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Pourquoi certains polynômes se factorisent-ils entièrement en produits de facteurs de degré 1, alors que d’autres « résistent » ? Sur \(\mathbb{C}\), tout se factorise complètement ; sur \(\mathbb{R}\), non. C’est précisément cette idée que capture la notion de polynôme scindé. Maîtriser ce concept est indispensable en prépa : il commande la factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{C}[X]\), les relations entre coefficients et racines, et surtout toute la théorie de la réduction (trigonalisation, diagonalisation).
I. Définition d’un polynôme scindé
Commençons par fixer le cadre. On travaille sur un corps \(K\), qui sera presque toujours \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) en prépa. Le caractère « scindé » d’un polynôme dépend toujours du corps choisi : un même polynôme peut être scindé sur \(\mathbb{C}\) sans l’être sur \(\mathbb{R}\).
Définition — Polynôme scindé
Soit \(K\) un corps. Un polynôme \(P \in K[X]\) de degré \(n \geq 1\) est dit scindé sur \(K\) lorsqu’il s’écrit comme produit de facteurs de degré 1 à coefficients dans \(K\) :
\(P = \lambda \prod_{i=1}^{n} (X – x_i)\)
où \(\lambda \in K^*\) est le coefficient dominant de \(P\) et où \(x_1, \dots, x_n\) sont les racines de \(P\) dans \(K\), comptées avec leur multiplicité.
En regroupant les racines égales, on écrit souvent la forme factorisée avec les racines distinctes \(a_1, \dots, a_r\) et leurs multiplicités \(m_1, \dots, m_r\) :
\(P = \lambda \prod_{k=1}^{r} (X – a_k)^{m_k}, \qquad m_1 + \cdots + m_r = n.\)Cette dernière égalité \(m_1 + \cdots + m_r = n\) est le critère central : un polynôme de degré \(n\) est scindé sur \(K\) si et seulement si la somme des multiplicités de ses racines dans \(K\) vaut \(n\).
A. Polynôme scindé à racines simples
Un cas particulier revient sans cesse, notamment en réduction des endomorphismes.
Définition — Scindé à racines simples
Un polynôme \(P\) est scindé à racines simples sur \(K\) lorsqu’il est scindé sur \(K\) et que toutes ses racines sont distinctes : \(P = \lambda \prod_{i=1}^{n} (X – x_i)\) avec les \(x_i\) deux à deux distincts (toutes les multiplicités valent 1).
Erreur classique : « scindé » ne signifie pas « à racines simples ». Le polynôme \((X-1)^3\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) (produit de trois facteurs de degré 1), mais il possède une racine triple : il n’est donc pas à racines simples. « Scindé » porte sur la factorisation, « racines simples » porte sur les multiplicités.
B. Premiers exemples
Exemple 1 (🟠 Prépa). \(P = X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3)\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\).
Exemple 2. \(Q = X^2 + 1\) n’a aucune racine réelle : il n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\). En revanche, \(Q = (X – i)(X + i)\) : il est scindé sur \(\mathbb{C}\).
Exemple 3. \(R = 2(X-1)^2(X+4)\) est scindé sur \(\mathbb{R}\), de degré 3, avec coefficient dominant \(\lambda = 2\) : la somme des multiplicités \(2 + 1 = 3\) égale bien le degré.
L’exemple de \(X^2+1\) illustre l’idée fondamentale : pour décider si un polynôme est scindé, tout dépend du corps. Voyons maintenant les deux notions voisines avec lesquelles « scindé » dialogue en permanence : unitaire et irréductible.
II. Polynômes unitaire et irréductible
A. Polynôme unitaire
Définition — Polynôme unitaire (ou normalisé)
Un polynôme \(P \in K[X]\) non nul est unitaire (on dit aussi normalisé ou monique) lorsque son coefficient dominant vaut \(1\).
Tout polynôme non nul \(P\) de coefficient dominant \(\lambda\) s’écrit \(P = \lambda \cdot \widetilde{P}\) où \(\widetilde{P} = \displaystyle\frac{1}{\lambda}P\) est unitaire. On parle ainsi du polynôme unitaire associé à \(P\). Cette normalisation est essentielle pour garantir l’unicité d’objets comme le polynôme minimal, qui est par convention toujours unitaire.
B. Polynôme irréductible
L’irréductibilité est, en un sens, l’exact opposé de la factorisation : un polynôme irréductible est un polynôme « insécable » dans \(K[X]\).
Définition — Polynôme irréductible
Un polynôme \(P \in K[X]\) est irréductible sur \(K\) lorsque \(\deg P \geq 1\) et qu’on ne peut pas l’écrire comme produit de deux polynômes de \(K[X]\) de degrés tous deux supérieurs ou égaux à 1. Autrement dit, ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et ses associés \(\mu P\) (\(\mu \in K^*\)).
Les polynômes irréductibles jouent dans \(K[X]\) le rôle des nombres premiers dans \(\mathbb{Z}\) : tout polynôme se factorise de façon essentiellement unique en produit d’irréductibles. La question naturelle est donc : quels sont les irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) et de \(\mathbb{C}[X]\) ? La réponse, qui dépend du corps, est résumée ci-dessous.
| Question | Sur \(\mathbb{R}[X]\) | Sur \(\mathbb{C}[X]\) |
|---|---|---|
| Polynômes irréductibles | Degré 1, et degré 2 à discriminant \(\Delta\) < \(0\) | Degré 1 uniquement |
| Tout polynôme de degré \(\geq 1\) est-il scindé ? | Non (en général) | Oui (toujours) |
| Forme factorisée d’un polynôme | \(\lambda \prod (X – a_i)^{m_i} \prod (X^2 + b_j X + c_j)^{n_j}\) | \(\lambda \prod (X – z_i)^{m_i}\) |
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Définitions, critère de scindage, factorisation dans ℝ[X] et ℂ[X], et les liens avec la réduction : tout l’essentiel synthétisé pour tes révisions.
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Lien scindé ↔ irréductible. Un polynôme \(P\) est scindé sur \(K\) si et seulement si tous ses facteurs irréductibles sont de degré 1. Sur \(\mathbb{C}\), les irréductibles étant exactement les degrés 1, tout polynôme est automatiquement scindé. Sur \(\mathbb{R}\), la présence d’un facteur irréductible de degré 2 (sans racine réelle) empêche le polynôme d’être scindé.
Cette dépendance au corps n’est pas un hasard : elle découle d’un théorème majeur qui fait de \(\mathbb{C}\) un corps très particulier. C’est l’objet de la section suivante.
III. Propriétés et théorèmes fondamentaux
A. Théorème de d’Alembert-Gauss
Théorème de d’Alembert-Gauss (⋆)
Le corps \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos : tout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) de degré \(\geq 1\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
On admet ce théorème (sa preuve relève de l’analyse complexe ou de la topologie). En revanche, le corollaire suivant — capital — se démontre très simplement par récurrence.
Corollaire — Tout polynôme complexe est scindé sur \(\mathbb{C}\)
Tout polynôme \(P \in \mathbb{C}[X]\) de degré \(n \geq 1\) est scindé sur \(\mathbb{C}\). En comptant les multiplicités, il possède exactement \(n\) racines complexes.
Démonstration (par récurrence sur \(n = \deg P\)).
Initialisation. Si \(n = 1\), alors \(P = aX + b\) avec \(a \neq 0\), donc \(P = a\left(X + \displaystyle\frac{b}{a}\right)\) : \(P\) est scindé.
Hérédité. Supposons le résultat vrai pour tout polynôme de degré \(n – 1\) (avec \(n \geq 2\)). Soit \(P\) de degré \(n\). Par le théorème de d’Alembert-Gauss, \(P\) admet une racine \(a \in \mathbb{C}\). La division euclidienne (ou le fait que \(a\) est racine) donne \(P = (X – a)Q\) avec \(\deg Q = n – 1\). Par hypothèse de récurrence, \(Q\) est scindé : \(Q = \lambda \prod_{i=1}^{n-1}(X – x_i)\). Donc \(P = \lambda (X-a)\prod_{i=1}^{n-1}(X – x_i)\) est scindé.
Le résultat est démontré pour tout \(n \geq 1\). ∎
La factorisation par \((X-a)\) utilisée ici repose sur la division euclidienne dans \(K[X]\), et le décompte des racines renvoie à l’étude générale des racines et de leur multiplicité.
B. Factorisation dans ℝ[X]
Sur \(\mathbb{R}\), un polynôme n’est pas nécessairement scindé, mais on dispose néanmoins d’une factorisation complète, à condition d’autoriser des facteurs de degré 2.
Théorème — Factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\)
Tout polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré \(\geq 1\), de coefficient dominant \(\lambda\), s’écrit de manière unique (à l’ordre près) :
\(P = \lambda \prod_{k} (X – a_k)^{m_k} \prod_{j} \left(X^2 + b_j X + c_j\right)^{n_j}\)
où les \(a_k\) sont les racines réelles et où chaque trinôme \(X^2 + b_j X + c_j\) a un discriminant \(\Delta_j\) < \(0\) (donc aucune racine réelle).
Démonstration (idée). On scinde \(P\) dans \(\mathbb{C}\) grâce au corollaire précédent. Comme \(P\) est à coefficients réels, si \(z\) est racine de multiplicité \(m\), alors son conjugué \(\overline{z}\) est aussi racine de même multiplicité \(m\) (car \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)} = 0\)). On regroupe alors chaque paire de racines complexes conjuguées non réelles :
\((X – z)(X – \overline{z}) = X^2 – 2\,\mathrm{Re}(z)\,X + |z|^2.\)
Ce trinôme est à coefficients réels et, n’ayant pas de racine réelle, son discriminant est strictement négatif. Les racines réelles fournissent les facteurs de degré 1. ∎
On en déduit immédiatement un critère très utile.
Critère. Un polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si toutes ses racines complexes sont réelles.
C. Conséquence : relations coefficients-racines
Lorsqu’un polynôme unitaire \(P = \prod_{i=1}^{n}(X – x_i)\) est scindé, le développement du produit fait apparaître les fonctions symétriques élémentaires des racines (relations de Viète). Par exemple :
\(\sum_{i=1}^{n} x_i = -a_{n-1}, \qquad \prod_{i=1}^{n} x_i = (-1)^n a_0\)où \(a_{n-1}\) et \(a_0\) sont respectivement le coefficient de \(X^{n-1}\) et le coefficient constant. Ces relations, fondamentales pour de nombreux exercices de concours, sont détaillées sur la page racines d’un polynôme. Elles n’ont de sens que si le polynôme est scindé — d’où l’importance de la notion.
IV. Méthode : savoir si un polynôme est scindé
Face à un polynôme concret, comment décider rapidement s’il est scindé sur un corps donné ? Voici la marche à suivre.
- Identifier le corps. Si la question porte sur \(\mathbb{C}\) et que \(\deg P \geq 1\), c’est terminé : \(P\) est scindé (d’Alembert-Gauss).
- Sur \(\mathbb{R}\), chercher les racines réelles. Racines évidentes (\(0, 1, -1, 2\)…), puis factorisation par \((X – a)\) via la division euclidienne.
- Compter les multiplicités. Calculer la somme des multiplicités des racines trouvées dans le corps.
- Conclure avec le critère. Si cette somme égale \(\deg P\), le polynôme est scindé. Sinon, il reste un facteur de degré \(\geq 2\) sans racine dans le corps : \(P\) n’est pas scindé.
Exemple résolu (🟠 Prépa). Le polynôme \(P = X^4 – 1\) est-il scindé sur \(\mathbb{R}\) ? sur \(\mathbb{C}\) ?
Sur \(\mathbb{R}\). On factorise : \(X^4 – 1 = (X^2 – 1)(X^2 + 1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)\). Les racines réelles sont \(1\) et \(-1\) (multiplicités 1), soit une somme de multiplicités égale à \(2 \neq 4\). Le facteur \(X^2 + 1\) a un discriminant strictement négatif : \(P\) n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\).
Sur \(\mathbb{C}\). \(X^2 + 1 = (X – i)(X + i)\), donc \(X^4 – 1 = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)\) : scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\) (ce sont les racines 4-ièmes de l’unité, cf. racines de l’unité).
Cette méthode s’applique directement à la factorisation d’un polynôme de degré 3, où l’on cherche une racine évidente avant de diviser. Avant d’aller aux exercices, voyons l’application qui justifie à elle seule l’importance de la notion : la réduction.
V. Polynôme scindé et réduction des endomorphismes
C’est en deuxième année que la notion de polynôme scindé prend toute sa force. Deux résultats centraux de la réduction reposent entièrement sur elle.
A. Caractéristique scindé et trigonalisabilité
Théorème. Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) (ou un endomorphisme) est trigonalisable sur \(K\) si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur \(K\).
Conséquence directe du corollaire de d’Alembert-Gauss : sur \(\mathbb{C}\), le polynôme caractéristique est toujours scindé, donc toute matrice complexe est trigonalisable. Sur \(\mathbb{R}\), ce n’est pas garanti : une rotation d’angle non plat, par exemple, n’est pas trigonalisable sur \(\mathbb{R}\). Le théorème de Cayley-Hamilton fournit par ailleurs un polynôme annulateur explicite à partir du caractéristique.
B. Polynôme scindé à racines simples et diagonalisabilité
C’est ici qu’intervient la notion de scindé à racines simples, qui apparaît dans de nombreuses requêtes d’élèves.
Théorème — Critère de diagonalisabilité par le polynôme annulateur
Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) est diagonalisable sur \(K\) si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur \(K\). De façon équivalente, \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
Méthode express en exercice. Pour montrer qu’une matrice est diagonalisable, il suffit souvent d’exhiber un polynôme \(P\) tel que \(P(A) = 0\) avec \(P\) scindé à racines simples. Par exemple, si \(A^2 = I_n\), alors \(A\) annule \(X^2 – 1 = (X-1)(X+1)\), scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable, de valeurs propres dans \(\{-1, 1\}\).
Ce critère est l’outil le plus puissant pour la diagonalisation sans calculer les sous-espaces propres. On comprend désormais pourquoi « scindé à racines simples » est une expression-clé de la prépa. Mettons tout cela en pratique.
VI. Exercices corrigés
Exercice 1 (★). Le polynôme \(P = X^2 + X + 1\) est-il scindé sur \(\mathbb{R}\) ? sur \(\mathbb{C}\) ?
Correction. Le discriminant vaut \(\Delta = 1 – 4 = -3\) < \(0\). Donc \(P\) n’a aucune racine réelle : il n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\) (c’est même un irréductible de \(\mathbb{R}[X]\)). Sur \(\mathbb{C}\), il admet deux racines \(j = e^{2i\pi/3}\) et \(\overline{j}\), donc \(P = (X – j)(X – \overline{j})\) : scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\).
Exercice 2 (★). Factoriser \(P = X^4 + 4\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dire s’il est scindé sur \(\mathbb{R}\).
Correction. On utilise l’identité de Sophie Germain : \(X^4 + 4 = (X^2 + 2)^2 – (2X)^2 = (X^2 – 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)\). Chaque facteur a pour discriminant \(\Delta = 4 – 8 = -4\) < \(0\). Aucune racine réelle : \(P\) est un produit de deux irréductibles de degré 2, donc non scindé sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 (★★). Montrer que \(X^3 – 1\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\) et donner sa factorisation.
Correction. Les racines sont les racines cubiques de l’unité : \(1,\ j,\ j^2\) avec \(j = e^{2i\pi/3}\). Elles sont deux à deux distinctes, donc \(X^3 – 1 = (X – 1)(X – j)(X – j^2)\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\). Sur \(\mathbb{R}\), on regroupe les conjuguées \(j, j^2\) : \(X^3 – 1 = (X – 1)(X^2 + X + 1)\), qui n’est donc pas scindé sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 4 (★★, raisonnement). Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) non constant. Montrer que \(P\) est scindé à racines simples si et seulement si \(P\) et \(P^\prime\) sont premiers entre eux.
Correction. Sur \(\mathbb{C}\), \(P\) est toujours scindé ; il s’agit donc de caractériser « racines simples ». Une racine \(a\) de \(P\) est multiple (multiplicité \(\geq 2\)) si et seulement si \(P(a) = P^\prime(a) = 0\), c’est-à-dire si \(a\) est racine commune à \(P\) et \(P^\prime\).
(⟸) Si \(P\) et \(P^\prime\) sont premiers entre eux, ils n’ont aucune racine commune dans \(\mathbb{C}\), donc \(P\) n’a aucune racine multiple : \(P\) est à racines simples.
(⟹) Réciproquement, si \(P\) est à racines simples, aucune racine de \(P\) n’annule \(P^\prime\). Tout diviseur commun de \(P\) et \(P^\prime\) aurait une racine (dans \(\mathbb{C}\)) qui serait racine commune : impossible. Donc \(\gcd(P, P^\prime) = 1\). ∎
Exercice 5 (★★★, réduction). Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice nilpotente non nulle. Montrer que son polynôme caractéristique est scindé, mais que \(A\) n’est pas diagonalisable.
Correction. Comme \(A\) est nilpotente, il existe \(p \geq 1\) tel que \(A^p = 0\) : \(A\) annule \(X^p\). Sa seule valeur propre possible est \(0\), donc son polynôme caractéristique est \(\chi_A = X^n\), scindé sur \(\mathbb{C}\) (avec une racine de multiplicité \(n\), donc non simple).
Si \(A\) était diagonalisable, son polynôme minimal serait scindé à racines simples ; or les valeurs propres se réduisent à \(0\), donc le minimal serait \(X\), ce qui imposerait \(A = 0\). Contradiction avec \(A \neq 0\). Donc \(A\) n’est pas diagonalisable. ∎
Cet exercice illustre parfaitement la distinction : caractéristique scindé (donc trigonalisable) n’implique nullement diagonalisable. Il faut le scindé à racines simples du minimal.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
❌ Copie fautive : « \(X^2 + 1\) est irréductible, donc il n’est pas scindé sur \(\mathbb{C}\). »
Diagnostic : confusion entre les deux corps. \(X^2+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\), pas sur \(\mathbb{C}\).
✅ Correction : sur \(\mathbb{C}\), \(X^2 + 1 = (X-i)(X+i)\) est scindé. L’irréductibilité comme le caractère scindé dépendent toujours du corps.
❌ Confondre scindé et scindé à racines simples. \((X-2)^4\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) mais possède une racine de multiplicité 4. Ne pas oublier les multiplicités : c’est leur somme qui doit valoir le degré.
❌ Croire que tout polynôme réel est scindé sur \(\mathbb{R}\). Faux dès qu’il existe un facteur de degré 2 à discriminant négatif. Seul \(\mathbb{C}\) garantit le scindage de tout polynôme non constant.
Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une copie de concours, trois réflexes valorisés :
- Toujours préciser le corps : « scindé sur \(\mathbb{R}\) » ou « scindé sur \(\mathbb{C}\) », jamais « scindé » tout court.
- Justifier le scindage sur \(\mathbb{C}\) par d’Alembert-Gauss explicitement, plutôt que de l’affirmer.
- Pour la diagonalisabilité, citer le critère exact « polynôme annulateur scindé à racines simples » et vérifier les deux conditions (scindé ET racines simples). Oublier la simplicité des racines est l’erreur la plus pénalisée.
VIII. Questions fréquentes
Comment savoir si un polynôme est scindé ?
Identifie d’abord le corps. Sur \(\mathbb{C}\), tout polynôme de degré au moins 1 est scindé (théorème de d’Alembert-Gauss). Sur \(\mathbb{R}\), cherche toutes les racines réelles avec leur multiplicité : le polynôme est scindé si et seulement si la somme de ces multiplicités égale son degré. S’il reste un facteur de degré 2 à discriminant négatif, il n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\).
Tout polynôme est-il scindé sur ℂ ?
Oui : tout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) de degré supérieur ou égal à 1 est scindé sur \(\mathbb{C}\). C’est une conséquence directe du fait que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos. En comptant les multiplicités, un tel polynôme de degré \(n\) a exactement \(n\) racines complexes.
Quelle est la différence entre polynôme scindé et polynôme irréductible ?
Ce sont des notions presque opposées. Un polynôme scindé se factorise entièrement en produit de facteurs de degré 1. Un polynôme irréductible, lui, ne se factorise pas du tout (à part les constantes). Sur \(\mathbb{C}\), les irréductibles sont exactement les degrés 1, donc tout polynôme est scindé. Sur \(\mathbb{R}\), les irréductibles sont les degrés 1 et les degrés 2 à discriminant négatif.
Qu'est-ce qu'un polynôme scindé à racines simples ?
C’est un polynôme scindé dont toutes les racines sont distinctes, c’est-à-dire de multiplicité 1. Par exemple \((X-1)(X-2)(X-3)\) est scindé à racines simples, alors que \((X-1)^2(X-2)\) est scindé mais pas à racines simples. Cette notion est centrale en réduction : une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
Que signifie un polynôme caractéristique scindé ?
Cela signifie que le polynôme caractéristique se factorise entièrement en facteurs de degré 1 sur le corps considéré. Conséquence : la matrice (ou l’endomorphisme) est trigonalisable sur ce corps. Attention, scindé ne suffit pas pour la diagonalisabilité : il faut que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Que veut dire « scindé » ?
En algèbre, « scinder » signifie séparer en facteurs élémentaires. Un polynôme scindé est donc un polynôme entièrement « cassé » en produit de facteurs de degré 1 du type \((X – x_i)\). Le terme insiste sur le fait que la factorisation est complète, sans facteur résiduel de degré supérieur ou égal à 2.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les notions de polynôme scindé, irréductible et unitaire. Pour consolider et approfondir :
- Racines d’un polynôme : multiplicité et relations coefficients-racines
- La division euclidienne des polynômes
- Le polynôme caractéristique d’une matrice
- Polynôme minimal et polynôme annulateur
- Le théorème de Cayley-Hamilton
- Retour au cours complet sur les polynômes
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