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Chaque vecteur possède une grandeur : sa norme. C’est le nombre qui mesure sa longueur. Tu en as besoin pour calculer des distances, vérifier qu’un triangle est rectangle ou normaliser un vecteur. Ici : définition rigoureuse, formule avec démonstration par Pythagore, méthode en 4 étapes et 6 exercices corrigés — de la Seconde à la prépa. Ce chapitre fait partie du cours complet sur les vecteurs. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Définition — Qu’est-ce que la norme d’un vecteur ?
A. Définition formelle et notation
Définition — Norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur \(\vec{u}\), notée \(\|\vec{u}\|\), est la longueur commune à tous les représentants de ce vecteur.
C’est un nombre réel positif ou nul : \(\|\vec{u}\| \geq 0\).
Deux propriétés fondamentales découlent de cette définition :
- Positivité : pour tout vecteur \(\vec{u}\), on a \(\|\vec{u}\| \geq 0\).
- Séparation : \(\|\vec{u}\| = 0\) si et seulement si \(\vec{u} = \vec{0}\) (le vecteur nul).
Autrement dit, le seul vecteur dont la norme est nulle est le vecteur nul. Tout vecteur non nul a une norme strictement positive.
Notation à retenir : on écrit \(\|\vec{u}\|\) avec des doubles barres verticales. Ne confonds pas avec la valeur absolue \(|a|\) d’un nombre (simples barres). Si le vecteur est défini par deux points \(A\) et \(B\), on écrit indifféremment \(\|\overrightarrow{AB}\|\) ou \(AB\).
B. Interprétation géométrique — Norme et longueur
Géométriquement, la norme de \(\vec{u}\) est la longueur du segment qui représente le vecteur. Si tu traces un représentant \(\overrightarrow{AB}\) du vecteur \(\vec{u}\), alors :
\(\|\vec{u}\| = \|\overrightarrow{AB}\| = AB\)
La norme est donc l’opération qui transforme un objet géométrique (le vecteur) en un nombre (sa longueur). C’est cette mesure qui te permet de comparer des vecteurs « en taille » et de calculer des distances à partir de coordonnées.
C. La norme en mathématiques : un concept plus large
Au lycée, le mot « norme » désigne toujours la longueur d’un vecteur dans un repère orthonormé. C’est la seule norme que tu rencontreras au bac.
Mais en mathématiques, la notion est plus générale : une norme est n’importe quelle fonction qui mesure la « taille » d’un objet et qui vérifie certaines règles (positivité, homogénéité, inégalité triangulaire). La formule \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) est un cas particulier appelé norme euclidienne (ou norme 2). En classe préparatoire, tu découvriras d’autres normes qui mesurent la taille différemment (voir la section Pour aller plus loin).
II. Formule de la norme et démonstration
Maintenant que tu sais ce qu’est la norme, voyons comment la calculer à partir des coordonnées d’un vecteur.
A. Formule dans le plan (Seconde / Première)
Formule — Norme d’un vecteur dans le plan
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})\) :
- Si le vecteur \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\), alors :
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :
\(\|\overrightarrow{AB}\| = AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Condition indispensable : cette formule n’est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité sur chaque axe). Dans un repère quelconque, elle donne un résultat faux !
B. Démonstration par le théorème de Pythagore
Cette formule n’est pas « tombée du ciel ». Elle se démontre grâce au théorème de Pythagore, et cette démonstration est au programme.
Démonstration au programme — Cliquer pour déplier
On se place dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})\). Soit \(\vec{u}\) un vecteur de coordonnées \((x\,;\,y)\).
On note \(M\) le point tel que \(\overrightarrow{OM} = \vec{u}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur l’axe des abscisses. Alors \(H\) a pour coordonnées \((x\,;\,0)\).
Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\), car le repère est orthonormé (l’axe des abscisses est perpendiculaire à l’axe des ordonnées).
D’après le théorème de Pythagore :
\(OM^2 = OH^2 + HM^2\)
Or :
- \(OH = |x|\), donc \(OH^2 = x^2\) ;
- \(HM = |y|\), donc \(HM^2 = y^2\) ;
- \(OM = \|\vec{u}\|\).
On obtient donc :
\(\|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2\)
Comme la norme est positive ou nulle, on en déduit :
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ∎
L’idée à retenir : la formule de la norme, c’est Pythagore appliqué aux composantes du vecteur. Le vecteur est l’hypoténuse du triangle rectangle, et ses coordonnées \(x\) et \(y\) sont les deux côtés de l’angle droit.
C. Norme et distance entre deux points
Puisque \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\), la formule de la norme fournit directement la formule de la distance entre deux points :
Distance entre deux points
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) sont deux points du plan, alors :
\(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Exemple : Soit \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\). Calculons la distance \(AB\).
\(AB = \sqrt{(4 – 1)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
On retrouve le triplet pythagoricien \((3\,;\,4\,;\,5)\) — ce n’est pas un hasard, c’est encore Pythagore qui est à l’œuvre.
Bonne nouvelle : l’ordre des points ne change rien ! Puisque \((x_B – x_A)^2 = (x_A – x_B)^2\) (le carré absorbe le signe), tu obtiens le même résultat que tu calcules \(\|\overrightarrow{AB}\|\) ou \(\|\overrightarrow{BA}\|\). Tu ne peux pas te tromper sur l’ordre de la soustraction.
D. 🟡 Extension Terminale — Formule dans l’espace
En Terminale spé maths, tu travailles avec des vecteurs dans l’espace. La formule se prolonge naturellement en trois dimensions :
Formule — Norme dans l’espace (Terminale spé)
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\), si \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y\,;\,z)\), alors :
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
L’idée est la même qu’en 2D : on applique le théorème de Pythagore deux fois. D’abord dans le plan \((x\,;\,y)\) pour obtenir la diagonale de base \(\sqrt{x^2 + y^2}\), puis dans le « plan vertical » avec la troisième coordonnée \(z\), ce qui donne \(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Exemple : Soit \(\vec{w}\) de coordonnées \((1\,;\,2\,;\,-2)\) dans l’espace.
\(\|\vec{w}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
Voici un tableau récapitulatif de toutes les formules :
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Vecteur \(\vec{u}(x\,;\,y)\) dans le plan | \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) | Repère orthonormé du plan |
| Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) entre deux points | \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\) | Repère orthonormé du plan |
| Vecteur \(\vec{u}(x\,;\,y\,;\,z)\) dans l’espace 🟡 | \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) | Repère orthonormé de l’espace |
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Toutes les formules (plan + espace), la méthode en 4 étapes et les pièges à éviter — sur une seule page imprimable.
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III. Méthode — Calculer la norme d’un vecteur en 4 étapes
Tu connais la formule. Il te faut maintenant une méthode systématique pour l’appliquer sans erreur, à chaque fois.
A. Les 4 étapes du calcul
Méthode — Calculer la norme d’un vecteur
- Identifier les coordonnées du vecteur. Si on te donne deux points \(A\) et \(B\), commence par calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B – x_A\,;\,y_B – y_A)\).
- Élever chaque coordonnée au carré. Attention aux signes : \((-3)^2 = 9\), pas \(-9\).
- Additionner les carrés obtenus.
- Prendre la racine carrée de la somme. Simplifier si possible.
B. Exemples résolus progressifs
Exemple 1 🟢 Seconde : Soit \(\vec{u}\) de coordonnées \((3\,;\,-4)\). Calcule \(\|\vec{u}\|\).
- Coordonnées : \(x = 3\), \(y = -4\).
- Carrés : \(3^2 = 9\) et \((-4)^2 = 16\).
- Somme : \(9 + 16 = 25\).
- Racine : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5\).
Exemple 2 🟢 Première : Soit \(A(-2\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,5)\). Calcule \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
- Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((1 – (-2)\,;\,5 – 1) = (3\,;\,4)\).
- Carrés : \(3^2 = 9\) et \(4^2 = 16\).
- Somme : \(9 + 16 = 25\).
- Racine : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{25} = 5\).
Exemple 3 🟡 Terminale : Soit \(\vec{v}\) de coordonnées \((2\,;\,-1\,;\,2)\) dans l’espace. Calcule \(\|\vec{v}\|\).
- Coordonnées : \(x = 2\), \(y = -1\), \(z = 2\).
- Carrés : \(4 + 1 + 4 = 9\).
- Racine : \(\|\vec{v}\| = \sqrt{9} = 3\).
IV. Propriétés de la norme
Au-delà du calcul, la norme possède des propriétés importantes que tu rencontreras régulièrement en exercice et qui se prolongent en Première avec le produit scalaire.
A. Vecteur unitaire et normalisation
Définition — Vecteur unitaire
Un vecteur \(\vec{u}\) est dit unitaire si sa norme vaut \(1\) : \(\|\vec{u}\| = 1\).
Les vecteurs de base \(\vec{i}(1\,;\,0)\) et \(\vec{j}(0\,;\,1)\) d’un repère orthonormé sont unitaires : \(\|\vec{i}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1\).
À partir de n’importe quel vecteur non nul \(\vec{u}\), tu peux fabriquer un vecteur unitaire de même direction et même sens. L’opération s’appelle normaliser le vecteur :
Normalisation d’un vecteur
Si \(\vec{u} \neq \vec{0}\), le vecteur :
\(\vec{u_0} = \displaystyle\frac{1}{\|\vec{u}\|}\,\vec{u}\)
est unitaire, de même direction et même sens que \(\vec{u}\).
Exemple : Normalise le vecteur \(\vec{v}(3\,;\,4)\).
On a \(\|\vec{v}\| = \sqrt{9 + 16} = 5\), donc :
\(\vec{v_0} = \displaystyle\frac{1}{5}\,\vec{v} = \left(\displaystyle\frac{3}{5}\,;\,\displaystyle\frac{4}{5}\right)\)
Vérification : \(\|\vec{v_0}\| = \sqrt{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25} + \displaystyle\frac{16}{25}} = \sqrt{\displaystyle\frac{25}{25}} = 1\) ✓
B. Inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire relie la norme d’une somme de vecteurs aux normes de chaque vecteur. Elle tire son nom de la géométrie du triangle et intervient dans de nombreuses démonstrations liées à l’addition de vecteurs.
Inégalité triangulaire
Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :
\(\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\)
Cas d’égalité : \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de même sens (ou si l’un des deux est nul).
Interprétation géométrique : le trajet direct (de \(O\) à \(B\), norme de \(\vec{u}+\vec{v}\)) est toujours plus court ou égal au trajet en passant par un point intermédiaire (norme de \(\vec{u}\) + norme de \(\vec{v}\)). C’est comme dans la vie quotidienne : le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite.
C. 🟢 Norme et produit scalaire (Première)
En Première, tu apprendras une propriété fondamentale qui relie la norme au produit scalaire :
\(\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}\)
Autrement dit, le carré de la norme d’un vecteur est égal au produit scalaire de ce vecteur avec lui-même. Cette relation est le pont entre la « longueur » (norme) et le « calcul d’angles » (produit scalaire) — deux notions centrales de la géométrie analytique.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Avant de passer aux exercices, passons en revue les erreurs que font la plupart des élèves. Les connaître, c’est les éviter.
Piège n°1 — Oublier la racine carrée
❌ Copie fautive : « \(\|\vec{u}\| = 3^2 + 4^2 = 25\) »
📌 Diagnostic : l’élève calcule \(x^2 + y^2\) mais oublie de prendre la racine carrée. Il a trouvé \(\|\vec{u}\|^2\), pas \(\|\vec{u}\|\).
✅ Correction : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
Piège n°2 — Confondre norme et valeur absolue
La norme \(\|\vec{u}\|\) s’applique à un vecteur (objet géométrique). La valeur absolue \(|a|\) s’applique à un nombre réel. Les deux utilisent des barres verticales, mais ce sont des opérations différentes. Retiens : doubles barres \(\|\ \|\) = norme (vecteur), simples barres \(|\ |\) = valeur absolue (nombre).
Piège n°3 — Utiliser la formule dans un repère non orthonormé
❌ Copie fautive : « Le repère est \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\) avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non perpendiculaires. J’applique \(\|\vec{w}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\). »
📌 Diagnostic : la formule \(\sqrt{x^2 + y^2}\) suppose un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, il faut d’abord exprimer le vecteur dans un repère orthonormé, ou utiliser le produit scalaire.
✅ Réflexe : avant d’appliquer la formule, vérifie toujours que le repère est orthonormé. C’est le cas dans 95 % des exercices du lycée, mais l’énoncé doit le préciser.
Piège n°4 — Erreur de signe dans les coordonnées
❌ Copie fautive : « \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_A – x_B\,;\,y_A – y_B)\) »
📌 Diagnostic : les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont \((x_B – x_A\,;\, y_B – y_A)\) — point d’arrivée moins point de départ.
✅ Bonne nouvelle : même si tu inverses l’ordre, la norme ne change pas ! En effet, \((x_A – x_B)^2 = (x_B – x_A)^2\). Mais attention, cette erreur fausserait d’autres calculs (par exemple le vecteur directeur d’une droite).
VI. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Mets en pratique ce que tu as appris. Les exercices sont classés par difficulté croissante. Essaie chaque exercice avant de déplier la correction. Pour t’entraîner davantage, consulte nos exercices sur les vecteurs en Seconde.
Exercice 1 — Calculer une norme (★)
Soit \(\vec{u}\) le vecteur de coordonnées \((6\,;\,-8)\) dans un repère orthonormé. Calcule \(\|\vec{u}\|\).
Voir la correction
On applique la formule :
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
La norme du vecteur \(\vec{u}\) est \(\|\vec{u}\| = 10\).
Exercice 2 — Norme d’un vecteur défini par deux points (★)
Soit \(A(2\,;\,-1)\) et \(B(-1\,;\,3)\). Calcule la distance \(AB\).
Voir la correction
Étape 1 : coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) :
\(\overrightarrow{AB}\left(-1 – 2\,;\,3 – (-1)\right) = \overrightarrow{AB}(-3\,;\,4)\)
Étape 2 : norme :
\(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Exercice 3 — Trouver un paramètre (★★)
Soit \(\vec{v}\) le vecteur de coordonnées \((k\,;\,2k)\) où \(k\) est un réel. Détermine toutes les valeurs de \(k\) telles que \(\|\vec{v}\| = 5\).
Voir la correction
On écrit la condition \(\|\vec{v}\| = 5\) :
\(\sqrt{k^2 + (2k)^2} = 5\)
On simplifie sous la racine :
\(\sqrt{k^2 + 4k^2} = 5 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{5k^2} = 5\)
On élève au carré les deux membres (les deux sont positifs) :
\(5k^2 = 25 \quad\Longleftrightarrow\quad k^2 = 5 \quad\Longleftrightarrow\quad k = \sqrt{5} \text{ ou } k = -\sqrt{5}\)
Il y a deux solutions : \(k = \sqrt{5}\) et \(k = -\sqrt{5}\).
Exercice 4 — Normaliser un vecteur (★★)
Soit \(\vec{w}(1\,;\,-\sqrt{3})\). Détermine le vecteur unitaire \(\vec{w_0}\) de même direction et même sens que \(\vec{w}\), puis vérifie que \(\|\vec{w_0}\| = 1\).
Voir la correction
Calcul de la norme :
\(\|\vec{w}\| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\)
Normalisation :
\(\vec{w_0} = \displaystyle\frac{1}{\|\vec{w}\|}\,\vec{w} = \displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{w} = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\,;\,-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Vérification :
\(\|\vec{w_0}\| = \sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1\) ✓
Exercice 5 — Triangle isocèle (★★★)
Soit \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,1)\) et \(C(1\,;\,3)\). Montre que le triangle \(ABC\) est isocèle. Précise en quel sommet.
Voir la correction
On calcule les trois longueurs :
\(AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\)
\(AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\)
\(BC = \sqrt{(1 – 3)^2 + (3 – 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
On constate que \(AB = AC = \sqrt{10}\).
Conclusion : le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) car \(AB = AC\).
Remarque : on peut aussi vérifier si le triangle est rectangle. On a \(AB^2 + AC^2 = 10 + 10 = 20\) et \(BC^2 = 8\). Comme \(AB^2 + AC^2 \neq BC^2\), le triangle n’est pas rectangle.
Exercice 6 🟡 — Norme dans l’espace (★★★)
Soit \(\vec{w}\) le vecteur de coordonnées \((2\,;\,3\,;\,t)\) dans un repère orthonormé de l’espace, où \(t\) est un réel. Détermine toutes les valeurs de \(t\) telles que \(\|\vec{w}\| = 7\).
Voir la correction
On écrit la condition \(\|\vec{w}\| = 7\) :
\(\sqrt{2^2 + 3^2 + t^2} = 7\)
On élève au carré :
\(4 + 9 + t^2 = 49 \quad\Longleftrightarrow\quad 13 + t^2 = 49 \quad\Longleftrightarrow\quad t^2 = 36\)
Donc \(t = 6\) ou \(t = -6\).
Vérification avec \(t = 6\) : \(\|\vec{w}\| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\) ✓
VII. Questions fréquentes
Comment calculer la norme d'un vecteur ?
Dans un repère orthonormé, si le vecteur \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\), sa norme se calcule en 4 étapes : (1) relever les coordonnées, (2) élever chaque coordonnée au carré, (3) additionner les carrés, (4) prendre la racine carrée. La formule est \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Quelle est la norme du vecteur AB ?
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est égale à la distance entre les points \(A\) et \(B\). Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\). Le repère doit être orthonormé.
Comment s'écrit la norme d'un vecteur ?
La norme s’écrit avec des doubles barres verticales : \(\|\vec{u}\|\) pour un vecteur \(\vec{u}\), ou \(\|\overrightarrow{AB}\|\) pour un vecteur défini par deux points. On peut aussi écrire simplement \(AB\) (la distance) à la place de \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
Quelle est la différence entre norme et valeur absolue ?
La norme s’applique à un vecteur (objet géométrique à deux ou trois composantes) et se note \(\|\vec{u}\|\) avec des doubles barres. La valeur absolue s’applique à un nombre réel et se note \(|a|\) avec des simples barres. En dimension 1, la norme d’un vecteur de coordonnée \(a\) est \(\sqrt{a^2} = |a|\) : les deux coïncident. Mais en dimension 2 ou plus, la norme fait intervenir la racine de la somme des carrés de toutes les coordonnées.
La norme d'un vecteur peut-elle être négative ?
Non, jamais. Par définition, la norme est un nombre réel positif ou nul : \(\|\vec{u}\| \geq 0\). La seule situation où la norme vaut 0 est quand le vecteur est le vecteur nul \(\vec{0}\).
Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme vaut exactement \(1\). Pour obtenir un vecteur unitaire à partir d’un vecteur non nul \(\vec{u}\), on le divise par sa norme : \(\vec{u_0} = \displaystyle\frac{1}{\|\vec{u}\|}\,\vec{u}\). Cette opération s’appelle la normalisation.
Quelle est la différence entre la norme 1 et la norme 2 d'un vecteur ?
Au lycée, tu n’utilises que la norme 2 (norme euclidienne) : \(\|\vec{u}\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2}\). La norme 1 est une autre manière de mesurer la taille, définie par \(\|\vec{u}\|_1 = |x| + |y|\) (somme des valeurs absolues). Elle intervient en classe préparatoire et en analyse numérique. La norme 2 mesure la « distance à vol d’oiseau », la norme 1 mesure la « distance en marchant le long des rues d’une ville » (distance de Manhattan).
VIII. Pour aller plus loin
A. 🔴 Les normes en classe préparatoire
En CPGE (MPSI, PCSI, MP…), la norme euclidienne n’est qu’un cas particulier d’une construction plus vaste : les espaces normés.
Sur \(\mathbb{R}^n\), on définit une famille de normes paramétrée par \(p \geq 1\) :
\(\|\vec{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p\right)^{1/p}\)
- Norme 1 : \(\|\vec{x}\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|\)
- Norme 2 (euclidienne) : \(\|\vec{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}\) — c’est celle du lycée.
- Norme infinie : \(\|\vec{x}\|_\infty = \max(|x_1|,\,|x_2|,\,\ldots,\,|x_n|)\)
Un résultat fondamental (théorème d’équivalence des normes) affirme qu’en dimension finie, toutes ces normes sont équivalentes : elles définissent les mêmes ouverts, les mêmes suites convergentes et les mêmes fonctions continues. Ce résultat tombe en dimension infinie — et c’est là que commence l’analyse fonctionnelle. Pour approfondir, consulte notre cours sur les espaces vectoriels en prépa.
B. Ressources complémentaires
Tu maîtrises maintenant la norme d’un vecteur. Pour continuer :
- Coordonnées d’un vecteur : formules et calcul — la base pour appliquer la formule de la norme.
- Vecteurs colinéaires : définition et méthode — un autre critère important, lié au déterminant.
- Addition de vecteurs et relation de Chasles — pour comprendre l’inégalité triangulaire.
- Vecteurs dans l’espace (Terminale spé) — la norme en 3D et la géométrie de l’espace.
- Vecteur normal à une droite et à un plan — pour les applications en Première et Terminale.
- Produit scalaire — la suite naturelle de la norme, au programme de Première.
- Exercices corrigés sur les vecteurs (Seconde) — pour t’entraîner encore.
