Les puissances, c’est le chapitre que tu croises partout en 3ème : calcul numérique, écriture scientifique, et même au brevet. Bonne nouvelle : une fois les règles comprises, ce sont des points faciles à prendre. Voici 15 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct aux vrais problèmes type brevet. Chaque exercice est corrigé pas à pas : tu ne vois pas seulement le résultat, mais tout le raisonnement. Essaie d’abord seul, puis clique sur « Voir la correction ». Un PDF avec des exercices bonus t’attend aussi en fin de page.
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, garde ces règles sous les yeux. Elles suffisent à résoudre tous les exercices de cette page.
Ce qu’est une puissance
Pour un nombre \(a\) et un entier \(n\) positif, \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\). Par exemple \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\). Le nombre \(a\) s’appelle la base, le nombre \(n\) l’exposant.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) | \(3^2 \times 3^4 = 3^6\) |
| Quotient, même base | \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\displaystyle\frac{7^5}{7^2} = 7^3\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^m)^n = a^{m \times n}\) | \((5^2)^3 = 5^6\) |
| Produit, même exposant | \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\) | \(2^3 \times 5^3 = 10^3\) |
| Exposant négatif | \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}\) |
| Exposant zéro | \(a^0 = 1\) (avec \(a\) non nul) | \(9^0 = 1\) |
Tes 12 exercices bonus sur les puissances, corrigés pas à pas
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Le réflexe à avoir : pour additionner ou soustraire les exposants, il faut que la base soit la même. On ne peut pas simplifier \(2^3 \times 3^4\) en une seule puissance : les bases sont différentes.
Tu veux revoir le détail de chaque règle avant de t’entraîner ? Passe par la fiche complète sur les règles de calcul des puissances. Sinon, c’est parti pour les exercices.
Exercices d’application directe (★)
On commence en douceur : calculs simples et application directe des règles. Objectif : prendre confiance.
Exercice 1 — Calculer des puissances. Calcule chaque puissance.
a) \(2^5\) b) \(5^3\) c) \((-3)^2\) d) \(-3^2\)
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a) \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\).
b) \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\).
c) \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\). La base est \(-3\), on multiplie deux nombres négatifs, le résultat est positif.
d) \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\). Ici, seul le \(3\) est élevé au carré, pas le signe moins. Le résultat est négatif. Compare bien c) et d) !
Exercice 2 — Puissances de 10. Donne l’écriture décimale de chaque nombre.
a) \(10^4\) b) \(10^{-3}\) c) \(10^0\) d) \(10^{-1}\)
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a) \(10^4 = 10\,000\) (un 1 suivi de 4 zéros).
b) \(10^{-3} = \displaystyle\frac{1}{1000} = 0{,}001\) (le 1 est à la 3ᵉ position après la virgule).
c) \(10^0 = 1\).
d) \(10^{-1} = 0{,}1\).
Astuce : pour \(10^n\) avec \(n\) positif, le nombre de zéros est égal à \(n\). Pour un exposant négatif, on compte les positions après la virgule. Besoin d’entraînement supplémentaire ? Va voir les puissances de 10.
Exercice 3 — Trouver le signe sans calculer. Sans faire le calcul, dis si le résultat est positif ou négatif.
a) \((-2)^7\) b) \((-5)^4\) c) \(-2^6\) d) \((-1)^{2025}\)
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La règle : une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative si l’exposant est impair.
a) \((-2)^7\) : exposant 7, impair → négatif.
b) \((-5)^4\) : exposant 4, pair → positif.
c) \(-2^6\) : attention, ici le signe moins n’est pas dans la puissance. On calcule \(2^6 = 64\) puis on met le moins → négatif.
d) \((-1)^{2025}\) : exposant 2025, impair → négatif (le résultat vaut \(-1\)).
Exercice 4 — Écrire sous la forme d’une seule puissance.
a) \(3^4 \times 3^5\) b) \(\displaystyle\frac{7^8}{7^3}\) c) \((2^3)^4\) d) \(5^{-2} \times 5^6\)
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a) Même base, on additionne les exposants : \(3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9\).
b) Même base, on soustrait les exposants : \(\displaystyle\frac{7^8}{7^3} = 7^{8-3} = 7^5\).
c) Puissance d’une puissance, on multiplie les exposants : \((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}\).
d) On additionne aussi avec un exposant négatif : \(5^{-2} \times 5^6 = 5^{-2+6} = 5^4\).
Exercice 5 — Écrire sans exposant négatif, puis calculer.
a) \(2^{-3}\) b) \(10^{-2}\) c) \(5^{-1}\)
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La règle : \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\).
a) \(2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{2^3} = \displaystyle\frac{1}{8} = 0{,}125\).
b) \(10^{-2} = \displaystyle\frac{1}{10^2} = \displaystyle\frac{1}{100} = 0{,}01\).
c) \(5^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5} = 0{,}2\).
À retenir : un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif. Il indique juste qu’on prend l’inverse.
Exercices d’approfondissement (★★)
Tu maîtrises les bases ? On combine maintenant plusieurs règles et on introduit l’écriture scientifique.
Exercice 6 — Simplifier une expression. Écris chaque résultat sous la forme d’une seule puissance de 10.
a) \(\displaystyle\frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^{4}}\) b) \(\displaystyle\frac{10^{-3} \times 10^7}{10^{-1}}\)
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a) On traite d’abord le haut : \(10^5 \times 10^{-2} = 10^{5-2} = 10^{3}\). Puis on divise : \(\displaystyle\frac{10^{3}}{10^{4}} = 10^{3-4} = 10^{-1}\).
b) Le haut : \(10^{-3} \times 10^7 = 10^{-3+7} = 10^{4}\). Puis : \(\displaystyle\frac{10^{4}}{10^{-1}} = 10^{4-(-1)} = 10^{5}\). Attention au signe : soustraire \(-1\) revient à ajouter \(1\).
Exercice 7 — Écriture scientifique. Donne l’écriture scientifique de chaque nombre.
a) \(34\,000\) b) \(0{,}00052\) c) \(128 \times 10^3\)
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Rappel : l’écriture scientifique est de la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) a un seul chiffre non nul avant la virgule.
a) \(34\,000 = 3{,}4 \times 10^4\) (on déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche).
b) \(0{,}00052 = 5{,}2 \times 10^{-4}\) (on déplace la virgule de 4 rangs vers la droite, donc exposant négatif).
c) \(128 \times 10^3 = 1{,}28 \times 10^2 \times 10^3 = 1{,}28 \times 10^5\). Attention : \(128\) n’était pas au bon format, il fallait le corriger.
Pour maîtriser cette technique en détail, va voir la méthode complète de l’écriture scientifique.
Exercice 8 — Puissance d’une fraction. Calcule et donne le résultat sous forme de fraction.
a) \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3\) b) \(\left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-2}\)
Voir la correction
a) On élève le haut et le bas à la puissance : \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}\).
b) Un exposant négatif sur une fraction : on prend l’inverse puis on change le signe de l’exposant. \(\left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^{2} = \displaystyle\frac{2^2}{5^2} = \displaystyle\frac{4}{25}\).
Exercice 9 — Produit de deux nombres en écriture scientifique. Calcule et donne le résultat en écriture scientifique.
\(A = (4 \times 10^3) \times (2 \times 10^{-7})\)Voir la correction
On regroupe les nombres entre eux, puis les puissances de 10 entre elles :
\(A = (4 \times 2) \times (10^3 \times 10^{-7}) = 8 \times 10^{3-7} = 8 \times 10^{-4}\).
Ici \(8\) a bien un seul chiffre non nul : le résultat est déjà en écriture scientifique.
Exercice 10 — Expression combinée. Calcule \(B\) et donne le résultat en écriture scientifique.
\(B = \displaystyle\frac{6 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}\)Voir la correction
On sépare les nombres et les puissances : \(B = \displaystyle\frac{6}{3} \times \displaystyle\frac{10^5}{10^{-2}}\).
\(\displaystyle\frac{6}{3} = 2\) et \(\displaystyle\frac{10^5}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{7}\).
Donc \(B = 2 \times 10^{7}\).
Tu bloques encore sur certaines étapes ? C’est normal, ce chapitre demande de l’entraînement régulier. Avec un accompagnement sur-mesure, ces automatismes se mettent en place beaucoup plus vite. Découvre le soutien scolaire en maths d’Excellence Maths.
Exercices de synthèse type brevet (★★★)
Ces exercices ressemblent à ceux du brevet : plusieurs étapes, un peu de contexte, et parfois un raisonnement à mener. Prends ton temps.
Exercice 11 — Astronomie (type brevet). La distance entre la Terre et le Soleil est d’environ \(150\) millions de kilomètres.
a) Écris cette distance en écriture scientifique, en mètres (rappel : \(1\) km \(= 1000\) m).
b) La lumière parcourt environ \(3 \times 10^8\) mètres par seconde. Calcule le temps (en secondes) que met la lumière du Soleil pour arriver sur Terre.
Voir la correction
a) \(150\) millions de km \(= 150\,000\,000\) km \(= 1{,}5 \times 10^8\) km. En mètres, on multiplie par \(1000 = 10^3\) :
\(1{,}5 \times 10^8 \times 10^3 = 1{,}5 \times 10^{11}\) mètres.
b) Le temps est la distance divisée par la vitesse : \(t = \displaystyle\frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8}\).
\(t = \displaystyle\frac{1{,}5}{3} \times 10^{11-8} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500\) secondes.
Soit un peu plus de 8 minutes : la lumière du Soleil que tu vois est partie il y a 8 minutes !
Exercice 12 — Grande expression à simplifier. Calcule \(C\) et donne le résultat en écriture scientifique.
\(C = \displaystyle\frac{(2 \times 10^{4}) \times (9 \times 10^{-6})}{6 \times 10^{-3}}\)Voir la correction
On calcule d’abord le numérateur : \((2 \times 9) \times (10^{4} \times 10^{-6}) = 18 \times 10^{-2}\).
Puis on divise : \(C = \displaystyle\frac{18 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}} = \displaystyle\frac{18}{6} \times 10^{-2-(-3)} = 3 \times 10^{1}\).
Donc \(C = 3 \times 10^{1} = 30\). On vérifie : \(3\) a un seul chiffre non nul, le format est correct.
Exercice 13 — Vrai ou faux (raisonnement). Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse en justifiant.
a) « \(2^3 + 2^3 = 2^6\) »
b) « \((-4)^2 = -16\) »
c) « \(10^{-2}\) est plus petit que \(10^{-5}\) »
Voir la correction
a) Faux. On additionne, on ne multiplie pas. \(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4\), pas \(2^6\). La règle \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ne s’applique qu’aux produits, pas aux sommes.
b) Faux. La base \(-4\) est mise au carré : \((-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16\), qui est positif. C’est \(-4^2\) qui vaut \(-16\).
c) Faux. \(10^{-2} = 0{,}01\) et \(10^{-5} = 0{,}00001\). On a \(0{,}00001\) < \(0{,}01\), donc \(10^{-5}\) est le plus petit. Plus l’exposant est petit (très négatif), plus le nombre est petit.
Exercice 14 — Le monde microscopique. Le diamètre d’un globule rouge est d’environ \(7 \times 10^{-6}\) mètre. Celui d’un cheveu est d’environ \(1 \times 10^{-4}\) mètre.
a) Lequel est le plus gros ?
b) Combien de fois le cheveu est-il plus large que le globule rouge (valeur approchée) ?
Voir la correction
a) On compare les exposants : \(-4\) est plus grand que \(-6\), donc \(10^{-4}\) est plus grand que \(10^{-6}\). Le cheveu est plus gros.
b) On divise le diamètre du cheveu par celui du globule :
\(\displaystyle\frac{1 \times 10^{-4}}{7 \times 10^{-6}} = \displaystyle\frac{1}{7} \times 10^{-4-(-6)} = \displaystyle\frac{1}{7} \times 10^{2} = \displaystyle\frac{100}{7} \approx 14\).
Le cheveu est environ 14 fois plus large qu’un globule rouge. Cette idée de comparer les puissances de 10 est exactement celle de l’ordre de grandeur.
Exercice 15 — Synthèse multi-étapes. On pose \(D = \displaystyle\frac{5^4 \times 5^{-1}}{5^2}\) et \(E = 3^{-2} \times 3^2\).
a) Écris \(D\) sous la forme d’une seule puissance de 5, puis calcule-le.
b) Calcule \(E\).
c) Calcule \(D - E\).
Voir la correction
a) Numérateur : \(5^4 \times 5^{-1} = 5^{4-1} = 5^{3}\). Puis : \(D = \displaystyle\frac{5^{3}}{5^2} = 5^{3-2} = 5^{1} = 5\).
b) \(E = 3^{-2+2} = 3^{0} = 1\).
c) \(D - E = 5 - 1 = 4\).
Bien joué si tu as tout mené jusqu’au bout : c’est exactement le type de calcul attendu au brevet.
Les erreurs à ne plus jamais faire
Voici les 3 pièges qui coûtent le plus de points en 3ème. Repère-les maintenant, tu ne les feras plus.
Piège n°1 : confondre \((-3)^2\) et \(-3^2\).
❌ Copie fautive : « \(-3^2 = 9\) ».
Diagnostic : l’élève croit que le signe moins fait partie de la puissance. Sans parenthèses, ce n’est pas le cas.
✅ Correction : \((-3)^2 = 9\) (le \(-3\) au carré), mais \(-3^2 = -9\) (seul le \(3\) est au carré, puis on met le signe moins).
Piège n°2 : additionner les exposants dans une somme.
❌ Copie fautive : « \(5^2 + 5^3 = 5^5\) ».
Diagnostic : la règle \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ne marche que pour les produits. Pour une somme, il faut tout calculer.
✅ Correction : \(5^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150\). Impossible de le regrouper en une seule puissance.
Piège n°3 : croire qu’un exposant négatif rend le nombre négatif.
❌ Copie fautive : « \(2^{-3} = -8\) ».
Diagnostic : l’exposant négatif signifie « inverse », pas « nombre négatif ».
✅ Correction : \(2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{2^3} = \displaystyle\frac{1}{8}\). Le résultat est positif, et plus petit que 1.
Bonus : visualiser les puissances de 10
Pour vraiment sentir ce que représentent les puissances de 10, rien ne vaut une frise. Elle t’aide à comparer les ordres de grandeur, du plus petit au plus grand.
Chaque graduation vaut 10 fois la précédente : c’est toute la puissance de l’écriture scientifique pour manipuler des nombres immenses ou minuscules.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une puissance en 3ème ?
Une puissance \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\). Par exemple \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\). Le nombre \(a\) est la base, \(n\) est l’exposant. En 3ème, on travaille aussi les exposants négatifs et les puissances de 10.
Comment calculer une puissance avec un exposant négatif ?
Un exposant négatif signifie « inverse ». On applique \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\). Par exemple \(5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25}\). Le résultat reste toujours positif : l’exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif.
Quelle est la différence entre (-3)² et -3² ?
Avec les parenthèses, \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) : c’est \(-3\) tout entier qui est au carré. Sans parenthèses, \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\) : seul le \(3\) est au carré, et le signe moins reste devant. C’est le piège le plus courant du chapitre.
Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?
On écrit le nombre sous la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) possède un seul chiffre non nul avant la virgule. Par exemple \(45\,000 = 4{,}5 \times 10^4\) et \(0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}\). On compte le nombre de rangs de déplacement de la virgule pour trouver l’exposant.
Les puissances tombent-elles au brevet ?
Oui, très souvent. On les retrouve dans les calculs numériques, l’écriture scientifique et les problèmes de sciences (distances, tailles microscopiques). C’est un chapitre rentable : les questions sont proches du cours, à condition de connaître les règles et d’éviter les pièges de signe.
Pour continuer à progresser
Tu as fait le tour des exercices ? Voici comment consolider tes acquis :
- Toutes les règles de calcul des puissances — pour revoir la théorie en profondeur.
- La méthode de l’écriture scientifique — l’outil indispensable au brevet.
- Le tableau des puissances de 10 — pour ne plus hésiter sur les conversions.
- Les exercices sur les puissances de 4e — parfait pour une remise à niveau si tu as des bases fragiles.
- Le calcul littéral — où les puissances reviennent dans les expressions à développer.
