Écrire \(1\,000\,000\) avec tous ses zéros, c’est long et on se trompe vite. Les mathématiciens ont donc inventé un raccourci malin : les puissances. Au lieu d’écrire \(10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\), on note simplement \(10^6\). Au programme de la 4e et de la 3e, les puissances te suivront ensuite au lycée puis en études supérieures. Dans ce cours complet, tu trouveras la définition, toutes les règles de calcul, des exemples, des exercices corrigés, les pièges classiques et une FAQ.
I. Définition : qu’est-ce qu’une puissance ?
Une puissance est simplement une multiplication répétée du même nombre. Commençons par la définition, puis on regarde comment on la lit et comment on l’écrit.
A. La définition à connaître
Définition — Puissance d’un nombre
On considère un nombre \(a\) et un nombre entier \(n\) plus grand que 1. La puissance \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\) :
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\)
Par exemple, \(2^3\) se lit « 2 puissance 3 » (ou « 2 au cube ») et vaut :
\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)Attention à ne pas confondre : \(2^3\) n’est pas \(2 \times 3 = 6\), mais bien \(2 \times 2 \times 2 = 8\).
B. La base et l’exposant
Dans l’écriture \(a^n\), chaque partie a un nom précis :
- le nombre \(a\), celui qu’on multiplie, s’appelle la base ;
- le petit nombre \(n\), écrit en haut, s’appelle l’exposant : il indique combien de fois on multiplie la base par elle-même.
C. Les cas particuliers à retenir
Certaines puissances reviennent tout le temps, il faut les connaître par cœur :
- Exposant 2 : \(a^2\) se lit « au carré » (\(5^2 = 25\)).
- Exposant 3 : \(a^3\) se lit « au cube » (\(4^3 = 64\)).
- Exposant 1 : \(a^1 = a\). Un nombre à la puissance 1, c’est lui-même.
- Exposant 0 : \(a^0 = 1\) (pour tout nombre \(a\) non nul). Oui, n’importe quel nombre à la puissance 0 donne 1 !
Comment retenir l’exposant 0 : quand tu divises un nombre par lui-même, tu obtiens 1. Par exemple \(\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 1\). Or on verra que \(\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\). Donc \(5^0 = 1\). Logique !
II. Les règles de calcul des puissances
Une fois la définition comprise, on peut calculer beaucoup plus vite grâce à quelques règles. Voici l’essentiel dans un tableau, puis on explique pourquoi ces règles marchent.
| Situation | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \times 2^4 = 2^7\) |
| Quotient, même base | \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\displaystyle\frac{5^6}{5^2} = 5^4\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^m)^n = a^{m \times n}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) |
| Produit, même exposant | \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\) | \(2^3 \times 5^3 = 10^3\) |
| Exposant négatif | \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}\) |
Pourquoi \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ? Il suffit de compter les facteurs. Prenons \(2^3 \times 2^4\) :
\(\underbrace{(2 \times 2 \times 2)}_{3 \text{ facteurs}} \times \underbrace{(2 \times 2 \times 2 \times 2)}_{4 \text{ facteurs}} = 2^{3+4} = 2^7\)On a en tout \(3 + 4 = 7\) facteurs égaux à 2 : on additionne donc les exposants. C’est aussi simple que ça, et le même raisonnement explique toutes les autres règles.
Erreur à éviter : on additionne les exposants quand on multiplie des puissances (même base), on ne les multiplie pas. Ainsi \(2^3 \times 2^4 = 2^7\), et surtout pas \(2^{12}\).
Ces règles méritent d’être approfondies avec des justifications complètes et le fameux triangle des puissances. Retrouve tout le détail sur la page dédiée : les règles des puissances.
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III. Calculer avec les puissances : les applications
Les puissances servent surtout à écrire et manipuler les très grands et très petits nombres. Deux outils du programme s’appuient directement dessus.
A. Les puissances de 10
La base 10 est la plus utile de toutes, car notre système de numération est fondé sur 10. Une puissance de 10 s’écrit avec un 1 suivi d’autant de zéros que l’exposant :
- \(10^2 = 100\) (2 zéros)
- \(10^3 = 1\,000\) (3 zéros)
- \(10^6 = 1\,000\,000\) (6 zéros)
- \(10^{-3} = 0{,}001\) (pour les petits nombres)
Pour aller plus loin sur les conversions et le tableau complet, consulte la page les puissances de 10.
B. L’écriture scientifique
Grâce aux puissances de 10, on peut écrire n’importe quel nombre sous la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) est un nombre décimal compris entre 1 et 10. Par exemple :
\(45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^7\)C’est très pratique en sciences pour comparer des tailles (la distance Terre–Soleil, la taille d’un atome…). Découvre la méthode pas à pas sur la page l’écriture scientifique, et l’usage de l’ordre de grandeur pour estimer un résultat.
IV. Exercices corrigés
Passons à la pratique avec trois exercices classiques, corrigés pas à pas. Essaie de les faire seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Calcul direct. Calcule \(3^4\) et \(10^5\).
Correction :
\(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\).
\(10^5 = 100\,000\) (un 1 suivi de 5 zéros).
Exercice 2 — Utiliser les règles. Écris sous la forme d’une seule puissance : \(7^5 \times 7^3\), puis \(\displaystyle\frac{2^8}{2^5}\).
Correction :
Produit, même base : on additionne les exposants.
\(7^5 \times 7^3 = 7^{5+3} = 7^8\)
Quotient, même base : on soustrait les exposants.
\(\displaystyle\frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8\)
Exercice 3 — Raisonnement. Léa affirme que \((-2)^4\) et \(-2^4\) donnent le même résultat. A-t-elle raison ? Justifie.
Correction : Léa a tort, et c’est un piège très courant.
Dans \((-2)^4\), les parenthèses indiquent qu’on met le nombre \(-2\) tout entier à la puissance 4 :
\((-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16\) (résultat positif).
Dans \(-2^4\), il n’y a pas de parenthèses : seul le 2 est élevé à la puissance 4, et le signe « moins » reste devant :
\(-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16\) (résultat négatif).
Les deux résultats sont donc différents : \(16\) et \(-16\). Les parenthèses changent tout !
Envie de t’entraîner davantage ? Tout dépend de ta classe : va vers les exercices sur les puissances en 4e ou les exercices sur les puissances en 3e.
V. Les erreurs fréquentes à éviter
La plupart des fautes sur les puissances viennent de quelques confusions bien identifiées. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Piège 1 — Confondre puissance et multiplication. \(5^2\) n’est pas \(5 \times 2 = 10\), mais \(5 \times 5 = 25\). L’exposant compte les facteurs, il ne les multiplie pas.
Piège 2 — Le signe et les parenthèses. \((-3)^2 = 9\) alors que \(-3^2 = -9\). Regarde toujours si le signe « moins » est à l’intérieur des parenthèses ou non.
Piège 3 — Additionner des puissances. On ne peut pas simplifier \(2^3 + 2^4\) en une seule puissance. Les règles s’appliquent à la multiplication et à la division, pas à l’addition. Ici, il faut calculer : \(8 + 16 = 24\).
Ces situations reposent aussi sur une bonne maîtrise du calcul littéral et de la décomposition en facteurs premiers (utile pour écrire un nombre comme une puissance).
VI. Pour aller plus loin (niveau lycée)
Au collège, l’exposant est toujours un nombre entier. Au lycée, la notion se prolonge dans plusieurs directions.
🟡 Extension Seconde et Première. On garde exactement les mêmes règles de calcul, mais on les utilise avec des lettres et des expressions plus complexes. L’ordre de grandeur devient un vrai outil pour vérifier un calcul en physique-chimie.
🔴 Extension Terminale et au-delà. On peut même mettre un exposant qui n’est plus un nombre entier (par exemple \(2^{0{,}5}\)). Cette idée mène directement à la fonction exponentielle, l’une des fonctions les plus importantes des mathématiques. C’est le même principe que les puissances, poussé beaucoup plus loin.
L’exposant un demi permet de retrouver la racine carrée ; les conditions d’utilisation et les règles de calcul sont détaillées dans le cours dédié.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une puissance en maths ?
Une puissance est une multiplication répétée du même nombre. L’écriture \(a^n\) signifie qu’on multiplie \(a\) par lui-même \(n\) fois. Par exemple \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\). Le nombre \(a\) est la base, le nombre \(n\) est l’exposant.
Que vaut un nombre à la puissance 0 ?
Tout nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1. Ainsi \(5^0 = 1\), \(10^0 = 1\) et même \(123^0 = 1\). C’est une règle à connaître par cœur, elle surprend souvent au début.
Comment calculer une puissance rapidement ?
Pour les petites puissances, on multiplie directement. Pour les grosses expressions, on utilise les règles : on additionne les exposants quand on multiplie deux puissances de même base, on les soustrait quand on divise. Le détail complet est sur la page des règles des puissances.
Quelle est la différence entre (-3)² et -3² ?
Avec les parenthèses, \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) : le signe est élevé au carré aussi. Sans parenthèses, \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\) : seul le 3 est élevé au carré. Les parenthèses changent le résultat.
Peut-on avoir un exposant négatif ?
Oui. Un exposant négatif indique un inverse : \(a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\). Par exemple \(2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{2^3} = \displaystyle\frac{1}{8}\). C’est très utilisé pour les petits nombres, notamment en écriture scientifique.
À quoi servent les puissances dans la vie réelle ?
Elles servent à écrire les très grands nombres (distances dans l’espace, population mondiale) et les très petits (taille d’un virus, d’un atome) sans aligner des dizaines de zéros. C’est le rôle de l’écriture scientifique, utilisée en physique, chimie, informatique et astronomie.
VIII. Réviser et continuer
Pour garder l’essentiel sous la main avant un contrôle, télécharge la fiche de révision : définitions, tableau des règles et pièges classiques réunis sur quelques pages à imprimer.
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Pour continuer à progresser, explore les autres pages du cours :
- Les règles des puissances : toutes les formules
- Les puissances de 10 : tableau et conversions
- L’écriture scientifique : méthode et exercices
- L’ordre de grandeur : estimer et vérifier
- Les puissances de 2 : le tableau complet
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