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Tu tombes sur une équation comme \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0\) et… le discriminant ne fonctionne plus : il est fait pour le degré 2. Pas de panique. Un polynôme de degré 3 se factorise presque toujours de la même façon : on repère une racine évidente, puis on abaisse le degré. Cette méthode te suivra du lycée jusqu’à la prépa.
I. Le théorème clé : une racine, un facteur
Toute la méthode repose sur un seul résultat simple à retenir. Si tu connais une racine du polynôme, tu connais automatiquement un facteur de sa factorisation.
Théorème — Racine et factorisation
Soit \(P\) un polynôme et \(\alpha\) un réel. Si \(\alpha\) est une racine de \(P\), c’est-à-dire si \(P(\alpha) = 0\), alors \((x – \alpha)\) est un facteur de \(P\) : il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P(x) = (x – \alpha)\,Q(x)\).
Si \(P\) est de degré 3, alors \(Q\) est de degré 2 : on est ramené à un trinôme connu.
Autrement dit, factoriser un degré 3 revient à descendre au degré 2. Et le degré 2, tu sais le traiter avec le discriminant. C’est exactement le mécanisme de la division euclidienne des polynômes, dont la factorisation par \((x-\alpha)\) est le cas le plus utile.
Bonne nouvelle : un polynôme de degré 3 à coefficients réels possède toujours au moins une racine réelle. Sa courbe traverse forcément l’axe des abscisses (conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). Tu as donc toujours un point de départ.
II. La méthode en 4 étapes
Voici la procédure complète, valable pour n’importe quel polynôme \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Garde-la sous les yeux pour tes premiers exercices.
- Chercher une racine évidente. Teste les petites valeurs entières dans l’ordre : \(0\), \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\)… Dès que \(P(\alpha) = 0\), tu tiens ta racine \(\alpha\).
- Écrire la forme factorisée partielle. D’après le théorème, \(P(x) = (x – \alpha)(a x^2 + \beta x + \gamma)\). Le coefficient dominant du trinôme est toujours le même \(a\) que celui de \(P\).
- Déterminer le trinôme. Deux méthodes au choix : l’identification des coefficients (on développe et on compare) ou la division euclidienne par \((x – \alpha)\).
- Factoriser le trinôme. Calcule le discriminant \(\Delta = \beta^2 – 4a\gamma\) et conclus comme pour un second degré classique.
Pour t’aider à trouver les valeurs à tester à l’étape 1, retiens cette astuce : si une racine entière existe, elle divise toujours le terme constant \(d\).
Où chercher la racine évidente : les racines entières d’un polynôme à coefficients entiers sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant \(d\). Pour \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\), on teste donc les diviseurs de \(6\) : \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
L’étape 3 mérite un mot. L’identification est souvent la plus rapide en Terminale ; la division euclidienne devient incontournable en prépa quand les coefficients sont lourds. Voici l’identification en action sur \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\), avec la racine \(\alpha = 1\) :
On pose \(P(x) = (x – 1)(x^2 + \beta x + \gamma)\) et on développe :
\((x – 1)(x^2 + \beta x + \gamma) = x^3 + (\beta – 1)x^2 + (\gamma – \beta)x – \gamma\)On compare avec \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) : \(\beta – 1 = -6\) donne \(\beta = -5\), et \(-\gamma = -6\) donne \(\gamma = 6\). On vérifie le coefficient de \(x\) : \(\gamma – \beta = 6 – (-5) = 11\) ✓. Le trinôme est \(x^2 – 5x + 6\).
La méthode pour factoriser un degré 3, sur une fiche recto-verso
Les 4 étapes, l’astuce des diviseurs et les 3 pièges classiques, prêts à glisser dans ton classeur avant le prochain DS.
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III. Quand utiliser cette méthode (et quand l’éviter)
La « racine évidente + abaissement du degré » n’est pas la seule technique de factorisation. Avant de te lancer, identifie bien la situation : tu gagneras du temps.
| Situation | Méthode à employer | Pour aller plus loin |
|---|---|---|
| Polynôme de degré 2 : \(ax^2 + bx + c\) | Discriminant \(\Delta\) | Second degré |
| Degré 3 avec une racine entière simple | Racine évidente + division (cette page) | — |
| Facteur commun ou identité remarquable visible | Factorisation algébrique directe | Factorisation |
| Degré 3 sans aucune racine rationnelle | Méthode de Cardan / résolution numérique | Hors programme lycée |
| Degré 4 bicarré : \(ax^4 + bx^2 + c\) | Changement \(X = x^2\) | Voir section VII |
Ne confonds pas degré 2 et degré 3. Le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) ne s’applique qu’au second degré. Sur un polynôme de degré 3, il ne veut rien dire tant que tu n’as pas abaissé le degré avec une racine évidente.
Une fois la bonne stratégie identifiée, passons à la pratique sur des cas progressifs.
IV. Trois exemples résolus, du lycée à la prépa
On augmente la difficulté à chaque exemple : coefficient dominant simple, puis \(a \neq 1\), puis un trinôme qui ne se factorise pas dans les réels.
A. 🔵 Cas de base — trois racines réelles
Exemple 1 : Factoriser \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\).
Étape 1 — racine évidente. \(P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\) : donc \(1\) est racine.
Étapes 2-3. On a vu plus haut que \(P(x) = (x – 1)(x^2 – 5x + 6)\).
Étape 4 — trinôme. \(\Delta = 25 – 24 = 1\), racines \(\displaystyle\frac{5 – 1}{2} = 2\) et \(\displaystyle\frac{5 + 1}{2} = 3\).
Conclusion : \(P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)\).
B. 🔵 Coefficient dominant différent de 1
Exemple 2 : Factoriser \(P(x) = 2x^3 + 3x^2 – 11x – 6\).
Étape 1. \(P(2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0\) : \(2\) est racine.
Étape 2. Le coefficient dominant reste \(2\) : \(P(x) = (x – 2)(2x^2 + \beta x + \gamma)\).
Étape 3 — identification. En développant, \(\beta – 4 = 3\) donne \(\beta = 7\) et \(-2\gamma = -6\) donne \(\gamma = 3\). Donc \(P(x) = (x – 2)(2x^2 + 7x + 3)\).
Étape 4. \(\Delta = 49 – 24 = 25\), racines \(\displaystyle\frac{-7 – 5}{4} = -3\) et \(\displaystyle\frac{-7 + 5}{4} = -\displaystyle\frac{1}{2}\).
Conclusion : \(P(x) = (x – 2)(x + 3)(2x + 1)\).
Vérification rapide : le produit des coefficients dominants \(1 \times 1 \times 2 = 2\) ✓.
Remarque la subtilité : on n’écrit pas \(2\left(x + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\) mais directement \((2x + 1)\), plus propre. C’est exactement le travail sur les racines d’un polynôme et leurs coefficients.
C. 🟠 Quand le trinôme n’a pas de racine réelle
Exemple 3 : Factoriser \(P(x) = x^3 – 2x^2 + x – 2\).
Étape 1. \(P(2) = 8 – 8 + 2 – 2 = 0\) : \(2\) est racine.
Étapes 2-3. Identification : \(P(x) = (x – 2)(x^2 + 1)\).
Étape 4. Pour \(x^2 + 1\), \(\Delta = -4\) < \(0\) : pas de racine réelle. Le trinôme est irréductible dans \(\mathbb{R}\).
Conclusion (dans \(\mathbb{R}\)) : \(P(x) = (x – 2)(x^2 + 1)\). C’est la factorisation finale : on n’écrase pas un trinôme irréductible.
🟠 Extension prépa. Dans \(\mathbb{C}\), le théorème de d’Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré 3 est scindé : \(x^2 + 1 = (x – i)(x + i)\), donc \(P(x) = (x – 2)(x – i)(x + i)\). Voir les racines complexes et la notion de polynôme scindé.
Tu as maintenant les trois cas de figure en main.
V. Erreurs fréquentes (et comment les éviter)
La plupart des points perdus sur ce type d’exercice viennent de trois fautes très précises. Apprends à les reconnaître.
A. Le signe du facteur
❌ Copie fautive : « \(P(-2) = 0\), donc \((x – 2)\) est un facteur. »
Diagnostic : confusion classique. Si la racine est \(\alpha = -2\), le facteur est \((x – \alpha) = (x – (-2)) = (x + 2)\).
✅ Correction : \(P(-2) = 0\) donne le facteur \((x + 2)\). Règle : racine positive \(\to\) signe moins ; racine négative \(\to\) signe plus.
B. Croire qu’il y a toujours trois racines réelles
❌ Copie fautive : « Un degré 3 a forcément 3 racines, je cherche les deux autres. »
Diagnostic : un polynôme de degré 3 a au moins une racine réelle, mais pas nécessairement trois. Si le trinôme restant a \(\Delta\) < \(0\) (comme l’exemple 3), il n’y a qu’une seule racine réelle.
✅ Correction : arrête-toi à \((x – \alpha)(\text{trinôme irréductible})\) quand \(\Delta\) < \(0\).
C. S’arrêter trop tôt
❌ Copie fautive : « \(P(x) = (x – 1)(x^2 – 5x + 6)\), j’ai factorisé. »
Diagnostic : le trinôme \(x^2 – 5x + 6\) a un discriminant strictement positif : il peut encore se factoriser. La factorisation n’est pas terminée.
✅ Correction : toujours calculer \(\Delta\) du trinôme avant de conclure. Ici \(P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)\).
Maintenant que tu connais les pièges, entraîne-toi sur des énoncés calibrés.
VI. Exercices d’application corrigés
Commence par cacher les corrections. Essaie chaque exercice jusqu’au bout avant de cliquer.
Exercice 1 ★ — Factorisation directe
Factoriser \(P(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6\).
Voir la correction de l'exercice 1
Test : \(P(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0\), donc \(1\) est racine.
Identification : \(P(x) = (x – 1)(x^2 – x – 6)\). Pour le trinôme, \(\Delta = 1 + 24 = 25\), racines \(3\) et \(-2\).
Conclusion : \(P(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 2)\).
Exercice 2 ★★ — Résolution d’équation
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = 0\).
Voir la correction de l'exercice 2
Test : \(P(2) = 8 – 12 – 8 + 12 = 0\), donc \(2\) est racine.
Identification : \(P(x) = (x – 2)(x^2 – x – 6)\). Le trinôme se factorise en \((x – 3)(x + 2)\).
Donc \(P(x) = (x – 2)(x – 3)(x + 2)\). Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.
Solutions : \(S = \{-2\,;\,2\,;\,3\}\).
Exercice 3 ★★ — Raisonnement et étude de signe
On pose \(P(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6\).
1. Montrer que \(3\) est une racine de \(P\).
2. Factoriser \(P(x)\), puis résoudre l’inéquation \(P(x) \geq 0\).
Voir la correction de l'exercice 3
1. \(P(3) = 27 – 36 + 3 + 6 = 0\) : \(3\) est bien racine.
2. Identification : \(P(x) = (x – 3)(x^2 – x – 2) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)\).
On dresse le tableau de signe avec les racines rangées dans l’ordre \(-1 \lt 2 \lt 3\). Le coefficient dominant est positif, donc le produit est négatif « avant » la première racine puis alterne.
Résolution : \(P(x) \geq 0\) sur \([-1\,;\,2] \cup [3\,;\,+\infty[\).
Exercice 4 ★★★ — 🟠 Coefficient dominant et racine fractionnaire
Factoriser \(P(x) = 2x^3 – x^2 – 2x + 1\).
Voir la correction de l'exercice 4
Test : \(P(1) = 2 – 1 – 2 + 1 = 0\), donc \(1\) est racine.
Le coefficient dominant reste \(2\) : \(P(x) = (x – 1)(2x^2 + x – 1)\) (identification : \(\beta – 2 = -1\) et \(-\gamma = 1\)).
Trinôme : \(\Delta = 1 + 8 = 9\), racines \(\displaystyle\frac{-1 + 3}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle\frac{-1 – 3}{4} = -1\).
Conclusion : \(P(x) = (x – 1)(2x – 1)(x + 1)\).
VII. 🔴 Aller plus loin : degré 4 et rédaction en prépa
La même idée se prolonge naturellement. Voici deux extensions utiles si tu vises la prépa.
A. Et le degré 4 ?
Le principe est identique : on cherche une racine évidente \(\alpha\), on factorise par \((x – \alpha)\), et on tombe sur un polynôme de degré 3 que l’on traite par cette même méthode. Cas particulier fréquent : le polynôme bicarré \(ax^4 + bx^2 + c\), que l’on factorise en posant \(X = x^2\) pour se ramener à un degré 2.
Exemple : \(x^4 – 5x^2 + 4\). On pose \(X = x^2\) : \(X^2 – 5X + 4 = (X – 1)(X – 4)\).
En revenant à \(x\) : \((x^2 – 1)(x^2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\).
B. Ce que le correcteur attend en prépa
Rédaction concours. Sur une copie de prépa, ces réflexes sont valorisés :
- Justifie la racine par un calcul explicite : « \(P(2) = 0\) donc \(2\) est racine de \(P\) », pas seulement « \(2\) est racine évidente ».
- Nomme le théorème de la division : \((x – 2)\) divise \(P\) car \(2\) en est racine.
- Pose la division euclidienne proprement quand les coefficients sont lourds : c’est plus sûr que l’identification à la main.
- Précise le corps de travail : factorisation dans \(\mathbb{R}\) (trinôme irréductible autorisé) ou dans \(\mathbb{C}\) (polynôme scindé).
Pour la technique de division détaillée, la potence et les cas à coefficients pénibles, va voir la page dédiée à la division euclidienne des polynômes.
VIII. Questions fréquentes
Comment trouver une racine évidente d'un polynôme de degré 3 ?
Teste les petites valeurs entières dans l’ordre : 0, 1, −1, 2, −2, 3… Une racine entière divise toujours le terme constant du polynôme. Par exemple, pour \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\), on teste les diviseurs de 6. Dès que \(P(\alpha) = 0\), tu as ta racine.
Un polynôme de degré 3 a-t-il toujours trois racines ?
Il a toujours au moins une racine réelle, et au plus trois. Si, après avoir factorisé par \((x – \alpha)\), le trinôme restant a un discriminant négatif, il n’y a qu’une seule racine réelle. Dans \(\mathbb{C}\) en revanche, il a toujours exactement trois racines (comptées avec leur multiplicité).
Quelle est la différence entre factoriser et résoudre un polynôme de degré 3 ?
Factoriser, c’est écrire \(P(x)\) comme un produit de facteurs, par exemple \((x – 1)(x – 2)(x – 3)\). Résoudre \(P(x) = 0\), c’est trouver les valeurs qui annulent ce produit, soit ici \(x = 1, 2, 3\). La factorisation est l’outil ; la résolution en est l’application directe via la règle du produit nul.
Comment résoudre un polynôme de degré 3 sans racine évidente ?
Au lycée, ce cas n’apparaît pas : l’énoncé garantit toujours une racine évidente (souvent suggérée par une question préliminaire). Au-delà, il existe la méthode de Cardan ou une résolution numérique approchée, mais elles sont hors programme du lycée.
Comment factoriser un polynôme de degré 3 quand le coefficient de x³ n'est pas 1 ?
Rien ne change dans la méthode : le coefficient dominant du trinôme reste celui du polynôme de départ. Pour \(2x^3 + \dots\), tu écris \((x – \alpha)(2x^2 + \beta x + \gamma)\) et tu identifies \(\beta\) et \(\gamma\). Pense ensuite à écrire les racines fractionnaires sous forme entière, par exemple \((2x + 1)\) plutôt que \(2\left(x + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant factoriser n’importe quel polynôme de degré 3 dès qu’une racine évidente est disponible. Pour consolider :
- Racines d’un polynôme : multiplicité et relations coefficients-racines
- La division euclidienne des polynômes pas à pas
- Le polynôme du second degré et le discriminant
- Le cours complet sur la factorisation
- Le pilier : tout sur les polynômes
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