Rang d’une matrice : définition, méthodes de calcul et exercices corrigés

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Le rang d’une matrice mesure la « dimension de l’information utile » qu’elle contient : c’est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes. Omniprésent en algèbre linéaire — systèmes, inversibilité, diagonalisation — le rang intervient dans la quasi-totalité des sujets de concours. Ce cours couvre définition formelle, propriétés essentielles (dont le théorème du rang ⋆), trois méthodes de calcul avec arbre décisionnel, et huit exercices corrigés de difficulté croissante.

I. Définition du rang d’une matrice

A. Rang par les colonnes

L’idée fondamentale est simple : le rang compte le nombre de colonnes « véritablement indépendantes » dans la matrice. Formellement :

Le rang est donc un entier naturel compris entre \(0\) et \(\min(n, p)\). Intuitivement, plus le rang est élevé, plus la matrice « porte d’information ».

B. Rang des lignes et rang des colonnes

On pourrait tout aussi bien définir le rang en regardant les lignes de \(A\). Le résultat fondamental suivant affirme que les deux approches coïncident :

Démonstration (idée de preuve)

La preuve repose sur l’échelonnement de Gauss. Les opérations élémentaires sur les lignes reviennent à multiplier \(A\) à gauche par des matrices inversibles. Or, pour \(P\) inversible, \(\mathrm{rg}(PA) = \mathrm{rg}(A)\) (les colonnes de \(PA\) engendrent le même sous-espace que celles de \(A\) après changement de base dans l’espace d’arrivée).

En forme échelonnée \(E = PA\), le nombre de pivots est à la fois :

• le nombre de lignes non nulles (= rang des lignes de \(E\), et donc de \(A\) car les opérations élémentaires préservent l’espace des lignes),
• le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes (= rang des colonnes de \(E\), et donc de \(A\) par invariance). ∎

Ce résultat est commode : on peut calculer le rang en travaillant indifféremment sur les lignes ou les colonnes, selon ce qui simplifie les calculs.

C. Rang et application linéaire

Le rang a une interprétation naturelle en termes d’applications linéaires. À toute matrice \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) on associe l’application linéaire \(f_A : \mathbb{K}^p \to \mathbb{K}^n\) définie par \(f_A(X) = AX\).

Cette interprétation est fondamentale : elle relie le rang d’une matrice au noyau de l’application linéaire associée, via le théorème du rang (section II.B).

D. Exemples fondamentaux

Avant d’aller plus loin, ancrons la définition sur des cas classiques :

Ces fondations étant posées, examinons les propriétés du rang — à commencer par le théorème du rang, l’un des résultats les plus puissants du programme.

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II. Propriétés et théorèmes

A. Propriétés élémentaires

Le tableau suivant rassemble les propriétés du rang que tu dois connaître sans hésitation. La plupart se déduisent directement de la définition comme dimension de l’espace des colonnes.

La propriété d’inversibilité est fondamentale : pour une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on a l’équivalence :

\(A \text{ inversible} \iff \mathrm{rg}(A) = n \iff \det(A) \neq 0\)

Le rang fournit donc un critère d’inversibilité alternatif au déterminant, souvent plus pratique pour les matrices de grande taille.

B. Le théorème du rang ⋆

C’est le résultat central de cette page, et l’un des théorèmes les plus utilisés en algèbre linéaire. Sa démonstration est exigible aux concours.

Démonstration ⋆. Posons \(r = \dim(\ker f)\). Soit \((e_1, \ldots, e_r)\) une base de \(\ker f\). Par le théorème de la base incomplète, on la complète en une base \((e_1, \ldots, e_r, e_{r+1}, \ldots, e_n)\) de \(E\).

Affirmons que \((f(e_{r+1}), \ldots, f(e_n))\) est une base de \(\mathrm{Im}\, f\).

Famille génératrice. Soit \(y \in \mathrm{Im}\, f\). Il existe \(x = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i \in E\) tel que \(y = f(x)\). Par linéarité :

\(y = \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \lambda_i \underbrace{f(e_i)}_{= 0} + \sum_{i=r+1}^{n} \lambda_i f(e_i) = \sum_{i=r+1}^{n} \lambda_i f(e_i)\)

Donc \(y \in \mathrm{Vect}(f(e_{r+1}), \ldots, f(e_n))\).

Famille libre. Supposons \(\displaystyle\sum_{i=r+1}^{n} \mu_i f(e_i) = 0\). Par linéarité, \(f\!\left(\displaystyle\sum_{i=r+1}^{n} \mu_i e_i\right) = 0\), donc \(\displaystyle\sum_{i=r+1}^{n} \mu_i e_i \in \ker f\).

Il existe donc \(\alpha_1, \ldots, \alpha_r\) tels que \(\displaystyle\sum_{i=r+1}^{n} \mu_i e_i = \sum_{j=1}^{r} \alpha_j e_j\), soit :

\(-\alpha_1 e_1 – \cdots – \alpha_r e_r + \mu_{r+1} e_{r+1} + \cdots + \mu_n e_n = 0\)

Puisque \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(E\), tous les coefficients sont nuls. En particulier \(\mu_{r+1} = \cdots = \mu_n = 0\).

Conclusion. La famille \((f(e_{r+1}), \ldots, f(e_n))\) est une base de \(\mathrm{Im}\, f\), de cardinal \(n – r\). Donc :

\(\mathrm{rg}(f) = n – r = \dim E – \dim(\ker f) \) ∎

C. Rang et opérations sur les matrices

Comment le rang se comporte-t-il vis-à-vis du produit et de la somme ? Les inégalités suivantes sont indispensables.

Preuve. L’image de \(AB\) comme application linéaire est \(\mathrm{Im}(f_A \circ f_B)\). Or \(\mathrm{Im}(f_A \circ f_B) \subset \mathrm{Im}(f_A)\), d’où \(\mathrm{rg}(AB) \leq \mathrm{rg}(A)\). De plus, \(\mathrm{Im}(f_A \circ f_B) = f_A(\mathrm{Im}\, f_B)\) est un sous-espace de dimension au plus \(\dim(\mathrm{Im}\, f_B) = \mathrm{rg}(B)\), d’où \(\mathrm{rg}(AB) \leq \mathrm{rg}(B)\). ∎

Preuve. \(\mathrm{Im}(A + B) \subset \mathrm{Im}(A) + \mathrm{Im}(B)\), donc \(\mathrm{rg}(A + B) \leq \dim(\mathrm{Im}(A) + \mathrm{Im}(B)) \leq \dim(\mathrm{Im}(A)) + \dim(\mathrm{Im}(B))\). ∎

D. L’inégalité de Sylvester

Cette inégalité, moins connue mais redoutablement efficace en concours, minore le rang d’un produit :

Démonstration

Considérons la restriction de l’application linéaire \(f_A : \mathbb{K}^p \to \mathbb{K}^n\) au sous-espace \(\mathrm{Im}(f_B) \subset \mathbb{K}^p\). L’image de cette restriction est exactement \(f_A(\mathrm{Im}\, f_B) = \mathrm{Im}(f_A \circ f_B) = \mathrm{Im}(AB)\).

Son noyau est \(\mathrm{Im}(f_B) \cap \ker f_A\). Par le théorème du rang appliqué à cette restriction :

\(\dim(\mathrm{Im}\, f_B) = \dim(\mathrm{Im}(f_B) \cap \ker f_A) + \mathrm{rg}(AB)\)

Soit \(\mathrm{rg}(AB) = \mathrm{rg}(B) – \dim(\mathrm{Im}(f_B) \cap \ker f_A)\). Or \(\mathrm{Im}(f_B) \cap \ker f_A \subset \ker f_A\), donc :

\(\mathrm{rg}(AB) \geq \mathrm{rg}(B) – \dim(\ker f_A) = \mathrm{rg}(B) – (p – \mathrm{rg}(A)) = \mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(B) – p \) ∎

Ces propriétés étant posées, la question naturelle est : comment calculer concrètement le rang d’une matrice ?

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III. Trois méthodes pour calculer le rang

A. Méthode 1 — Échelonnement de Gauss

C’est la méthode universelle, celle à utiliser par défaut. Le principe : transformer la matrice en forme échelonnée par opérations élémentaires sur les lignes, puis compter les pivots.

B. Méthode 2 — Mineurs non nuls

Un mineur d’ordre \(k\) de \(A\) est le déterminant d’une sous-matrice carrée \(k \times k\) extraite de \(A\). Le rang est lié aux mineurs par le résultat suivant :

Cette méthode est particulièrement adaptée aux matrices dépendant d’un paramètre de petite taille : on annule le déterminant pour trouver les valeurs du paramètre où le rang chute.

C. Méthode 3 — Le théorème du rang

Si tu connais le noyau de l’application linéaire associée, le théorème du rang donne directement le rang sans calcul matriciel :

\(\mathrm{rg}(f) = \dim E – \dim(\ker f)\)

D. Arbre décisionnel : quelle méthode choisir ?

Face à un exercice demandant de calculer un rang, voici l’arbre de décision à suivre :

Le rang est aussi un outil fondamental pour l’étude des systèmes d’équations linéaires. Voyons comment.

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IV. Rang et systèmes linéaires

A. Compatibilité d’un système

Considérons un système linéaire \(AX = B\) avec \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\). On note \((A \mid B)\) la matrice augmentée obtenue en ajoutant la colonne \(B\) à \(A\).

Intuitivement : le système a une solution si et seulement si \(B\) est déjà dans l’espace engendré par les colonnes de \(A\) (c’est-à-dire \(B \in \mathrm{Im}(f_A)\)).

B. Dimension de l’espace des solutions

Lorsque le système est compatible, le théorème du rang donne immédiatement la « taille » de l’ensemble des solutions :

Cette formule synthétise l’essentiel de la théorie des systèmes linéaires : le nombre de « paramètres libres » dans la solution est \(p – \mathrm{rg}(A)\), ce qui correspond à la dimension du noyau de \(A\).

Place maintenant à la pratique avec huit exercices de difficulté croissante.

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V. Exercices corrigés

Les exercices suivants couvrent les trois méthodes de calcul et les propriétés fondamentales du rang. Chaque correction est détaillée pas à pas.

Exercice 1 ★ — Rang par échelonnement de Gauss

Calculer le rang de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 7 \\ 3 & 7 & -1 & 10 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{R})\).

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On échelonne par opérations élémentaires sur les lignes.

\(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 – 3L_1\) :

\(A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)

\(L_3 \leftarrow L_3 – L_2\) :

\(A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

La forme échelonnée possède 2 pivots, donc \(\mathrm{rg}(A) = 2\).

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Exercice 2 ★ — Application directe du théorème du rang

Soit \(f : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3\) une application linéaire telle que \(\dim(\ker f) = 3\). Déterminer \(\mathrm{rg}(f)\). L’application \(f\) est-elle surjective ?

Voir la correction

Par le théorème du rang : \(\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathbb{R}^5) – \dim(\ker f) = 5 – 3 = 2\).

Pour la surjectivité : \(f\) est surjective si et seulement si \(\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3\). Or \(\mathrm{rg}(f) = 2 \neq 3\), donc \(f\) n’est pas surjective.

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Exercice 3 ★★ — Rang dépendant d’un paramètre

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Déterminer le rang de \(A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}\) en fonction de \(a\).

Voir la correction

Méthode des mineurs. On calcule le déterminant :

\(\det(A(a)) = 1(1 – a) – 1(0 – 1) + 0 = 1 – a + 1 = 2 – a\)

Discussion :

• Si \(a \neq 2\) : \(\det(A(a)) = 2 – a \neq 0\), donc \(\mathrm{rg}(A(a)) = 3\).
• Si \(a = 2\) : \(\det(A(2)) = 0\), donc \(\mathrm{rg}(A(2)) \leq 2\). On vérifie \(\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \neq 0\), donc \(\mathrm{rg}(A(2)) = 2\).

Conclusion : \(\mathrm{rg}(A(a)) = \begin{cases} 3 & \text{si } a \neq 2 \\ 2 & \text{si } a = 2 \end{cases}\)

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Exercice 4 ★★ — Produit nul et rang

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB = 0\). Montrer que \(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(B) \leq n\).

Voir la correction

\(AB = 0\) signifie \(f_A \circ f_B = 0\), donc \(\mathrm{Im}(f_B) \subset \ker(f_A)\).

En passant aux dimensions : \(\mathrm{rg}(B) = \dim(\mathrm{Im}\, f_B) \leq \dim(\ker f_A)\).

Or, par le théorème du rang : \(\dim(\ker f_A) = n – \mathrm{rg}(A)\).

D’où \(\mathrm{rg}(B) \leq n – \mathrm{rg}(A)\), soit \(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(B) \leq n\). ∎

Remarque : ce résultat est aussi un corollaire immédiat de l’inégalité de Sylvester appliquée au produit \(AB = 0\) : \(0 = \mathrm{rg}(AB) \geq \mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(B) – n\).

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Exercice 5 ★★★ — Caractérisation des matrices de rang 1

Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) non nulle. Montrer que \(\mathrm{rg}(A) = 1\) si et seulement s’il existe \(X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) et \(Y \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\) non nuls tels que \(A = X \cdot {}^t\!Y\).

Voir la correction

Sens \(\Leftarrow\) : Si \(A = X \cdot {}^t\!Y\) avec \(X \neq 0\) et \(Y \neq 0\), la \(j\)-ème colonne de \(A\) est \(y_j X\) (où \(y_j\) est la \(j\)-ème composante de \(Y\)). Toutes les colonnes sont proportionnelles à \(X \neq 0\), donc \(\mathrm{Vect}(\text{colonnes}) = \mathrm{Vect}(X)\), et \(\mathrm{rg}(A) = 1\).

Sens \(\Rightarrow\) : Si \(\mathrm{rg}(A) = 1\), l’espace des colonnes est de dimension \(1\). Soit \(C_j\) une colonne non nulle de \(A\) : posons \(X = C_j\). Chaque colonne \(C_i\) de \(A\) vérifie \(C_i \in \mathrm{Vect}(X)\), donc \(C_i = \lambda_i X\) pour un certain scalaire \(\lambda_i\).

Posons \(Y = (\lambda_1, \ldots, \lambda_p)^T \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\). Alors la \(i\)-ème colonne de \(X \cdot {}^t\!Y\) est \(\lambda_i X = C_i\), donc \(A = X \cdot {}^t\!Y\). Et \(Y \neq 0\) car \(A \neq 0\). ∎

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Exercice 6 ★★★ — Système linéaire et rang

Discuter selon les valeurs de \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R}\) l’existence et l’unicité des solutions du système :

\(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + az = b \end{cases}\)

Voir la correction

On échelonne la matrice augmentée \((A \mid B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & a & b \end{pmatrix}\).

\(L_2 \leftarrow L_2 – L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 – 2L_1\) :

\((A \mid B) \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & a – 2 & b – 2 \end{pmatrix}\)

\(L_3 \leftarrow L_3 – L_2\) :

\((A \mid B) \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & a – 4 & b – 3 \end{pmatrix}\)

Discussion :

• Si \(a \neq 4\) : \(\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A \mid B) = 3\) (quel que soit \(b\)). Le système est de Cramer : solution unique.
• Si \(a = 4\) et \(b = 3\) : \(\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A \mid B) = 2\). Le système est compatible, et la dimension de l’espace des solutions est \(3 – 2 = 1\) : infinité de solutions dépendant d’un paramètre.
• Si \(a = 4\) et \(b \neq 3\) : \(\mathrm{rg}(A) = 2\) mais \(\mathrm{rg}(A \mid B) = 3\). Le système est incompatible (aucune solution).

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Exercice 7 ★★★★ — Matrice idempotente (type concours)

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(A^2 = A\) (matrice idempotente).

1. Montrer que \(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(I_n – A) = n\).
2. En déduire que les seules valeurs propres possibles de \(A\) sont \(0\) et \(1\).
3. Montrer que \(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{rg}(A)\).

Voir la correction

1. On a \(A^2 = A\), donc \(A(I_n – A) = A – A^2 = 0\). Par l’exercice 4, on en déduit :

\(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(I_n – A) \leq n \qquad (\star)\)

Par ailleurs, la sous-additivité du rang donne \(n = \mathrm{rg}(I_n) = \mathrm{rg}(A + (I_n – A)) \leq \mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(I_n – A)\), soit :

\(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(I_n – A) \geq n \qquad (\star\star)\)

De \((\star)\) et \((\star\star)\) : \(\mathrm{rg}(A) + \mathrm{rg}(I_n – A) = n\). ∎

2. Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), associée à un vecteur propre \(v \neq 0\) : \(Av = \lambda v\). Alors \(A^2 v = A(\lambda v) = \lambda^2 v\). Puisque \(A^2 = A\), on a \(\lambda v = \lambda^2 v\), soit \((\lambda^2 – \lambda)v = 0\). Comme \(v \neq 0\), \(\lambda(\lambda – 1) = 0\), donc \(\lambda \in \{0, 1\}\). ∎

3. Le polynôme minimal de \(A\) divise \(X^2 – X = X(X – 1)\), qui est scindé à racines simples. Donc \(A\) est diagonalisable. Il existe \(P\) inversible telle que :

\(A = P\,\mathrm{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{r}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n – r})\,P^{-1}\)

avec \(r = \mathrm{rg}(A)\) (dimension de l’espace propre associé à \(1\)). La trace est invariante par similitude, donc :

\(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(\mathrm{diag}(1, \ldots, 1, 0, \ldots, 0)) = r = \mathrm{rg}(A) \) ∎

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Exercice 8 ★★★★ — Rang des itérés (type concours)

Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) avec \(\dim E = n\).

1. Montrer que pour tout \(k \geq 0\), \(\ker(f^k) \subset \ker(f^{k+1})\).
2. En déduire que la suite \(\bigl(\mathrm{rg}(f^k)\bigr)_{k \geq 0}\) est décroissante.
3. Montrer qu’il existe \(N \leq n\) tel que pour tout \(k \geq N\), \(\mathrm{rg}(f^k) = \mathrm{rg}(f^N)\).

Voir la correction

1. Soit \(x \in \ker(f^k)\), c’est-à-dire \(f^k(x) = 0\). Alors \(f^{k+1}(x) = f(f^k(x)) = f(0) = 0\), donc \(x \in \ker(f^{k+1})\). D’où \(\ker(f^k) \subset \ker(f^{k+1})\). ∎

2. Par la question 1, \(\dim(\ker f^k) \leq \dim(\ker f^{k+1})\). Par le théorème du rang :

\(\mathrm{rg}(f^{k+1}) = n – \dim(\ker f^{k+1}) \leq n – \dim(\ker f^k) = \mathrm{rg}(f^k)\)

La suite \(\bigl(\mathrm{rg}(f^k)\bigr)_{k}\) est donc décroissante. ∎

3. La suite \(\bigl(\mathrm{rg}(f^k)\bigr)_{k}\) est une suite d’entiers naturels décroissante (minorée par \(0\)). Elle est donc stationnaire : il existe un rang \(N\) tel que pour tout \(k \geq N\), \(\mathrm{rg}(f^k) = \mathrm{rg}(f^N)\).

De plus, si la suite décroît strictement à chaque étape, elle diminue d’au moins \(1\) à chaque itération. Puisqu’elle part de \(\mathrm{rg}(f^0) = \mathrm{rg}(\mathrm{Id}) = n\) et est minorée par \(0\), elle stationne en au plus \(n\) étapes, donc \(N \leq n\). ∎

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les quatre erreurs les plus courantes sur le rang, avec copie fautive commentée et correction.

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la notion de rang : définition, propriétés, méthodes de calcul et applications aux systèmes linéaires. Pour approfondir, explore les pages suivantes du cocon algèbre linéaire :

• Matrice inversible — le lien entre rang maximal, déterminant non nul et inversibilité
• Factorisation de Gauss — l’outil fondamental pour le calcul du rang
• Noyau d’une matrice — la face cachée du théorème du rang
• Matrice d’une application linéaire — rang et image d’une application linéaire
• Déterminant d’une matrice — le critère de rang maximal via le déterminant
• Diagonalisation — le rang apparaît dans l’étude du spectre et de la diagonalisabilité
• Exercices corrigés sur les matrices — 15+ exercices transversaux pour s’entraîner davantage

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