Un milliard, c’est \(10^9\). Un millième, c’est \(10^{-3}\). Les puissances de 10 servent à écrire les très grands et les très petits nombres sans aligner des dizaines de zéros. Voici le tableau complet, prêt à imprimer.
Le tableau des puissances de 10
Une puissance de 10 s’écrit \(10^n\). Le petit nombre \(n\) s’appelle l’exposant : il te dit combien de fois tu multiplies 10 par lui-même. Voici les valeurs à connaître, des plus grandes aux plus petites.
| Puissance | Écriture décimale | Nom du nombre | Préfixe (symbole) |
|---|---|---|---|
| \(10^{12}\) | 1 000 000 000 000 | mille milliards | téra (T) |
| \(10^{9}\) | 1 000 000 000 | milliard | giga (G) |
| \(10^{6}\) | 1 000 000 | million | méga (M) |
| \(10^{3}\) | 1 000 | mille | kilo (k) |
| \(10^{2}\) | 100 | cent | hecto (h) |
| \(10^{1}\) | 10 | dix | déca (da) |
| \(10^{0}\) | 1 | un | — |
| \(10^{-1}\) | 0,1 | un dixième | déci (d) |
| \(10^{-2}\) | 0,01 | un centième | centi (c) |
| \(10^{-3}\) | 0,001 | un millième | milli (m) |
| \(10^{-6}\) | 0,000001 | un millionième | micro (µ) |
| \(10^{-9}\) | 0,000000001 | un milliardième | nano (n) |
Le tableau des puissances de 10 à imprimer
Toutes les valeurs, les préfixes et les conversions d’unités réunis sur une fiche claire, prête à coller dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteFini les zéros comptés à la main : tout est sous les yeux.
La règle des zéros : pour \(10^n\) avec \(n\) positif, le nombre de zéros est égal à l’exposant. \(10^6\) a donc 6 zéros. Pour \(10^{-n}\), tu écris le 1 à la \(n\)-ième position après la virgule : \(10^{-3}\) donne 0,001.
Comprendre une puissance de 10
Avant de calculer, assure-toi de bien lire une puissance de 10. Regarde d’abord le cas où l’exposant est positif, puis celui où il est négatif.
Exposant positif
Quand l’exposant est un nombre positif, la puissance de 10 est un grand nombre. Tu multiplies 10 par lui-même autant de fois que l’exposant :
\(10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\)Il y a bien 4 facteurs 10, donc 4 zéros dans le résultat.
Exposant négatif
Un exposant négatif ne donne jamais un nombre négatif ! Il donne un tout petit nombre, plus petit que 1. Un exposant négatif signifie « diviser » :
\(10^{-2} = \displaystyle\frac{1}{10^2} = \displaystyle\frac{1}{100} = 0{,}01\)Erreur classique : écrire \(10^{-2} = -100\). C’est faux. Le signe « moins » de l’exposant veut dire « inverse », pas « nombre négatif ». Le bon résultat est \(0{,}01\), un nombre positif tout petit.
Les règles de calcul avec les puissances de 10
Les puissances de 10 suivent exactement les mêmes règles de calcul que toutes les puissances. Voici les quatre formules à retenir.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Multiplier | \(10^n \times 10^m = 10^{n+m}\) | \(10^3 \times 10^2 = 10^5\) |
| Diviser | \(\displaystyle\frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}\) | \(\displaystyle\frac{10^5}{10^2} = 10^3\) |
| Puissance d’une puissance | \((10^n)^m = 10^{n \times m}\) | \((10^2)^3 = 10^6\) |
| Exposant négatif | \(10^{-n} = \displaystyle\frac{1}{10^n}\) | \(10^{-3} = \displaystyle\frac{1}{1000}\) |
Comment retenir : quand tu multiplies deux puissances de 10, tu additionnes les exposants. Quand tu divises, tu soustrais. C’est plus simple que de compter les zéros à la main !
Un cas très pratique : \(10^0 = 1\). Toute puissance d’exposant 0 vaut 1, et 10 ne fait pas exception.
Les conversions d’unités avec les puissances de 10
C’est ici que les puissances de 10 deviennent vraiment utiles au quotidien. Chaque changement d’unité correspond à une puissance de 10. Voici le tableau de conversion des longueurs.
| Unité | Symbole | Valeur en mètres |
|---|---|---|
| kilomètre | km | \(10^{3}\) m = 1 000 m |
| hectomètre | hm | \(10^{2}\) m = 100 m |
| décamètre | dam | \(10^{1}\) m = 10 m |
| mètre | m | \(10^{0}\) m = 1 m |
| décimètre | dm | \(10^{-1}\) m = 0,1 m |
| centimètre | cm | \(10^{-2}\) m = 0,01 m |
| millimètre | mm | \(10^{-3}\) m = 0,001 m |
Exemple : convertir 5 km en mètres.
On sait que 1 km = \(10^3\) m = 1 000 m.
Donc \(5 \text{ km} = 5 \times 10^3 \text{ m} = 5\,000 \text{ m}\).
La même logique marche pour les masses. Par exemple, pour passer des kilogrammes aux grammes : \(1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g}\), donc \(2{,}5 \text{ kg} = 2{,}5 \times 10^3 = 2\,500 \text{ g}\).
Exemples d’application pas à pas
Voici trois exemples de difficulté croissante. Essaie de les faire seul avant de lire la solution.
Exemple 1 — Écrire une puissance de 10 en décimal.
Écris \(10^5\) sous forme décimale.
L’exposant est 5, donc on écrit 1 suivi de 5 zéros :
\(10^5 = 100\,000\)
Exemple 2 — Un calcul avec les règles.
Calcule \(\displaystyle\frac{10^7 \times 10^2}{10^3}\).
On additionne d’abord les exposants du haut : \(10^7 \times 10^2 = 10^9\).
Puis on soustrait l’exposant du bas : \(\displaystyle\frac{10^9}{10^3} = 10^{9-3} = 10^6\).
Le résultat est \(10^6 = 1\,000\,000\).
Exemple 3 — Utiliser une puissance de 10 pour un grand nombre.
La distance Terre–Soleil est d’environ 150 000 000 km. Écris ce nombre avec une puissance de 10.
Le nombre 150 000 000, c’est \(15 \times 10\,000\,000\), soit \(15 \times 10^7\).
On peut aussi l’écrire \(1{,}5 \times 10^8\) : c’est la forme la plus utilisée, appelée écriture scientifique.
Les pièges à éviter
Trois erreurs reviennent tout le temps dans les copies. Repère-les une bonne fois pour toutes.
Piège 1 : croire que \(10^3 = 30\).
❌ Copie fautive : « \(10^3 = 10 \times 3 = 30\) ».
Diagnostic : l’exposant n’est pas une multiplication par 3, c’est le nombre de fois que 10 se multiplie par lui-même.
✅ Correction : \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\).
Piège 2 : compter mal les zéros avec un exposant négatif.
Beaucoup écrivent \(10^{-3} = 0{,}0001\) (trois zéros après la virgule). C’est faux : le 1 doit être à la 3ᵉ position après la virgule.
✅ Correction : \(10^{-3} = 0{,}001\).
Piège 3 : oublier que \(10^0 = 1\) et non 0.
Une puissance d’exposant 0 vaut toujours 1. Retiens-le, c’est une question classique en contrôle.
Questions fréquentes
Comment lire 10 puissance 6 ?
On lit « dix puissance six » ou « dix exposant six ». Cela veut dire 1 suivi de 6 zéros, c’est-à-dire \(1\,000\,000\) : un million.
Combien de zéros dans une puissance de 10 ?
Pour une puissance de 10 à exposant positif, le nombre de zéros est égal à l’exposant. Ainsi \(10^4\) a 4 zéros et vaut \(10\,000\). Attention, cette règle des zéros ne marche que pour les exposants positifs.
C'est quoi 10 puissance -3 ?
\(10^{-3}\) est l’inverse de \(10^3\). Cela vaut \(\displaystyle\frac{1}{1000} = 0{,}001\), soit un millième. Ce n’est pas un nombre négatif, mais un tout petit nombre positif.
Quelle est la différence entre puissance de 10 et écriture scientifique ?
Une puissance de 10 est simplement \(10^n\). L’écriture scientifique, elle, écrit n’importe quel nombre sous la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) est un nombre compris entre 1 et 10. Par exemple, \(3\,400\) s’écrit \(3{,}4 \times 10^3\) en écriture scientifique. La puissance de 10 est donc l’outil de base de l’écriture scientifique.
Comment convertir des unités avec les puissances de 10 ?
Chaque changement d’unité correspond à une puissance de 10. Par exemple, 1 km = \(10^3\) m. Pour convertir, on multiplie par la bonne puissance de 10 : 3 km = \(3 \times 10^3\) m = 3 000 m.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le tableau des puissances de 10. Pour continuer :
- L’écriture scientifique : écrire n’importe quel nombre sous la forme \(a \times 10^n\).
- L’ordre de grandeur : estimer un nombre en utilisant la puissance de 10 la plus proche.
- Les règles des puissances : toutes les formules de calcul, pas seulement pour 10.
- Pour t’entraîner : exercices sur les puissances 4e et exercices sur les puissances 3e.
Plus tard, tu découvriras que les puissances existent aussi avec des exposants qui ne sont pas des nombres entiers : c’est le début de la fonction exponentielle, vue au lycée.
