Tu as un contrôle sur les puissances qui approche, ou tu veux juste être sûr de bien maîtriser les règles de calcul ? Tu es au bon endroit. Voici 15 exercices sur les puissances de niveau 4ème, classés du plus simple au plus complet, et surtout tous corrigés en détail. On ne te donne pas juste la réponse : chaque correction t’explique le raisonnement, étape par étape, pour que tu comprennes pourquoi ça marche. Tu retrouveras du calcul de puissances, des puissances de 10, l’écriture scientifique et les pièges classiques du chapitre. Prends une feuille, un crayon, et c’est parti !
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, voici le mémo à garder sous les yeux. Si un exercice te bloque, reviens ici.
Ce que tu dois connaître par cœur
- Une puissance, c’est une multiplication répétée : \(a^n = a \times a \times \dots \times a\) (avec \(n\) facteurs).
- \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour tout nombre \(a\) non nul).
- Exposant négatif : \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\). Par exemple \(10^{-2} = \displaystyle\frac{1}{100} = 0{,}01\).
- Produit : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) (même base, on additionne les exposants).
- Quotient : \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (même base, on soustrait les exposants).
- Puissance d’une puissance : \((a^m)^n = a^{m \times n}\) (on multiplie les exposants).
Ces règles sont expliquées et justifiées en détail dans la fiche règles des puissances. Maintenant, place à la pratique !
Exercices pour bien démarrer (★)
On commence en douceur, avec des calculs directs pour bien poser les définitions.
Exercice 1 — Écrire sous forme de puissance
Écris chaque produit sous la forme d’une seule puissance.
a) \(6 \times 6 \times 6\) b) \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5\) c) \(10 \times 10\)
Correction
On compte le nombre de facteurs identiques : c’est l’exposant.
a) Il y a 3 fois le facteur 6, donc \(6 \times 6 \times 6 = 6^3\).
b) Il y a 5 fois le facteur 5, donc \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5\).
c) Il y a 2 fois le facteur 10, donc \(10 \times 10 = 10^2\).
Exercice 2 — Calculer une puissance
Donne la valeur (le résultat en écriture décimale).
a) \(2^4\) b) \(3^3\) c) \(10^4\)
Correction
a) \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\).
b) \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\).
c) \(10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\). Astuce : pour une puissance de 10, l’exposant donne le nombre de zéros.
Exercice 3 — Attention au signe
Calcule et compare.
a) \((-3)^2\) b) \(-3^2\) c) \((-2)^3\)
Correction
a) \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\). Les parenthèses veulent dire que c’est \(-3\) tout entier qui est au carré. Un carré est toujours positif.
b) \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\). Ici, seul le 3 est au carré, le signe \(-\) reste devant.
c) \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\). Un exposant impair garde le signe \(-\).
À retenir : \((-3)^2\) et \(-3^2\) ne donnent pas le même résultat !
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Tous les types d’exercices du chapitre, avec des corrections détaillées pas à pas. À imprimer et glisser dans ton classeur.
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Exercice 4 — Les exposants 0 et 1
Donne le résultat.
a) \(7^0\) b) \(12^1\) c) \(100^0\)
Correction
a) \(7^0 = 1\). Tout nombre (non nul) à la puissance 0 vaut 1.
b) \(12^1 = 12\). Un nombre à la puissance 1 est égal à lui-même.
c) \(100^0 = 1\). Peu importe le nombre : exposant 0 donne toujours 1.
Exercice 5 — Exposants négatifs
Écris sous forme de fraction ou de nombre décimal.
a) \(2^{-1}\) b) \(5^{-2}\) c) \(10^{-3}\)
Correction
Un exposant négatif signifie « l’inverse » : \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\).
a) \(2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5\).
b) \(5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25} = 0{,}04\).
c) \(10^{-3} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = \displaystyle\frac{1}{1000} = 0{,}001\).
Exercices pour progresser (★★)
Maintenant que les bases sont solides, on applique les règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance).
Exercice 6 — Produit de puissances
Écris le résultat sous la forme d’une seule puissance.
a) \(3^4 \times 3^2\) b) \(7^5 \times 7\) c) \(10^3 \times 10^6\)
Correction
Même base : on additionne les exposants.
a) \(3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6\).
b) \(7^5 \times 7 = 7^5 \times 7^1 = 7^{5+1} = 7^6\). N’oublie pas que \(7 = 7^1\).
c) \(10^3 \times 10^6 = 10^{3+6} = 10^9\).
Exercice 7 — Quotient de puissances
Simplifie sous forme d’une seule puissance.
a) \(\displaystyle\frac{5^7}{5^3}\) b) \(\displaystyle\frac{10^8}{10^2}\) c) \(\displaystyle\frac{4^3}{4^5}\)
Correction
Même base : on soustrait les exposants.
a) \(\displaystyle\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4\).
b) \(\displaystyle\frac{10^8}{10^2} = 10^{8-2} = 10^6\).
c) \(\displaystyle\frac{4^3}{4^5} = 4^{3-5} = 4^{-2}\). L’exposant peut être négatif, c’est normal : \(4^{-2} = \displaystyle\frac{1}{16}\).
Exercice 8 — Puissance d’une puissance
Écris le résultat sous la forme d’une seule puissance.
a) \((2^3)^2\) b) \((10^4)^3\) c) \((5^2)^0\)
Correction
Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants.
a) \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6\).
b) \((10^4)^3 = 10^{4 \times 3} = 10^{12}\).
c) \((5^2)^0 = 5^{2 \times 0} = 5^0 = 1\). Dès qu’un exposant vaut 0, le résultat est 1.
Exercice 9 — Calculs avec les puissances de 10
Donne le résultat sous forme de puissance de 10, puis calcule sa valeur.
a) \(10^5 \times 10^{-2}\) b) \(\displaystyle\frac{10^2}{10^{-3}}\) c) \(10^{-4} \times 10^{6}\)
Correction
a) \(10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^{3} = 1000\).
b) \(\displaystyle\frac{10^2}{10^{-3}} = 10^{2-(-3)} = 10^{2+3} = 10^{5} = 100\,000\). Attention au double signe « moins » : \(2-(-3) = 5\).
c) \(10^{-4} \times 10^{6} = 10^{-4+6} = 10^{2} = 100\).
Exercice 10 — Un calcul en plusieurs étapes
Écris \(A\) sous forme d’une seule puissance de 3.
\(A = \displaystyle\frac{3^5 \times 3^4}{3^6}\)
Correction
On traite d’abord le numérateur avec la règle du produit :
\(3^5 \times 3^4 = 3^{5+4} = 3^9\).
Puis on applique la règle du quotient :
\(A = \displaystyle\frac{3^9}{3^6} = 3^{9-6} = 3^3 = 27\).
Tu bloques sur ce type de calcul enchaîné ? C’est exactement le genre d’automatisme qu’on renforce en cours particulier, en repérant précisément l’étape qui coince.
Exercices pour aller plus loin (★★★)
On termine avec l’écriture scientifique, l’ordre de grandeur et des situations concrètes. C’est le niveau attendu en fin de chapitre.
Exercice 11 — Écriture scientifique
Écris chaque nombre en écriture scientifique, c’est-à-dire sous la forme \(a \times 10^n\) où \(a\) est compris entre 1 et 10.
a) \(3\,400\) b) \(0{,}0025\) c) \(52\,000\,000\)
Correction
On déplace la virgule pour avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.
a) \(3\,400 = 3{,}4 \times 10^{3}\) (la virgule recule de 3 rangs).
b) \(0{,}0025 = 2{,}5 \times 10^{-3}\) (la virgule avance de 3 rangs, donc exposant négatif).
c) \(52\,000\,000 = 5{,}2 \times 10^{7}\).
Pour t’entraîner spécifiquement sur ce point, va voir la fiche écriture scientifique.
Exercice 12 — Retour à l’écriture décimale
Donne l’écriture décimale (le nombre « normal ») de chaque nombre.
a) \(7{,}1 \times 10^{4}\) b) \(9 \times 10^{-2}\) c) \(1{,}05 \times 10^{6}\)
Correction
a) \(7{,}1 \times 10^{4} = 71\,000\) (la virgule avance de 4 rangs).
b) \(9 \times 10^{-2} = 0{,}09\) (exposant négatif : la virgule recule de 2 rangs).
c) \(1{,}05 \times 10^{6} = 1\,050\,000\).
Exercice 13 — Une situation concrète
Une bactérie mesure environ \(2 \times 10^{-6}\) mètre. Un cheveu a un diamètre d’environ \(1 \times 10^{-4}\) mètre.
Combien de fois le cheveu est-il plus large que la bactérie ?
Correction
Pour comparer, on divise la plus grande valeur par la plus petite :
\(\displaystyle\frac{1 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 10^{-4-(-6)} = 0{,}5 \times 10^{2} = 50\).
Le cheveu est donc 50 fois plus large que la bactérie. On a bien séparé le calcul des nombres (\(1 \div 2\)) de celui des puissances de 10.
Exercice 14 — Vrai ou faux (raisonnement)
Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie.
a) \(2^3 \times 2^3 = 4^6\) b) \(10^0 = 0\) c) \(5^2 + 5^3 = 5^5\)
Correction
a) Faux. On garde la même base : \(2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64\). On n’a pas le droit de multiplier les bases (2 × 2 = 4) ET d’additionner les exposants en même temps.
b) Faux. Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1, pas 0. Donc \(10^0 = 1\).
c) Faux. La règle du produit ne s’applique qu’à une multiplication, jamais à une addition. Ici il faut calculer : \(5^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150\), alors que \(5^5 = 3125\). Ce n’est pas égal.
Exercice 15 — Le défi de synthèse
Calcule et donne le résultat sous forme d’une puissance de 10, puis en écriture décimale.
\(B = \displaystyle\frac{(10^3)^2 \times 10^{-4}}{10^{5}}\)
Correction
Étape 1 — la puissance de puissance : \((10^3)^2 = 10^{3 \times 2} = 10^6\).
Étape 2 — le produit au numérateur : \(10^6 \times 10^{-4} = 10^{6+(-4)} = 10^{2}\).
Étape 3 — le quotient : \(B = \displaystyle\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}\).
En écriture décimale : \(B = 10^{-3} = 0{,}001\). Bravo si tu as tout suivi, c’est du niveau brevet !
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Voici les trois erreurs qui coûtent le plus de points au contrôle. Repère-les maintenant, tu ne les feras plus.
Piège n°1 : confondre \((-a)^2\) et \(-a^2\)
❌ Copie fautive : « \(-4^2 = 16\) ».
Diagnostic : sans parenthèses, seul le 4 est au carré. Le signe moins reste devant.
✅ Correction : \(-4^2 = -(4 \times 4) = -16\), alors que \((-4)^2 = 16\).
Piège n°2 : additionner les exposants dans une addition
❌ Copie fautive : « \(3^2 + 3^4 = 3^6\) ».
Diagnostic : la règle \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ne marche que pour un produit, pas une somme.
✅ Correction : \(3^2 + 3^4 = 9 + 81 = 90\).
Piège n°3 : croire que \(a^0 = 0\)
❌ Copie fautive : « \(8^0 = 0\) ».
Diagnostic : l’exposant 0 ne veut pas dire « multiplier par 0 ».
✅ Correction : tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1. Donc \(8^0 = 1\).
Questions fréquentes
Comment calculer une puissance en 4ème ?
Une puissance \(a^n\) est une multiplication répétée : on multiplie le nombre \(a\) par lui-même autant de fois que l’indique l’exposant \(n\). Par exemple, \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\). Pour les calculs plus complexes, on utilise les règles : produit (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)), quotient et puissance de puissance.
Quelle est la différence entre écriture scientifique et ordre de grandeur ?
L’écriture scientifique donne la valeur exacte d’un nombre sous la forme \(a \times 10^n\) (avec \(a\) entre 1 et 10). L’ordre de grandeur, lui, est une valeur approchée qui garde seulement la puissance de 10 la plus proche, pour estimer rapidement. Par exemple, l’écriture scientifique de 3 400 est \(3{,}4 \times 10^3\), et son ordre de grandeur est \(10^3\). Pour approfondir, consulte la fiche ordre de grandeur.
Pourquoi un nombre à la puissance 0 vaut-il 1 ?
Regarde la règle du quotient : \(\displaystyle\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0\). Mais un nombre divisé par lui-même vaut toujours 1. Donc \(a^0 = 1\) (pour tout nombre \(a\) non nul). C’est une conséquence logique des règles de calcul, pas une règle inventée.
Comment gérer un exposant négatif ?
Un exposant négatif signifie « l’inverse » : \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\). Par exemple, \(5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25} = 0{,}04\). Dans les calculs, tout fonctionne exactement comme avec les exposants positifs : on additionne, soustrait ou multiplie les exposants, en faisant juste attention aux signes.
Pour continuer à progresser
Tu as fait tous les exercices ? Excellent travail ! Pour consolider, voici les pages du cours à explorer :
- Le cours complet sur les puissances — pour revoir toutes les définitions.
- Les règles des puissances — pour comprendre pourquoi chaque règle marche.
- Les puissances de 10 — tableau, conversions et calculs.
- Exercices sur les puissances en 3ème — pour prendre de l’avance.
- Exercices de calcul littéral 4ème — où les puissances reviennent souvent.
