Une équation différentielle d’ordre 1 relie une fonction inconnue et sa dérivée. En Terminale, c’est un classique du bac (souvent sous des formes très “standard”). En Prépa, on pousse la méthode vers la forme générale avec coefficients variables.
Objectif de cette page : te donner une méthode fiable (et une rédaction propre) pour résoudre les cas d’ordre 1, sans te perdre dans des détails inutiles. Pour une vue d’ensemble (tous ordres) et le lien avec l’ordre 2, tu peux aussi consulter la page pilier : Équations différentielles.
Astuce (ce qui fait gagner des points). Dans 90% des exercices scolaires, la difficulté n’est pas “la formule” : c’est reconnaître la bonne forme puis appliquer la méthode sans sauter d’étapes (solution générale, condition initiale, vérification).
Définition et vocabulaire indispensable (équation différentielle d’ordre 1)
Ordre 1 : ce que ça signifie
Définition. Une équation différentielle d’ordre 1 est une relation qui implique l’inconnue \(y\) et sa dérivée \(y’\), typiquement sous la forme \(y'(x)=F(x,y(x))\). Résoudre l’équation, c’est trouver une (ou plusieurs) fonctions \(y\) qui vérifient cette relation.
En pratique, tu verras très souvent des formes “linéaires” où \(y\) apparaît de manière simple, par exemple \(y’=a\,y\) ou \(y’+a(x)\,y=b(x)\).
Linéaire, homogène, second membre : le minimum utile
On appelle souvent équation différentielle linéaire d’ordre 1 une équation de la forme \(y’+a(x)\,y=b(x)\). Le terme \(b(x)\) est le second membre.
- Si \(b(x)=0\), l’équation est dite homogène : \(y’+a(x)\,y=0\).
- Si \(b(x)\neq 0\), on est dans le cas avec second membre.
Solution générale vs solution particulière (idée à retenir)
Dans les cas linéaires, une idée centrale est :
Structure des solutions (à retenir). Pour \(y’+a(x)\,y=b(x)\), dès qu’on connaît : (i) une solution \(y_h\) de l’homogène \(y’+a(x)\,y=0\), et (ii) une solution particulière \(y_p\) de l’équation complète, alors l’ensemble des solutions s’écrit \(y=y_p+C\,y_h\) (sur un intervalle où tout a du sens).
La condition initiale (par exemple \(y(x_0)=y_0\)) sert ensuite à déterminer la constante \(C\).
Reconnaître la forme et choisir la bonne méthode (diagnostic rapide)
Les 3 formes “Terminale” à connaître
En Terminale, tu rencontres très souvent ces trois formes (avec \(a\) constant) :
| Forme | Ce qu’on fait | À la fin |
|---|---|---|
| \(y’=a\,y\) | Solution exponentielle | \(y(x)=C\,e^{a x}\) |
| \(y’=a\,y+b\) | Particulière constante + homogène | \(y(x)=C\,e^{a x}-\frac{b}{a}\) (si \(a\neq 0\)) |
| \(y’=a\,y+f(x)\) | Variation de la constante | Expression avec une intégrale + \(C\) |
La forme “prépa” : quand elle apparaît et ce que ça change
En Prépa (ou dans certaines extensions), tu vois la forme générale : \(y’+a(x)\,y=b(x)\). Ici, \(a(x)\) et \(b(x)\) dépendent de \(x\) : on utilise le facteur intégrant.
Important : cette page reste centrée sur l’ordre 1. Pour l’ordre 2 (équation caractéristique, solutions trigonométriques, etc.), va plutôt vers : Équation différentielle d’ordre 2.
Mini-checklist : repérer a(x), b(x), et la CI
Checklist (avant de calculer).
- Identifier clairement l’inconnue \(y\) et la variable \(x\).
- Mettre l’équation sous une forme lisible : \(y’=a(x)\,y+b(x)\) ou \(y’+a(x)\,y=b(x)\).
- Repérer si \(a(x)\) est constant (Terminale) ou non (Prépa).
- Repérer la condition initiale éventuelle : \(y(x_0)=y_0\).
- Prévoir une vérification rapide (remplacement dans l’équation).
Méthode 1 : cas homogène \(y^{\prime}=a\,y\) (coefficients constants)
Ce cas est le plus fréquent en Terminale. L’idée est simple : une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle.
Résultat clé — Les solutions de \(y^{\prime}=a\,y\) sont exactement les fonctions de la forme :
\(y(x)=C\,e^{a x}\), où \(C\) est une constante réelle.
Si on te donne une condition initiale \(y(x_0)=y_0\), tu obtiens immédiatement :
\(y_0=C\,e^{a x_0}\), donc \(C=y_0 e^{-a x_0}\).
Exemple guidé — Résoudre \(y^{\prime}=3y\) avec \(y(0)=2\).
On sait que \(y(x)=C e^{3x}\). Avec \(y(0)=2\), on obtient \(C e^{0}=2\), donc \(C=2\).
Solution : \(y(x)=2e^{3x}\).
Vérification : \(y^{\prime}(x)=6e^{3x}\) et \(3y(x)=6e^{3x}\), donc l’égalité est vraie.
Méthode 2 : \(y^{\prime}=a\,y+b\) (second membre constant)
Ici, l’astuce est de trouver une solution particulière constante : si \(y_p\) est constante, alors \(y_p^{\prime}=0\). On impose donc :
\(0=a\,y_p+b\), d’où \(y_p=-\frac{b}{a}\) si \(a\) ≠ 0.
Ensuite, la solution générale est :
\(y(x)=C e^{a x}-\frac{b}{a}\) (si \(a\) ≠ 0).
Piège classique — Beaucoup d’élèves se trompent sur le signe de la particulière. Retenir : on résout \(a\,y_p+b=0\), donc \(y_p=-\frac{b}{a}\).
Et si \(a=0\), l’équation devient \(y^{\prime}=b\) : c’est un cas à part (fonction affine).
Exemple guidé — Résoudre \(y^{\prime}=2y-6\) avec \(y(0)=1\).
On cherche une particulière constante : \(0=2y_p-6\) donc \(y_p=3\).
Solution générale : \(y(x)=C e^{2x}+3\).
Condition initiale : \(1=C+3\), donc \(C=-2\).
Solution : \(y(x)=3-2e^{2x}\).
Méthode 3 : \(y^{\prime}=a\,y+f(x)\) (variation de la constante)
Ce cas est une extension naturelle : la partie homogène reste \(C e^{a x}\), mais la “constante” devient une fonction.
Méthode (variation de la constante) — On pose \(y(x)=u(x)e^{a x}\).
Alors \(y^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)e^{a x}+a u(x)e^{a x}\). En remplaçant dans \(y^{\prime}=a y+f(x)\), il reste :
\(u^{\prime}(x)e^{a x}=f(x)\), donc \(u^{\prime}(x)=f(x)e^{-a x}\).
On intègre, puis on remonte à \(y\).
Exemple guidé — Résoudre \(y^{\prime}=y+e^{2x}\).
Ici \(a=1\) et \(f(x)=e^{2x}\). Posons \(y=u e^{x}\). Alors \(u^{\prime}=e^{2x}e^{-x}=e^{x}\).
Donc \(u(x)=e^{x}+C\). Ainsi \(y(x)=u(x)e^{x}=(e^{x}+C)e^{x}=e^{2x}+C e^{x}\).
Solution : \(y(x)=e^{2x}+C e^{x}\).
Dans la pratique (Terminale + début prépa), retiens surtout : homogène + une particulière. La variation de la constante fournit une façon systématique d’obtenir cette particulière.
Niveau Prépa : \(y^{\prime}+a(x)\,y=b(x)\) (variation de la constante / facteur intégrant)
Quand le coefficient devant \(y\) dépend de \(x\), la forme standard en prépa est : \(y’+p(x)\,y=q(x)\). La méthode “propre” se fait en 2 étapes : (1) résoudre l’homogène, puis (2) faire une variation de la constante pour obtenir une solution particulière.
Piège #1 — Ne démarre jamais tant que tu n’as pas mis l’équation sous la forme exacte \(y’+p(x)\,y=q(x)\). Si tu pars d’une équation du type \(\alpha(x)\,y’+\beta(x)\,y=\gamma(x)\), commence par diviser par \(\alpha(x)\) (sur un intervalle où \(\alpha(x)\) ne s’annule pas).
Piège #2 — Il faut souvent préciser un intervalle de résolution (par exemple quand \(p(x)=\frac{1}{x}\)). On travaille alors sur \((0,+\infty)\) ou sur \((-\infty,0)\), selon le contexte.
Étape 1 — Résoudre l’équation homogène associée
On commence par l’équation homogène : \(y’+p(x)\,y=0\). L’idée est d’isoler une primitive de \(p(x)\).
Résultat (homogène). Soit \(P\) une primitive de \(p\) sur un intervalle \(I\) (donc \(P'(x)=p(x)\)).
Alors les solutions de \(y’+p(x)\,y=0\) sur \(I\) sont :
\(y_h(x)=C\,e^{-P(x)}\), où \(C\) est une constante réelle.
(Réflexe de vérification : si \(y_h=C\,e^{-P}\), alors \(y_h’=-p(x)\,C\,e^{-P}\), donc \(y_h’+p(x)\,y_h=0\).)
Étape 2 — Variation de la constante : obtenir la solution générale
On repart de l’équation complète \(y’+p(x)\,y=q(x)\). On cherche une solution sous la forme : \(y(x)=u(x)\,e^{-P(x)}\), c’est-à-dire qu’on remplace la constante \(C\) par une fonction \(u(x)\).
Calcul clé. En posant \(y=u\,e^{-P}\), on obtient :
\(y’=u’\,e^{-P}-p(x)\,u\,e^{-P}\).
En remplaçant dans \(y’+p(x)\,y=q(x)\), il reste :
\(u'(x)\,e^{-P(x)}=q(x)\), donc \(u'(x)=q(x)\,e^{P(x)}\).
On intègre ensuite : \(u(x)=\int q(x)\,e^{P(x)}\,dx + C\). En revenant à \(y\), on obtient la solution générale :
Formule finale (ordre 1 linéaire).
\(y(x)=e^{-P(x)}\left(C+\int q(x)\,e^{P(x)}\,dx\right)\)
Une solution particulière s’obtient en prenant \(C=0\) : \(y_p(x)=e^{-P(x)}\int q(x)\,e^{P(x)}\,dx\).
Exemple prépa (propre) — Résoudre \(y’+\frac{2}{x}y=x^2\) sur \(x\) > 0.
Étape 1 (homogène). On résout \(y’+\frac{2}{x}y=0\).
Ici \(p(x)=\frac{2}{x}\). On peut prendre \(P(x)=2\ln x\) (valable car \(x\) > 0). Donc \(e^{-P(x)}=e^{-2\ln x}=\frac{1}{x^2}\) et \(y_h(x)=\frac{C}{x^2}\).
Étape 2 (variation de la constante). On pose \(y(x)=\frac{u(x)}{x^2}\).
Alors \(y'(x)=\frac{u'(x)}{x^2}-\frac{2u(x)}{x^3}\). En remplaçant dans \(y’+\frac{2}{x}y=x^2\), les termes en \(u\) s’annulent et il reste : \(\frac{u'(x)}{x^2}=x^2\), donc \(u'(x)=x^4\).
On intègre : \(u(x)=\frac{x^5}{5}+C\), puis \(y(x)=\frac{u(x)}{x^2}=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}\) sur \(x\) > 0.
Exemples guidés + mini-entraînement (ordre 1)
Tu as vu la méthode sur les formes essentielles. Maintenant, un mini-entraînement pour automatiser (sans remplacer la banque d’entraînement du cocon).
- Flash 1 — Résoudre \(y^{\prime}=-4y\) avec \(y(0)=3\).
- Flash 2 — Résoudre \(y^{\prime}=2y+6\) avec \(y(1)=0\).
- Flash 3 — Résoudre \(y^{\prime}-y=e^{x}\) avec \(y(0)=1\).
Corrigé express
1) \(y(x)=C e^{-4x}\), et \(y(0)=3\) donne \(C=3\), donc \(y(x)=3e^{-4x}\).
2) Particulière constante : \(0=2y_p+6\) donc \(y_p=-3\). Ainsi \(y(x)=C e^{2x}-3\). Avec \(y(1)=0\) : \(0=C e^{2}-3\) donc \(C=3e^{-2}\).
3) On met sous forme \(y^{\prime}=y+e^{x}\). Posons \(y=u e^{x}\), alors \(u^{\prime}=e^{x}e^{-x}=1\), donc \(u=x+C\) et \(y=e^{x}(x+C)\). Avec \(y(0)=1\) : \(1=1\cdot (0+C)\) donc \(C=1\).
Pour t’entraîner sérieusement (ordre 1 et ordre 2, niveaux Terminale → Prépa), utilise la page : Exercices d’équations différentielles.
Erreurs fréquentes et checklist “copie parfaite”
Erreur 1 — Appliquer une formule sans avoir identifié la forme : commence toujours par “Quel cas ?”.
Erreur 2 — Oublier que la solution générale contient une constante \(C\) (et la perdre en route).
Erreur 3 — Mal gérer la condition initiale : on l’applique après avoir écrit la solution générale.
Erreur 4 — Ne pas vérifier : une substitution te protège des fautes de signe.
Checklist (avant de rendre)
- J’ai mis l’équation sous une forme claire (standard si besoin).
- J’ai identifié le bon cas (coeff constants / variables, second membre).
- J’ai écrit une solution générale avec la constante \(C\).
- J’ai appliqué la condition initiale (si donnée) pour déterminer \(C\).
- J’ai vérifié en remplaçant dans l’équation.
Équations différentielles du premier ordre à coefficients particuliers (Bernoulli, Riccati)
En Prépa (et parfois dans des exercices “bonus” en Terminale), on rencontre des équations différentielles d’ordre 1 qui ne sont pas directement de la forme linéaire \(y’+a(x)\,y=b(x)\), mais qui possèdent une structure particulière permettant un changement de variable (ou une simplification) efficace.
Réflexe premium. Avant de calculer, commence par identifier la forme (Bernoulli ? Riccati ?). Ensuite seulement, choisis la méthode : substitution, variation de la constante, ou facteur intégrant (après réduction à une équation linéaire).
Lecture graphique (utile). Même sans résoudre, on peut se faire une idée qualitative en regardant le signe de \(y’\) selon \(x\) et \(y\) (champ de pentes / représentation graphique de la solution). Ça aide à contrôler si la solution trouvée est cohérente.
| Forme repérée | Type | Changement de variable | Ce que ça devient |
|---|---|---|---|
| \(y’+p(x)\,y=q(x)\,y^n\) | Équation de Bernoulli | \(z=y^{1-n}\) (si \(n\neq 1\)) | Équation linéaire en \(z\) |
| \(y’=a(x)\,y^2+b(x)\,y+c(x)\) | Équation de Riccati | Si on connaît une solution \(y_1\) : \(y=y_1+\frac{1}{u}\) | Équation linéaire en \(u\) |
Équation de Bernoulli : reconnaître et réduire à une équation linéaire
Une équation de Bernoulli est de la forme : \(y’+p(x)\,y=q(x)\,y^n\). Elle n’est pas linéaire à cause du terme \(y^n\), mais elle se ramène à une équation différentielle linéaire d’ordre 1 par un changement de variable.
Méthode (Bernoulli). Si \(n\neq 1\), on pose :
\(z=y^{1-n}\).
Alors on obtient une équation linéaire en \(z\) :
\(z’+(1-n)\,p(x)\,z=(1-n)\,q(x)\).
Piège. Si \(n=0\) ou \(n=1\), l’équation n’est plus vraiment “Bernoulli” au sens utile : elle devient déjà une équation linéaire (ou homogène). Ne force pas la substitution.
Autre piège. La substitution \(z=y^{1-n}\) suppose de travailler là où l’expression a du sens (par exemple si tu manipules \(\frac{1}{y}\), pense au cas \(y=0\)).
Exemple (Bernoulli, \(n=2\)). Résoudre :
\(y’+y=x\,y^2\).
On reconnaît Bernoulli avec \(p(x)=1\), \(q(x)=x\), \(n=2\). Posons \(z=y^{1-2}=y^{-1}\), donc \(z=\frac{1}{y}\).
En divisant l’équation par \(y^2\) (sur un intervalle où \(y\) ne s’annule pas), on obtient : \(\frac{y’}{y^2}+\frac{1}{y}=x\), soit \(-z’+z=x\), donc \(z’-z=-x\).
On résout l’équation linéaire en \(z\) (facteur intégrant), puis on revient à \(y=\frac{1}{z}\). On obtient : \(z=x+1+C\,e^{x}\), donc \(y(x)=\frac{1}{x+1+C\,e^{x}}\).
Équation de Riccati : méthode si on connaît une solution particulière
Une équation de Riccati est typiquement de la forme : \(y’=a(x)\,y^2+b(x)\,y+c(x)\). Contrairement à Bernoulli, elle n’est pas systématiquement résoluble “en formule” sans information supplémentaire. En revanche, dès qu’on connaît une solution particulière \(y_1\) (par inspection, ou donnée dans l’énoncé), la Riccati se ramène à une équation différentielle linéaire d’ordre 1.
Méthode (Riccati avec une solution connue). Si \(y_1\) est une solution de
\(y’=a(x)\,y^2+b(x)\,y+c(x)\),
on pose le changement de variable :
\(y=y_1+\frac{1}{u}\).
Alors \(u\) vérifie une équation linéaire :
\(u’+\left(2a(x)\,y_1(x)+b(x)\right)u+a(x)=0\).
Piège. Si tu ne connais pas de solution particulière \(y_1\), ne perds pas 30 minutes à “bricoler”. En DS/colle, l’énoncé fournit souvent un indice : une solution évidente (constante, ou simple), ou une forme à deviner.
Constantes dans la solution. Comme toujours, la solution générale contient une constante \(C\) : ne la fais pas disparaître pendant le calcul (et applique la condition initiale seulement à la fin).
Exemple (Riccati avec solution évidente). Résoudre :
\(y’=y^2-y\).
On repère une solution particulière simple : \(y_1=0\) (car \(0=0\)). On pose \(y=\frac{1}{u}\).
Ici \(a=1\), \(b=-1\), \(c=0\), et la formule donne : \(u’+(2\cdot 1\cdot 0-1)u+1=0\), soit \(u’-u+1=0\).
On résout l’équation linéaire : \(u(x)=1+C\,e^{x}\), puis \(y(x)=\frac{1}{1+C\,e^{x}}\).
Pour t’entraîner sur ces formes (identification, constantes, changement de variable), la page d’exercices du cocon regroupe tout au même endroit : exercices d’équations différentielles.
FAQ — Équations différentielles d’ordre 1
Quelle différence entre une équation différentielle d’ordre 1 et d’ordre 2 ?
Ordre 1 : la plus grande dérivée est \(y^{\prime}\). Ordre 2 : apparaît \(y^{\prime\prime}\). Les techniques changent : l’ordre 2 (coeff constants) passe souvent par une équation caractéristique. Voir : équation différentielle d’ordre 2.
Comment savoir rapidement quelle méthode utiliser ?
Regarde si le coefficient devant \(y\) est constant ou variable, et si le second membre est constant ou une fonction \(f(x)\). Le tableau “diagnostic rapide” plus haut te donne la stratégie en quelques secondes.
À quoi sert une condition initiale ?
Sans condition initiale, tu as une famille de solutions (paramètre \(C\)). Une condition initiale du type \(y(x_0)=y_0\) fixe une solution unique (dans les cas classiques du programme).
Quand utiliser la variation de la constante ?
Quand tu as \(y^{\prime}=a y+f(x)\) (coeff constant \(a\), second membre fonction). C’est la méthode systématique qui évite de “deviner” une particulière.
Quand utiliser le facteur intégrant ?
Quand l’équation s’écrit \(y^{\prime}+p(x)y=q(x)\) avec \(p(x)\) variable. C’est une généralisation “prépa” très fréquente pour les équations linéaires d’ordre 1.
Où trouver une vraie banque d’entraînement (avec corrigés) ?
Sur la page dédiée du cocon, qui regroupe ordre 1 et ordre 2, niveaux Terminale → Prépa : exercices d’équations différentielles.
