Tu confonds encore image et antécédent ? C’est normal : c’est le piège n°1 en fonctions en 3e et en Seconde. Et pourtant, c’est aussi l’endroit où tu peux gagner des points très vite.
Dans ce cours, tu vas apprendre à les différencier, à trouver rapidement l’image ou l’antécédent selon l’énoncé, et à sécuriser ces points “faciles” dès le prochain contrôle.
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Définitions et notation : ne plus confondre image et antécédent
Une fonction, souvent notée \(f\), est un procédé qui, à un nombre \(x\), associe un unique nombre noté \(f(x)\).
Définition formelle Soit \(f\) une fonction. On note \(y = f(x)\).
- Le nombre \(x\) (celui qui est transformé) est l’antécédent.
- Le nombre \(f(x)\) (le résultat) est l’image de \(x\) par la fonction \(f\).
Pour ne jamais confondre, retenez l’ordre alphabétique ou l’ordre chronologique : l’Antécédent vient Avant l’Image.
Le piège de l’unicité C’est le point le plus important à comprendre pour le lycée :
- Un nombre (antécédent) a une unique image. La machine ne peut pas sortir deux résultats différents pour une même entrée.
- En revanche, une image peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun !).
Méthode 1 : Lire une image et un antécédent sur un graphique
C’est l’exercice classique du Brevet et des contrôles de Seconde : savoir lire les informations sur la courbe représentative d’une fonction sans faire de calcul.
Lire l’image d’un nombre (Axe des abscisses → Axe des ordonnées)
Chercher l’image de 2, c’est chercher « à quelle hauteur » se trouve la courbe quand on se place sur 2 à l’horizontal.
Méthode pas à pas :
- Je repère la valeur de l’antécédent sur l’axe des abscisses (l’axe horizontal).
- Je monte (ou descends) verticalement jusqu’à rencontrer la courbe.
- Je me déplace horizontalement pour lire la valeur correspondante sur l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
Moyen mnémotechnique : Image = I = Ircel (Ciel → on regarde vers le haut/l’axe vertical).
Lire les antécédents d’un nombre (Axe des ordonnées → Axe des abscisses)
Chercher les antécédents de 3, c’est chercher « quels sont les nombres de départ » qui donnent un résultat de 3.
Méthode pas à pas :
- Je repère la valeur de l’image sur l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
- Je trace une ligne horizontale passant par cette valeur.
- Je repère tous les points d’intersection entre cette ligne et la courbe.
- Je redescends vers l’axe des abscisses pour lire les valeurs des antécédents.
Attention : Comme expliqué précédemment, il peut y avoir plusieurs points d’intersection, donc plusieurs antécédents. Il faut tous les citer.
Exemple complet (graphique) : image + antécédents.
Soit la fonction \(f\) représentée ci-dessous.
- Lire l’image de \(2\) (donc calculer \(f(2)\)).
- Déterminer les antécédents de \(4\) (donc résoudre graphiquement \(f(x)=4\)).
Explication (méthode attendue en DS).
-
Pour lire l’image de \(2\) : je trace un trait vertical depuis \(x=2\)
jusqu’à la courbe, puis je lis l’ordonnée sur l’axe vertical. Ici, on lit \(f(2)=4\). -
Pour trouver les antécédents de \(4\) : je trace un trait horizontal d’équation \(y=4\).
Il coupe la courbe en deux points (P et Q). Je redescends verticalement sur l’axe des abscisses :
je lis \(x=0\) et \(x=2\).
Conclusion : l’image de \(2\) est \(4\), et \(4\) a deux antécédents : \(0\) et \(2\).
Méthode 2 : Lire image et antécédent dans un tableau de valeurs
Le tableau de valeurs est un outil très pratique. Il regroupe les coordonnées de certains points de la courbe sans que tu aies besoin de tracer le graphique ou de faire des calculs compliqués.
Comment lire un tableau ?
En général, tu verras deux lignes (ou deux colonnes) :
- La première ligne contient les valeurs de \(x\) (ce sont les antécédents).
- La seconde ligne contient les valeurs de \(f(x)\) (ce sont les images).
Prenons un exemple concret avec la fonction \(f\) :
| \(x\) (Antécédents) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) (Images) | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Trouver une image (Ligne du haut → Ligne du bas)
Si on te demande l’image de 1, la méthode est directe :
- Repère le nombre 1 dans la première ligne (celle des \(x\)).
- Regarde simplement le nombre situé juste en dessous.
Ici, sous le 1, tu lis 2. On écrit donc : \(f(1) = 2\).
Trouver un antécédent (Ligne du bas → Ligne du haut)
Si on te demande les antécédents de 5, fais le chemin inverse :
- Regarde la deuxième ligne (celle des résultats \(f(x)\)).
- Repère toutes les cases où le nombre 5 apparaît.
- Remonte juste au-dessus pour lire les valeurs de \(x\) correspondantes.
Dans notre tableau, le 5 apparaît deux fois ! Au-dessus, tu trouves -2 et 2.
Conclusion : 5 possède deux antécédents, qui sont -2 et 2.
Attention, le tableau est incomplet !
N’oublie pas qu’un tableau de valeurs ne te donne qu’un échantillon de points. Il est très utile pour avoir des valeurs exactes rapidement, mais il ne te dit pas ce qui se passe entre deux nombres (par exemple entre 2 et 3). Pour cela, il faudra utiliser l’expression algébrique ou la courbe complète.
Méthode 3 : Calculer une image et un antécédent
Si l’on dispose de l’expression algébrique de la fonction (sa formule), on peut déterminer ces valeurs par le calcul. C’est plus précis que la lecture graphique.
Calculer une image (Remplacer x)
C’est le calcul le plus simple. Si l’on cherche l’image d’un nombre, cela signifie que \(x\) est connu. Il suffit de remplacer \(x\) par sa valeur dans la formule.
Soit la fonction affine définie par \(f(x) = 2x + 3\). Calculons l’image de 4 : \(f(4) = 2 \times 4 + 3\) \(f(4) = 8 + 3\) \(f(4) = 11\) L’image de 4 par la fonction f est 11.
Calculer un antécédent (Résoudre une équation)
C’est souvent là que les élèves bloquent. Chercher l’antécédent de 11, c’est chercher le nombre \(x\) de départ tel que le résultat soit 11. Cela revient à résoudre une équation.
Notez bien qu’un antécédent n’existe que si la solution appartient à l’ensemble de définition de la fonction.
Soit toujours \(f(x) = 2x + 3\). Cherchons l’antécédent de 5. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 5\). \(2x + 3 = 5\) \(2x = 5 – 3\) \(2x = 2\) \(x = \frac{2}{2} = 1\) L’antécédent de 5 par la fonction f est 1.
Résumé et tableau comparatif
Pour réussir vos exercices, gardez ce tableau en tête. Il résume les différences fondamentales entre ces deux notions.
| Énoncé typique | Ce qu’on cherche | Comment faire (au choix selon la donnée) |
|---|---|---|
| « Calculer l’image de \(a\) » | \(f(a)\) | Remplacer \(x\) par \(a\) dans l’expression, ou lire sur un tableau/graphique |
| « Trouver un antécédent de \(b\) » | Une solution de \(f(x)=b\) | Résoudre l’équation, ou lire une abscisse d’intersection avec la droite \(y=b\) |
| « Trouver les antécédents de \(b\) » | Toutes les solutions de \(f(x)=b\) | Résoudre et garder toutes les solutions, ou lire toutes les intersections avec \(y=b\) |
Exercices corrigés (Type Brevet et Seconde)
Voici quelques exercices types pour vérifier que vous maîtrisez la méthode. Pour aller plus loin, consultez nos exercices sur les fonctions niveau 3ème.
Exercice 1 : Lecture graphique
Sur le graphique ci-dessous, la courbe d’une fonction \(g\) passe par le point \(A(2 ; -4)\).
- Quelle est l’image de 2 ?
- 2 est-il un antécédent de -4 ?
Voir la correction
Dans un couple de coordonnées \((x ; y)\), la première valeur est l’abscisse (antécédent) et la seconde est l’ordonnée (image).
Puisque la courbe passe par \((2 ; -4)\), cela signifie que \(g(2) = -4\).
L’image de 2 est -4.
Oui, réciproquement, si l’image de 2 est -4, cela signifie que 2 est bien un antécédent de -4.
Exercice 2 : Calcul (Fonction affine)
Soit la fonction \(h(x) = -3x + 2\). Déterminer algébriquement l’antécédent de -7.
Voir la correction
On cherche le nombre \(x\) tel que l’image soit -7. On résout l’équation : \(h(x) = -7\) \(-3x + 2 = -7\) \(-3x = -7 – 2\) \(-3x = -9\) \(x = \frac{-9}{-3}\) \(x = 3\) L’antécédent de -7 est 3.
Exercice 3 : Calcul (Fonction carré)
Soit \(f(x) = x^2\) (c’est la fonction carré). Trouver les antécédents de 9.
Voir la correction
On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 9\). \(x^2 = 9\) Attention au piège ! Il y a deux nombres dont le carré vaut 9. Les solutions sont \(x = 3\) et \(x = -3\). Le nombre 9 possède deux antécédents : 3 et -3.
Questions fréquentes (FAQ)
Quel est l'antécédent de x ?
Attention, la question est mal posée ! On ne cherche pas l’antécédent de \(x\), mais l’antécédent d’un nombre précis (une valeur \(y\)). Si l’on vous demande « Exprimer l’antécédent en fonction de \(x\)« , cela revient à chercher la fonction réciproque, ce qui est une notion plus avancée. Au collège et en Seconde, on vous demandera toujours l’antécédent d’un nombre connu (exemple : « Quel est l’antécédent de 5 ? »).
Peut-on avoir plusieurs images pour un même nombre ?
Non, jamais. C’est la définition même d’une fonction. Si vous entrez un nombre dans la machine, elle ne peut pas sortir deux résultats différents à la fois. Si sur un graphique, vous voyez deux points alignés verticalement pour une même abscisse, ce n’est pas la courbe d’une fonction.
Peut-on avoir plusieurs antécédents ?
Oui, tout à fait. Comme vu dans l’exercice 3, plusieurs nombres différents peuvent donner le même résultat. Une fonction constante, par exemple, donne le même résultat pour une infinité d’antécédents. Il est aussi possible qu’un nombre n’ait aucun antécédent (si la ligne horizontale ne coupe jamais la courbe).
📚 Pour aller plus loin sur les fonctions
Maintenant que tu maîtrises les notions d’image et d’antécédent, découvre les autres pages essentielles de notre cocon Fonctions :
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