Une équation différentielle d’ordre 1 relie une inconnue et sa dérivée. En Terminale, c’est un classique du bac (souvent sous des formes très « standard »). En prépa, on pousse la méthode vers les coefficients variables, les variables séparables, et les formes spéciales (Bernoulli, Riccati). Pour une vue d’ensemble (tous ordres), consulte le cours complet sur les équations différentielles.
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Définition et vocabulaire indispensable
Ce que signifie « ordre 1 »
Définition. Une équation différentielle d’ordre 1 est une relation qui implique l’inconnue \(y\) et sa dérivée \(y^\prime\), typiquement sous la forme \(y^\prime(x)=F(x,y(x))\). Résoudre, c’est trouver les \(y\) qui vérifient cette relation.
En pratique, tu verras très souvent des formes « linéaires » où \(y\) apparaît simplement, par exemple \(y^\prime=a\,y\) ou \(y^\prime+a(x)\,y=b(x)\).
Linéaire, homogène, second membre
On dit qu’on a une équation linéaire d’ordre 1 quand elle s’écrit \(y^\prime+a(x)\,y=b(x)\). Le terme \(b(x)\) est le second membre.
- Si \(b(x)=0\), elle est dite homogène : \(y^\prime+a(x)\,y=0\).
- Si \(b(x)\neq 0\), on est dans le cas avec second membre.
Solution générale vs solution particulière
Structure des solutions. Pour \(y^\prime+a(x)\,y=b(x)\), dès qu’on connaît : (i) \(y_h\) de l’homogène, et (ii) une particulière \(y_p\) de l’équation complète, alors l’ensemble s’écrit \(y=y_p+C\,y_h\).
La condition initiale (par exemple \(y(x_0)=y_0\)) sert ensuite à déterminer \(C\).
Théorème de Cauchy-Lipschitz (prépa)
En prépa, on formalise cette idée par un résultat fondamental :
Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis). Soit \(y^\prime+a(x)\,y=b(x)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur un intervalle \(I\). Pour tout \(x_0\in I\) et tout \(y_0\in\mathbb{R}\), il existe une unique \(y\) définie sur \(I\) vérifiant \(y(x_0)=y_0\).
En pratique, cela signifie que la forme générale contient exactement un paramètre \(C\), et qu’une condition initiale suffit à le fixer. C’est aussi ce théorème qu’on invoque quand on dit « problème de Cauchy » dans un énoncé.
Résoudre en Terminale : les trois formes au programme
En Terminale spécialité maths, les équations différentielles d’ordre 1 se présentent sous trois formes, toujours avec un coefficient \(a\) constant.
\(y^\prime=a\,y\) — cas homogène
C’est le cas de base. Une expression dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle.
Résultat. Les \(y\) vérifiant \(y^\prime=a\,y\) sont exactement :
\(y(x)=C\,e^{ax}\), où \(C\in\mathbb{R}\).
Exemple. Résoudre \(y^\prime=3y\) avec \(y(0)=2\).
Forme générale : \(y(x)=Ce^{3x}\). Avec \(y(0)=2\) : \(C=2\).
Réponse : \(y(x)=2e^{3x}\).
Vérification : \(y^\prime(x)=6e^{3x}=3y(x)\) ✓.
\(y^\prime=a\,y+b\) — second membre constant
L’astuce est de trouver une particulière qui soit une simple valeur fixe : si \(y_p\) est un réel, alors \(y_p^\prime=0\), donc \(0=a\,y_p+b\), soit \(y_p=-\displaystyle\frac{b}{a}\) (si \(a\neq 0\)).
Résultat. Si \(a\neq 0\), les \(y\) vérifiant \(y^\prime=a\,y+b\) sont :
\(y(x)=Ce^{ax}-\displaystyle\frac{b}{a}\), où \(C\in\mathbb{R}\).
Piège classique. Beaucoup d’élèves se trompent sur le signe. Retenir : on résout \(a\,y_p+b=0\), donc \(y_p=-\displaystyle\frac{b}{a}\).
Et si \(a=0\), on a simplement \(y^\prime=b\) : c’est un cas à part (primitives directes).
Exemple. Résoudre \(y^\prime=2y-6\) avec \(y(0)=1\).
Particulière : \(0=2y_p-6\) donc \(y_p=3\).
Forme générale : \(y(x)=Ce^{2x}+3\).
Condition initiale : \(1=C+3\), donc \(C=-2\).
Réponse : \(y(x)=3-2e^{2x}\).
\(y^\prime=a\,y+f(x)\) — second membre variable
Quand le second membre n’est plus un réel mais dépend de \(x\), le principe reste le même : on additionne une particulière et l’homogène.
Structure. Si \(y_p\) vérifie \(y^\prime=a\,y+f(x)\), alors la forme générale s’écrit :
\(y(x)=y_p(x)+Ce^{ax}\), où \(C\in\mathbb{R}\).
En Terminale, l’énoncé fournit le plus souvent \(y_p\) (ou te demande de vérifier qu’une expression donnée convient). Tu n’as pas à la trouver toi-même : tu la vérifies, tu ajoutes \(Ce^{ax}\), et tu détermines \(C\) avec la condition initiale.
Exemple type bac. Soit \(y^\prime=y+2x-2\).
1) Vérifier que \(y_p(x)=-2x\) convient.
On calcule : \(y_p^\prime=-2\) et \(y_p+2x-2=-2x+2x-2=-2\). Donc \(y_p^\prime=y_p+2x-2\) ✓.
2) En déduire la forme générale, puis celle vérifiant \(y(0)=3\).
Forme générale : \(y(x)=-2x+Ce^{x}\).
Avec \(y(0)=3\) : \(3=0+C\), donc \(C=3\).
Réponse : \(y(x)=-2x+3e^{x}\).
Déterminer \(C\) avec une condition initiale
Quelle que soit la forme, la méthode est toujours la même :
- Écrire \(y(x)\) sous sa forme générale (avec \(C\)).
- Remplacer \(x\) par \(x_0\) et \(y(x_0)\) par \(y_0\).
- Isoler \(C\).
Astuce. Quand l’énoncé le permet, \(x_0=0\) simplifie tout : \(e^0=1\), donc \(y_0=C+y_p(0)\) donne \(C\) directement.
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Méthodes prépa : trouver \(y_p\) et résoudre des cas généraux
En CPGE, contrairement à la Terminale, on ne te donne plus \(y_p\) — il faut la trouver. De plus, les coefficients peuvent dépendre de \(x\), et les relations ne sont pas forcément linéaires. Voici les méthodes, dans l’ordre où on les mobilise en pratique.
Particulière par identification (ansatz)
Quand le second membre \(f(x)\) a une forme reconnaissable, on « devine » la forme de \(y_p\) et on identifie les coefficients. C’est la méthode la plus rapide et celle qu’on essaie en premier.
| Second membre \(f(x)\) | Ansatz \(y_p(x)\) | Attention |
|---|---|---|
| \(P_n(x)\) polynôme de degré \(n\) | \(Q_n(x)\) polynôme de même degré | — |
| \(e^{\lambda x}\) | \(Ae^{\lambda x}\) | Si \(\lambda=a\) : résonance, essayer \(Axe^{\lambda x}\) |
| \(e^{\lambda x}P_n(x)\) | \(e^{\lambda x}Q_n(x)\) | Si \(\lambda=a\) : multiplier par \(x\) |
| \(\cos(\omega x)\) ou \(\sin(\omega x)\) | \(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) | — |
Exemple. Résoudre \(y^\prime-2y=3e^{5x}\).
Homogène : \(y_h=Ce^{2x}\).
Ansatz : \(\lambda=5\neq 2=a\), pas de résonance. On pose \(y_p=Ae^{5x}\).
Substitution : \(5Ae^{5x}-2Ae^{5x}=3Ae^{5x}=3e^{5x}\), donc \(A=1\).
Forme générale : \(y(x)=Ce^{2x}+e^{5x}\).
Exemple (résonance). Résoudre \(y^\prime-2y=e^{2x}\).
Homogène : \(y_h=Ce^{2x}\).
Ansatz : \(\lambda=2=a\), résonance ! On pose \(y_p=Axe^{2x}\).
On calcule : \(y_p^\prime=Ae^{2x}+2Axe^{2x}\). Substitution : \(y_p^\prime-2y_p=Ae^{2x}=e^{2x}\), donc \(A=1\).
Forme générale : \(y(x)=Ce^{2x}+xe^{2x}\).
Variation de la constante
Quand l’ansatz ne fonctionne pas (second membre trop compliqué) ou quand on veut une méthode systématique, on utilise la variation de la constante.
Méthode. Pour \(y^\prime=a\,y+f(x)\), on pose \(y(x)=u(x)e^{ax}\). Il reste :
\(u^\prime(x)=f(x)e^{-ax}\).
On intègre, puis on remonte à \(y\).
Exemple. Résoudre \(y^\prime=y+e^{2x}\).
Ici \(a=1\) et \(f(x)=e^{2x}\). Posons \(y=ue^{x}\). Alors \(u^\prime=e^{2x}e^{-x}=e^{x}\).
Donc \(u(x)=e^{x}+C\), et \(y(x)=(e^{x}+C)e^{x}=e^{2x}+Ce^{x}\).
Coefficients variables : \(y^\prime+p(x)\,y=q(x)\) (facteur intégrant)
Quand le coefficient devant \(y\) dépend de \(x\), la forme standard est \(y^\prime+p(x)\,y=q(x)\). On procède en 2 étapes.
Piège #1. Ne démarre jamais sans avoir mis le problème sous la forme \(y^\prime+p(x)\,y=q(x)\). Si tu pars de \(\alpha(x)\,y^\prime+\beta(x)\,y=\gamma(x)\), divise par \(\alpha(x)\) (sur un intervalle où \(\alpha(x)\neq 0\)).
Piège #2. Il faut souvent préciser un intervalle de résolution (par exemple \((0,+\infty)\) quand \(p(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)).
Étape 1 — Homogène. Soit \(P\) une primitive de \(p\). Les \(y\) vérifiant \(y^\prime+p(x)\,y=0\) sont :
\(y_h(x)=C\,e^{-P(x)}\), où \(C\in\mathbb{R}\).
(Vérification : \(y_h^\prime=-p(x)\,Ce^{-P}\), donc \(y_h^\prime+p(x)\,y_h=0\) ✓.)
Étape 2 — Variation. On pose \(y(x)=u(x)\,e^{-P(x)}\). Il reste \(u^\prime(x)=q(x)\,e^{P(x)}\). On intègre :
Forme générale :
\(y(x)=e^{-P(x)}\left(C+\int q(x)\,e^{P(x)}\,\mathrm{d}x\right)\).
Exemple. Résoudre \(y^\prime+\displaystyle\frac{2}{x}\,y=x^2\) sur \(x\) > \(0\).
Étape 1. \(p(x)=\displaystyle\frac{2}{x}\), donc \(P(x)=2\ln x\) et \(e^{-P(x)}=\displaystyle\frac{1}{x^2}\). Ainsi \(y_h(x)=\displaystyle\frac{C}{x^2}\).
Étape 2. On pose \(y=\displaystyle\frac{u(x)}{x^2}\). Il reste \(\displaystyle\frac{u^\prime(x)}{x^2}=x^2\), donc \(u^\prime(x)=x^4\).
On intègre : \(u(x)=\displaystyle\frac{x^5}{5}+C\), puis \(y(x)=\displaystyle\frac{x^3}{5}+\displaystyle\frac{C}{x^2}\).
Variables séparables
Toutes les ED d’ordre 1 ne sont pas linéaires. Un cas très courant est l’équation à variables séparables : on peut isoler les termes en \(y\) d’un côté et ceux en \(x\) de l’autre.
Forme. \(g(y)\,y^\prime=h(x)\), ou de manière équivalente \(g(y)\,\mathrm{d}y=h(x)\,\mathrm{d}x\).
Méthode. On intègre chaque côté :
\(\int g(y)\,\mathrm{d}y = \int h(x)\,\mathrm{d}x + C\).
Piège. Quand on divise par une expression en \(y\) pour séparer les variables, on risque de perdre les \(y\) qui annulent cette expression. Par exemple, dans \(y^\prime=y^2\), diviser par \(y^2\) fait oublier \(y=0\).
Exemple. Résoudre \(y^\prime=x\,y\) avec \(y(0)=1\).
On sépare : \(\displaystyle\frac{y^\prime}{y}=x\) (pour \(y\neq 0\)).
Intégration : \(\ln|y|=\displaystyle\frac{x^2}{2}+C_0\), donc \(y(x)=Ce^{x^2/2}\).
Avec \(y(0)=1\) : \(C=1\). Réponse : \(y(x)=e^{x^2/2}\).
Bernoulli et Riccati
Certaines ED non linéaires possèdent une structure qui permet un changement de variable efficace.
| Forme | Type | Changement de variable | Résultat |
|---|---|---|---|
| \(y^\prime+p(x)\,y=q(x)\,y^n\) | Bernoulli | \(z=y^{1-n}\) (si \(n\neq 1\)) | Linéaire en \(z\) |
| \(y^\prime=a(x)\,y^2+b(x)\,y+c(x)\) | Riccati | Si on connaît \(y_1\) : \(y=y_1+\displaystyle\frac{1}{u}\) | Linéaire en \(u\) |
Bernoulli. On pose \(z=y^{1-n}\), ce qui donne \(z^\prime+(1-n)\,p(x)\,z=(1-n)\,q(x)\).
Exemple (Bernoulli, \(n=2\)). Résoudre \(y^\prime+y=x\,y^2\).
On pose \(z=y^{-1}=\displaystyle\frac{1}{y}\). En divisant par \(y^2\) : \(-z^\prime+z=x\), donc \(z^\prime-z=-x\).
On résout cette linéaire, puis \(y=\displaystyle\frac{1}{z}\) : \(y(x)=\displaystyle\frac{1}{x+1+Ce^{x}}\).
Riccati. Dès qu’on connaît une particulière \(y_1\) (souvent donnée dans l’énoncé), on pose \(y=y_1+\displaystyle\frac{1}{u}\) et \(u\) vérifie une linéaire.
Exemple (Riccati). Résoudre \(y^\prime=y^2-y\).
Particulière évidente : \(y_1=0\). On pose \(y=\displaystyle\frac{1}{u}\).
On obtient : \(u^\prime-u+1=0\), donc \(u(x)=1+Ce^{x}\), et \(y(x)=\displaystyle\frac{1}{1+Ce^{x}}\).
Piège. Pour Riccati, si l’énoncé ne fournit pas \(y_1\), ne passe pas 30 minutes à bricoler. Cherche d’abord une valeur fixe qui convient, puis une forme simple (affine, exponentielle).
Erreurs fréquentes et checklist
Erreur 1 — Appliquer une formule sans avoir identifié la forme : commence toujours par « Quel cas ? ».
Erreur 2 — Oublier le paramètre \(C\) dans la forme générale (et le perdre en route).
Erreur 3 — Mal gérer la condition initiale : on l’applique après avoir écrit la forme générale.
Erreur 4 — Ne pas vérifier : une substitution dans le problème de départ te protège des fautes de signe.
Checklist (avant de rendre)
- J’ai mis le problème sous une forme claire.
- J’ai identifié le bon cas (homogène / second membre / variables séparables / Bernoulli / Riccati).
- J’ai écrit la forme générale avec \(C\).
- J’ai appliqué la condition initiale pour fixer \(C\).
- J’ai vérifié en remplaçant dans le problème de départ.
FAQ — Équations différentielles d’ordre 1
Quelle différence entre l'ordre 1 et l'ordre 2 ?
L’ordre 1 fait intervenir \(y^\prime\) au maximum. L’ordre 2 fait apparaître \(y^{\prime\prime}\). Les techniques changent : l’ordre 2 (coefficients constants) passe par une équation caractéristique. Voir : équation différentielle d’ordre 2.
Comment savoir rapidement quelle méthode utiliser ?
Regarde si le coefficient devant \(y\) est fixe ou variable, et si le second membre est un réel, une expression de \(x\), ou absent. Le tableau « diagnostic rapide » dans la section Terminale te donne la stratégie en quelques secondes.
Qu'est-ce qu'un problème de Cauchy ?
C’est la donnée d’une ED + une condition initiale \(y(x_0)=y_0\). Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence et l’unicité. En pratique, tu résous (forme générale avec \(C\)), puis tu fixes \(C\) avec la condition.
Comment trouver la solution particulière yp en prépa ?
D’abord l’ansatz : si \(f(x)\) est un polynôme, une exponentielle ou un cos/sin, on devine la forme de \(y_p\) et on identifie les coefficients. Si ça ne marche pas, on passe à la variation de la constante.
Quand utiliser les variables séparables ?
Quand le problème s’écrit \(g(y)\,y^\prime=h(x)\) (pas forcément linéaire). La variation de la constante, elle, s’applique aux cas linéaires \(y^\prime+a(x)\,y=b(x)\). Si c’est linéaire, les deux approches fonctionnent — choisis celle qui simplifie le calcul.
Où trouver des exercices corrigés ?
Sur la page dédiée du cocon, niveaux Terminale → Prépa : exercices corrigés d’équations différentielles + PDF.
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