(W(y_1,y_2)(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime}\end{vmatrix}=y_1\,y_2^{\prime}-y_1^{\prime}\,y_2\).
Il intervient dans deux situations fréquentes en DS :
1. Vérifier que deux solutions sont indépendantes. Si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de l’homogène, elles forment un système fondamental si et seulement si \(W(y_1,y_2)\neq 0\) en un point (et donc partout, d’après la formule de Liouville).
2. Variation des constantes. On cherche \(y_p=\lambda_1\,y_1+\lambda_2\,y_2\) avec \(\lambda_1^{\prime}\,y_1+\lambda_2^{\prime}\,y_2=0\) et \(\lambda_1^{\prime}\,y_1^{\prime}+\lambda_2^{\prime}\,y_2^{\prime}=f(x)\). Ce système se résout par le wronskien :
\(\lambda_1^{\prime}=-\displaystyle\frac{y_2\,f}{W}, \quad \lambda_2^{\prime}=\displaystyle\frac{y_1\,f}{W}\).
Exemple. Soit \(y^{\prime\prime}-y=\displaystyle\frac{1}{\cosh x}\). On connaît les solutions homogènes \(y_1=e^x\) et \(y_2=e^{-x}\).
Wronskien : \(W=e^x\cdot(-e^{-x})-e^x\cdot e^{-x}=-1-1=-2\).
Par variation des constantes :
- \(\lambda_1^{\prime}=-\displaystyle\frac{e^{-x}}{-2\,\cosh x}=\displaystyle\frac{e^{-x}}{2\,\cosh x}=\displaystyle\frac{1}{1+e^{2x}}\),
- \(\lambda_2^{\prime}=\displaystyle\frac{e^{x}}{-2\,\cosh x}=-\displaystyle\frac{1}{1+e^{-2x}}\).
On intègre chacune pour obtenir \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), puis \(y_p=\lambda_1\,e^x+\lambda_2\,e^{-x}\).
C’est typiquement un exercice où l’ansatz ne fonctionne pas (le second membre \(1/\cosh x\) n’est pas une combinaison de fonctions usuelles) et où le wronskien est indispensable.
Erreurs fréquentes et pièges
Oublier le \(x\) en cas de racine double / résonance
Erreur classique. Si l’équation caractéristique a une racine double \(r_0\), la solution n’est pas \(C_1 e^{r_0 x}+C_2 e^{r_0 x}\) (ça ne fait qu’une seule fonction).
La bonne forme est \((C_1+C_2 x)\,e^{r_0 x}\).
Mélanger \(y_h\) et \(y_p\)
Quand il y a un second membre, retiens une phrase : l’homogène donne la structure, la particulière ajuste le second membre. Tu n’« absorbes » pas \(y_p\) dans \(y_h\).
Poser les conditions initiales trop tôt
Conseil. Détermine d’abord la forme générale \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\), puis seulement ensuite applique les conditions initiales. Sinon tu risques d’imposer une condition à une solution incomplète.
Exercices d’entraînement
Série Niveau 1 (homogène)
- \(y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0\)
- \(2y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-2y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0\)
- \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=0\)
Série Niveau 2 (second membre + conditions initiales)
- \(y^{\prime\prime}-y=e^{x}\)
- \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\)
- \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=4\)
- \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-x}\)
Série Niveau 3 (méthodes avancées)
- \(x^2\,y^{\prime\prime}-2x\,y^{\prime}+2y=0\) sur \(]0,+\infty[\) (poser \(t=\ln x\))
- \(y^{\prime\prime}+y=\tan(x)\) (variation des constantes)
Où trouver les corrigés détaillés
Pour un corrigé rédigé pas à pas (niveau exigeant, méthode + pièges), consulte : exercices corrigés d’équations différentielles + PDF.
Questions fréquentes
Comment reconnaître une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants ?
Vérifie trois points : présence de \(y^{\prime\prime}\), linéarité (pas de \(y^2\), pas de \(\sin(y)\)), et coefficients \(a\), \(b\), \(c\) constants dans \(a y^{\prime\prime}+b y^{\prime}+cy=f(x)\).
Que signifie le discriminant dans l'équation caractéristique ?
Pour \(a r^2+br+c=0\), \(\Delta=b^2-4ac\) indique la nature des racines : \(\Delta\) > \(0\) → deux réelles distinctes, \(\Delta = 0\) → racine double, \(\Delta\) < \(0\) → racines complexes conjuguées. Cela détermine directement la forme de \(y_h\).
Pourquoi la solution générale contient deux constantes C1 et C2 ?
Parce qu’une équation d’ordre 2 admet un espace de solutions homogènes de dimension 2 (théorème de Cauchy-Lipschitz). Deux conditions initiales (\(y(x_0)\) et \(y^{\prime}(x_0)\)) fixent une solution unique.
Que faire quand il y a un second membre f(x) ?
Tu résous d’abord l’homogène (solution \(y_h\)), puis tu ajoutes une particulière \(y_p\) : \(y=y_h+y_p\). Pour choisir efficacement \(y_p\) selon la forme de \(f(x)\), voir : solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2.
Quand utiliser le wronskien plutôt que l'ansatz ?
L’ansatz fonctionne quand le second membre est une combinaison de polynômes, exponentielles et trigonométriques. Pour tout le reste (\(1/\cosh x\), \(\tan x\), \(\ln x\), etc.), il faut passer par la variation des constantes, qui utilise le wronskien.
Comment trouver la solution générale d'une équation différentielle d'ordre 2 ?
En 5 étapes : (1) écrire l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\), (2) calculer \(\Delta\) et en déduire \(y_h\) selon le cas, (3) si second membre, choisir un ansatz pour \(y_p\) (attention à la résonance), (4) identifier les coefficients de \(y_p\), (5) écrire \(y = y_h + y_p\). Les conditions initiales fixent ensuite \(C_1\) et \(C_2\).
À quoi sert l'équation caractéristique ?
L’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) transforme le problème de résolution d’une équation différentielle (trouver une fonction) en un simple problème algébrique (trouver les racines d’un polynôme du second degré). Ses racines déterminent directement la forme de la solution homogène \(y_h\).
Applications classiques : physique et modèles
Oscillations / amortissement
En mécanique et en physique, l’ordre 2 apparaît dès que l’on modélise une dynamique avec inertie (accélération). Un modèle canonique est : \(m x^{\prime\prime}+c x^{\prime}+k x=F(t)\), où \(m\) représente une inertie, \(c\) un amortissement, \(k\) une raideur, et \(F(t)\) une force extérieure.
Circuit RC/RLC
Pour une application type bac/prépa très fréquente (condensateur, constante de temps, etc.), voir : circuit RC et équation différentielle (Terminale).
Pour aller plus loin — Consolide les bases avec le
cours sur les équations différentielles d’ordre 1,
approfondis la recherche de
solution particulière (ordre 2),
puis entraîne-toi avec
les exercices corrigés + PDF.
