Cercle Trigonométrique (Seconde) : Cours et Propriétés

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En Seconde, la trigonométrie quitte le triangle rectangle pour un outil beaucoup plus puissant : le cercle trigonométrique. Ce cercle de rayon 1, centré à l’origine, permet de lire directement le cosinus, le sinus et la tangente de n’importe quel angle — y compris au-delà de 90°. Dans ce cours complet de trigonométrie, tu trouveras la définition rigoureuse, la notion de radian, l’interprétation géométrique de la tangente (rarement expliquée dans les manuels !), les valeurs remarquables, une méthode de lecture efficace et 6 exercices corrigés.

I. Définition et construction du cercle trigonométrique

A. Définition formelle

En d’autres termes, c’est un cercle unité avec une orientation. Pourquoi un rayon exactement égal à 1 ? Parce que cela permet de lire directement les valeurs de cosinus et de sinus comme des coordonnées, sans facteur d’échelle. C’est cette simplicité qui rend le cercle trigonométrique si efficace.

B. Construction pas à pas

Pour tracer un cercle trigonométrique :

1. Trace un repère orthonormé \((O\,,\,I\,,\,J)\) avec \(O\) l’origine.
2. Place les points \(I(1\,;\,0)\) sur l’axe des abscisses et \(J(0\,;\,1)\) sur l’axe des ordonnées.
3. Trace le cercle de centre \(O\) passant par \(I\) — c’est le cercle de rayon 1.
4. Indique le sens positif par une flèche anti-horaire (sens trigonométrique).

Le cercle coupe les axes en quatre points remarquables : \(I(1\,;\,0)\), \(J(0\,;\,1)\), \((-1\,;\,0)\) et \((0\,;\,-1)\). Ces quatre points correspondent aux angles \(0\), \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) et \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).

C. Sens trigonométrique et angles orientés

Sur le cercle trigonométrique, tout angle est orienté :

• Un angle positif se mesure dans le sens trigonométrique (anti-horaire), depuis le point \(I\).
• Un angle négatif se mesure dans le sens horaire (sens des aiguilles d’une montre).

Quand on effectue un tour complet (soit \(2\pi\) radians, soit 360°), on revient au point de départ. Cela signifie que les angles sont définis modulo \(2\pi\) : les angles \(\theta\) et \(\theta + 2\pi\) correspondent au même point sur le cercle.

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II. Radians et degrés : mesurer un angle sur le cercle

Avant d’exploiter le cercle trigonométrique, il faut maîtriser l’unité de mesure naturelle des angles en mathématiques : le radian.

A. Qu’est-ce qu’un radian ?

Sur le cercle trigonométrique (rayon \(1\)), un angle de \(1\) radian intercepte un arc de longueur exactement \(1\). C’est ce qui rend cette unité si naturelle : la mesure en radians est égale à la longueur de l’arc sur le cercle unité.

Un tour complet correspond à un arc de longueur \(2\pi \times 1 = 2\pi\). Par conséquent :

B. Conversion degrés ↔ radians

Pour convertir un angle d’une unité à l’autre, on utilise la relation \(\pi \,\mathrm{rad} = 180°\) :

Voici les conversions les plus courantes, à connaître par cœur :

Retrouve le tableau complet des valeurs trigonométriques avec cosinus, sinus et tangente pour tous les angles remarquables.

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III. Cosinus, sinus et tangente sur le cercle

C’est ici que le cercle trigonométrique révèle toute sa puissance : il transforme des rapports de longueurs en simples coordonnées d’un point.

A. Cosinus et sinus — les coordonnées du point M

Soit \(\theta\) un angle (en radians). On « enroule » cet angle depuis le point \(I(1\,;\,0)\) dans le sens trigonométrique. Le point d’arrivée \(M\) se trouve sur le cercle.

Pour lire le cosinus, tu projettes \(M\) sur l’axe horizontal. Pour lire le sinus, tu projettes \(M\) sur l’axe vertical. Vérifions sur quelques exemples immédiats :

• Pour \(\theta = 0\) : \(M = I(1\,;\,0)\), donc \(\cos(0) = 1\) et \(\sin(0) = 0\).
• Pour \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) : \(M = J(0\,;\,1)\), donc \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1\).
• Pour \(\theta = \pi\) : \(M = (-1\,;\,0)\), donc \(\cos(\pi) = -1\) et \(\sin(\pi) = 0\).
• Pour \(\theta = \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) : \(M = (0\,;\,-1)\), donc \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) = 0\) et \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) = -1\).

B. L’interprétation géométrique de la tangente

La tangente est souvent perçue comme un simple quotient \(\displaystyle\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\). Mais elle possède une interprétation géométrique remarquable sur le cercle, qui explique d’ailleurs pourquoi elle s’appelle « tangente ».

Trace la droite verticale d’équation \(x = 1\), c’est-à-dire la droite tangente au cercle au point \(I(1\,;\,0)\). Prolonge ensuite la droite \((OM)\) — la droite qui passe par l’origine \(O\) et le point \(M\) du cercle — jusqu’à ce qu’elle coupe cette droite verticale en un point \(T\).

Pourquoi ça marche ? La droite \((OM)\) passe par \(O(0\,;\,0)\) et \(M\bigl(\cos(\theta)\,;\,\sin(\theta)\bigr)\). Son équation est \(y = \displaystyle\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\,x = \tan(\theta)\,x\). En posant \(x = 1\), on obtient \(y = \tan(\theta)\). C’est exactement l’ordonnée du point \(T\).

C’est pour cette raison que cette valeur s’appelle la « tangente » : elle se lit littéralement sur la droite tangente au cercle en \(I\) !

C. Propriétés fondamentales

Le fait que \(M\) appartient au cercle de rayon 1 entraîne immédiatement la propriété la plus importante de toute la trigonométrie :

Démonstration : le point \(M\bigl(\cos(\theta)\,;\,\sin(\theta)\bigr)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon 1. D’après le théorème de Pythagore : \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1^2 = 1\). ∎

D’autres propriétés se lisent directement sur le cercle :

• \(-1 \leq \cos(\theta) \leq 1\) et \(-1 \leq \sin(\theta) \leq 1\) (le point \(M\) reste dans le carré \([-1\,;\,1] \times [-1\,;\,1]\)).
• \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques de période \(2\pi\) : un tour complet ramène au même point.
• \(\cos\) est paire : \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\) (symétrie par rapport à l’axe des abscisses).
• \(\sin\) est impaire : \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\).
• \(\tan(\theta) = \displaystyle\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\), définie pour tout \(\theta\) tel que \(\cos(\theta) \neq 0\).

Pour l’ensemble des formules de trigonométrie (addition, duplication, linéarisation, angles associés), consulte notre formulaire complet.

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IV. Valeurs remarquables et lecture graphique

Certaines valeurs de cosinus et de sinus reviennent constamment dans les exercices et les épreuves. Les retenir te fera gagner un temps précieux.

A. Comment lire les valeurs sur le cercle

Pour déterminer \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\) graphiquement :

1. Place le point \(M\) associé à l’angle \(\theta\) sur le cercle trigonométrique.
2. Projette \(M\) sur l’axe horizontal (axe des abscisses) : tu lis \(\cos(\theta)\).
3. Projette \(M\) sur l’axe vertical (axe des ordonnées) : tu lis \(\sin(\theta)\).

B. Les cinq angles à connaître par cœur

Ces cinq lignes couvrent le premier quadrant. Toutes les autres valeurs s’en déduisent par symétrie.

Pour le tableau complet avec tous les quadrants, consulte notre tableau des valeurs trigonométriques.

C. Signe de cos, sin et tan dans chaque quadrant

Le cercle est divisé en quatre quadrants. Les signes de cosinus, sinus et tangente dépendent du quadrant dans lequel se trouve l’angle :

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V. Méthode : placer un angle et lire ses valeurs trigonométriques

Voici la démarche à suivre pour tout exercice qui te demande de déterminer les valeurs de cosinus, sinus et tangente d’un angle donné.

A. Les quatre étapes

1. Convertir l’angle en radians si nécessaire (formule : multiplier les degrés par \(\displaystyle\frac{\pi}{180}\)).
2. Ramener l’angle dans \([0\,;\,2\pi[\) en ajoutant ou retranchant \(2\pi\) autant de fois que nécessaire.
3. Identifier le quadrant pour connaître les signes de cos, sin et tan.
4. Déterminer l’angle de référence (angle aigu associé) et lire les valeurs dans le tableau du premier quadrant. Appliquer les signes du quadrant.

B. Exemples résolus

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VI. Exercices corrigés (★ à ★★★)

Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chacun avant de déplier la correction.

Exercice 1 (★) — Conversions degrés ↔ radians

Convertis en radians : 135°, 210° et 330°. Convertis en degrés : \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\) et \(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\).

Voir la correction

Degrés → radians :

• \(135° = 135 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\)
• \(210° = 210 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \displaystyle\frac{7\pi}{6}\)
• \(330° = 330 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \displaystyle\frac{11\pi}{6}\)

Radians → degrés :

• \(\displaystyle\frac{3\pi}{4} \times \displaystyle\frac{180}{\pi} = 135°\)
• \(\displaystyle\frac{5\pi}{3} \times \displaystyle\frac{180}{\pi} = 300°\)

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Exercice 2 (★) — Lecture directe sur le cercle

Sans tableau ni calculatrice, détermine \(\cos(\pi)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\) et \(\cos(2\pi)\) en utilisant la position du point sur le cercle.

Voir la correction

• \(\theta = \pi\) : le point est \((-1\,;\,0)\), donc \(\cos(\pi) = -1\).
• \(\theta = \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) : le point est \((0\,;\,-1)\), donc \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) = -1\).
• \(\theta = 2\pi\) : un tour complet ramène au point \(I(1\,;\,0)\), donc \(\cos(2\pi) = 1\).

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Exercice 3 (★★) — Signes dans les quadrants

Pour chacun des angles suivants, identifie le quadrant et donne le signe de \(\cos(\theta)\), \(\sin(\theta)\) et \(\tan(\theta)\) :

a) \(\theta = \displaystyle\frac{2\pi}{3}\)    b) \(\theta = \displaystyle\frac{7\pi}{6}\)    c) \(\theta = \displaystyle\frac{11\pi}{6}\)

Voir la correction

a) \(\displaystyle\frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\). On a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) < \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) < \(\pi\) → 2^e quadrant. Cos \(–\), sin \(+\), tan \(–\).

b) \(\displaystyle\frac{7\pi}{6} \approx 3{,}67\). On a \(\pi\) < \(\displaystyle\frac{7\pi}{6}\) < \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) → 3^e quadrant. Cos \(–\), sin \(–\), tan \(+\).

c) \(\displaystyle\frac{11\pi}{6} \approx 5{,}76\). On a \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) < \(\displaystyle\frac{11\pi}{6}\) < \(2\pi\) → 4^e quadrant. Cos \(+\), sin \(–\), tan \(–\).

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Exercice 4 (★★) — Utiliser l’identité fondamentale

On sait que \(\cos(\alpha) = -\displaystyle\frac{3}{5}\) et que \(\alpha \in \left]\pi\,;\,\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right[\). Calcule \(\sin(\alpha)\) et \(\tan(\alpha)\).

Voir la correction

Étape 1 : On utilise \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\) :

\(\sin^2(\alpha) = 1 – \cos^2(\alpha) = 1 – \displaystyle\frac{9}{25} = \displaystyle\frac{16}{25}\)

Donc \(\sin(\alpha) = \pm\displaystyle\frac{4}{5}\).

Étape 2 : L’angle \(\alpha\) est dans le 3^e quadrant (\(\pi\) < \(\alpha\) < \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)), donc \(\sin(\alpha)\) < \(0\).

Conclusion : \(\sin(\alpha) = -\displaystyle\frac{4}{5}\).

Étape 3 : \(\tan(\alpha) = \displaystyle\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{4}{5}}{-\displaystyle\frac{3}{5}} = \displaystyle\frac{4}{3}\).

Vérification : dans le 3^e quadrant, la tangente est bien positive. ✓

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Exercice 5 (★★★) — Résoudre une équation sur le cercle

Détermine tous les réels \(\theta \in [0\,;\,2\pi[\) tels que \(\sin(\theta) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Voir la correction

On cherche les points du cercle dont l’ordonnée vaut \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\). Traçons la droite horizontale \(y = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) : elle coupe le cercle en deux points.

Solution 1 : dans le 1^er quadrant, \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\theta_1 = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Solution 2 : par symétrie (2^e quadrant), \(\theta_2 = \pi – \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\).

Ensemble des solutions : \(\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}\,;\,\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right\}\).

Pour la résolution complète des équations trigonométriques, consulte notre cours dédié.

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Exercice 6 (★★★) — Problème de synthèse

Soit \(\theta\) un angle du 2^e quadrant tel que \(\sin(\theta) = \displaystyle\frac{2}{3}\).

a) Calcule \(\cos(\theta)\) (valeur exacte).

b) Calcule \(\tan(\theta)\).

c) En utilisant la parité de cos et sin, déduis-en \(\cos(-\theta)\) et \(\sin(-\theta)\).

Voir la correction

a) D’après l’identité fondamentale :

\(\cos^2(\theta) = 1 – \sin^2(\theta) = 1 – \displaystyle\frac{4}{9} = \displaystyle\frac{5}{9}\)

Donc \(\cos(\theta) = \pm\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Comme \(\theta\) est dans le 2^e quadrant, \(\cos(\theta)\) < \(0\). D’où \(\cos(\theta) = -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\).

b) \(\tan(\theta) = \displaystyle\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} = -\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

c) Par parité :

• \(\cos(-\theta) = \cos(\theta) = -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\) (cosinus est pair)
• \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta) = -\displaystyle\frac{2}{3}\) (sinus est impair)

Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices de trigonométrie corrigés pour le lycée et la prépa.

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les quatre erreurs les plus courantes dans les copies. Apprends à les repérer pour ne jamais les commettre.

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VIII. Questions fréquentes sur le cercle trigonométrique

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Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le cercle trigonométrique : sa définition, sa construction, la lecture du cosinus, du sinus et de la tangente, et les valeurs remarquables. C’est la base de toute la trigonométrie du lycée.

Pour approfondir, voici les étapes suivantes :

• 📘 Sinus, cosinus et tangente : cours complet — définitions, propriétés détaillées et calculs
• 📘 Formules de trigonométrie — addition, duplication, linéarisation, angles associés
• 📊 Tableau des valeurs trigonométriques — toutes les valeurs à connaître, PDF imprimable
• 📘 Fonctions trigonométriques — étude de \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) comme fonctions (Première+)
• 📘 Loi des sinus et théorème d’Al-Kashi — résolution de triangles quelconques
• ✏️ Exercices de trigonométrie corrigés (Lycée & Prépa)

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