Quand on résout une équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre, l’étape qui bloque le plus souvent (en Terminale comme en début de prépa) est la recherche d’une solution particulière.
Objectif de cette page : te donner une méthode fiable, pas à pas, un tableau des formes à essayer, la gestion de la résonance (le vrai piège), puis des exemples et des exercices corrigés.
Important : Cette page est volontairement centrée sur la solution particulière. Si tu cherches le cours complet sur les équations différentielles, va sur Équations différentielles (cours complet). Pour la résolution complète d’une ED d’ordre 2 (homogène, équation caractéristique, etc.), voir Équation différentielle d’ordre 2
Définition : solution homogène, particulière et solution générale
On considère une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants :
\(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=g(x)\)
Définitions à connaître
- Équation homogène associée : \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0\). Une solution générale s’écrit \(y_h\).
- Solution particulière : une fonction \(y_p\) telle que \(y_p^{\prime\prime}+ay_p^{\prime}+by_p=g(x)\).
- Solution générale de l’équation avec second membre : \(y=y_h+y_p\).
Important : la solution particulière \(y_p\) n’est pas unique. Si \(y_p\) est une solution particulière, alors \(y_p+y_h\) en est une autre (puisque \(y_h\) annule le membre de gauche).
Pré-requis minimal : reconnaître la bonne forme (et ce qu’on suppose déjà fait)
Dans cette page, on suppose que l’équation est déjà mise sous la forme :
\(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=g(x)\)
Et on suppose aussi que tu sais (ou que tu peux retrouver) la solution homogène \(y_h\) via l’équation caractéristique. Si ce n’est pas clair, commence par :
- Cours : équation différentielle d’ordre 2 (résolution complète)
La méthode en 5 étapes
- Identifier le type de \(g(x)\) (polynôme, exponentielle, trigonométrique, produit, somme…).
- Proposer une forme candidate pour \(y_p\) (à l’aide du tableau plus bas).
- Tester la résonance : vérifier si la forme choisie n’est pas déjà une solution de l’homogène. Si oui, multiplier par \(x\) (ou \(x^2\)).
- Calculer \(y_p^{\prime}\) et \(y_p^{\prime\prime}\), puis substituer dans \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by\).
- Identifier les coefficients (on égalise avec \(g(x)\)), puis faire une vérification rapide par substitution.
Piège classique — Proposer une forme pour \(y_p\) sans tester la résonance : tu peux faire des calculs “parfaits”… et tomber sur une impossibilité (ou une égalité fausse).
Superposition : si \(g = g_1 + g_2\), alors \(y_p = y_{p1} + y_{p2}\)
C’est un levier très puissant : si tu sais trouver une solution particulière pour \(g_1\) et une autre pour \(g_2\), alors la somme marche pour \(g_1 + g_2\).
Propriété (superposition). Si :
- \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_1(x)\) admet une solution particulière \(y_{p1}\),
- \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_2(x)\) admet une solution particulière \(y_{p2}\),
alors :
\(y_{p1} + y_{p2}\) est une solution particulière de \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = g_1(x) + g_2(x)\).
Tableau des formes à essayer selon le second membre
| Second membre \(g(x)\) | Forme “standard” à essayer pour \(y_p\) | Commentaire |
|---|---|---|
| \(g(x)=P_n(x)\) (polynôme) | \(y_p(x)=Q_n(x)\) (polynôme même degré) | Ex. constante, affine, quadratique… |
| \(g(x)=A e^{\lambda x}\) | \(y_p(x)=C e^{\lambda x}\) | Tester la résonance si \(\lambda\) est racine de l’équation caractéristique. |
| \(g(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) | \(y_p(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)\) | Résonance si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\). |
| \(g(x)=e^{\lambda x}P_n(x)\) | \(y_p(x)=e^{\lambda x}Q_n(x)\) | Très fréquent en début de supérieur ; vérifier la résonance via \(\lambda\). |
| \(g(x)=e^{\lambda x}\big(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\big)\) | \(y_p(x)=e^{\lambda x}\big(\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)\big)\) | Résonance si \(\lambda\pm i\omega\) correspond à une racine de l’équation caractéristique. |
| \(g(x)=g_1(x)+g_2(x)\) (somme) | \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\) | On traite chaque terme séparément (superposition). |
Réflexe premium — Avant de dériver, écris la forme candidate de \(y_p\) et fais le test de résonance. Ça évite 80% des pertes de temps.
Résonance : quand multiplier par \(x\) (ou \(x^2\)) et pourquoi
La résonance est le piège numéro 1. Tu choisis une forme candidate “logique”… et ça ne marche pas. La bonne réaction n’est pas de paniquer : c’est de multiplier par une puissance de \(x\).
Le principe (collision avec une solution de l’homogène)
Si la forme que tu veux essayer pour \(y_p\) est déjà une solution de l’homogène, alors elle ne peut pas produire le second membre : en la substituant, tu retomberas sur 0. Il faut donc forcer une forme “nouvelle” en multipliant par \(x\).
Piège classique. Essayer \(y_p = A e^{x}\) dans une équation dont l’homogène a déjà \(e^{x}\) comme solution. Résultat : impossible d’identifier \(A\), on obtient une contradiction ou 0.
Règle pratique : racine simple → \(\times x\) ; racine double → \(\times x^2\)
La règle “opérationnelle” :
- Si la forme candidate correspond à une racine simple de l’équation caractéristique, on multiplie par \(x\).
- Si elle correspond à une racine double, on multiplie par \(x^2\).
Exemple typique :
- Tu veux essayer \(y_p = A e^{\lambda x}\).
- Si \(\lambda\) est racine simple de l’équation caractéristique, tu passes à \(y_p = A x e^{\lambda x}\).
- Si \(\lambda\) est racine double, tu passes à \(y_p = A x^2 e^{\lambda x}\).
Cas trig/expo : comment détecter la résonance efficacement
Pour le trig, le test pratique est :
- si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\), alors il y a résonance avec un second membre en \(\cos(\omega x)\) ou \(\sin(\omega x)\).
- dans ce cas, tu multiplies ta forme candidate par \(x\).
Si tu veux une méthode complète et sûre pour savoir si l’homogène contient ces fonctions, fais un détour par l’équation caractéristique (explication claire et progressive).
Mini-check “résonance” avant de dériver (gain de temps)
Check en 20 secondes.
- Écris l’équation homogène associée : \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = 0\).
- Repère (ou calcule) les solutions homogènes (voir ordre 2).
- Demande-toi : “ma forme candidate \(y_p\) ressemble-t-elle déjà à une solution homogène ?”
- Si oui : multiplie par \(x\) (ou \(x^2\) si racine double), puis seulement ensuite dérive.
Exemples corrigés (progressifs)
Exemple 1 — Second membre constant
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=5\).
Comme \(g(x)=5\) est constant, on essaye \(y_p=c\).
Alors \(y_p^{\prime}=0\) et \(y_p^{\prime\prime}=0\), donc :
\(y_p^{\prime\prime}-3y_p^{\prime}+2y_p=2c\)
On veut \(2c=5\), donc \(c=\frac{5}{2}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\frac{5}{2}\).
Exemple 2 — Second membre exponentiel (sans résonance)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=2e^{2x}\).
On essaye \(y_p=Ae^{2x}\). Alors :
\(y_p^{\prime}=2Ae^{2x}\) et \(y_p^{\prime\prime}=4Ae^{2x}\).
Substitution :
\(y_p^{\prime\prime}-y_p=(4A-A)e^{2x}=3Ae^{2x}\)
On veut \(3A e^{2x}=2e^{2x}\), donc \(A=\frac{2}{3}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\frac{2}{3}e^{2x}\).
Exemple 3 — Trigonométrique avec résonance
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\).
Comme l’homogène \(y^{\prime\prime}+y=0\) a des solutions en \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\), on est en résonance. On essaye donc :
\(y_p=x\big(a\sin(x)+b\cos(x)\big)\)
On calcule (proprement) :
\(y_p^{\prime\prime}+y_p=2\big(a\cos(x)-b\sin(x)\big)\)
On veut \(2(a\cos(x)-b\sin(x))=\cos(x)\), donc :
- \(2a=1\) donc \(a=\frac{1}{2}\)
- \(-2b=0\) donc \(b=0\)
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\frac{1}{2}x\sin(x)\).
Exemple 4 — Exponentielle avec résonance (le grand classique)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^x\).
Comme \(e^x\) est solution de l’homogène \(y^{\prime\prime}-y=0\), on essaye :
\(y_p=Ax e^x\)
Alors :
\(y_p^{\prime}=A(1+x)e^x\) et \(y_p^{\prime\prime}=A(2+x)e^x\).
Substitution :
\(y_p^{\prime\prime}-y_p=A(2+x)e^x-Axe^x=2A e^x\)
On veut \(2A e^x=e^x\), donc \(A=\frac{1}{2}\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\frac{1}{2}x e^x\).
Exemple 5 — Superposition (somme de termes)
On cherche une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^x+1\).
Par superposition, on cherche \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\) avec :
- \(y_{p1}^{\prime\prime}-y_{p1}=e^x\)
- \(y_{p2}^{\prime\prime}-y_{p2}=1\)
D’après l’exemple 4, une solution particulière pour \(e^x\) est \(y_{p1}=\frac{1}{2}x e^x\).
Pour \(1\), on essaye \(y_{p2}=c\) : alors \(y_{p2}^{\prime\prime}-y_{p2}=-c\), donc \(-c=1\) et \(c=-1\).
Conclusion : une solution particulière est \(y_p=\frac{1}{2}x e^x-1\).
Exercices corrigés pour s’entraîner
Consigne : pour chaque équation, trouve une solution particulière \(y_p\) (sans forcément écrire \(y_h\)). Fais ensuite une vérification par substitution.
Pour plus d’exercices, tu peux aussi consulter : exercices corrigés d’équations différentielles.
Série 1 — Mise en confiance (formes directes)
Exercice 1. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=4\).
Correction
On essaye \(y_p=c\). Alors \(y_p^{\prime}=0\), \(y_p^{\prime\prime}=0\) et le membre de gauche vaut \(2c\). Donc \(2c=4\), d’où \(c=2\).
Exercice 2. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=3e^{3x}\).
Correction
On essaye \(y_p=Ae^{3x}\). Alors \(y_p^{\prime\prime}-y_p=(9A-A)e^{3x}=8A e^{3x}\). Donc \(8A=3\) et \(A=\frac{3}{8}\).
Exercice 3. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=6\).
Correction
On essaye \(y_p=c\). Alors le membre de gauche vaut \(c\). Donc \(c=6\).
Série 2 — Résonance (multiplication par \(x\) ou \(x^2\))
Exercice 4. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^x\).
Correction
Résonance (car \(e^x\) est solution de l’homogène). On essaye \(y_p=Ax e^x\). On obtient \(y_p^{\prime\prime}-y_p=2A e^x\), donc \(A=\frac{1}{2}\).
Exercice 5. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y=\sin(x)\).
Correction
Résonance (l’homogène contient \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\)). On essaye \(y_p=x(a\sin(x)+b\cos(x))\). On a \(y_p^{\prime\prime}+y_p=2(a\cos(x)-b\sin(x))\). On veut \(2(a\cos(x)-b\sin(x))=\sin(x)\), donc \(a=0\) et \(b=-\frac{1}{2}\). Ainsi \(y_p=-\frac{1}{2}x\cos(x)\).
Exercice 6. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}\).
Correction
Le polynôme caractéristique est \((r-2)^2\) : résonance double. On essaye \(y_p=A x^2 e^{2x}\). On calcule et on trouve \(y_p^{\prime\prime}-4y_p^{\prime}+4y_p=2A e^{2x}\), donc \(2A=1\) et \(A=\frac{1}{2}\).
Série 3 — Mélanges (superposition, polynôme × expo)
Exercice 7. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=e^{2x}+5\).
Correction
Superposition : \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\). Pour \(e^{2x}\), essayer \(Ae^{2x}\) donne \((4A-A)e^{2x}=3A e^{2x}\), donc \(A=\frac{1}{3}\). Pour \(5\), essayer \(c\) donne \(-c=5\), donc \(c=-5\). Ainsi \(y_p=\frac{1}{3}e^{2x}-5\).
Exercice 8. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=xe^{2x}\).
Correction
On reconnaît \(g(x)=e^{2x}P_1(x)\). On essaye \(y_p=e^{2x}(ax+b)\). On dérive, on substitue, puis on identifie les coefficients devant \(xe^{2x}\) et \(e^{2x}\). (C’est un bon exercice “technique” : fais-le proprement au brouillon avant la copie.)
Exercice 9. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-x}\).
Correction
Le polynôme caractéristique de l’homogène est \((r+1)^2\) : \(-1\) est racine double, donc résonance double pour \(e^{-x}\). On essaye \(y_p=A x^2 e^{-x}\), puis on substitue et on identifie pour déterminer \(A\).
Conseil — Quand un exercice devient “technique” (produit \(e^{\lambda x}P_n(x)\)), ne cherche pas à aller vite : écris clairement \(y_p\), puis dérive étape par étape. La propreté fait gagner du temps au final.
Erreurs fréquentes (ce qui coûte des points)
- Oublier la résonance : tu proposes \(y_p^{(0)}\) alors qu’elle appartient déjà à l’homogène → impossible d’obtenir \(g(x)\).
- Se tromper de “famille” : confondre \(e^{\lambda x}P_n(x)\) et \(e^{\lambda x}\), ou oublier le degré du polynôme.
- Identifier trop vite : oublier un terme après substitution (erreur de dérivée ou de signe).
- Ne pas vérifier : une substitution rapide évite de rendre une copie “belle mais fausse”.
Erreur typique — Pour \(y^{\prime\prime}+y=\cos(x)\), essayer \(y_p=\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)\) : c’est exactement l’homogène, donc ça ne peut pas produire \(\cos(x)\). Il faut multiplier par \(x\).
FAQ — Solution particulière (ordre 2)
La solution particulière est-elle unique ?
Non. Si \(y_p\) est une solution particulière et \(y_h\) une solution de l’homogène, alors \(y_p+y_h\) est aussi une solution particulière. L’important est d’en trouver une qui marche.
Comment savoir rapidement si je suis en résonance ?
Test rapide : demande-toi si la forme candidate “standard” (du tableau) ressemble à une solution homogène. Pour une exponentielle, regarde si \(\lambda\) correspond à une racine de l’équation caractéristique ; pour du trig, vérifie si l’homogène contient déjà \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\).
Quand faut-il multiplier par \(x\) ou par \(x^2\) ?
Si la résonance est simple (racine simple), multiplier par \(x\). Si lá la résonance est double (racine double), multiplier par \(x^2\). C’est le réflexe n°1 à automatiser.
Que faire si le second membre est une somme de termes ?
Utilise la superposition : si \(g=g_1+g_2\), tu peux chercher \(y_p=y_{p1}+y_{p2}\), où \(y_{p1}\) répond à \(g_1\) et \(y_{p2}\) à \(g_2\).
Faut-il toujours utiliser cette méthode ?
Pour les équations d’ordre 2 à coefficients constants avec des seconds membres “classiques” (polynômes, exponentielles, trig…), oui : c’est la méthode la plus rapide au niveau Terminale/début prépa. D’autres méthodes existent (plus générales), mais elles sont rarement attendues à ce niveau.
Comment vérifier sans perdre de temps ?
Substitue ton \(y_p\) dans \(y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by\) et vérifie que tu retombes exactement sur \(g(x)\). Une vérification “propre” prend 30 secondes et peut sauver tout l’exercice.
Pour aller plus loin — Si tu veux consolider l’ordre 2 (homogène + équation caractéristique + cas), vois : équation différentielle d’ordre 2, puis entraîne-toi avec les exercices corrigés.
