Formule d’Euler : Démonstrations et Applications du Lycée à la Prépa

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Note : cette page traite la formule d’Euler pour les nombres complexes (\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)). Pour la relation d’Euler en géométrie des polyèdres (\(V – A + F = 2\)), consulte Wikipédia.

La formule d’Euler relie l’exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques : c’est l’un des résultats les plus puissants du chapitre sur les nombres complexes. Au programme de Terminale Maths Expertes et omniprésente en prépa, elle transforme les calculs trigonométriques en simples manipulations algébriques. Tu vas découvrir ici la formule, ses démonstrations, ses grandes applications (Moivre, angle moitié, linéarisation) et 6 exercices corrigés pas à pas. Conforme au programme 2025-2026.

I. Énoncé de la formule d’Euler

A. La formule fondamentale

Cette formule établit un lien entre l’exponentielle complexe et les fonctions trigonométriques \(\cos\) et \(\sin\). Elle signifie que le nombre complexe \(e^{i\theta}\) a pour partie réelle \(\cos\theta\) et pour partie imaginaire \(\sin\theta\).

Interprétation géométrique. Dans le plan complexe, \(e^{i\theta}\) est le point du cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 centré à l’origine) repéré par l’angle \(\theta\). Son module vaut \(|e^{i\theta}| = 1\) et son argument vaut \(\theta\).

La formule d’Euler fournit ainsi l’écriture la plus compacte de la forme exponentielle d’un nombre complexe de module 1. Tout nombre complexe \(z\) non nul s’écrit alors \(z = |z|\,e^{i\theta}\) où \(\theta = \arg(z)\).

B. Formules d’Euler pour cos θ et sin θ

En écrivant la formule d’Euler pour \(\theta\) et \(-\theta\), on obtient le couple :

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

\(e^{-i\theta} = \cos\theta – i\sin\theta\)

(La seconde égalité découle de la parité de \(\cos\) et de l’imparité de \(\sin\), ou bien du fait que \(e^{-i\theta}\) est le conjugué de \(e^{i\theta}\).)

En additionnant, puis en soustrayant ces deux égalités, on isole \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) :

Ces deux formules sont les outils clés de la linéarisation (voir la section V). Elles permettent de transformer \(\cos^n\theta\) ou \(\sin^n\theta\) en combinaisons linéaires de \(\cos(k\theta)\) et \(\sin(k\theta)\).

C. L’identité d’Euler : la plus belle formule des mathématiques

En posant \(\theta = \pi\) dans la formule d’Euler :

\(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\)

On obtient l’identité d’Euler :

Cette identité réunit en une seule égalité les cinq constantes fondamentales des mathématiques — \(0\), \(1\), \(e\), \(i\) et \(\pi\) — avec les trois opérations élémentaires (addition, multiplication, exponentiation). Le physicien Richard Feynman l’a qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques ». Si on te demande un jour quelle est la plus belle formule mathématique, tu as ta réponse.

Voici un récapitulatif des formules à retenir :

Maintenant que tu connais la formule et ses variantes, voyons pourquoi elle est vraie.

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II. Démonstrations de la formule d’Euler

En Terminale Maths Expertes, la notation \(e^{i\theta}\) est généralement introduite comme une convention d’écriture pour \(\cos\theta + i\sin\theta\). En prépa, elle devient un théorème qu’on démontre rigoureusement. Voici les deux démonstrations classiques — elles ne sont pas exigibles en Terminale, mais les comprendre renforce considérablement ta maîtrise de la formule.

A. Démonstration par les séries entières 🔴 Prépa

On part des développements en séries entières de l’exponentielle, du cosinus et du sinus, valables pour tout réel \(x\) :

\(e^{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\)

\(\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)!}\)

\(\sin x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

Substituons \(x = i\theta\) dans le développement de \(e^x\) :

\(e^{i\theta} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(i\theta)^n}{n!} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{i^n\,\theta^n}{n!}\)

La clé est le cycle des puissances de \(i\) :

Les termes de rang pair (\(n = 2k\)) donnent \(i^{2k} = (-1)^k\) : ils sont réels. Les termes de rang impair (\(n = 2k+1\)) donnent \(i^{2k+1} = (-1)^k \cdot i\) : ils sont imaginaires purs.

En séparant les parties réelle et imaginaire :

\(e^{i\theta} = \underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^k\,\theta^{2k}}{(2k)!}}_{\cos\theta} \;+\; i\,\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^k\,\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{\sin\theta}\)

On retrouve exactement les développements de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\). Donc \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). ∎

B. Démonstration par l’équation différentielle 🔴 Prépa

Considérons la fonction \(f : \theta \mapsto \cos\theta + i\sin\theta\). Calculons sa dérivée :

\(f^\prime(\theta) = -\sin\theta + i\cos\theta = i\,(\cos\theta + i\sin\theta) = i\,f(\theta)\)

(L’astuce : \(i\cos\theta + i \cdot i\sin\theta = i\cos\theta – \sin\theta\), ce qui redonne bien \(-\sin\theta + i\cos\theta\).)

La fonction \(f\) est donc solution du problème de Cauchy :

\(y^\prime = i\,y, \quad y(0) = 1\)

Or la théorie des équations différentielles linéaires (théorème de Cauchy-Lipschitz) garantit l’unicité de la solution. Comme \(\theta \mapsto e^{i\theta}\) vérifie aussi \(y^\prime = iy\) et \(y(0) = 1\), on conclut :

\(f(\theta) = e^{i\theta}\), c’est-à-dire \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). ∎

La formule d’Euler a une conséquence immédiate et très puissante : la formule de Moivre.

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III. La formule de Moivre

A. Énoncé et démonstration

Démonstration. Grâce à la formule d’Euler, c’est un calcul d’une ligne :

\((\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) ∎

B. Application : exprimer cos(nθ) et sin(nθ)

La formule de Moivre fournit une méthode systématique pour développer \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\) en fonction de puissances de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\). La méthode :

1. Développer \((\cos\theta + i\sin\theta)^n\) à l’aide du binôme de Newton.
2. Séparer partie réelle et partie imaginaire.
3. Identifier avec \(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) par Moivre.

Cette technique se généralise à tout \(n\) et constitue un grand classique des exercices sur les nombres complexes. On retrouve d’ailleurs les formules de trigonométrie d’addition et de duplication comme cas particuliers.

Les exponentielles complexes se manipulent particulièrement bien avec une autre technique très utile : la factorisation par l’angle moitié.

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IV. Factorisation par l’angle moitié

A. Méthode en 3 étapes

La factorisation par l’angle moitié est une technique qui permet de simplifier des sommes ou différences d’exponentielles complexes. L’idée : mettre en facteur l’exponentielle de l’angle moyen.

Pourquoi « angle moitié » ? Parce que l’angle qu’on met en facteur, \(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\), est la moyenne des deux angles. L’angle \(\displaystyle\frac{\alpha – \beta}{2}\) est la demi-différence.

Méthode en 3 étapes :

1. Identifier les exponentielles complexes à factoriser et leurs arguments \(\alpha\) et \(\beta\).
2. Calculer l’angle moitié : \(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\) (à mettre en facteur) et la demi-différence \(\displaystyle\frac{\alpha – \beta}{2}\).
3. Mettre en facteur \(e^{i(\alpha+\beta)/2}\), puis simplifier. La somme fait apparaître un \(\cos\), la différence un \(\sin\).

Vérification rapide. Pour retrouver la première formule, on factorise :

\(e^{i\alpha} + e^{i\beta} = e^{i\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}}\!\left(e^{i\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}} + e^{-i\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}}\right) = e^{i\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}} \cdot 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\alpha – \beta}{2}\right)\)

B. Exemple complet résolu

La dernière grande application de la formule d’Euler au programme est la linéarisation.

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V. Linéarisation de cosⁿ θ et sinⁿ θ

A. Principe et méthode

Linéariser, c’est transformer une puissance de \(\cos\theta\) ou \(\sin\theta\) en une combinaison linéaire de \(\cos(k\theta)\) et \(\sin(k\theta)\) (c’est-à-dire des termes de puissance 1 en \(\cos\) et \(\sin\)).

Pourquoi linéariser ? Parce que \(\cos^4\theta\) est difficile à intégrer ou à manipuler, tandis que \(\cos(k\theta)\) s’intègre trivialement. La linéarisation est indispensable pour le calcul de certaines intégrales en prépa.

Méthode en 4 étapes :

1. Remplacer \(\cos\theta\) par \(\displaystyle\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\) (ou \(\sin\theta\) par \(\displaystyle\frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}\)).
2. Élever à la puissance \(n\) et développer avec le binôme de Newton.
3. Regrouper les termes conjugués : \(e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)\).
4. Simplifier pour obtenir la forme linéarisée.

B. Exemples résolus

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VI. Applications en prépa 🔴

En classe préparatoire, la formule d’Euler intervient dans deux grands types de problèmes : le calcul d’intégrales par linéarisation et la résolution d’équations différentielles à coefficients constants.

A. Calcul d’intégrales par linéarisation

Dès qu’une intégrale contient \(\cos^n(t)\) ou \(\sin^n(t)\), la stratégie est de linéariser d’abord, puis d’intégrer terme à terme :

Pour des puissances plus élevées (\(\cos^4(t)\), \(\sin^6(t)\)…), on linéarise en utilisant le binôme. Le principe reste exactement le même — seul le calcul s’allonge. Tu trouveras un exercice complet avec \(\cos^4(t)\) dans la section VII.

B. Équations différentielles et solutions complexes

Considérons l’équation différentielle du second ordre à coefficients constants :

\(y^{\prime\prime} + \omega^2 y = 0\)   (avec \(\omega\) > \(0\))

L’équation caractéristique \(r^2 + \omega^2 = 0\) admet pour racines \(r = \pm\, i\omega\) (discriminant \(\Delta = -4\omega^2\) < \(0\)).

La solution générale complexe est \(y(\theta) = A\,e^{i\omega\theta} + B\,e^{-i\omega\theta}\). Grâce à la formule d’Euler, on la réécrit sous forme réelle :

\(y(\theta) = C_1\cos(\omega\theta) + C_2\sin(\omega\theta)\)

C’est ici que la formule d’Euler joue un rôle essentiel : elle permet de passer des solutions complexes aux solutions réelles, qui sont celles qu’on observe en physique (oscillateurs, circuits RLC…). Pour approfondir, consulte le cours sur les équations différentielles.

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VII. Exercices corrigés (★ à ★★★)

Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Les exercices ★ sont des applications directes, les ★★ demandent de combiner plusieurs techniques, et les ★★★ sont de niveau prépa. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.

Exercice 1 ★ 🟢 Lycée — Écrire sous forme algébrique les nombres complexes \(e^{i\pi/4}\) et \(e^{i5\pi/6}\).

Voir la correction

Pour \(e^{i\pi/4}\) :

\(e^{i\pi/4} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Pour \(e^{i5\pi/6}\) :

\(e^{i5\pi/6} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} + i\,\displaystyle\frac{1}{2}\)

(On utilise \(\cos(5\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2\) et \(\sin(5\pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2\).)

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Exercice 2 ★★ 🟢 Lycée — En utilisant la formule de Moivre, exprimer \(\cos(4\theta)\) comme un polynôme en \(\cos\theta\) uniquement.

Voir la correction

Par la formule de Moivre : \((\cos\theta + i\sin\theta)^4 = \cos(4\theta) + i\sin(4\theta)\).

Développons le membre de gauche :

\((\cos\theta + i\sin\theta)^4 = \cos^4\theta + 4i\cos^3\theta\sin\theta – 6\cos^2\theta\sin^2\theta – 4i\cos\theta\sin^3\theta + \sin^4\theta\)

Partie réelle :

\(\cos(4\theta) = \cos^4\theta – 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta\)

Remplaçons \(\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta\) :

\(= \cos^4\theta – 6\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) + (1-\cos^2\theta)^2\)

\(= \cos^4\theta – 6\cos^2\theta + 6\cos^4\theta + 1 – 2\cos^2\theta + \cos^4\theta\)

\(\fbox{\cos(4\theta) = 8\cos^4\theta – 8\cos^2\theta + 1}\)

Vérification : pour \(\theta = 0\), on obtient \(8 – 8 + 1 = 1 = \cos(0)\) ✓. Pour \(\theta = \pi/4\), on obtient \(8 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} – 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + 1 = 2 – 4 + 1 = -1 = \cos(\pi)\) ✓.

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Exercice 3 ★★ 🟢 Lycée — Linéariser \(\cos^2\theta\,\sin\theta\).

Voir la correction

On remplace à l’aide des formules d’Euler :

\(\cos^2\theta\,\sin\theta = \left(\displaystyle\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{\!2} \cdot \displaystyle\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)

Développons \((e^{i\theta}+e^{-i\theta})^2 = e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}\), puis multiplions :

\(= \displaystyle\frac{1}{8i}\left(e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}\right)\left(e^{i\theta} – e^{-i\theta}\right)\)

\(= \displaystyle\frac{1}{8i}\left(e^{3i\theta} – e^{-i\theta} + 2e^{i\theta} – 2e^{-i\theta} + e^{i\theta} – e^{-3i\theta}\right)\)

Reprenons le produit terme à terme :

\((e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta})(e^{i\theta} – e^{-i\theta})\) \(= e^{3i\theta} – e^{i\theta} + 2e^{i\theta} – 2e^{-i\theta} + e^{-i\theta} – e^{-3i\theta}\) \(= e^{3i\theta} + e^{i\theta} – e^{-i\theta} – e^{-3i\theta}\)

Regroupons :

\(= \displaystyle\frac{1}{8i}\Big[\big(e^{3i\theta} – e^{-3i\theta}\big) + \big(e^{i\theta} – e^{-i\theta}\big)\Big]\)

Or \(e^{ik\theta} – e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)\), donc :

\(= \displaystyle\frac{1}{8i}\big[2i\sin(3\theta) + 2i\sin\theta\big] = \displaystyle\frac{2i}{8i}\big[\sin(3\theta) + \sin\theta\big]\)

\(\fbox{\cos^2\theta\,\sin\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta + \sin(3\theta)}{4}}\)

Vérification : pour \(\theta = \pi/6\), le membre de gauche vaut \(\displaystyle\frac{3}{4} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{3}{8}\). Le membre de droite : \(\displaystyle\frac{\sin(\pi/6) + \sin(\pi/2)}{4} = \displaystyle\frac{1/2 + 1}{4} = \displaystyle\frac{3}{8}\) ✓

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Exercice 4 ★★ 🟡 Avancé — Mettre \(e^{i\pi/6} + e^{i\pi/3}\) sous forme trigonométrique.

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On applique la factorisation par l’angle moitié avec \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{6}\) et \(\beta = \displaystyle\frac{\pi}{3}\) :

Angle moitié : \(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} = \displaystyle\frac{\pi/6 + \pi/3}{2} = \displaystyle\frac{\pi/6 + 2\pi/6}{2} = \displaystyle\frac{3\pi/6}{2} = \displaystyle\frac{\pi}{4}\)

Demi-différence : \(\displaystyle\frac{\alpha – \beta}{2} = \displaystyle\frac{\pi/6 – \pi/3}{2} = \displaystyle\frac{-\pi/6}{2} = -\displaystyle\frac{\pi}{12}\)

Donc :

\(e^{i\pi/6} + e^{i\pi/3} = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right) \cdot e^{i\pi/4}\)

Le module est \(2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right) = 2\cos(15°) = \displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) et l’argument est \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Vérification numérique : \(e^{i\pi/6} \approx 0{,}866 + 0{,}5i\) et \(e^{i\pi/3} \approx 0{,}5 + 0{,}866i\), donc la somme \(\approx 1{,}366 + 1{,}366i\). Son module vaut \(1{,}366\sqrt{2} \approx 1{,}932\) et \(2\cos(15°) \approx 1{,}932\) ✓. Son argument est bien \(\arctan(1) = \pi/4\) ✓.

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Exercice 5 ★★★ 🔴 Prépa — Linéariser \(\cos^4\theta\) et en déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^4(t)\,dt\).

Voir la correction

Linéarisation de \(\cos^4\theta\) :

\(\cos^4\theta = \left(\displaystyle\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{\!4} = \displaystyle\frac{1}{16}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4\)

Développons par le binôme :

\((e^{i\theta}+e^{-i\theta})^4 = e^{4i\theta} + 4e^{2i\theta} + 6 + 4e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta}\)

Regroupons les termes conjugués :

\(= 2\cos(4\theta) + 8\cos(2\theta) + 6\)

Donc :

\(\fbox{\cos^4\theta = \displaystyle\frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}}\)

Calcul de l’intégrale :

\(\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^4(t)\,dt = \displaystyle\int_0^{2\pi} \displaystyle\frac{3 + 4\cos(2t) + \cos(4t)}{8}\,dt\)

\(= \displaystyle\frac{1}{8}\left[3t + 2\sin(2t) + \displaystyle\frac{\sin(4t)}{4}\right]_0^{2\pi}\)

Les termes en sinus s’annulent sur \([0,\, 2\pi]\), il reste :

\(\fbox{\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^4(t)\,dt = \displaystyle\frac{3 \times 2\pi}{8} = \displaystyle\frac{3\pi}{4}}\)

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Exercice 6 ★★★ 🔴 Prépa — Soit \(\theta \in\; ]0,\, 2\pi[\). Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta)\).

Voir la correction

Stratégie : on introduit l’exponentielle complexe. On pose :

\(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \left(e^{i\theta}\right)^k\)

C’est une somme géométrique de raison \(q = e^{i\theta}\). Comme \(\theta \neq 0 \pmod{2\pi}\), on a \(q \neq 1\), donc :

\(S = \displaystyle\frac{1 – e^{i(n+1)\theta}}{1 – e^{i\theta}}\)

Factorisation par l’angle moitié du numérateur et du dénominateur :

\(1 – e^{i\alpha} = -2i\sin\!\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right) \cdot e^{i\alpha/2}\)

Numérateur (avec \(\alpha = (n+1)\theta\)) :

\(1 – e^{i(n+1)\theta} = -2i\sin\!\left(\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}\right) \cdot e^{i(n+1)\theta/2}\)

Dénominateur (avec \(\alpha = \theta\)) :

\(1 – e^{i\theta} = -2i\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right) \cdot e^{i\theta/2}\)

En divisant :

\(S = \displaystyle\frac{\sin\!\left(\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)} \cdot e^{in\theta/2}\)

On prend la partie réelle pour obtenir la somme des cosinus :

\(\fbox{\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta) = \displaystyle\frac{\sin\!\left(\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)} \cdot \cos\!\left(\displaystyle\frac{n\theta}{2}\right)}\)

Ce que le correcteur attend : justifier que \(e^{i\theta} \neq 1\) (condition \(\theta \neq 0 \pmod{2\pi}\)) avant d’appliquer la formule de la somme géométrique. Bien identifier que la partie réelle de \(S\) donne \(\sum \cos(k\theta)\) et la partie imaginaire donne \(\sum \sin(k\theta)\).

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VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs que je vois le plus souvent chez mes élèves :

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IX. Questions fréquentes

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X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la formule d’Euler et ses grandes applications. Pour continuer à progresser sur les nombres complexes, voici les pages les plus utiles :

• Module d’un nombre complexe — définition, calcul et propriétés du module
• Forme trigonométrique et exponentielle — passage d’une forme à l’autre, opérations
• Racines n-ièmes de l’unité — suite logique en prépa, applications de la formule d’Euler
• Exercices corrigés sur les nombres complexes — 20+ exercices classés par difficulté

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