Quand on résout une équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre, l’étape qui bloque le plus souvent (en Terminale comme en début de prépa) est la recherche d’une solution particulière.
Objectif de cette page : te donner une méthode fiable, pas à pas, un tableau des formes à essayer, la gestion de la résonance (le vrai piège), puis des exemples et des exercices corrigés pour trouver les bonnes fonctions solutions.
Important : cette page est volontairement centrée sur la solution particulière. Si tu cherches une vue d’ensemble, va sur le cours complet sur les équations différentielles. Pour la résolution de l’homogène (équation caractéristique, cas selon Δ), voir équation différentielle d’ordre 2 : cours et méthode.
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Définition : solution homogène, particulière et solution générale
On considère une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants :
\(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=g(x)\)Définitions à connaître
- Équation homogène associée : \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0\). Sa solution générale s’écrit \(y_h\).
- Solution particulière : une fonction \(y_p\) (pas une famille, une seule fonction) telle que \(y_p^{\prime\prime}+ay_p^{\prime}+by_p=g(x)\).
- Solution générale de l’équation avec second membre : \(y=y_h+y_p\).
Important : la solution particulière \(y_p\) n’est pas unique. Si \(y_p\) est une solution particulière et \(y_h\) une solution de l’homogène, alors \(y_p+y_h\) en est une autre (puisque \(y_h\) annule le membre de gauche).
Pré-requis minimal : reconnaître la bonne forme
Dans cette page, on suppose que l’équation est déjà mise sous la forme :
\(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=g(x)\)Et que tu sais (ou peux retrouver) la solution homogène \(y_h\) via l’équation caractéristique. Si ce n’est pas clair, commence par la page équation différentielle d’ordre 2 : cours et méthode.
La méthode en 5 étapes
- Identifier le type de \(g(x)\) (polynôme, exponentielle, trigonométrique, produit, somme…).
- Proposer une forme candidate pour \(y_p\) (à l’aide du tableau plus bas).
- Tester la résonance : vérifier si la forme choisie n’est pas déjà une des solutions de l’homogène. Si oui, multiplier par \(x\) (ou \(x^2\)).
- Calculer \(y_p^{\prime}\) et \(y_p^{\prime\prime}\), puis substituer dans \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by\).
- Identifier les coefficients (on égalise avec \(g(x)\)), puis faire une vérification rapide par substitution.
Piège classique — Proposer une forme pour \(y_p\) sans tester la résonance : tu peux faire des calculs « parfaits »… et tomber sur une impossibilité (ou une égalité fausse).
Superposition : si g = g₁ + g₂, alors yₚ = yₚ₁ + yₚ₂
C’est un levier très puissant : si tu sais trouver une solution particulière pour \(g_1\) et une autre pour \(g_2\), alors la somme marche pour \(g_1 + g_2\).
Propriété (superposition). Si :
- \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_1(x)\) admet une solution particulière \(y_{p1}\),
- \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_2(x)\) admet une solution particulière \(y_{p2}\),
alors \(y_{p1} + y_{p2}\) est une solution particulière de \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_1(x) + g_2(x)\).
Tableau des formes à essayer selon le second membre
| Second membre \(g(x)\) | Forme à essayer pour \(y_p\) | Commentaire |
|---|---|---|
| \(g(x)=P_n(x)\) (polynôme) | \(y_p(x)=Q_n(x)\) (polynôme même degré) | Constante, affine, quadratique… |
| \(g(x)=A e^{\lambda x}\) | \(y_p(x)=C e^{\lambda x}\) | Tester la résonance si \(\lambda\) est racine caractéristique. |
| \(g(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) | \(y_p(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)\) | Résonance si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\). |
| \(g(x)=e^{\lambda x}P_n(x)\) | \(y_p(x)=e^{\lambda x}Q_n(x)\) | Fréquent en supérieur ; vérifier la résonance via \(\lambda\). |
| \(g(x)=e^{\lambda x}\big(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\big)\) | \(y_p(x)=e^{\lambda x}\big(\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)\big)\) | Résonance si \(\lambda\pm i\omega\) est racine caractéristique. |
| \(g(x)=g_1(x)+g_2(x)\) (somme) | \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\) | Traiter chaque terme séparément (superposition). |
Réflexe premium — Avant de dériver, écris la forme candidate de \(y_p\) et fais le test de résonance. Ça évite 80 % des pertes de temps.
Méthode détaillée par type de second membre
Second membre polynomial : g(x) = Pₙ(x)
On essaie un polynôme \(Q_n(x)\) de même degré que \(P_n(x)\). Par exemple, si \(g(x) = 3x+1\), on pose la fonction candidate \(y_p = ax + c\) (deux coefficients à déterminer). On dérive, on substitue, et on identifie les coefficients devant chaque puissance de \(x\).
Cas particulier fréquent : si \(g(x)\) est une constante (\(g(x) = k\)), on essaie simplement \(y_p = c\). Si \(b \neq 0\) dans l’équation, on obtient directement \(c = k/b\).
Second membre exponentiel : g(x) = Aeˡˣ
On essaie \(y_p = C\,e^{\lambda x}\). On dérive deux fois, on substitue, et on isole \(C\). Le point critique est la résonance : si \(\lambda\) est racine de l’équation caractéristique, la forme \(C\,e^{\lambda x}\) est déjà solution de l’homogène et ne peut pas produire le second membre. On passe alors à \(C\,x\,e^{\lambda x}\) (racine simple) ou \(C\,x^2\,e^{\lambda x}\) (racine double).
Second membre trigonométrique : g(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx)
On essaie \(y_p = \alpha\cos(\omega x) + \beta\sin(\omega x)\) — toujours avec les deux termes, même si le second membre n’en contient qu’un seul. On dérive, on substitue, et on identifie \(\alpha\) et \(\beta\) en regroupant les termes en \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\).
Résonance trigonométrique : si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\) (c’est-à-dire \(\pm i\omega\) racines caractéristiques), on multiplie par \(x\) : \(y_p = x\big(\alpha\cos(\omega x) + \beta\sin(\omega x)\big)\).
Second membre mixte : g(x) = eˡˣ Pₙ(x)
On essaie \(y_p = e^{\lambda x}\,Q_n(x)\) avec \(Q_n\) de même degré que \(P_n\). C’est le cas le plus technique : il faut dériver le produit proprement (Leibniz) et bien regrouper les termes.
La résonance se teste de la même manière : si \(\lambda\) est racine (simple ou double) de l’équation caractéristique, on multiplie \(Q_n(x)\) par \(x\) ou \(x^2\).
Résonance : quand multiplier par x (ou x²) et pourquoi
La résonance est le piège numéro 1. Tu choisis une forme candidate « logique »… et ça ne marche pas. La bonne réaction n’est pas de paniquer : c’est de multiplier par une puissance de \(x\).
Le principe (collision avec une solution de l’homogène)
Si la forme que tu veux essayer pour \(y_p\) est déjà une solution de l’homogène, alors elle ne peut pas produire le second membre : en la substituant, tu retomberas sur 0. Il faut donc forcer une forme « nouvelle » en multipliant par \(x\).
Illustration rapide. Prenons \(y^{\prime\prime} – y = e^x\).
L’homogène \(y^{\prime\prime} – y = 0\) a pour solutions \(e^x\) et \(e^{-x}\).
Si on essaie naïvement \(y_p = A\,e^x\), on calcule \(y_p^{\prime\prime} – y_p = A\,e^x – A\,e^x = 0\). On retombe sur 0, pas sur \(e^x\) → impossible d’identifier \(A\).
C’est normal : \(e^x\) est déjà solution de l’homogène, elle « s’annule » dans le membre de gauche. Il faut multiplier par \(x\) pour sortir de l’espace des solutions homogènes.
Règle pratique : racine simple → ×x ; racine double → ×x²
- Si la forme candidate correspond à une racine simple de l’équation caractéristique, on multiplie par \(x\).
- Si elle correspond à une racine double, on multiplie par \(x^2\).
Reprenons \(y^{\prime\prime} – y = e^x\).
L’équation caractéristique est \(r^2 – 1 = 0\), donc \(r = 1\) (racine simple) et \(r = -1\).
Comme \(\lambda = 1\) est racine simple, on passe de \(y_p = A\,e^x\) à \(y_p = A\,x\,e^x\).
On dérive : \(y_p^{\prime} = A(1+x)e^x\), \(y_p^{\prime\prime} = A(2+x)e^x\).
Substitution : \(y_p^{\prime\prime} – y_p = A(2+x)e^x – Axe^x = 2A\,e^x\).
On veut \(2A\,e^x = e^x\), donc \(A = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(y_p = \displaystyle\frac{1}{2}\,x\,e^x\). ✅
Si \(\lambda\) avait été racine double (par exemple dans \(y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + y = e^x\) où le polynôme caractéristique est \((r-1)^2\)), on serait passé directement à \(y_p = A\,x^2\,e^x\).
Cas trigonométrique : comment détecter la résonance
- Si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\), alors il y a résonance avec un second membre en \(\cos(\omega x)\) ou \(\sin(\omega x)\).
- Dans ce cas, on multiplie la forme candidate par \(x\).
Pour savoir si l’homogène contient ces fonctions, il suffit de résoudre l’équation caractéristique (voir page ordre 2) et de vérifier si \(\pm i\omega\) en sont racines.
Mini-check « résonance » avant de dériver (gain de temps)
Check en 20 secondes.
- Écris l’équation homogène associée : \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = 0\).
- Repère (ou calcule) les solutions homogènes (voir équation différentielle d’ordre 2).
- Demande-toi : « ma forme candidate \(y_p\) ressemble-t-elle déjà à une solution homogène ? »
- Si oui : multiplie par \(x\) (ou \(x^2\) si racine double), puis seulement ensuite dérive.
Exemples corrigés (progressifs)
Exemple 1 — Second membre constant
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=5\).
Comme \(g(x)=5\) est constant, on essaie \(y_p=c\).
Alors \(y_p^{\prime}=0\) et \(y_p^{\prime\prime}=0\), donc :
\(y_p^{\prime\prime}-3y_p^{\prime}+2y_p=2c\)
On veut \(2c=5\), donc \(c=\displaystyle\frac{5}{2}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\displaystyle\frac{5}{2}\).
Exemple 2 — Second membre exponentiel (sans résonance)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=2e^{2x}\).
On essaie \(y_p=Ae^{2x}\). Alors :
\(y_p^{\prime}=2Ae^{2x}\) et \(y_p^{\prime\prime}=4Ae^{2x}\).
Substitution :
\(y_p^{\prime\prime}-y_p=(4A-A)e^{2x}=3Ae^{2x}\)
On veut \(3A e^{2x}=2e^{2x}\), donc \(A=\displaystyle\frac{2}{3}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\displaystyle\frac{2}{3}e^{2x}\).
Exemple 3 — Trigonométrique avec résonance
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\).
Comme l’homogène \(y^{\prime\prime}+y=0\) a des solutions en \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\), on est en résonance. On essaie donc :
\(y_p=x\big(a\sin(x)+b\cos(x)\big)\)
On calcule :
\(y_p^{\prime\prime}+y_p=2\big(a\cos(x)-b\sin(x)\big)\)
On veut \(2(a\cos(x)-b\sin(x))=\cos(x)\), donc :
- \(2a=1\) donc \(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)
- \(-2b=0\) donc \(b=0\)
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\displaystyle\frac{1}{2}x\sin(x)\).
Exemple 4 — Résonance double (le cas x²)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-x}\).
L’équation caractéristique est \(r^2+2r+1=(r+1)^2=0\), donc \(r=-1\) est racine double.
Comme \(e^{-x}\) correspond à \(\lambda = -1\) qui est racine double, on ne peut essayer ni \(A\,e^{-x}\) (collision directe), ni \(A\,x\,e^{-x}\) (encore une solution homogène, car \(y_h = (C_1 + C_2 x)\,e^{-x}\)). Il faut monter d’un cran : on essaie \(y_p = A\,x^2\,e^{-x}\).
On dérive :
\(y_p^{\prime} = A(2x – x^2)\,e^{-x}\)
\(y_p^{\prime\prime} = A(x^2 – 4x + 2)\,e^{-x}\)
Substitution :
\(y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}+y_p = A\big[(x^2-4x+2)+2(2x-x^2)+x^2\big]\,e^{-x}\)
On développe entre crochets : \(x^2-4x+2+4x-2x^2+x^2 = 2\).
Donc \(y_p^{\prime\prime}+2y_p^{\prime}+y_p = 2A\,e^{-x}\).
On veut \(2A\,e^{-x} = e^{-x}\), donc \(A = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p = \displaystyle\frac{1}{2}\,x^2\,e^{-x}\).
Exemple 5 — Superposition (somme de termes)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^{2x}+3\).
Par superposition, on cherche \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\) avec :
- \(y_{p1}^{\prime\prime}-y_{p1}=e^{2x}\)
- \(y_{p2}^{\prime\prime}-y_{p2}=3\)
Pour \(e^{2x}\) : pas de résonance (l’homogène a \(e^x\) et \(e^{-x}\), pas \(e^{2x}\)). On essaie \(y_{p1}=Ae^{2x}\) : \(4A-A=3A\), donc \(3A=1\) et \(A=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Pour \(3\) : on essaie \(y_{p2}=c\) : \(-c=3\), donc \(c=-3\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\displaystyle\frac{1}{3}e^{2x}-3\).
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Exercices corrigés pour s’entraîner
Consigne : pour chaque équation, trouve une solution particulière \(y_p\) (sans forcément écrire \(y_h\)). Fais ensuite une vérification par substitution.
Pour plus d’exercices (tous niveaux, avec PDF téléchargeable) : exercices corrigés d’équations différentielles + PDF.
Série 1 — Mise en confiance (formes directes)
Exercice 1. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=4\).
▶ Voir la correction
On essaie \(y_p=c\). Alors \(y_p^{\prime}=0\), \(y_p^{\prime\prime}=0\) et le membre de gauche vaut \(2c\). Donc \(2c=4\), d’où \(c=2\).
Exercice 2. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=3e^{3x}\).
▶ Voir la correction
On essaie \(y_p=Ae^{3x}\). Alors \(y_p^{\prime\prime}-y_p=(9A-A)e^{3x}=8A e^{3x}\). Donc \(8A=3\) et \(A=\displaystyle\frac{3}{8}\).
Exercice 3. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=6\).
▶ Voir la correction
On essaie \(y_p=c\). Alors le membre de gauche vaut \(c\). Donc \(c=6\).
Série 2 — Résonance (multiplication par x ou x²)
Exercice 4. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^x\).
▶ Voir la correction
Résonance (car \(e^x\) est solution de l’homogène). On essaie \(y_p=Ax e^x\). On obtient \(y_p^{\prime\prime}-y_p=2A e^x\), donc \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Exercice 5. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y=\sin(x)\).
▶ Voir la correction
Résonance (l’homogène contient \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\)). On essaie \(y_p=x(a\sin(x)+b\cos(x))\). On a \(y_p^{\prime\prime}+y_p=2(a\cos(x)-b\sin(x))\). On veut \(2(a\cos(x)-b\sin(x))=\sin(x)\), donc \(a=0\) et \(b=-\displaystyle\frac{1}{2}\). Ainsi \(y_p=-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos(x)\).
Exercice 6. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}\).
▶ Voir la correction
Le polynôme caractéristique est \((r-2)^2\) : résonance double. On essaie \(y_p=A x^2 e^{2x}\). On calcule et on trouve \(y_p^{\prime\prime}-4y_p^{\prime}+4y_p=2A e^{2x}\), donc \(2A=1\) et \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Série 3 — Mélanges (superposition, polynôme × expo)
Exercice 7. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=e^x+6\).
▶ Voir la correction
Superposition : \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\). Pour \(e^x\), essayer \(Ae^x\) donne \((A+3A+2A)e^x=6A e^x\), donc \(A=\displaystyle\frac{1}{6}\). Pour \(6\), essayer \(c\) donne \(2c=6\), donc \(c=3\). Ainsi \(y_p=\displaystyle\frac{1}{6}e^x+3\).
Exercice 8. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=xe^{2x}\).
▶ Voir la correction
On reconnaît \(g(x)=e^{2x}P_1(x)\). On essaie \(y_p=e^{2x}(ax+b)\). On dérive, on substitue, puis on identifie les coefficients devant \(xe^{2x}\) et \(e^{2x}\). (C’est un bon exercice « technique » : fais-le proprement au brouillon avant la copie.)
Exercice 9. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=e^{3x}\).
▶ Voir la correction
Le polynôme caractéristique est \((r-3)^2\) : \(3\) est racine double, donc résonance double pour \(e^{3x}\). On essaie \(y_p=A x^2 e^{3x}\). On dérive, on substitue et on trouve \(y_p^{\prime\prime}-6y_p^{\prime}+9y_p=2A e^{3x}\), donc \(2A=1\) et \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Conseil — Quand un exercice devient « technique » (produit \(e^{\lambda x}P_n(x)\)), ne cherche pas à aller vite : écris clairement \(y_p\), puis dérive étape par étape. La propreté fait gagner du temps au final.
Erreurs fréquentes (ce qui coûte des points)
- Oublier la résonance : tu proposes \(y_p\) alors qu’elle appartient déjà aux fonctions solutions de l’homogène → impossible d’obtenir \(g(x)\).
- Se tromper de « famille » : confondre \(e^{\lambda x}P_n(x)\) et \(e^{\lambda x}\), ou oublier le degré du polynôme.
- Identifier trop vite : oublier un terme après substitution (erreur de dérivée ou de signe).
- Ne pas vérifier : une substitution rapide évite de rendre une copie « belle mais fausse ».
Erreur typique — Pour \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\), essayer \(y_p=\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)\) : c’est exactement l’homogène, donc ça ne peut pas produire \(\cos(x)\). Il faut multiplier par \(x\).
FAQ — Solution particulière (ordre 2)
La solution particulière est-elle unique ?
Non. Si \(y_p\) est une solution particulière et \(y_h\) une solution de l’homogène, alors \(y_p+y_h\) est aussi une solution particulière. L’important est d’en trouver une qui marche.
Comment savoir rapidement si je suis en résonance ?
Demande-toi si la forme candidate « standard » (du tableau) ressemble à une solution homogène. Pour une exponentielle, regarde si \(\lambda\) correspond à une racine de l’équation caractéristique ; pour du trig, vérifie si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\).
Quand faut-il multiplier par x ou par x² ?
Si la résonance est simple (racine simple), multiplier par \(x\). Si la résonance est double (racine double), multiplier par \(x^2\). C’est le réflexe n°1 à automatiser.
Que faire si le second membre est une somme de termes ?
Utilise la superposition : si \(g=g_1+g_2\), tu peux chercher \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\), où \(y_{p1}\) répond à \(g_1\) et \(y_{p2}\) à \(g_2\).
Faut-il toujours utiliser cette méthode ?
Pour les équations d’ordre 2 à coefficients constants avec des seconds membres « classiques » (polynômes, exponentielles, trig…), oui : c’est la méthode la plus rapide au niveau Terminale / début prépa. D’autres méthodes existent (plus générales), mais elles sont rarement attendues à ce niveau.
Comment vérifier sans perdre de temps ?
Substitue ton \(y_p\) dans \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by\) et vérifie que tu retombes exactement sur \(g(x)\). Une vérification « propre » prend 30 secondes et peut sauver tout l’exercice.
Pour aller plus loin — Si tu veux consolider l’ordre 2 (homogène + équation caractéristique + cas selon Δ), vois : équation différentielle d’ordre 2 : cours et méthode, ou commence par les bases avec le cours sur les équations différentielles d’ordre 1, puis entraîne-toi avec les exercices corrigés + PDF.
