Loi de Poisson : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés

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La loi de Poisson modélise le nombre d’occurrences d’un événement rare sur un intervalle fixé. Limite naturelle de la loi binomiale quand \(n\) est grand et \(p\) est petit, elle est omniprésente dans l’étude des variables aléatoires en CPGE. Tu trouveras ici la définition formelle, la fonction génératrice, les démonstrations exigibles de l’espérance et de la variance, le lien avec le processus de Poisson, et 8 exercices corrigés. Conforme au programme de mathématiques des CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI).

I. Définition de la loi de Poisson

A. Contexte et motivation

La loi de Poisson, introduite par le mathématicien français Siméon Denis Poisson en 1837, modélise le nombre d’occurrences d’un événement sur un intervalle de temps ou d’espace fixé, sous trois hypothèses :

• les événements se produisent indépendamment les uns des autres ;
• le taux moyen d’occurrence est constant sur l’intervalle ;
• deux événements ne peuvent pas se produire exactement au même instant.

Exemples classiques : nombre d’appels téléphoniques reçus par un standard en une heure, nombre de désintégrations d’un atome radioactif par seconde, nombre de fautes de frappe par page.

B. Définition formelle

C. C’est bien une loi de probabilité — Démonstration ⋆

Pour que \(\bigl(P(X = k)\bigr)_{k \in \mathbb{N}}\) définisse une loi de probabilité sur \(\mathbb{N}\), il faut vérifier la positivité et la somme totale égale à \(1\).

Démonstration ⋆

Positivité. Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on a \(e^{-\lambda}\) > \(0\) et \(\displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} \geq 0\), donc \(P(X = k) \geq 0\).

Somme totale.

\(\sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1\)

La dernière égalité utilise le développement en série entière \(e^{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{k}}{k!}\) pour \(x = \lambda\), valable sur \(\mathbb{R}\) entier.

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II. Espérance, variance et fonction génératrice

La fonction génératrice des probabilités est l’outil central pour calculer les moments de la loi de Poisson. Elle permet d’obtenir l’espérance et la variance de manière élégante et systématique.

A. Fonction génératrice des probabilités

Démonstration ⋆

Pour tout \(t \in \mathbb{R}\) :

\(G_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} t^{k}\, e^{-\lambda}\, \displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(\lambda t)^{k}}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda t} = e^{\lambda(t – 1)}\)

La série converge pour tout \(t \in \mathbb{R}\) car c’est la série exponentielle évaluée en \(\lambda t\).

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B. Espérance — \(E(X) = \lambda\)

Démonstration ⋆

On utilise la propriété \(E(X) = G_X^\prime(1)\). En dérivant \(G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}\) :

\(G_X^\prime(t) = \lambda\, e^{\lambda(t-1)}\)

D’où :

\(E(X) = G_X^\prime(1) = \lambda\, e^{0} = \lambda\)

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Le paramètre \(\lambda\) a donc une interprétation directe : c’est le nombre moyen d’événements sur l’intervalle considéré. Pour approfondir le concept d’espérance et ses propriétés (linéarité, transfert), consulte le cours complet sur l’espérance.

C. Variance et écart-type — \(V(X) = \lambda\)

Démonstration ⋆

On utilise \(E\bigl(X(X-1)\bigr) = G_X^{\prime\prime}(1)\). En dérivant une seconde fois :

\(G_X^{\prime\prime}(t) = \lambda^{2}\, e^{\lambda(t-1)}\)

Donc :

\(E\bigl(X(X-1)\bigr) = G_X^{\prime\prime}(1) = \lambda^{2}\)

Or \(E\bigl(X(X-1)\bigr) = E(X^{2}) – E(X)\), d’où \(E(X^{2}) = \lambda^{2} + \lambda\). Par la formule de König-Huygens :

\(V(X) = E(X^{2}) – \bigl[E(X)\bigr]^{2} = \lambda^{2} + \lambda – \lambda^{2} = \lambda\)

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L’écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{\lambda}\) mesure la dispersion autour de la moyenne. La dispersion relative \(\displaystyle\frac{\sigma(X)}{E(X)} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\) diminue quand \(\lambda\) augmente : plus le taux est élevé, plus la loi est « concentrée » relativement à sa moyenne.

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III. Propriétés fondamentales

Au-delà des moments, la loi de Poisson possède des propriétés structurelles puissantes, régulièrement mobilisées en concours.

A. Stabilité par somme de variables de Poisson indépendantes

Démonstration

Par indépendance, la fonction génératrice de \(X + Y\) est le produit des fonctions génératrices :

\(G_{X+Y}(t) = G_X(t) \cdot G_Y(t) = e^{\lambda(t-1)} \cdot e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}\)

On reconnaît la fonction génératrice de \(\mathcal{P}(\lambda + \mu)\). Par unicité de la loi déterminée par sa fonction génératrice, \(X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\).

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Généralisation. Si \(X_1, \ldots, X_n\) sont des variables de Poisson indépendantes de paramètres respectifs \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\), alors :

\(\sum_{i=1}^{n} X_i \sim \mathcal{P}\!\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\right)\)

B. Approximation poissonnienne de la loi binomiale

Ce théorème justifie l’usage de la loi de Poisson comme approximation de la loi binomiale pour les événements rares.

Idée de la démonstration

On pose \(p_n = \displaystyle\frac{\lambda}{n}\). Alors :

\(P(X_n = k) = {n \choose k} \left(\displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!k} \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n-k}\)

On réécrit :

\(P(X_n = k) = \displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} \cdot \underbrace{\displaystyle\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}}_{\to\, 1} \cdot \underbrace{\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n}}_{\to\, e^{-\lambda}} \cdot \underbrace{\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!-k}}_{\to\, 1}\)

Les trois facteurs convergent (à \(k\) fixé quand \(n \to +\infty\)), d’où \(P(X_n = k) \to e^{-\lambda}\;\displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!}\).

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C. Lien avec le processus de Poisson et la loi exponentielle

La loi de Poisson apparaît naturellement dans l’étude des processus de Poisson, qui modélisent des arrivées aléatoires dans le temps continu.

Le lien fondamental avec la loi exponentielle est le suivant : si les événements suivent un processus de Poisson d’intensité \(\lambda\), alors le temps entre deux événements consécutifs suit une loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) d’espérance \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\). C’est la propriété d’absence de mémoire qui relie les deux lois : le processus « repart à zéro » après chaque événement.

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IV. Représentation graphique et fonction de répartition

A. Diagramme en bâtons

La loi de Poisson est une loi discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On la représente par un diagramme en bâtons où la hauteur de chaque bâton correspond à \(P(X = k)\).

Observations :

• Pour \(\lambda\) petit (ex. : \(\lambda = 1\)), la distribution est fortement asymétrique à droite, concentrée près de 0.
• Quand \(\lambda\) augmente, la distribution se symétrise et sa forme se rapproche d’une courbe en cloche — c’est une conséquence du théorème central limite appliqué à une somme de Poisson indépendantes.
• Le mode (valeur la plus probable) est \(\lfloor \lambda \rfloor\) si \(\lambda \notin \mathbb{N}\), et les deux valeurs \(\lambda – 1\) et \(\lambda\) sont ex-aequo si \(\lambda \in \mathbb{N}^{*}\).

B. Fonction de répartition

La fonction de répartition de \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) est la fonction en escalier :

\(F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} e^{-\lambda}\;\displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} \qquad (x \geq 0)\)

avec \(F(x) = 0\) pour \(x\) < \(0\). Cette somme n’a pas de forme close : en pratique, on l’évalue par tables numériques (qui donnent \(P(X \leq k)\) pour différents \(\lambda\)) ou par calculatrice.

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V. Méthode — Reconnaître et utiliser une loi de Poisson

Savoir quand utiliser la loi de Poisson est aussi important que de savoir calculer avec. Voici un guide pratique.

A. Quand modéliser par une loi de Poisson ?

Signaux caractéristiques d’un modèle de Poisson :

1. On compte des événements sur un intervalle (de temps, de longueur, de surface…).
2. Les événements sont indépendants et de taux moyen constant.
3. L’énoncé fournit un nombre moyen d’événements (pas un nombre d’épreuves ni une probabilité).

B. Méthode de résolution en 4 étapes

1. Identifier la variable \(X\) : quelle grandeur compte-t-on ? Vérifier que \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\).
2. Justifier \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) : invoquer l’indépendance, le taux constant, ou l’approximation d’une binomiale. Déterminer \(\lambda\) — attention à adapter \(\lambda\) à la durée/taille de l’intervalle.
3. Écrire la formule : \(P(X = k) = e^{-\lambda}\;\displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!}\).
4. Calculer la probabilité demandée, par calcul direct ou par passage au complémentaire : \(P(X \geq k) = 1 – \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} P(X = j)\).

C. Exemples résolus

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VI. Exercices corrigés

Huit exercices classés par difficulté croissante, couvrant l’ensemble du cours. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.

Exercice 1 ★

Soit \(X \sim \mathcal{P}(2)\). Calculer \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) et \(P(X \geq 3)\).

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On applique \(P(X = k) = e^{-2}\;\displaystyle\frac{2^{k}}{k!}\) :

• \(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}135\)
• \(P(X = 1) = 2\,e^{-2} \approx 0{,}271\)
• \(P(X = 2) = \displaystyle\frac{4}{2}\,e^{-2} = 2\,e^{-2} \approx 0{,}271\)

Par passage au complémentaire :

\(P(X \geq 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) = 1 – 5\,e^{-2} \approx 0{,}323\)

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Exercice 2 ★

Un central téléphonique reçoit en moyenne 4 appels par heure. On admet que le nombre d’appels \(X\) reçus en une heure suit une loi de Poisson.

1. Déterminer le paramètre de la loi de \(X\).
2. Calculer \(P(X = 6)\).
3. Calculer \(P(X \geq 2)\).

Voir la correction

1. Le nombre moyen d’appels par heure est 4, donc \(X \sim \mathcal{P}(4)\).

2.

\(P(X = 6) = e^{-4}\;\displaystyle\frac{4^{6}}{6!} = e^{-4} \cdot \displaystyle\frac{4096}{720} \approx 0{,}104\)

3.

\(P(X \geq 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – e^{-4} – 4\,e^{-4} = 1 – 5\,e^{-4} \approx 0{,}908\)

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Exercice 3 ★★

Une usine produit 1000 composants par jour. Chaque composant a une probabilité \(p = 0{,}002\) de présenter un défaut, indépendamment des autres. On note \(X\) le nombre de composants défectueux.

1. Quelle est la loi exacte de \(X\) ?
2. Justifier l’utilisation d’une approximation par une loi de Poisson et préciser le paramètre.
3. Calculer des valeurs approchées de \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\) et \(P(X \geq 3)\).

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1. Chaque composant est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(0{,}002\). Les épreuves sont indépendantes, donc \(X \sim \mathcal{B}(1000\,;\, 0{,}002)\).

2. On a \(n = 1000 \geq 30\), \(p = 0{,}002 \leq 0{,}1\) et \(np = 2 \leq 10\). Les conditions de l’approximation poissonnienne sont réunies : \(X \approx \mathcal{P}(2)\).

3.

• \(P(X = 0) \approx e^{-2} \approx 0{,}135\)
• \(P(X = 1) \approx 2\,e^{-2} \approx 0{,}271\)

\(P(X \geq 3) \approx 1 – e^{-2}(1 + 2 + 2) = 1 – 5\,e^{-2} \approx 0{,}323\)

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Exercice 4 ★★

Deux serveurs indépendants reçoivent respectivement \(X \sim \mathcal{P}(3)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(5)\) requêtes par minute.

1. Déterminer la loi de \(Z = X + Y\).
2. Calculer \(E(Z)\) et \(V(Z)\).
3. Calculer \(P(Z \leq 2)\).

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1. \(X\) et \(Y\) sont des Poisson indépendantes. Par stabilité : \(Z = X + Y \sim \mathcal{P}(8)\).

2. \(E(Z) = 8\) et \(V(Z) = 8\).

3.

\(P(Z \leq 2) = e^{-8}\!\left(1 + 8 + \displaystyle\frac{64}{2}\right) = 41\,e^{-8} \approx 0{,}014\)

Avec une moyenne de 8 requêtes par minute, n’en recevoir que 0, 1 ou 2 est très improbable.

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Exercice 5 ★★★

Soit \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\). Calculer \(P(X \text{ est pair})\) en fonction de \(\lambda\).

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On utilise l’identité : \(\displaystyle\frac{1 + (-1)^{k}}{2}\) vaut \(1\) si \(k\) est pair, \(0\) sinon. Donc :

\(P(X \text{ pair}) = \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1 + (-1)^{k}}{2}\;P(X = k) = \displaystyle\frac{1}{2}\!\left(\sum_{k \geq 0} P(X = k) + \sum_{k \geq 0} (-1)^{k}\,P(X = k)\right)\)

La première somme vaut \(1\). La seconde est la fonction génératrice évaluée en \(t = -1\) :

\(G_X(-1) = e^{\lambda(-1-1)} = e^{-2\lambda}\)

Finalement :

\(\fbox{P(X \text{ pair}) = \displaystyle\frac{1 + e^{-2\lambda}}{2}}\)

Remarque. Quand \(\lambda \to +\infty\), \(P(X \text{ pair}) \to \displaystyle\frac{1}{2}\). C’est cohérent : pour \(\lambda\) grand, la loi de Poisson est quasi-symétrique et les valeurs paires et impaires sont équiprobables.

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Exercice 6 ★★★

Des clients arrivent dans un magasin selon un processus de Poisson d’intensité \(\lambda = 6\) clients par heure.

1. Calculer la probabilité qu’exactement 2 clients arrivent dans les 20 prochaines minutes.
2. Déterminer la loi du temps \(T\) (en heures) entre deux arrivées consécutives et calculer \(E(T)\).
3. Sachant qu’un client vient d’arriver, calculer la probabilité d’attendre plus de 15 minutes avant le prochain.

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1. Sur 20 minutes, soit \(\displaystyle\frac{1}{3}\) d’heure, le nombre d’arrivées suit \(\mathcal{P}\!\left(6 \times \displaystyle\frac{1}{3}\right) = \mathcal{P}(2)\).

\(P(N_{1/3} = 2) = e^{-2} \cdot \displaystyle\frac{4}{2} = 2\,e^{-2} \approx 0{,}271\)

2. Le temps entre deux arrivées d’un processus de Poisson d’intensité \(\lambda = 6\) suit une loi exponentielle \(\mathcal{E}(6)\). Son espérance est :

\(E(T) = \displaystyle\frac{1}{6}\;\text{h} = 10\;\text{min}\)

3. 15 minutes \(= \displaystyle\frac{1}{4}\) d’heure. Par la propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle (le temps d’attente ne dépend pas de la date du dernier événement) :

\(P\!\left(T > \displaystyle\frac{1}{4}\right) = e^{-6 \times 1/4} = e^{-3/2} \approx 0{,}223\)

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Exercice 7 ★★★

On observe \(n\) réalisations indépendantes \(x_1, \ldots, x_n\) d’une variable aléatoire \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) (où \(\lambda\) > \(0\) est inconnu).

1. Écrire la vraisemblance \(L(\lambda)\) puis la log-vraisemblance \(\ell(\lambda)\).
2. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\lambda}\) de \(\lambda\).
3. Vérifier que \(\hat{\lambda}\) est sans biais.

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1.

\(L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda}\;\displaystyle\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} = e^{-n\lambda} \cdot \displaystyle\frac{\lambda^{\,\sum x_i}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}\)

\(\ell(\lambda) = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)\!\ln \lambda – \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i!)\)

2. On dérive par rapport à \(\lambda\) :

\(\ell^\prime(\lambda) = -n + \displaystyle\frac{\sum x_i}{\lambda}\)

En annulant : \(\ell^\prime(\lambda) = 0 \iff \lambda = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}\).

On vérifie : \(\ell^{\prime\prime}(\lambda) = -\displaystyle\frac{\sum x_i}{\lambda^{2}}\) < \(0\) (pour \(\sum x_i\) > \(0\)), c’est bien un maximum. Donc :

\(\hat{\lambda} = \bar{X} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\)

3. \(E(\hat{\lambda}) = E(\bar{X}) = E(X) = \lambda\). L’estimateur du maximum de vraisemblance est la moyenne empirique, et il est sans biais.

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Exercice 8 ★★★★ (type concours)

Soient \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) deux variables aléatoires indépendantes. On pose \(S = X + Y\).

1. Rappeler la loi de \(S\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{S = n\}\).
3. Interpréter le résultat.

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1. Par stabilité de la loi de Poisson, \(S \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\).

2. Pour \(0 \leq k \leq n\) :

\(P(X = k \mid S = n) = \displaystyle\frac{P(X = k,\; Y = n – k)}{P(S = n)} = \displaystyle\frac{P(X = k) \cdot P(Y = n – k)}{P(S = n)}\)

En développant chaque terme :

\(= \displaystyle\frac{e^{-\lambda}\;\displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} \;\cdot\; e^{-\mu}\;\displaystyle\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}}{e^{-(\lambda+\mu)}\;\displaystyle\frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}} = \displaystyle\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \cdot \displaystyle\frac{\lambda^{k}\;\mu^{n-k}}{(\lambda + \mu)^{n}}\)

\(= {n \choose k}\!\left(\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda + \mu}\right)^{\!k}\!\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda + \mu}\right)^{\!n-k}\)

On reconnaît la loi binomiale :

\((X \mid S = n) \sim \mathcal{B}\!\left(n,\;\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda + \mu}\right)\)

3. Sachant le total \(S = n\), la part revenant à chaque source est répartie binomialement. Le paramètre \(p = \displaystyle\frac{\lambda}{\lambda + \mu}\) est la proportion du taux total due à \(X\). Le conditionnement « casse » le caractère poissonien et fait réapparaître une loi binomiale — ce résultat illustre le lien profond entre les deux lois.

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la loi de Poisson : définition, espérance, variance, stabilité par somme, approximation poissonnienne et lien avec le processus de Poisson. Pour consolider et approfondir :

• Variable aléatoire : cours complet — vue d’ensemble sur les variables aléatoires, lois classiques et formules
• Loi binomiale : cours et propriétés — pour maîtriser la loi source de l’approximation poissonnienne
• Loi exponentielle : cours et propriétés — le temps entre deux événements d’un processus de Poisson
• Loi normale : cours et propriétés — l’approximation normale de la loi de Poisson pour \(\lambda\) grand
• Exercices corrigés sur les variables aléatoires — pour t’entraîner sur l’ensemble du programme
• Loi géométrique : cours et propriétés — une autre loi discrète classique liée aux temps d’attente

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