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Les coefficients d’une équation cartésienne cachent un vecteur perpendiculaire à la droite ou au plan : c’est le vecteur normal. Étudié en Première pour les droites du plan, puis en Terminale pour les plans de l’espace, il est au cœur de la géométrie analytique. Tu trouveras ici : définition, théorèmes avec démonstration, comparaison avec le vecteur directeur, méthode pas à pas et 6 exercices corrigés. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Qu’est-ce qu’un vecteur normal ? Définition et notation
A. Vecteur normal à une droite dans le plan 🟢 Première
En Première, tu travailles avec des droites dans un plan muni d’un repère orthonormé. Le vecteur normal est le vecteur perpendiculaire à cette droite.
Définition — Vecteur normal à une droite
Soit \(D\) une droite du plan. Un vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal à \(D\) si \(\vec{n}\) est non nul et orthogonal à tout vecteur directeur de \(D\).
Autrement dit : \(\vec{n}\) est normal à \(D\) si et seulement si \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\), où \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \(D\).
Exemple : La droite \(D\) d’équation \(2x + 3y – 6 = 0\) admet \(\vec{n}(2\,;\,3)\) comme vecteur normal et \(\vec{u}(-3\,;\,2)\) comme vecteur directeur.
Vérification : \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0\) ✓
Le vecteur normal n’est pas unique. Si \(\vec{n}\) est un vecteur normal à \(D\), alors tout vecteur \(k\vec{n}\) (avec \(k \neq 0\)) est aussi un vecteur normal à \(D\). Par exemple, \(\vec{n}(2\,;\,3)\) et \(\vec{n’}(4\,;\,6)\) sont tous les deux normaux à la même droite.
B. Vecteur normal à un plan dans l’espace 🟡 Terminale
En Terminale, la notion s’étend naturellement à l’espace. Un plan est un objet en deux dimensions plongé dans l’espace à trois dimensions ; le vecteur normal pointe dans la direction « perpendiculaire au plan ».
Définition — Vecteur normal à un plan
Soit \(\mathcal{P}\) un plan de l’espace. Un vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\) si \(\vec{n}\) est non nul et orthogonal à tout vecteur contenu dans \(\mathcal{P}\).
En pratique, il suffit de vérifier que \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Exemple : Le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(2x – y + 3z – 6 = 0\) admet \(\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,3)\) comme vecteur normal.
C. Pourquoi dit-on « normal » ?
Le mot normal vient du latin normalis, qui signifie « selon l’équerre », c’est-à-dire perpendiculaire. En mathématiques, « normal » est donc synonyme d’orthogonal.
Attention : ne confonds pas le vecteur normal (un vecteur perpendiculaire à la droite ou au plan) avec la norme d’un vecteur (sa longueur). Les deux mots partagent la même racine latine, mais désignent des notions complètement différentes.
Maintenant que tu sais ce qu’est un vecteur normal, voyons le lien fondamental qui le relie à l’équation cartésienne.
II. Vecteur normal et équation cartésienne
Le résultat central de ce chapitre est que les coefficients de l’équation cartésienne sont exactement les coordonnées du vecteur normal. C’est cette propriété qui rend le vecteur normal si utile.
A. Théorème — Droite dans le plan 🟢 Première
Théorème — Équation cartésienne d’une droite et vecteur normal
Soit \(D\) une droite du plan.
- Si \(D\) a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) (avec \((a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)\)), alors \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est un vecteur normal à \(D\).
- Réciproquement, si \(D\) admet \(\vec{n}(a\,;\,b)\) comme vecteur normal et passe par \(A(x_0\,;\,y_0)\), alors \(D\) a pour équation :
\(a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0\)
Lecture immédiate : dans l’équation \(ax + by + c = 0\), les coefficients devant \(x\) et \(y\) te donnent directement les coordonnées du vecteur normal. Pas de calcul supplémentaire.
B. Démonstration (au programme)
Cette démonstration repose sur la caractérisation de l’orthogonalité par le produit scalaire.
Sens direct : soit \(D\) une droite passant par \(A(x_0\,;\,y_0)\) et admettant \(\vec{n}(a\,;\,b)\) comme vecteur normal.
Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \(D\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec{n}\) :
\(M \in D \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\)
Or \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \((x – x_0\,;\,y – y_0)\), donc :
\(a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0\)
En développant : \(ax + by + \underbrace{(-ax_0 – by_0)}_{= c} = 0\), ce qui donne bien une équation de la forme \(ax + by + c = 0\).
Sens réciproque : si \(D : ax + by + c = 0\), prenons deux points \(M_1(x_1\,;\,y_1)\) et \(M_2(x_2\,;\,y_2)\) sur \(D\). On a \(ax_1 + by_1 + c = 0\) et \(ax_2 + by_2 + c = 0\). En soustrayant :
\(a(x_2 – x_1) + b(y_2 – y_1) = 0\)
Cela signifie exactement que \(\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \vec{n}(a\,;\,b) = 0\). Donc \(\vec{n}(a\,;\,b) \perp \overrightarrow{M_1M_2}\) pour tout couple de points de \(D\), ce qui prouve que \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est normal à \(D\). ∎
Exemple — Écrire l’équation cartésienne d’une droite
Soit \(D\) la droite passant par \(A(1\,;\,2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3\,;\,-1)\).
D’après le théorème : \(3(x – 1) + (-1)(y – 2) = 0\)
En développant : \(3x – 3 – y + 2 = 0\), soit \(3x – y – 1 = 0\).
Vérification : \(3 \times 1 – 2 – 1 = 0\) ✓ Le point \(A\) vérifie bien l’équation.
Fiche de révision — Vecteur normal
Définitions, théorèmes, passage vecteur directeur ↔ vecteur normal et méthode pour le plan : tout le cours résumé en une page.
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C. Théorème — Plan dans l’espace 🟡 Terminale
Le principe est le même en dimension 3 : les coefficients de l’équation du plan donnent les coordonnées du vecteur normal.
Théorème — Équation cartésienne d’un plan et vecteur normal
Soit \(\mathcal{P}\) un plan de l’espace.
- Si \(\mathcal{P}\) a pour équation \(ax + by + cz + d = 0\) (avec \((a\,;\,b\,;\,c) \neq (0\,;\,0\,;\,0)\)), alors \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
- Réciproquement, si \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) et \(A(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0) \in \mathcal{P}\), alors :
\(a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0\)
Exemple : Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par \(A(2\,;\,0\,;\,1)\) de vecteur normal \(\vec{n}(1\,;\,-3\,;\,2)\).
Équation : \(1(x – 2) + (-3)(y – 0) + 2(z – 1) = 0\)
Soit : \(x – 3y + 2z – 4 = 0\).
Vérification : \(2 – 0 + 2 – 4 = 0\) ✓
Tu sais désormais lire un vecteur normal dans une équation cartésienne et, réciproquement, écrire l’équation à partir du vecteur normal. Mais comment le distinguer du vecteur directeur ?
III. Vecteur normal et vecteur directeur — Comparaison
La confusion entre vecteur normal et vecteur directeur est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre. Cette section t’explique comment passer de l’un à l’autre et ne plus jamais les confondre.
A. Du vecteur directeur au vecteur normal (et inversement)
Pour une droite du plan, le passage est simple : il suffit d’échanger les coordonnées et de changer un signe. Géométriquement, cela correspond à une rotation de 90°.
Propriété — Passage vecteur directeur ↔ vecteur normal (droite du plan)
- Si \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\) est un vecteur directeur de \(D\), alors \(\vec{n}(-\beta\,;\,\alpha)\) est un vecteur normal à \(D\).
- Si \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est un vecteur normal à \(D\), alors \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur de \(D\).
Justification : \(\vec{u} \cdot \vec{n} = \alpha \times (-\beta) + \beta \times \alpha = 0\) ✓
Exemple : La droite \(D\) admet \(\vec{u}(2\,;\,-5)\) comme vecteur directeur.
Un vecteur normal est : \(\vec{n}(-(-5)\,;\,2) = \vec{n}(5\,;\,2)\).
Vérification : \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \times 5 + (-5) \times 2 = 10 – 10 = 0\) ✓
Attention : cette astuce ne fonctionne que pour les droites du plan (en 2D). Pour un plan de l’espace (en 3D), le passage d’un vecteur du plan au vecteur normal nécessite une méthode différente (voir la section IV.B).
B. Tableau comparatif
| Vecteur normal \(\vec{n}\) | Vecteur directeur \(\vec{u}\) | |
|---|---|---|
| Direction | Perpendiculaire à la droite (ou au plan) | Parallèle à la droite |
| Lecture dans \(ax + by + c = 0\) | \(\vec{n}(a\,;\,b)\) | \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) |
| Unique ? | Non : tout \(k\vec{n}\) (\(k \neq 0\)) convient | Non : tout \(k\vec{u}\) (\(k \neq 0\)) convient |
| Relation entre les deux | \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) | \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) |
| Passage (droite du plan) | \(\vec{n}(a\,;\,b) \to \vec{u}(-b\,;\,a)\) | \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta) \to \vec{n}(-\beta\,;\,\alpha)\) |
| Pour un plan de l’espace | Existe : 1 direction unique (à \(k\) près) | Pas unique : une infinité de directions dans le plan |
Tu sais maintenant distinguer vecteur normal et vecteur directeur. Passons à la mise en pratique : comment déterminer un vecteur normal selon les données de l’exercice ?
IV. Méthode — Comment trouver un vecteur normal
A. Trouver un vecteur normal à une droite 🟢 Première
Selon les données de l’énoncé, trois situations se présentent :
Situation 1 — L’équation cartésienne est donnée
C’est le cas le plus simple. Si \(D : ax + by + c = 0\), lis directement les coefficients : \(\vec{n}(a\,;\,b)\).
Situation 2 — Un vecteur directeur est donné
Si \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\) est un vecteur directeur de \(D\), applique le passage : \(\vec{n}(-\beta\,;\,\alpha)\).
Situation 3 — Deux points de la droite sont donnés
- Calcule le vecteur directeur : \(\overrightarrow{AB}(x_B – x_A\,;\,y_B – y_A)\).
- Applique le passage : \(\vec{n}(-(y_B – y_A)\,;\,x_B – x_A)\).
Exemple (situation 3) : Soit \(D\) passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,-1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3\,;\,-4)\) est un vecteur directeur.
Donc \(\vec{n}(-(-4)\,;\,3) = \vec{n}(4\,;\,3)\) est un vecteur normal.
Équation de \(D\) : \(4(x – 1) + 3(y – 3) = 0\), soit \(4x + 3y – 13 = 0\).
B. Trouver un vecteur normal à un plan 🟡 Terminale
Situation 1 — L’équation cartésienne est donnée
Si \(\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0\), lis les coefficients : \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\).
Situation 2 — Trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés sont donnés
C’est la situation classique au bac. Voici la méthode en 4 étapes :
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Poser \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) et écrire le système :
\(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = 0\)
- Résoudre le système (2 équations, 3 inconnues → exprimer \(a\) et \(b\) en fonction de \(c\)).
- Choisir une valeur simple de \(c\) pour obtenir des coordonnées entières.
Exemple — Trouver un vecteur normal à un plan défini par 3 points
Soit \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,-1\,;\,3)\).
Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(1\,;\,-1\,;\,1)\).
Étape 2 : On pose \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\). Le système est :
\(2a + b – 2c = 0 \quad (1)\)
\(a – b + c = 0 \quad (2)\)
Étape 3 : De \((2)\) : \(a = b – c\). En substituant dans \((1)\) :
\(2(b – c) + b – 2c = 0\), soit \(3b – 4c = 0\), donc \(b = \displaystyle\frac{4c}{3}\).
Étape 4 : On choisit \(c = 3\) : \(b = 4\) et \(a = 4 – 3 = 1\).
Donc \(\vec{n}(1\,;\,4\,;\,3)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
Vérification : \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 + 4 – 6 = 0\) ✓ et \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 – 4 + 3 = 0\) ✓
Au brouillon : la vérification finale est indispensable. Elle ne prend que quelques secondes et te garantit l’absence d’erreur de calcul. Au bac, c’est un point de présentation facile à gagner.
V. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Lire un vecteur normal
Soit \(D\) la droite d’équation \(3x – 5y + 7 = 0\).
- Donner un vecteur normal à \(D\).
- En déduire un vecteur directeur de \(D\).
Voir la correction
1. L’équation est de la forme \(ax + by + c = 0\) avec \(a = 3\) et \(b = -5\).
Donc \(\vec{n}(3\,;\,-5)\) est un vecteur normal à \(D\).
2. En appliquant le passage : \(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(5\,;\,3)\) est un vecteur directeur de \(D\).
Vérification : \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \times 5 + (-5) \times 3 = 0\) ✓
Exercice 2 ★ — Écrire une équation cartésienne
La droite \(D\) passe par \(A(2\,;\,-1)\) et admet \(\vec{n}(4\,;\,3)\) comme vecteur normal. Déterminer une équation cartésienne de \(D\).
Voir la correction
D’après le théorème, \(D\) a pour équation :
\(4(x – 2) + 3(y – (-1)) = 0\) \(4x – 8 + 3y + 3 = 0\) \(4x + 3y – 5 = 0\)Vérification avec \(A(2\,;\,-1)\) : \(4 \times 2 + 3 \times (-1) – 5 = 8 – 3 – 5 = 0\) ✓
Exercice 3 ★★ — Du vecteur directeur à l’équation cartésienne
La droite \(D\) passe par \(A(1\,;\,3)\) et admet \(\vec{u}(2\,;\,-5)\) comme vecteur directeur.
- Déterminer un vecteur normal à \(D\).
- En déduire une équation cartésienne de \(D\).
Voir la correction
1. \(\vec{u}(2\,;\,-5)\) est un vecteur directeur, donc \(\vec{n}(-(-5)\,;\,2) = \vec{n}(5\,;\,2)\) est un vecteur normal.
2. Équation : \(5(x – 1) + 2(y – 3) = 0\), soit \(5x + 2y – 11 = 0\).
Vérification : \(5 \times 1 + 2 \times 3 – 11 = 5 + 6 – 11 = 0\) ✓
Exercice 4 ★★ — Plan dans l’espace 🟡 Terminale
Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(2x – y + 3z – 6 = 0\).
- Donner un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
- Vérifier que le point \(A(3\,;\,0\,;\,0)\) appartient à \(\mathcal{P}\).
- Le point \(B(1\,;\,2\,;\,1)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ?
Voir la correction
1. D’après le théorème, \(\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,3)\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
2. On vérifie : \(2 \times 3 – 0 + 3 \times 0 – 6 = 6 – 6 = 0\) ✓ Donc \(A \in \mathcal{P}\).
3. On vérifie : \(2 \times 1 – 2 + 3 \times 1 – 6 = 2 – 2 + 3 – 6 = -3 \neq 0\). Donc \(B \notin \mathcal{P}\).
Exercice 5 ★★ — Écrire l’équation d’un plan 🟡 Terminale
Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(1\,;\,-2\,;\,3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,1\,;\,-4)\).
Voir la correction
D’après le théorème :
\(2(x – 1) + 1(y – (-2)) + (-4)(z – 3) = 0\) \(2x – 2 + y + 2 – 4z + 12 = 0\) \(2x + y – 4z + 12 = 0\)Vérification avec \(A\) : \(2 \times 1 + (-2) – 4 \times 3 + 12 = 2 – 2 – 12 + 12 = 0\) ✓
Exercice 6 ★★★ — Type bac : trouver un vecteur normal à un plan 🟡 Terminale
On se place dans un repère orthonormé de l’espace. Soient \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,-1\,;\,3)\).
- Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Vérifier que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
- Montrer que \(\vec{n}(1\,;\,4\,;\,3)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
- En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Voir la correction
1. \(\overrightarrow{AB}(3 – 1\,;\,1 – 0\,;\,0 – 2) = \overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-2)\)
\(\overrightarrow{AC}(2 – 1\,;\,-1 – 0\,;\,3 – 2) = \overrightarrow{AC}(1\,;\,-1\,;\,1)\)2. S’ils étaient colinéaires, il existerait \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\). La première coordonnée donne \(k = 2\), mais la deuxième donne \(k = -1\). Contradiction : les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) définissent bien un plan.
3. On calcule les produits scalaires :
\(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + 4 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 + 4 – 6 = 0\) ✓
\(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times 1 + 4 \times (-1) + 3 \times 1 = 1 – 4 + 3 = 0\) ✓
Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((ABC)\), donc \(\vec{n}(1\,;\,4\,;\,3)\) est bien un vecteur normal à \((ABC)\).
4. Le plan passe par \(A(1\,;\,0\,;\,2)\) avec \(\vec{n}(1\,;\,4\,;\,3)\) :
\(1(x – 1) + 4(y – 0) + 3(z – 2) = 0\) \(x + 4y + 3z – 7 = 0\)Vérification avec \(B(3\,;\,1\,;\,0)\) : \(3 + 4 + 0 – 7 = 0\) ✓
Vérification avec \(C(2\,;\,-1\,;\,3)\) : \(2 – 4 + 9 – 7 = 0\) ✓
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — Confondre vecteur normal et vecteur directeur
❌ « La droite \(D : 3x – 5y + 7 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(3\,;\,-5)\). »
Diagnostic : l’élève a lu les coefficients de l’équation, mais les a attribués au mauvais vecteur. Le vecteur \((3\,;\,-5)\) est le vecteur normal, pas directeur.
✅ \(\vec{n}(3\,;\,-5)\) est normal à \(D\). Le vecteur directeur est \(\vec{u}(5\,;\,3)\).
Piège n°2 — Erreur de signe dans la rotation
❌ « \(\vec{u}(2\,;\,-5)\) directeur, donc \(\vec{n}(-2\,;\,5)\) normal. »
Diagnostic : l’élève a simplement changé les deux signes (il a calculé \(-\vec{u}\)). Or \(-\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{u}\), donc toujours directeur, pas normal !
✅ Il faut échanger les coordonnées et changer un seul signe : \(\vec{n}(5\,;\,2)\).
Piège n°3 — En 3D : une seule orthogonalité ne suffit pas
❌ « \(\vec{n}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{AB}\), donc \(\vec{n}\) est normal au plan \((ABC)\). »
Diagnostic : un vecteur peut être perpendiculaire à une direction du plan sans être perpendiculaire à toutes les directions du plan.
✅ Il faut vérifier l’orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan : \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) et \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Piège n°4 — Dire « LE » vecteur normal
❌ « LE vecteur normal de \(D\) est \(\vec{n}(2\,;\,3)\). »
Diagnostic : le vecteur normal n’est pas unique. Tout multiple non nul \(k\vec{n}\) est aussi un vecteur normal.
✅ « UN vecteur normal à \(D\) est \(\vec{n}(2\,;\,3)\). »
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un vecteur normal ?
Un vecteur normal à une droite (ou à un plan) est un vecteur non nul perpendiculaire à cette droite (ou à ce plan). Pour une droite d’équation \(ax + by + c = 0\), le vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est un vecteur normal. Pour un plan d’équation \(ax + by + cz + d = 0\), le vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal.
Quelle est la différence entre un vecteur normal et un vecteur directeur ?
Le vecteur directeur est parallèle à la droite : il indique sa direction. Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite. Pour une droite \(ax + by + c = 0\) : le vecteur normal est \(\vec{n}(a\,;\,b)\) et le vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;\,a)\). Les deux sont liés par la relation \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\).
Comment trouver un vecteur normal à un plan défini par 3 points ?
Calcule les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Pose \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) et résous le système \(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0\) et \(\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = 0\). Ce système a deux équations pour trois inconnues : exprime \(a\) et \(b\) en fonction de \(c\), puis choisis \(c\) pour obtenir des coordonnées entières.
Pourquoi dit-on vecteur normal ?
Le mot normal vient du latin normalis, signifiant « selon l’équerre ». En géométrie, normal est un synonyme de perpendiculaire. Le vecteur normal porte donc ce nom parce qu’il est orthogonal à la droite ou au plan considéré.
Le vecteur normal est-il unique ?
Non. Si \(\vec{n}\) est un vecteur normal à une droite ou à un plan, alors tout vecteur \(k\vec{n}\) (avec \(k \neq 0\)) est aussi un vecteur normal. La direction du vecteur normal est unique (à orientation près), mais le vecteur lui-même ne l’est pas.
Comment justifier qu'un vecteur est normal à un plan ?
Il faut montrer que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. En pratique, calcule le produit scalaire du vecteur avec \(\overrightarrow{AB}\) et avec \(\overrightarrow{AC}\) (où \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points du plan non alignés) et vérifie que les deux produits scalaires valent \(0\).
Qu'est-ce qu'un vecteur normal unitaire ?
Un vecteur normal unitaire est un vecteur normal dont la norme vaut \(1\). Si \(\vec{n}\) est un vecteur normal, le vecteur normal unitaire est \(\displaystyle\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\). Il sert notamment en physique pour exprimer la direction perpendiculaire à une surface.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le vecteur normal dans le plan et dans l’espace. Pour approfondir les notions liées, voici les prochaines étapes :
- Compléter avec le vecteur directeur : Vecteur directeur d’une droite — définition, méthode, équation cartésienne
- Approfondir la géométrie dans l’espace : Vecteurs dans l’espace — cours et exercices (Terminale)
- Maîtriser le produit scalaire (outil central pour les orthogonalités) : Le produit scalaire
- Revoir les coordonnées d’un vecteur : Coordonnées d’un vecteur — formules et calcul
- S’entraîner sur tout le chapitre : Exercices corrigés sur les vecteurs
- Revenir au cours complet : Les vecteurs en maths — cours complet du lycée
