Les vecteurs, c’est l’un des chapitres qui rapportent le plus de points au contrôle… à condition de s’entraîner sur de vrais exercices. Voici 15 exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde, classés par difficulté croissante : du calcul direct des coordonnées jusqu’aux problèmes type DS combinant colinéarité, parallélogramme et alignement. Chaque exercice est corrigé pas à pas, comme si ton professeur te guidait. Et pour réviser au calme avant ton évaluation, tu peux télécharger l’intégralité en PDF.
Rappel express des formules essentielles
Avant de te lancer, garde ces quatre formules sous les yeux. Elles suffisent pour résoudre la quasi-totalité des exercices de vecteurs en Seconde.
| Notion | Formule | À quoi ça sert |
|---|---|---|
| Coordonnées de \(\vec{AB}\) | \((x_B – x_A \,;\, y_B – y_A)\) | Passer des points aux vecteurs |
| Norme de \(\vec{u}(x\,;\,y)\) | \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) | Longueur d’un vecteur |
| Colinéarité de \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x’\,;\,y’)\) | \(x y’ – x’ y = 0\) | Alignement, parallélisme |
| Relation de Chasles | \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) | Additionner des vecteurs |
Les 15 exercices + corrigés détaillés en un seul PDF
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À retenir : deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées. C’est ce qui permet de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme : il suffit de montrer que \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Exercices d’application directe (★)
On commence en douceur : ces six exercices te font manipuler les formules une par une. Si tu les réussis, les bases sont solides.
Exercice 1 — Coordonnées d’un vecteur ★
Dans un repère, on donne \(A(2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\). Détermine les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\).
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On applique la formule \(\vec{AB}(x_B – x_A \,;\, y_B – y_A)\) :
\(\vec{AB}(5 – 2 \,;\, 7 – 3) = \vec{AB}(3 \,;\, 4)\).
Réponse : \(\vec{AB}(3 \,;\, 4)\).
Exercice 2 — Relation de Chasles ★
Simplifie les expressions suivantes :
a) \(\vec{AB} + \vec{BC}\) b) \(\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ}\) c) \(\vec{EF} + \vec{FE}\)
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a) Les lettres « se suivent » (…B puis B…), on applique Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
b) On enchaîne : \(\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}\).
c) \(\vec{EF} + \vec{FE} = \vec{EE} = \vec{0}\) (on revient au point de départ).
Exercice 3 — Reconnaître des vecteurs égaux ★
Sur le quadrillage ci-dessous, trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont tracés. \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((3\,;\,2)\), \(\vec{v}\) a pour coordonnées \((3\,;\,2)\) et \(\vec{w}\) a pour coordonnées \((-3\,;\,2)\). Lesquels sont égaux ? Lesquels sont opposés ?
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\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont les mêmes coordonnées \((3\,;\,2)\) : ils sont égaux, même si leurs origines sont différentes.
\(\vec{w}(-3\,;\,2)\) n’est ni égal ni opposé à \(\vec{u}\) : l’opposé de \(\vec{u}\) serait \((-3\,;\,-2)\). Aucun des trois n’est opposé ici.
Exercice 4 — Norme d’un vecteur ★
Calcule la norme des vecteurs \(\vec{u}(3\,;\,4)\) et \(\vec{v}(-5\,;\,12)\).
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\(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
Pense à bien mettre les coordonnées au carré : le signe « moins » disparaît. Pour aller plus loin, vois la méthode complète sur le calcul de la norme.
Exercice 5 — Coordonnées d’une somme ★
On donne \(\vec{u}(2\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-1\,;\,5)\). Calcule les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\), de \(2\vec{u}\) et de \(\vec{u} – \vec{v}\).
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On additionne (ou soustrait) coordonnée par coordonnée :
\(\vec{u} + \vec{v}\,(2 + (-1) \,;\, -3 + 5) = (1 \,;\, 2)\).
\(2\vec{u}\,(2 \times 2 \,;\, 2 \times (-3)) = (4 \,;\, -6)\).
\(\vec{u} – \vec{v}\,(2 – (-1) \,;\, -3 – 5) = (3 \,;\, -8)\).
Exercice 6 — Construction de vecteurs ★
On a tracé un vecteur \(\vec{u}\) dans le plan. Construis à partir d’un même point \(O\) les vecteurs \(3\vec{u}\), \(-2\vec{u}\) et \(\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}\). Que peux-tu dire de leurs directions ?
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\(3\vec{u}\) : trois fois plus long que \(\vec{u}\), même sens.
\(-2\vec{u}\) : deux fois plus long, sens opposé.
\(\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}\) : deux fois plus court, même sens.
Tous ces vecteurs ont la même direction que \(\vec{u}\) : ils lui sont colinéaires.
Exercices d’approfondissement (★★)
Maintenant qu’on additionne et qu’on calcule des normes sans hésiter, on combine plusieurs notions. C’est exactement ce que ton professeur attend en deuxième partie de contrôle.
Exercice 7 — Tester la colinéarité ★★
Les vecteurs \(\vec{u}(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}(-6\,;\,4)\) sont-ils colinéaires ? Et \(\vec{u}\) et \(\vec{w}(2\,;\,5)\) ?
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On calcule le déterminant \(xy’ – x’y\).
Pour \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \(3 \times 4 – (-6) \times (-2) = 12 – 12 = 0\). Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Pour \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) : \(3 \times 5 – 2 \times (-2) = 15 + 4 = 19 \neq 0\). Ils ne sont pas colinéaires.
La méthode détaillée est expliquée sur la page colinéarité.
Exercice 8 — Alignement de trois points ★★
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(7\,;\,11)\). Démontre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
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Trois points sont alignés lorsque les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
\(\vec{AB}(3 – 1 \,;\, 5 – 2) = (2 \,;\, 3)\) et \(\vec{AC}(7 – 1 \,;\, 11 – 2) = (6 \,;\, 9)\).
Déterminant : \(2 \times 9 – 6 \times 3 = 18 – 18 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Exercice 9 — Montrer un parallélogramme ★★
On donne \(A(-1\,;\,0)\), \(B(2\,;\,1)\), \(C(3\,;\,4)\) et \(D(0\,;\,3)\). Démontre que \(ABCD\) est un parallélogramme.
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\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
\(\vec{AB}(2 – (-1) \,;\, 1 – 0) = (3 \,;\, 1)\).
\(\vec{DC}(3 – 0 \,;\, 4 – 3) = (3 \,;\, 1)\).
Les deux vecteurs sont égaux, donc \(ABCD\) est bien un parallélogramme.
Attention à l’ordre des lettres ! Pour le parallélogramme \(ABCD\), le bon critère est \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (et non \(\vec{AB} = \vec{CD}\)). On tourne autour du quadrilatère : A→B et D→C vont « dans le même sens ».
Exercice 10 — Coordonnées d’un milieu ★★
On donne \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,1)\). Détermine les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\), puis vérifie que \(\vec{AI} = \vec{IB}\).
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Coordonnées du milieu : \(I\left(\displaystyle\frac{-2 + 4}{2} \,;\, \displaystyle\frac{3 + 1}{2}\right) = I(1 \,;\, 2)\).
Vérification : \(\vec{AI}(1 – (-2) \,;\, 2 – 3) = (3 \,;\, -1)\) et \(\vec{IB}(4 – 1 \,;\, 1 – 2) = (3 \,;\, -1)\).
On a bien \(\vec{AI} = \vec{IB}\) : \(I\) est le milieu de \([AB]\).
Exercice 11 — Décomposer avec Chasles ★★
\(ABCD\) est un parallélogramme. Exprime, à l’aide de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) uniquement, les vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{BD}\).
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Avec Chasles : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Or dans le parallélogramme, \(\vec{BC} = \vec{AD}\). Donc \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\).
De même : \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AD} – \vec{AB}\).
Exercice 12 — Retrouver un point inconnu ★★
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\) et \(C(0\,;\,-1)\). Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
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D’abord \(\vec{AB}(4 – 1 \,;\, 3 – 2) = (3 \,;\, 1)\).
On note \(D(x \,;\, y)\), alors \(\vec{CD}(x – 0 \,;\, y – (-1)) = (x \,;\, y + 1)\).
L’égalité \(\vec{AB} = \vec{CD}\) donne : \(x = 3\) et \(y + 1 = 1\), soit \(y = 0\).
Réponse : \(D(3 \,;\, 0)\). Pour t’entraîner davantage, vois le calcul des coordonnées.
Tu sens que la mécanique est bien rodée ? On passe aux problèmes complets, ceux qui font la différence le jour du DS. Petite astuce : nos élèves de Seconde gagnent en moyenne 3 points en quelques semaines avec un suivi régulier.
Exercices de synthèse — type DS (★★★)
Ces trois problèmes ressemblent aux exercices de fin de contrôle : plusieurs questions s’enchaînent et chaque réponse sert à la suivante. Prends ton temps et rédige proprement.
Exercice 13 — Problème complet parallélogramme ★★★
Dans un repère, on donne \(A(-2\,;\,1)\), \(B(2\,;\,3)\) et \(C(4\,;\,-1)\).
a) Calcule les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
b) Détermine le point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
c) Calcule les coordonnées du milieu de \([AC]\) et du milieu de \([BD]\). Que remarques-tu ?
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a) \(\vec{AB}(2 – (-2) \,;\, 3 – 1) = (4 \,;\, 2)\) et \(\vec{AC}(4 – (-2) \,;\, -1 – 1) = (6 \,;\, -2)\).
b) \(ABCD\) parallélogramme signifie \(\vec{AB} = \vec{DC}\). On note \(D(x \,;\, y)\) : \(\vec{DC}(4 – x \,;\, -1 – y) = (4 \,;\, 2)\).
Donc \(4 – x = 4\) soit \(x = 0\), et \(-1 – y = 2\) soit \(y = -3\). On obtient \(D(0 \,;\, -3)\).
c) Milieu de \([AC]\) : \(\left(\displaystyle\frac{-2 + 4}{2} \,;\, \displaystyle\frac{1 – 1}{2}\right) = (1 \,;\, 0)\).
Milieu de \([BD]\) : \(\left(\displaystyle\frac{2 + 0}{2} \,;\, \displaystyle\frac{3 – 3}{2}\right) = (1 \,;\, 0)\).
Les deux milieux sont confondus : les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu. C’est cohérent avec la propriété du parallélogramme.
Exercice 14 — Théorème des milieux (raisonnement) ★★★
Soit le triangle de sommets \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,6)\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\).
Démontre que \(\vec{IJ} = \displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{BC}\). Qu’en déduis-tu pour les droites \((IJ)\) et \((BC)\) ?
![triangle ABC avec I milieu de [AB] et J milieu de [AC], le segment IJ parallele a BC illustrant le theoreme des milieux](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/graphe-theoreme-milieux-seconde.png)
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Coordonnées des milieux : \(I\left(\displaystyle\frac{0+4}{2} \,;\, \displaystyle\frac{0+0}{2}\right) = (2 \,;\, 0)\) et \(J\left(\displaystyle\frac{0+2}{2} \,;\, \displaystyle\frac{0+6}{2}\right) = (1 \,;\, 3)\).
Donc \(\vec{IJ}(1 – 2 \,;\, 3 – 0) = (-1 \,;\, 3)\).
Par ailleurs \(\vec{BC}(2 – 4 \,;\, 6 – 0) = (-2 \,;\, 6)\), et \(\displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{BC} = (-1 \,;\, 3)\).
On a bien \(\vec{IJ} = \displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{BC}\). Les deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles : c’est le théorème des milieux, démontré avec des vecteurs.
Exercice 15 — Bonus type concours (Geipi Polytech / oral) ★★★ 🔴
Cet exercice prolonge le programme de Seconde vers la Première : il illustre les combinaisons de vecteurs, comme dans les concours post-bac type Geipi Polytech ou Avenir.
Soit \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\) et \(C(2\,;\,5)\). On définit le point \(M\) par \(\vec{AM} = \vec{AB} + 2\,\vec{AC}\).
a) Détermine les coordonnées de \(M\).
b) Calcule les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).
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a) \(\vec{AB}(3 \,;\, 1)\) et \(\vec{AC}(1 \,;\, 4)\).
\(\vec{AM} = \vec{AB} + 2\,\vec{AC} = (3 + 2 \times 1 \,;\, 1 + 2 \times 4) = (5 \,;\, 9)\).
Comme \(\vec{AM}(x_M – 1 \,;\, y_M – 1) = (5 \,;\, 9)\), on obtient \(x_M = 6\) et \(y_M = 10\), soit \(M(6 \,;\, 10)\).
b) Le centre de gravité a pour coordonnées la moyenne des sommets :
\(G\left(\displaystyle\frac{1 + 4 + 2}{3} \,;\, \displaystyle\frac{1 + 2 + 5}{3}\right) = G\left(\displaystyle\frac{7}{3} \,;\, \displaystyle\frac{8}{3}\right)\).
📄 Télécharge ces 15 exercices + leurs corrigés en PDF
Si tu cherches les vidéos d’Yvan Monka sur ce chapitre, voici les notions qui y sont travaillées : coordonnées, colinéarité, relation de Chasles et norme — exactement celles couvertes dans ces exercices.
Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes qui coûtent le plus de points en contrôle. Les connaître à l’avance, c’est déjà la moitié du travail.
Erreur n°1 — Inverser les coordonnées dans \(\vec{AB}\).
❌ Copie fautive : pour \(A(2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\), on écrit \(\vec{AB}(2 – 5 \,;\, 3 – 7) = (-3 \,;\, -4)\).
Diagnostic : l’élève a fait « point de départ moins point d’arrivée ».
✅ Correction : c’est toujours arrivée moins départ : \(\vec{AB}(x_B – x_A \,;\, y_B – y_A) = (3 \,;\, 4)\).
Erreur n°2 — Oublier le carré dans la norme.
❌ Copie fautive : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}\) pour \(\vec{u}(3\,;\,4)\).
✅ Correction : on élève chaque coordonnée au carré avant d’additionner : \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
Erreur n°3 — Confondre colinéarité et égalité.
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas forcément la même longueur ni le même sens. \(\vec{u}(2\,;\,1)\) et \(\vec{v}(4\,;\,2)\) sont colinéaires (déterminant nul) mais pas égaux.
Le réflexe qui sauve : le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tous les vecteurs. Si un déterminant tombe à zéro à cause d’un vecteur nul, ce n’est pas une coïncidence.
Questions fréquentes
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur en Seconde ?
Pour un vecteur \(\vec{AB}\), on soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d’arrivée : \(\vec{AB}(x_B – x_A \,;\, y_B – y_A)\). L’ordre est toujours « arrivée moins départ », jamais l’inverse.
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
On calcule le déterminant : pour \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x’\,;\,y’)\), on regarde \(xy’ – x’y\). Si le résultat est nul, les vecteurs sont colinéaires (même direction). Sinon, ils ne le sont pas.
Quelle est la différence entre la norme d'un vecteur et la longueur d'un segment ?
Il n’y en a quasiment pas en pratique : la norme du vecteur \(\vec{AB}\) est égale à la longueur du segment \([AB]\). La différence est de vocabulaire : on parle de « norme » pour un vecteur et de « longueur » pour un segment, mais le calcul \(\sqrt{x^2 + y^2}\) est le même.
Comment démontrer qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme avec des vecteurs ?
Il suffit de montrer que \(\vec{AB} = \vec{DC}\). On calcule les coordonnées des deux vecteurs : si elles sont identiques, le quadrilatère est un parallélogramme. Attention à l’ordre des lettres : c’est \(\vec{DC}\), pas \(\vec{CD}\).
À quoi sert la relation de Chasles ?
Elle permet d’additionner des vecteurs et de simplifier des expressions : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). On l’utilise pour décomposer un vecteur, démontrer des égalités ou prouver des alignements. C’est l’outil de base de tout le chapitre.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les exercices de base sur les vecteurs en Seconde. Pour approfondir chaque notion en détail :
- Le cours complet sur les vecteurs (du lycée à la prépa)
- Vecteurs colinéaires : méthode et calculateur
- Addition de vecteurs et relation de Chasles
- Norme d’un vecteur : formule et démonstration
- Vecteur directeur d’une droite
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