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Tu connais déjà les limites de la fonction exponentielle. La fonction ln, sa réciproque, possède des limites qui en sont le miroir inversé. En Terminale, ce chapitre est incontournable : les croissances comparées avec ln apparaissent dans presque tous les sujets de bac. Tu trouveras ici les résultats du programme avec leurs démonstrations, une méthode de calcul en 4 étapes, 5 exercices corrigés pas à pas et les pièges classiques à éviter. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Rappels essentiels sur la fonction ln
Avant de plonger dans les limites, rappelons les propriétés de la fonction logarithme népérien dont tu auras besoin tout au long de cet article. Si tu maîtrises déjà ces bases, passe directement à la section II.
A. Domaine, dérivée et sens de variation
Rappel — Propriétés de la fonction ln
- Domaine de définition : \(]0\,;\,+\infty[\). La fonction ln n’existe que pour \(x\) strictement positif.
- Dérivée : pour tout \(x\) > \(0\), \((\ln x)^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\).
- Sens de variation : \(\displaystyle\frac{1}{x}\) > \(0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc ln est strictement croissante sur tout son domaine.
- Valeurs de référence : \(\ln(1) = 0\), \(\ln(e) = 1\), \(\ln(e^n) = n\) pour tout entier \(n\).
- Propriété fondamentale : \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\) pour tous réels \(a\) > \(0\) et \(b\) > \(0\).
Retiens surtout que ln est la réciproque de l’exponentielle : pour tout \(x\) > \(0\), \(e^{\ln(x)} = x\), et pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\ln(e^x) = x\). Cette relation est la clé pour comprendre les limites de ln.
B. Allure de la courbe
La courbe de ln traverse le point \((1\,;\,0)\) et le point \((e\,;\,1)\). Elle est croissante, mais de plus en plus lentement : la concavité est tournée vers le bas (car \((\ln x)^{\prime\prime} = -\displaystyle\frac{1}{x^2}\) < \(0\)).
![Courbe de y = ln(x) sur [0.05 ; 20]. Couleur courbe #1f4acc. Marquer les points (1, 0) et (e, 1) en #caa85a. Asymptote v](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_ln_courbe.png)
L’asymptote verticale en \(x = 0\) (en pointillés rouges sur le graphique) annonce déjà le comportement de ln en \(0^+\) : la courbe « plonge » vers \(-\infty\). À droite, elle monte indéfiniment, mais bien plus lentement que n’importe quelle droite.
Repère visuel : compare la courbe de ln avec celle de \(\sqrt{x}\) ou de \(x\). Même \(\sqrt{x}\) croît bien plus vite que ln. C’est l’idée clé des croissances comparées (section III).
II. Les deux limites fondamentales de ln
La fonction ln possède exactement deux limites « aux bornes » de son domaine \(]0\,;\,+\infty[\). Elles sont au programme de Terminale et constituent le socle de tous les calculs de limites avec ln.
A. Limite de ln en \(+\infty\)
Propriété — Limite en \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
En clair : quand \(x\) devient arbitrairement grand, \(\ln(x)\) aussi — mais très lentement.
Idée intuitive : pour que \(\ln(x)\) atteigne la valeur \(10\), il faut que \(x\) dépasse \(e^{10} \approx 22\,026\). Pour atteindre \(100\), il faut \(x\) > \(e^{100} \approx 2{,}7 \times 10^{43}\). La fonction ln « monte », mais à une vitesse qui décroît sans cesse.
Démonstration
Soit \(M\) un réel quelconque. On veut montrer que \(\ln(x)\) > \(M\) pour \(x\) assez grand.
Il suffit de prendre \(x\) > \(e^M\). Comme ln est strictement croissante :
\(x \gt e^M \Rightarrow \ln(x) \gt \ln(e^M) = M\)On a montré que pour tout \(M\), il existe un seuil (à savoir \(e^M\)) au-delà duquel \(\ln(x)\) > \(M\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\). ∎
B. Limite de ln en \(0^+\)
Propriété — Limite en \(0^+\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
Quand \(x\) se rapproche de \(0\) par la droite, \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\).
Comment s’en souvenir : la droite \(x = 0\) est asymptote verticale à la courbe de ln. La courbe plonge « infiniment bas » quand elle s’approche de l’axe des ordonnées.
Démonstration
Posons le changement de variable \(u = \displaystyle\frac{1}{x}\). Quand \(x \to 0^+\), on a \(u \to +\infty\).
Or \(\ln(x) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{1}{u}\right) = -\ln(u)\).
Comme \(\displaystyle\lim_{u \to +\infty} \ln(u) = +\infty\) (résultat précédent), on obtient :
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = \lim_{u \to +\infty} (-\ln(u)) = -\infty\) ∎
C. Le miroir exp ↔ ln — un outil pour tout retenir
Puisque ln est la réciproque de exp, chaque limite de ln se déduit d’une limite de exp par symétrie. Voici le tableau de correspondance — il te permet de retrouver instantanément toute limite oubliée :
| Limite de exp | Limite de ln correspondante | Symétrie |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) | \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) | Même direction |
| \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) | \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) | \(y \to 0^+ \leftrightarrow x \to 0^+\) |
| exp domine toute puissance : \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n} \to +\infty\) | Toute puissance domine ln : \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^\alpha} \to 0\) | Réciprocité |
Principe : les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Ce qui se passe « à droite » pour exp se retrouve « en haut » pour ln, et inversement. Si tu retiens les limites de l’une, tu peux toujours retrouver celles de l’autre.
Fiche mémo — Toutes les limites de ln en une page
Limites fondamentales, croissances comparées, formes dérivées et pièges à éviter. Le résumé parfait à glisser dans ton classeur.
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III. Croissances comparées : ln perd toujours
Les limites fondamentales (section II) te disent où va ln. Les croissances comparées te disent à quelle vitesse. En un mot : la fonction ln croît vers \(+\infty\), mais moins vite que n’importe quelle puissance de \(x\). C’est le résultat le plus utilisé du chapitre — au bac comme en prépa.
A. Le théorème au programme
Théorème — Croissances comparées avec ln
En \(+\infty\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = 0\)
En \(0^+\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = 0\)
En termes concrets : en \(+\infty\), \(x\) « l’emporte » sur \(\ln(x)\). En \(0^+\), \(x\) « l’emporte » sur \(\ln(x)\) qui part vers \(-\infty\).
B. Démonstration au programme
Cette démonstration est exigible au bac. Elle repose sur un encadrement de ln par une fonction de référence, puis sur le théorème des gendarmes.
Démonstration au programme — \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = 0\)
Étape 1 — Encadrement de ln(x).
Pour tout \(t \geq 1\), on a \(\displaystyle\frac{1}{t} \leq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{t}}\) (car \(\sqrt{t} \leq t\)).
En intégrant entre \(1\) et \(x\) (pour \(x \geq 1\)) :
\(\displaystyle\int_1^x \displaystyle\frac{1}{t}\,dt \leq \int_1^x \displaystyle\frac{1}{\sqrt{t}}\,dt\)
Ce qui donne :
\(\ln(x) \leq 2\sqrt{x} – 2\)
Étape 2 — Division par \(x\).
Pour \(x \geq 1\), on a \(\ln(x) \geq 0\) et \(x\) > \(0\), donc :
\(0 \leq \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} \leq \displaystyle\frac{2\sqrt{x} – 2}{x} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}} – \displaystyle\frac{2}{x} \leq \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}\)
Étape 3 — Conclusion par le théorème des gendarmes.
Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}} = 0\). Comme \(0 \leq \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} \leq \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}\) et que les deux bornes tendent vers \(0\), par le théorème des gendarmes :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = 0\) ∎
Pour la limite en \(0^+\), on s’y ramène par changement de variable :
Preuve de \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = 0\)
Posons \(u = \displaystyle\frac{1}{x}\). Quand \(x \to 0^+\), \(u \to +\infty\).
\(x\,\ln(x) = \displaystyle\frac{1}{u}\,\ln\!\left(\displaystyle\frac{1}{u}\right) = \displaystyle\frac{-\ln(u)}{u} = -\displaystyle\frac{\ln(u)}{u}\)
Or \(\displaystyle\frac{\ln(u)}{u} \to 0\) d’après le résultat précédent, donc \(x\,\ln(x) \to 0\). ∎
C. Formes dérivées et généralisations
Le théorème de base se généralise à toute puissance positive de \(x\) :
| Limite | Résultat | Condition |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}\) | \(0\) | pour tout \(\alpha\) > \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{(\ln x)^{\beta}}{x^{\alpha}}\) | \(0\) | pour tout \(\alpha\) > \(0\), \(\beta\) > \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha}\,\ln(x)\) | \(0\) | pour tout \(\alpha\) > \(0\) |
Retiens la phrase : « toute puissance de \(x\) l’emporte sur ln » — que ce soit en \(+\infty\) ou en \(0^+\).
![Trois courbes superposées sur [1 ; 60] : y = ln(x) en #1f4acc, y = √x en #caa85a, y = x en #1b9b6b. Grille #e6e8ee. Titr](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_croissance_comparee_ln.png)
Le graphique ci-dessus illustre à quel point ln « décroche » par rapport aux fonctions puissances. Même \(\sqrt{x}\), qui croît pourtant lentement, finit par écraser ln. C’est ce phénomène que formalisent les croissances comparées.
Astuce bac : quand tu tombes sur une forme indéterminée du type \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^n}\) ou \(x^n \ln(x)\), ne cherche pas à factoriser longtemps — invoque directement la croissance comparée. C’est souvent le chemin le plus rapide et le plus rigoureux.
IV. Méthode : calculer une limite avec ln en 4 étapes
Voici une méthode systématique pour traiter n’importe quelle limite impliquant la fonction ln. Applique ces 4 réflexes dans l’ordre — ils couvrent la totalité des cas que tu rencontreras au bac.
A. Les 4 réflexes
- Substitution directe. Remplace \(x\) par la valeur vers laquelle il tend. Si tu obtiens une valeur finie et que l’expression est définie, c’est terminé (exemple : \(\ln(3)\) quand \(x \to 3\)).
- Identifie la forme. Si la substitution donne une forme indéterminée (\(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\)), passe à l’étape 3.
- Transforme et simplifie. Selon le cas :
- Quotient \(\displaystyle\frac{\ln}{x^\alpha}\) : applique la croissance comparée directement.
- Produit \(x^\alpha \cdot \ln\) : applique la croissance comparée en \(0^+\).
- Différence \(f(x) – \ln(\ldots)\) : factorise par le terme dominant.
- Composition \(\ln(u(x))\) : étudie d’abord \(\displaystyle\lim u(x)\), puis applique la limite de la composée.
- Conclus proprement en citant le théorème utilisé (limite par composition, croissance comparée, théorème des gendarmes…).
B. Exemples résolus
Exemple 1 (★) — Limite d’une composition simple
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(3x)\).
Réflexe 1 : substitution → \(\ln(3 \times (+\infty)) = \ln(+\infty) = +\infty\). Pas de FI.
Rédaction :
Quand \(x \to +\infty\), \(3x \to +\infty\). Or \(\displaystyle\lim_{u \to +\infty} \ln(u) = +\infty\).
Donc, par composition : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(3x) = +\infty\).
Remarque : on pouvait aussi écrire \(\ln(3x) = \ln(3) + \ln(x) \to +\infty\).
Exemple 2 (★★) — Croissance comparée directe
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\).
Réflexe 2 : substitution → \(\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}\). FI !
Réflexe 3 : c’est un quotient \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}\) avec \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\) > \(0\).
Rédaction :
Par croissance comparée, pour tout \(\alpha\) > \(0\) : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0\).
Ici \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 0\).
Exemple 3 (★★) — Forme \(0 \times (-\infty)\) en \(0^+\)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x)\).
Réflexe 2 : substitution → \(0^+ \times (-\infty)\). FI !
Réflexe 3 : c’est un produit \(x^{\alpha} \cdot \ln(x)\) avec \(\alpha = 1\).
Rédaction :
Par croissance comparée en \(0^+\) : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = 0\).
Interprétation : bien que \(\ln(x) \to -\infty\), la convergence de \(x\) vers \(0\) est « plus forte ». Le produit tend vers \(0\).
Exemple 4 (★★★) — Différence \(+\infty – \infty\) avec factorisation
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x – \ln(x^2 + 1)\right)\).
Réflexe 2 : substitution → \(+\infty – \infty\). FI !
Réflexe 3 : on factorise par le terme dominant. Ici, \(\ln(x^2 + 1) \approx \ln(x^2) = 2\ln(x)\) pour \(x\) grand. Le terme dominant est \(2x\).
Rédaction :
Factorisons par \(2x\) :
\(2x – \ln(x^2 + 1) = 2x\left(1 – \displaystyle\frac{\ln(x^2 + 1)}{2x}\right)\)
Or, pour \(x\) > \(0\) :
\(\ln(x^2) \leq \ln(x^2 + 1) \leq \ln(2x^2) = \ln(2) + 2\ln(x)\)
Donc \(\displaystyle\frac{\ln(x^2+1)}{2x}\) est encadré par \(\displaystyle\frac{2\ln(x)}{2x} = \displaystyle\frac{\ln(x)}{x}\) et \(\displaystyle\frac{\ln(2) + 2\ln(x)}{2x}\), qui tendent tous deux vers \(0\) par croissance comparée.
Par le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\frac{\ln(x^2+1)}{2x} \to 0\).
Conclusion : \(2x – \ln(x^2+1) = 2x(1 – 0) \to +\infty\).
Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x – \ln(x^2 + 1)\right) = +\infty\).
V. Exercices corrigés
Mets en pratique ce que tu viens d’apprendre. Les exercices suivants sont classés par difficulté croissante (★ à ★★★). Essaie chaque exercice avant de regarder la correction — c’est la meilleure façon de progresser. Pour t’entraîner davantage, retrouve la banque complète d’exercices sur les limites.
Exercice 1 (★) — Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\ln(x) – 2\sqrt{x}\right)\).
Voir la correction
On factorise par le terme dominant. Ici, \(\sqrt{x}\) croît plus vite que \(\ln(x)\), donc le terme dominant est \(-2\sqrt{x}\).
Factorisons par \(\sqrt{x}\) :
\(\ln(x) – 2\sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} – 2\right)\)Par croissance comparée : \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \to 0\).
Donc \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} – 2 \to 0 – 2 = -2\).
Et \(\sqrt{x} \to +\infty\).
Par produit de limites : \(\sqrt{x}\left(\displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} – 2\right) \to (+\infty) \times (-2) = -\infty\).
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\ln(x) – 2\sqrt{x}\right) = -\infty\).
Exercice 2 (★★) — Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{(\ln x)^3}{x}\).
Voir la correction
La substitution directe donne \(\displaystyle\frac{(+\infty)^3}{+\infty} = \displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}\) : forme indéterminée.
On se ramène à la croissance comparée de base. Écrivons :
\(\displaystyle\frac{(\ln x)^3}{x} = \left(\displaystyle\frac{\ln x}{x^{1/3}}\right)^3\)Or, par croissance comparée avec \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{3}\) > \(0\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x^{1/3}} = 0\)Donc \(\left(\displaystyle\frac{\ln x}{x^{1/3}}\right)^3 \to 0^3 = 0\).
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{(\ln x)^3}{x} = 0\).
Exercice 3 (★★) — Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\,\ln(x^3)\).
Voir la correction
Simplifions d’abord : \(x^2\,\ln(x^3) = x^2 \times 3\ln(x) = 3\,x^2\,\ln(x)\).
La substitution donne \(3 \times 0^+ \times (-\infty)\) : FI du type \(0 \times \infty\).
Par croissance comparée en \(0^+\) avec \(\alpha = 2\) > \(0\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\,\ln(x) = 0\)Donc \(3\,x^2\,\ln(x) \to 3 \times 0 = 0\).
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\,\ln(x^3) = 0\).
Exercice 4 (★★★) — Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (x-1)\,\ln(x-1)\).
Voir la correction
Le changement de variable simplifie tout. Posons \(h = x – 1\). Quand \(x \to 1^+\), \(h \to 0^+\).
L’expression devient :
\((x-1)\,\ln(x-1) = h\,\ln(h)\)Or, par croissance comparée en \(0^+\) :
\(\displaystyle\lim_{h \to 0^+} h\,\ln(h) = 0\)Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (x-1)\,\ln(x-1) = 0\).
Ce type de changement de variable est très fréquent au bac : dès que tu vois \(\ln(x – a)\) avec \(x \to a\), pose \(h = x – a\).
Exercice 5 (★★★) — Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\ln(1 + e^x) – x\right]\).
Voir la correction
L’idée clé est de factoriser par \(e^x\) à l’intérieur du ln.
\(\ln(1 + e^x) = \ln\!\left(e^x\!\left(e^{-x} + 1\right)\right) = \ln(e^x) + \ln(1 + e^{-x}) = x + \ln(1 + e^{-x})\)Donc :
\(\ln(1 + e^x) – x = x + \ln(1 + e^{-x}) – x = \ln(1 + e^{-x})\)Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-x} \to 0\), donc \(1 + e^{-x} \to 1\) et \(\ln(1 + e^{-x}) \to \ln(1) = 0\).
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\ln(1 + e^x) – x\right] = 0\).
Cet exercice mêle ln et exp — il illustre parfaitement la complémentarité entre les deux fonctions. L’astuce de factorisation par \(e^x\) à l’intérieur du ln est un classique de bac.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs que je vois le plus souvent sur les copies. Lis-les avant ton prochain DS — tu éviteras des points perdus inutilement.
Piège n°1 — Oublier que ln n’est défini que pour \(x\) > \(0\)
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty\) »
Diagnostic : \(\ln(x)\) n’existe pas pour \(x \leq 0\). On ne peut pas parler de limite « des deux côtés » en \(0\).
✅ Correction : « \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) » — la limite est toujours à droite en \(0\).
Piège n°2 — Inverser le sens de la croissance comparée
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = +\infty\) car \(\ln(x) \to +\infty\) »
Diagnostic : \(\ln(x)\) tend bien vers \(+\infty\), mais moins vite que \(x\). Le quotient ne tend pas vers \(+\infty\), il tend vers \(0\). C’est \(x\) qui « gagne ».
✅ Correction : « Par croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = 0\) ».
Piège n°3 — Confondre \(x\,\ln(x) \to 0\) en \(0^+\) avec un résultat en \(+\infty\)
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = -\infty\) car \(\ln(x) \to -\infty\) domine »
Diagnostic : non ! En \(0^+\), c’est \(x\) (qui tend vers \(0\)) qui l’emporte sur \(\ln(x)\) (qui tend vers \(-\infty\)). Le produit tend vers \(0\), pas vers \(-\infty\).
✅ Correction : « Par croissance comparée en \(0^+\), \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = 0\) ».
Règle d’or à retenir : ln « perd toujours » face aux puissances de \(x\). En \(+\infty\), \(x^\alpha\) l’emporte sur \(\ln(x)\). En \(0^+\), \(x^\alpha\) l’emporte aussi. Quand tu hésites, demande-toi : qui va vers \(0\) ou vers \(\pm\infty\) le plus « fort » ? La réponse est toujours \(x^\alpha\).
VII. Pour aller plus loin — ln en prépa 🔴
Cette section s’adresse aux élèves ambitieux de Terminale et aux étudiants de CPGE. Elle prolonge naturellement les résultats du programme vers les outils de l’analyse en classe préparatoire.
A. L’équivalent fondamental : \(\ln(1+x) \sim x\) en \(0\)
🔴 Prépa — Équivalent de ln(1+x)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)
On écrit : \(\ln(1+x) \underset{x \to 0}{\sim} x\).
En prépa, cet équivalent est l’outil de base pour simplifier les limites « au voisinage de \(0\) » impliquant ln.
Preuve rapide : on reconnaît le taux d’accroissement de \(\ln\) en \(1\) :
\(\displaystyle\frac{\ln(1+x) – \ln(1)}{x} = \displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x} \longrightarrow[x \to 0]{} (\ln)^\prime(1) = \displaystyle\frac{1}{1} = 1\)B. Développement limité et négligeabilité
En poussant plus loin, on obtient le développement limité de \(\ln(1+x)\) au voisinage de \(0\) :
\(\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} – \cdots + \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}\,x^n}{n} + o(x^n)\)Ce DL permet de lever les formes indéterminées en \(0\) bien plus efficacement qu’avec les méthodes de Terminale. Par exemple :
\(\displaystyle\frac{\ln(1+x) – x}{x^2} = \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} \to -\displaystyle\frac{1}{2}\)Enfin, la croissance comparée de Terminale se reformule en prépa sous la forme de la négligeabilité :
\(\ln(x) = o(x^\alpha) \quad (x \to +\infty)\) pour tout \(\alpha\) > \(0\).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la limite de la fonction ln en +∞ ?
La fonction \(\ln(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Mais elle croît très lentement : pour atteindre la valeur \(10\), il faut \(x \approx 22\,026\). C’est la plus lente des fonctions de référence à aller vers l’infini.
Quelle est la limite de ln(x) en 0 ?
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\). Attention : on parle de limite à droite en \(0\), car ln n’est pas défini pour \(x \leq 0\). La droite \(x = 0\) est asymptote verticale à la courbe de ln.
Que vaut la limite de ln(x)/x en +∞ ?
Par croissance comparée : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln(x)}{x} = 0\). Ce résultat signifie que \(x\) croît bien plus vite que \(\ln(x)\). La démonstration repose sur un encadrement de \(\ln(x)\) par \(2\sqrt{x}\) puis le théorème des gendarmes.
Quand la fonction ln est-elle négative ?
\(\ln(x)\) < \(0\) lorsque \(0\) < \(x\) < \(1\). En effet, \(\ln(1) = 0\) et ln est strictement croissante, donc ln est négative à gauche de \(1\) (sur son domaine \(]0\,;\,1[\)) et positive à droite (sur \(]1\,;\,+\infty[\)).
Quelle est la valeur interdite de la fonction ln ?
La fonction ln n’admet pas de « valeur interdite » au sens d’une seule valeur. Son domaine de définition est \(]0\,;\,+\infty[\) : tous les réels négatifs ou nuls sont exclus. On ne peut jamais calculer \(\ln(0)\) ni \(\ln(-3)\).
Quelle est la différence entre les limites de ln et celles de exp ?
Les deux fonctions sont réciproques, et leurs limites sont « en miroir ». L’exponentielle tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\) (très vite) et vers \(0\) en \(-\infty\). Le logarithme tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\) (très lentement) et vers \(-\infty\) en \(0^+\). Surtout, exp domine toutes les puissances \(x^n\), tandis que ln est dominée par toutes les puissances \(x^\alpha\) (\(\alpha\) > \(0\)).
Comment lever une forme indéterminée avec ln ?
Le réflexe principal est la croissance comparée. Si tu as \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^\alpha}\) ou \(x^\alpha \ln(x)\), applique directement le théorème. Pour une différence \(+\infty – \infty\), factorise par le terme dominant. Pour une composition \(\ln(u(x))\), étudie d’abord la limite de \(u(x)\). Consulte notre page sur les formes indéterminées pour un arbre de décision complet.
Ln peut-il tendre vers l'infini ?
Oui ! \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\). La preuve est simple : \(\ln(e^n) = n\), et comme ln est croissante, \(\ln(x) \geq n\) dès que \(x \geq e^n\). Donc ln dépasse tout seuil. Elle tend vers \(+\infty\), mais plus lentement que toute autre fonction de référence.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les limites de la fonction ln — résultats, démonstrations et techniques de calcul. Pour approfondir ta maîtrise des limites et préparer efficacement le bac, explore les ressources complémentaires du chapitre :
- 📖 Limites de fonctions : cours complet (Terminale) — le cours pilier avec l’arbre de décision méthodologique
- → Limites de la fonction exponentielle — le miroir de ln : limites de exp en \(+\infty\) et \(-\infty\), croissances comparées
- → Formes indéterminées : comment les lever — l’arbre de décision complet pour toutes les FI
- → Théorème des gendarmes — la technique d’encadrement utilisée dans la démonstration de la croissance comparée
- → Tableau des limites usuelles — toutes les limites de référence en un mémo
- ✏️ 25+ exercices corrigés sur les limites (PDF) — pour un entraînement intensif avant le bac
