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L’épreuve de Mathématiques 2 du concours CCINP 2026, filière MP, est composée de deux exercices et d’un problème, tous indépendants, à traiter en quatre heures sans calculatrice. L’exercice 1 porte sur la réduction d’une matrice \(3 \times 3\) très structurée, l’exercice 2 explore les matrices circulantes et les racines de l’unité pour démontrer un élégant résultat de réalité d’un produit, tandis que le problème construit les polynômes de Laguerre dans un espace préhilbertien à poids exponentiel. Le sujet offre un bon équilibre entre questions accessibles en début de chaque partie et passages techniques exigeants en fin de problème : un candidat bien préparé pouvait viser un score très honorable en traitant méthodiquement les deux exercices et la première moitié du problème.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 (Q1–Q4) | Réduction d’une matrice 3×3 | Accessible | Rang, diagonalisation, polynôme minimal, puissances de matrice |
| Exercice 2 (Q5–Q9) | Matrices circulantes et racines de l’unité | Élevé | Polynôme caractéristique, racines n-ièmes, diagonalisation dans ℂ |
| Problème – Préliminaires (Q10–Q13) | Espaces préhilbertiens | Accessible | Projection orthogonale, inégalité de Bessel, intégrabilité |
| Problème – Laguerre (Q14–Q18) | Polynômes de Laguerre | Élevé | Formule de Leibniz, intégration par parties, base orthonormale |
| Problème – Convergence (Q19–Q20) | Inégalité de Bessel et Parseval | Très élevé | Série convergente, majoration, égalité de Parseval |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 — Réduction d’une matrice 3×3 (Q1–Q4)
On travaille avec la matrice \(A = aJ + bI\) où \(J\) est la matrice \(3\times 3\) dont tous les coefficients valent 1 et \(I\) la matrice identité, avec \(a \neq 0\). L’exercice commence par l’étude du rang et de la diagonalisation de \(J\) sans calcul de déterminant (Q1), puis en déduit que \(A\) est semblable à une matrice diagonale explicite (Q2). La question Q3 identifie le polynôme minimal de \(A\) par un argument purement conceptuel. Enfin, Q4 propose deux méthodes indépendantes pour calculer les puissances \(A^n\) : d’abord par division euclidienne de \(X^n\) par le polynôme minimal, puis par le binôme de Newton appliqué à \(A = aJ + bI\) en exploitant la relation \(J^2 = 3J\).
Exercice 2 — Matrices circulantes et racines de l’unité (Q5–Q9)
L’objectif est de démontrer le résultat (*) : le produit \(P(\omega_1)P(\omega_2)\cdots P(\omega_{n-1})\) est un nombre réel, où les \(\omega_k = e^{i2k\pi/n}\) sont les racines \(n\)-ièmes de l’unité et \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré \(n-1\). Après un exemple introductif avec les racines cubiques (Q5), l’exercice introduit la matrice de permutation cyclique \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et établit son polynôme caractéristique \(\chi_J = X^n – 1\) (Q6). La question Q7 construit la matrice circulante \(A = P(J)\) et la compare au polynôme évalué en \(J\). Les questions Q8–Q9 diagonalisent \(J\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) puis concluent via le déterminant réel de \(A\).
Problème — Espaces préhilbertiens et polynômes de Laguerre (Q10–Q20)
Le problème s’ouvre par une question de cours sur la projection orthogonale et l’inégalité de Bessel (Q10), suivie d’une inégalité arithmétique élémentaire (Q11). On construit ensuite l’espace \(E\) des fonctions continues sur \([0,+\infty[\) dont le carré pondéré par \(e^{-t}\) est intégrable, muni du produit scalaire \(\langle f\,|\,g\rangle = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)g(t)e^{-t}\,\mathrm{d}t\) (Q11–Q12). Après avoir justifié que \(\mathbb{R}[X]\) s’identifie à un sous-espace vectoriel de \(E\) (Q13), on définit \(h_n(x) = x^n e^{-x}\) et les polynômes de Laguerre \(L_n(x) = \displaystyle\frac{e^x}{n!}\displaystyle\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^n e^{-x})\) (Q14). Les questions Q15–Q18 établissent l’orthonormalité des \(L_n\) grâce à des intégrations par parties successives et au calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t = n!\). Enfin, Q19 démontre la convergence de la série de Bessel et Q20 établit une égalité de Parseval pour les fonctions \(g_\alpha(x) = e^{-\alpha x}\).
Notions et chapitres testés
- Algèbre linéaire et réduction : rang d’une matrice, valeurs propres et vecteurs propres, diagonalisation (dans \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\)), polynôme caractéristique, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton, calcul de puissances de matrice.
- Arithmétique des polynômes : division euclidienne, évaluation en les valeurs propres, polynômes annulateurs.
- Nombres complexes : racines \(n\)-ièmes de l’unité, somme des racines, conjugaison complexe, déterminant d’une matrice réelle.
- Espaces préhilbertiens : produit scalaire, norme associée, projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, inégalité de Bessel, bases orthonormales.
- Analyse : intégrales généralisées sur \([0,+\infty[\), intégrabilité avec poids, intégration par parties itérée, formule de Leibniz pour la dérivée \(n\)-ième d’un produit, fonction Gamma (\(\Gamma(n+1)=n!\)), convergence de séries à termes positifs.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet 2026 se situe dans la lignée des épreuves CCINP Maths 2 MP des dernières années : un premier exercice très classique pour engranger des points, un second exercice plus original nécessitant de manipuler des structures algébriques, et un problème long mêlant algèbre et analyse avec une montée en difficulté progressive. L’exercice 1 est un cadeau pour qui maîtrise la réduction ; il est nettement plus abordable que les exercices de réduction des sessions 2023–2024. L’exercice 2, en revanche, est plus exigeant : la construction de la matrice circulante et sa diagonalisation dans \(\mathbb{C}\) nécessitent une compréhension fine du lien entre polynôme évalué en une matrice et spectre. Le problème, avec ses polynômes de Laguerre, rappelle des classiques d’oraux Mines-Centrale et monte en puissance jusqu’aux questions Q19–Q20, réservées aux meilleurs candidats. Dans l’ensemble, un candidat ayant travaillé régulièrement la réduction et les espaces préhilbertiens pouvait raisonnablement traiter les trois quarts du sujet en quatre heures.
Pièges et points techniques délicats
Q1 — « Sans calculer de déterminant ». L’énoncé interdit explicitement le calcul du déterminant pour diagonaliser \(J\). Beaucoup de candidats lancent machinalement \(\det(J – \lambda I)\). Il faut raisonner par le rang : \(J\) est de rang 1 (toutes les colonnes proportionnelles), donc \(\dim(\ker J) = 2\), et la seule valeur propre non nulle est \(\mathrm{tr}(J) = 3\). La matrice \(J\) est symétrique réelle donc diagonalisable : c’est l’argument attendu.
Q3 — Polynôme minimal « sans calculs ». L’erreur fréquente est de tenter de vérifier \(\pi_A(A) = 0\) par le calcul matriciel. L’argument est purement conceptuel : \(A\) est diagonalisable avec deux valeurs propres distinctes \(b\) et \(3a+b\) (distinctes car \(a \neq 0\)). Le polynôme minimal d’une matrice diagonalisable est le produit des facteurs \((X – \lambda_i)\) sans multiplicité : \(\pi_A = (X-b)(X-3a-b)\).
Q4a — Division euclidienne et évaluation aux valeurs propres. On pose \(\lambda = 3a+b\) et on écrit \(X^n = Q(X)\pi_A(X) + R(X)\) avec \(\deg R \leq 1\). La relation \(A^n = R(A)\) est acquise par Cayley-Hamilton. Le piège est d’oublier que le reste \(R(X) = \alpha X + \beta\) se détermine en évaluant aux deux valeurs propres : \(R(b) = b^n\) et \(R(\lambda) = \lambda^n\). Résous ce système avant de substituer dans \(A^n = \alpha A + \beta I\).
Q6 — Polynôme caractéristique de la matrice de permutation cyclique. Le calcul direct du déterminant \(n \times n\) par développement est fastidieux et source d’erreurs. L’approche efficace est de remarquer que \(J^n = I_n\) (la permutation cyclique d’ordre \(n\)), donc les valeurs propres sont des racines \(n\)-ièmes de l’unité. Comme \(\chi_J\) est un polynôme unitaire de degré \(n\) qui divise \(X^n – 1\) (lui-même de degré \(n\)), on conclut \(\chi_J = X^n – 1\).
Q14a — Annulation de \(h_n^{(p)}(0)\) pour \(p\) < \(n\). Il faut appliquer la formule de Leibniz à \(h_n = x^n \cdot e^{-x}\) pour calculer \(h_n^{(p)}(x)\). Chaque terme du développement contient un facteur \(x^{n-j}\) avec \(n – j \geq 1\), donc tous s’annulent en \(x = 0\). Ce résultat est crucial pour la suite : il garantit l’annulation des termes de bord lors des intégrations par parties de Q15.
Q20 — Passage de l’inégalité à l’égalité de Parseval. La difficulté est de montrer que l’inégalité de Bessel devient une égalité pour \(g_\alpha(x) = e^{-\alpha x}\). Vérifie d’abord que \(g_\alpha \in E\) : l’intégrabilité de \(e^{-2\alpha t} \cdot e^{-t} = e^{-(2\alpha+1)t}\) exige \(\alpha\) > \(-\displaystyle\frac{1}{2}\). Ensuite, calcule explicitement \(\langle g_\alpha \,|\, L_n \rangle\) et \(\Vert g_\alpha \Vert^2\), puis somme la série géométrique obtenue pour conclure à l’égalité.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
Q1 : Observer que \(J = u\, u^T\) avec \(u = (1,1,1)^T\), d’où \(\mathrm{rg}(J) = 1\). Les valeurs propres sont \(0\) (multiplicité 2) et \(3\) (multiplicité 1). La matrice \(J\) est réelle symétrique, donc diagonalisable dans une base orthonormée.
Q2 : Écrire \(A = aJ + bI\). Si \(J = P\,\mathrm{diag}(0,0,3)\,P^{-1}\), alors \(A = P\,\mathrm{diag}(b,\,b,\,3a+b)\,P^{-1}\).
Q4b : Calculer \(J^2 = 3J\) (vérification directe), d’où \(J^k = 3^{k-1}J\) pour tout \(k \geq 1\). Développer \(A^n = (aJ + bI)^n\) par le binôme de Newton (les matrices \(J\) et \(I\) commutent), substituer \(J^k = 3^{k-1}J\), et reconnaître une somme partielle de binôme pour obtenir \(A^n = b^n I + \displaystyle\frac{(3a+b)^n – b^n}{3}\,J\). Vérifier la cohérence avec le résultat de Q4a.
Exercice 2
Q5 : Rappeler que \(1 + j + j^2 = 0\) (somme des racines cubiques de l’unité). Choisir par exemple \(P = 1 + 2X + 3X^2\), calculer \(P(j) = -2 – j\) et \(P(j^2) = -1 + j\), puis vérifier que leur produit vaut 3, un réel.
Q7 : Comparer les colonnes de la matrice circulante \(A\) (dont chaque ligne est un décalage cyclique de la première) avec celles de \(P(J) = a_0 I + a_1 J + \cdots + a_{n-1}J^{n-1}\). La coïncidence traduit la structure circulante.
Q8–Q9 : Les valeurs propres de \(J\) dans \(\mathbb{C}\) sont les \(\omega_k\), donc celles de \(A = P(J)\) sont les \(P(\omega_k)\). Le déterminant \(\det(A) = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} P(\omega_k)\) est réel car \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Puisque \(P(\omega_0) = P(1) \in \mathbb{R}\), le produit restant \(P(\omega_1)\cdots P(\omega_{n-1})\) est bien réel.
Problème
Q10 : Question de cours classique. Décomposer \(x = p_F(x) + (x – p_F(x))\) avec \(x – p_F(x) \in F^\perp\). En développant \(\Vert x \Vert^2 = \Vert p_F(x)\Vert^2 + \Vert x – p_F(x)\Vert^2\) (Pythagore), on obtient les deux inégalités demandées.
Q11–Q12 : L’inégalité \(|ab| \leq \displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}\) découle de \((a-b)^2 \geq 0\). L’intégrabilité de \(f(t)g(t)e^{-t}\) s’obtient par majoration : \(|fg| \leq \displaystyle\frac{f^2+g^2}{2}\), et les deux termes sont intégrables par hypothèse. Les axiomes du produit scalaire (bilinéarité, symétrie, définie positivité) se vérifient par propriétés de l’intégrale.
Q15–Q16 : Utiliser la relation \(L_n(t) = \displaystyle\frac{e^t}{n!}\,h_n^{(n)}(t)\) pour réécrire \(\langle g\,|\,L_n\rangle\) comme \(\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_0^{+\infty} g(t)\,h_n^{(n)}(t)\,\mathrm{d}t\). Effectuer \(n\) intégrations par parties : les termes de bord s’annulent grâce à Q14a et à la décroissance exponentielle. Pour \(i\) < \(j\), on obtient \(\langle L_i\,|\,L_j\rangle = 0\) car \(L_i^{(j)} = 0\) (le degré de \(L_i\) est \(i\) < \(j\)).
Q17 : Le calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t = n!\) s’effectue par intégration par parties récurrente (c’est la fonction exponentielle qui produit la relation \(\Gamma(n+1) = n\,\Gamma(n)\)). On en déduit \(\langle L_n\,|\,L_n\rangle = 1\), confirmant l’orthonormalité de la famille \((L_0, L_1, \ldots, L_n)\).
Q19 : L’inégalité de Bessel (Q10b) appliquée à la projection sur \(\mathbb{R}_n[X]\) donne \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \langle g\,|\,L_k\rangle^2 \leq \Vert g \Vert^2\) pour tout \(n\). La suite des sommes partielles est croissante et majorée, donc la série converge et sa somme est majorée par \(\Vert g \Vert^2\).
Q20 : Pour \(g_\alpha(x) = e^{-\alpha x}\), on vérifie \(g_\alpha \in E\) puis on calcule \(\langle g_\alpha\,|\,L_n\rangle = \displaystyle\frac{\alpha^n}{(1+\alpha)^{n+1}}\) et \(\Vert g_\alpha \Vert^2 = \displaystyle\frac{1}{2\alpha+1}\). La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \displaystyle\frac{\alpha^{2n}}{(1+\alpha)^{2n+2}}\) est géométrique de raison \(\displaystyle\frac{\alpha^2}{(1+\alpha)^2}\) < \(1\), et sa somme vaut exactement \(\displaystyle\frac{1}{2\alpha+1}\), d’où l’égalité de Parseval.
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme plusieurs tendances récurrentes au CCINP :
- Maîtrise absolue de la réduction : diagonalisation, polynôme minimal, lien entre polynôme caractéristique et polynôme minimal, calcul des puissances. Ces notions reviennent chaque année. Entraîne-toi sur des matrices structurées (matrices circulantes, matrices à blocs, matrices de rang 1) et apprends à identifier rapidement les valeurs propres par le rang et la trace.
- Espaces préhilbertiens et projection orthogonale : le problème de cette épreuve suit un schéma classique (construction d’un produit scalaire, orthonormalisation, inégalité de Bessel, Parseval). Assure-toi de connaître parfaitement la question de cours sur la projection orthogonale — c’est un point quasiment offert à chaque session.
- Intégrales généralisées et intégration par parties : la manipulation d’intégrales sur \([0,+\infty[\) avec des poids exponentiels est un grand classique. Revois les critères de convergence, les techniques de comparaison, et les intégrations par parties « en cascade ». Le calcul de \(\Gamma(n+1) = n!\) est un résultat incontournable.
- Racines de l’unité et diagonalisation dans \(\mathbb{C}\) : l’exercice 2 montre que les matrices circulantes et la diagonalisation complexe sont pleinement au programme. Travaille les propriétés des racines \(n\)-ièmes (somme, produit, conjugaison) et leur lien avec le spectre des matrices de permutation.
Stratégie de gestion du temps : commence par l’exercice 1 (rapide et très rentable), enchaîne avec les questions de cours du problème (Q10–Q13), puis attaque l’exercice 2. Réserve les questions Q19–Q20 pour la fin si le temps le permet. Ce séquencement maximise le nombre de points accessibles dans les quatre heures imparties.
