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La formule de Taylor-Young est le théorème qui transforme une information ponctuelle — les dérivées successives d’une fonction en un point — en une approximation polynomiale locale de cette fonction. Concrètement, c’est elle qui justifie l’existence des développements limités : dès qu’une fonction est suffisamment dérivable en un point, on sait l’écrire comme un polynôme plus un reste négligeable. C’est l’outil de base pour lever une indétermination, trouver un équivalent ou étudier la position d’une courbe par rapport à sa tangente. Dans ce cours, tu vas voir l’énoncé exact, sa démonstration complète par récurrence, la confusion classique avec Taylor-Lagrange, et comment t’en servir en pratique.
I. Énoncé du théorème de Taylor-Young
Le point de départ est simple : si tu connais la valeur de \(f\) et de ses dérivées successives en un point \(a\), tu peux construire un polynôme qui « colle » à \(f\) au voisinage de \(a\). Taylor-Young précise à quel point ce polynôme colle.
Théorème — Formule de Taylor-Young
Soit \(I\) un intervalle, \(a \in I\) et \(n \in \mathbb{N}\). Soit \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(a\), donné par :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + o\big((x-a)^n\big)\)
autrement dit, en posant \(h = x – a\) :
\(f(a+h) = f(a) + f^\prime(a)\,h + \displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}h^2 + \cdots + \displaystyle\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n + o(h^n)\)
Quelques mots de vocabulaire avant tout : le polynôme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\) s’appelle le polynôme de Taylor de \(f\) à l’ordre \(n\) en \(a\). C’est la partie régulière du développement limité. Le terme \(o\big((x-a)^n\big)\) est le reste : il désigne une fonction négligeable devant \((x-a)^n\) quand \(x \to a\).
A. Les hypothèses minimales
Il existe deux versions des hypothèses, et il faut savoir distinguer la plus fine de la plus courante.
- Version minimale : il suffit que \(f\) soit \(n\) fois dérivable en \(a\). Cette hypothèse suppose implicitement que \(f\) est \((n-1)\) fois dérivable sur un voisinage de \(a\) (pour que \(f^{(n)}(a)\) ait un sens), mais on n’exige rien sur le comportement de \(f^{(n)}\) ailleurs qu’en \(a\).
- Version courante en prépa : \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur un voisinage de \(a\). C’est plus fort que nécessaire, mais c’est l’hypothèse vérifiée dans 99 % des cas concrets (fonctions usuelles).
À retenir : Taylor-Young est un résultat local. Il décrit le comportement de \(f\) uniquement au voisinage de \(a\). Il ne dit absolument rien sur l’écart entre \(f\) et son polynôme de Taylor loin de \(a\) : pour cela, il faut l’inégalité de Taylor-Lagrange.
II. Taylor-Young ≠ reste intégral : la confusion à éviter
C’est l’erreur la plus fréquente, et plusieurs ressources en ligne l’entretiennent. Taylor-Young donne un reste de la forme \(o\big((x-a)^n\big)\) : ce n’est ni une expression explicite, ni une intégrale, ni une valeur en un point \(c\). C’est une simple information qualitative : « ce qui reste tend vers \(0\) plus vite que \((x-a)^n\) ».
Erreur classique : écrire la formule de Taylor-Young avec un reste intégral \(\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\) ou un reste de Lagrange \(\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\).
Diagnostic : ces deux formes nécessitent que \(f\) soit de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) (une dérivée de plus !) et donnent un contrôle global du reste. Taylor-Young, lui, se contente de la dérivabilité à l’ordre \(n\) et ne donne qu’un contrôle local.
Correction : le reste de Taylor-Young est \(o\big((x-a)^n\big)\), point. Si tu as besoin d’une majoration chiffrée du reste, tu changes de théorème.
La logique des hypothèses est limpide : plus tu en demandes sur \(f\) (classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) plutôt que dérivable \(n\) fois en un point), plus tu obtiens une information précise sur le reste (une formule explicite plutôt qu’un simple \(o\)). On résume tout cela dans le tableau comparatif de la section IV.
La formule de Taylor-Young, l’essentiel en 1 page
Énoncé, hypothèses, le piège du reste et les DL usuels — une fiche claire à garder sous les yeux pour tes révisions de prépa.
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III. Démonstration de la formule de Taylor-Young
La démonstration se fait par récurrence sur l’ordre \(n\). Elle repose sur un lemme très utile qui « intègre » une relation de négligeabilité. On suppose ici \(f\) de classe \(\mathcal{C}^n\) sur un voisinage de \(a\) (version la plus fréquente).
A. Le lemme clé
Lemme. Soit \(R\) une fonction dérivable sur un voisinage de \(a\), telle que \(R(a) = 0\). Si \(R^\prime(x) = o\big((x-a)^{n-1}\big)\) quand \(x \to a\), alors \(R(x) = o\big((x-a)^n\big)\).
Preuve du lemme. Soit \(\varepsilon > 0\). Par hypothèse, il existe \(\eta > 0\) tel que pour tout \(t\) vérifiant \(|t-a| < \eta\), on ait \(|R^\prime(t)| \leq \varepsilon\,|t-a|^{n-1}\). Fixons \(x\) avec \(|x-a| < \eta\). D’après le théorème des accroissements finis appliqué à \(R\) entre \(a\) et \(x\), il existe \(c\) strictement compris entre \(a\) et \(x\) tel que :
\(R(x) – R(a) = R^\prime(c)\,(x-a)\)
Comme \(R(a) = 0\) et \(|c-a| \leq |x-a|\), on obtient :
\(|R(x)| = |R^\prime(c)|\cdot|x-a| \leq \varepsilon\,|c-a|^{n-1}\,|x-a| \leq \varepsilon\,|x-a|^{n}\)
Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon > 0\), on a bien \(R(x) = o\big((x-a)^n\big)\). ∎
B. La récurrence
On note, pour une fonction \(g\) de classe \(\mathcal{C}^p\) en \(a\), la propriété :
\(\mathcal{P}(p)\) : « \(g(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p}\displaystyle\frac{g^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\big((x-a)^p\big)\) ».
Initialisation \((n=0)\). Si \(f\) est continue en \(a\), alors \(f(x) = f(a) + o(1)\) par définition de la continuité (\(f(x) \to f(a)\)). C’est exactement \(\mathcal{P}(0)\).
Hérédité. Supposons la propriété vraie à l’ordre \(n-1\) pour toute fonction de classe \(\mathcal{C}^{n-1}\). Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Posons le reste :
\(R_n(x) = f(x) – \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)
On remarque d’abord que \(R_n(a) = f(a) – f(a) = 0\). Ensuite, en dérivant terme à terme :
\(R_n^\prime(x) = f^\prime(x) – \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}(x-a)^{k-1} = f^\prime(x) – \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}\displaystyle\frac{(f^\prime)^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}\)
On reconnaît dans cette dernière somme exactement le polynôme de Taylor de \(f^\prime\) à l’ordre \(n-1\) en \(a\). Or \(f^\prime\) est de classe \(\mathcal{C}^{n-1}\) : l’hypothèse de récurrence \(\mathcal{P}(n-1)\) appliquée à \(f^\prime\) donne donc :
\(R_n^\prime(x) = o\big((x-a)^{n-1}\big)\)
Les deux conditions du lemme sont réunies : \(R_n(a) = 0\) et \(R_n^\prime(x) = o\big((x-a)^{n-1}\big)\). On conclut donc que \(R_n(x) = o\big((x-a)^n\big)\), ce qui est exactement \(\mathcal{P}(n)\).
Par principe de récurrence, la formule de Taylor-Young est démontrée à tout ordre \(n \in \mathbb{N}\). ∎
L’idée à garder : on « descend » d’un ordre en dérivant le reste, on applique l’hypothèse de récurrence sur \(f^\prime\), puis on « remonte » avec le lemme grâce au théorème des accroissements finis. C’est ce schéma dériver/intégrer qui fait toute la démonstration.
IV. Comparaison des trois formules de Taylor
Pour ne plus jamais confondre les trois grands résultats, voici le tableau de synthèse. C’est ta boussole : la bonne formule dépend de ce que tu veux obtenir et des hypothèses dont tu disposes.
| Critère | Taylor-Young | Taylor-Lagrange | Reste intégral |
|---|---|---|---|
| Hypothèse | \(f\) \(n\) fois dérivable en \(a\) (ou \(\mathcal{C}^n\)) | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur \([a;x]\) | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur \([a;x]\) |
| Forme du reste | \(o\big((x-a)^n\big)\) | \(\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\), \(c \in\,]a;x[\) | \(\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\) |
| Portée | Locale (voisinage de \(a\)) | Globale (sur \([a;x]\)) | Globale (sur \([a;x]\)) |
| Démonstration-clé | Récurrence + lemme (TAF) | Théorème de Rolle / TAF généralisé | Intégration par parties |
| Usage typique | DL, limites, équivalents, position courbe/tangente | Majoration d’erreur, approximations chiffrées | Calcul exact du reste, expression intégrale |
Ce tableau comparatif est l’un des points où la plupart des cours en ligne restent flous. En pratique : Taylor-Young pour les développements limités, Taylor-Lagrange pour majorer une erreur. La transition vers les DL est précisément l’objet de la section suivante.
V. Du théorème au développement limité
La formule de Taylor-Young est la source théorique des développements limités. Tout ce que tu manipules en calcul de DL repose, en dernière analyse, sur ce théorème.
A. Taylor-Young donne le DL d’une fonction de classe Cⁿ
Conséquence. Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) au voisinage de \(a\), alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(a\), et les coefficients de sa partie régulière sont donnés par les dérivées successives :
\(a_k = \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\)
La réciproque, elle, est fausse en général : une fonction peut admettre un DL à l’ordre \(n\) sans être \(n\) fois dérivable (pour \(n \geq 2\)). Avoir un DL est donc une propriété plus faible que la dérivabilité d’ordre \(n\). C’est une distinction subtile mais que les jurys de concours aiment vérifier.
B. Le cas a = 0 : la formule de Maclaurin
Lorsque le point d’étude est \(a = 0\), la formule prend une forme particulièrement utilisée, appelée formule de Maclaurin :
\(f(x) = f(0) + f^\prime(0)\,x + \displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)\)
C’est elle qui produit tous les développements limités usuels en \(0\) (exponentielle, sinus, cosinus, logarithme…). On retrouve l’intégralité de ces formules dans la fiche DL des fonctions usuelles.
VI. Exemples : retrouver les DL usuels avec Taylor-Young
Le meilleur moyen de s’approprier le théorème, c’est de l’appliquer aux fonctions de référence. On calcule les dérivées successives en \(0\), puis on applique Maclaurin.
Exemple 1 — La fonction exponentielle. Pour \(f(x) = e^x\), on a \(f^{(k)}(x) = e^x\) pour tout \(k\), donc \(f^{(k)}(0) = 1\). La formule de Taylor-Young donne immédiatement :
\(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^3}{3!} + \cdots + \displaystyle\frac{x^n}{n!} + o(x^n)\)
Exemple 2 — Le cosinus. Pour \(f(x) = \cos x\), les dérivées tournent : \(\cos, -\sin, -\cos, \sin, \cos, \dots\) En \(0\) : \(f(0)=1\), \(f^\prime(0)=0\), \(f^{\prime\prime}(0)=-1\), \(f^{(3)}(0)=0\), etc. Seuls les termes pairs survivent :
\(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} – \cdots + (-1)^p\displaystyle\frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})\)
La parité de \(\cos\) explique l’absence des puissances impaires.
Exemple 3 — Le logarithme. Pour \(f(x) = \ln(1+x)\), on calcule \(f^{(k)}(x) = \displaystyle\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}\) pour \(k \geq 1\), d’où \(f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!\). En divisant par \(k!\) :
\(\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} – \cdots + (-1)^{n-1}\displaystyle\frac{x^n}{n} + o(x^n)\)
[Graphe 1 : approximations de Taylor de sin(x) — voir bloc Python ci-dessous]
Tu remarques le mécanisme : Taylor-Young ne sert pas qu’à « justifier » les DL, il permet de les calculer dès qu’on sait dériver. En pratique, on préfère souvent les opérations sur les DL (produit, composition, substitution), abordées dans la fiche méthode de calcul d’un DL, mais Taylor-Young reste la méthode de secours universelle.
VII. Applications classiques
Maintenant que tu sais produire un DL, voyons à quoi il sert réellement. Trois usages reviennent constamment en prépa.
A. Lever une indétermination
Un DL transforme une forme indéterminée en un calcul de quotient de polynômes.
Exemple. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2}\) (forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\)).
Avec le DL de \(e^x\) à l’ordre \(2\) : \(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\), donc \(e^x – 1 – x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Ainsi :
\(\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} + o(1) \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\)
B. Trouver un équivalent
Un développement limité fournit gratuitement un équivalent : une fonction est équivalente à son premier terme non nul. Par exemple, \(1 – \cos x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) donne immédiatement \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) en \(0\). C’est le maillon central de la chaîne DL → équivalent → limite, détaillée dans la fiche équivalents usuels en 0.
C. Position d’une courbe par rapport à sa tangente
Le DL à l’ordre \(2\) en \(a\) s’écrit \(f(x) = f(a) + f^\prime(a)(x-a) + \displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^2 + o\big((x-a)^2\big)\). Les deux premiers termes sont l’équation de la tangente ; le signe du coefficient \(\displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}\) (premier terme non nul après la tangente) donne la position de la courbe par rapport à elle.
[Graphe 2 : position de la courbe par rapport à sa tangente — voir bloc Python ci-dessous]
Règle : si le premier terme non nul après la partie affine est en \((x-a)^2\) avec un coefficient positif, la courbe est au-dessus de sa tangente ; négatif, en dessous. Si c’est un terme en \((x-a)^3\), la tangente traverse la courbe (point d’inflexion).
VIII. Exercices corrigés
Voici quatre exercices d’application directe, par difficulté croissante. Cherche-les avant de déplier la correction. Pour aller plus loin (DL composés, calibre X/ENS), file vers la page exercices corrigés sur les DL.
Exercice 1 (★). Donner le DL à l’ordre \(3\) de \(f(x) = \sin x\) en \(0\) à l’aide de la formule de Taylor-Young.
Voir la correction de l'exercice 1
Les dérivées de \(\sin\) sont \(\sin, \cos, -\sin, -\cos\). En \(0\) : \(f(0)=0\), \(f^\prime(0)=1\), \(f^{\prime\prime}(0)=0\), \(f^{(3)}(0)=-1\). D’où \(\sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\).
Exercice 2 (★★). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\ln(1+x) – x}{x^2}\).
Voir la correction de l'exercice 2
DL de \(\ln(1+x)\) à l’ordre \(2\) : \(\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Donc \(\ln(1+x) – x = -\displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\), et :
\(\displaystyle\frac{\ln(1+x)-x}{x^2} = -\displaystyle\frac{1}{2} + o(1) \longrightarrow -\displaystyle\frac{1}{2}\)
Exercice 3 (★★). Soit \(f(x) = \sqrt{1+x}\). Donner son DL à l’ordre \(2\) en \(0\) et en déduire la position de la courbe par rapport à sa tangente en \(0\).
Voir la correction de l'exercice 3
On a \(f(x) = (1+x)^{1/2}\), \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}\), \(f^{\prime\prime}(x) = -\displaystyle\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}\). En \(0\) : \(f(0)=1\), \(f^\prime(0)=\displaystyle\frac12\), \(f^{\prime\prime}(0)=-\displaystyle\frac14\). D’où :
\(\sqrt{1+x} = 1 + \displaystyle\frac{x}{2} – \displaystyle\frac{x^2}{8} + o(x^2)\)
La tangente en \(0\) a pour équation \(y = 1 + \displaystyle\frac{x}{2}\). Le premier terme suivant est \(-\displaystyle\frac{x^2}{8}\), de coefficient négatif : la courbe est en dessous de sa tangente au voisinage de \(0\).
Exercice 4 (★★★, raisonnement). On considère \(f(x) = x^3 \sin\!\big(\frac{1}{x}\big)\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0)=0\). Montrer que \(f\) admet un DL à l’ordre \(2\) en \(0\), mais que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\). Que peut-on en conclure ?
Voir la correction de l'exercice 4
Existence du DL. Pour \(x \neq 0\), \(\big|x^3 \sin(\frac1x)\big| \leq |x|^3\), donc \(f(x) = o(x^2)\). Ainsi \(f(x) = 0 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 + o(x^2)\) : \(f\) admet bien un DL à l’ordre \(2\) en \(0\) (de partie régulière nulle).
Dérivabilité. \(f^\prime(0) = \displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{x} = \lim x^2\sin(\frac1x) = 0\). Pour \(x \neq 0\), \(f^\prime(x) = 3x^2\sin(\frac1x) – x\cos(\frac1x)\). Le taux d’accroissement \(\displaystyle\frac{f^\prime(x)-f^\prime(0)}{x} = 3x\sin(\frac1x) – \cos(\frac1x)\) n’a pas de limite en \(0\) (le terme \(\cos(\frac1x)\) oscille). Donc \(f^{\prime\prime}(0)\) n’existe pas.
Conclusion. Avoir un DL à l’ordre \(2\) n’implique pas d’être deux fois dérivable. La réciproque de Taylor-Young est fausse dès l’ordre \(2\) : c’est un contre-exemple à connaître.
IX. Erreurs fréquentes
1. Croire que le DL prouve la dérivabilité. L’exercice 4 le montre : un DL à l’ordre \(n \geq 2\) n’entraîne pas l’existence de \(f^{(n)}(a)\). Seul l’ordre \(1\) équivaut à la dérivabilité.
2. Oublier le reste. Écrire \(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2}\) sans le \(o(x^2)\) est une égalité fausse. Le \(o\) fait partie intégrante du DL.
3. Confondre \(o(x^n)\) et un reste explicite. Cf. section II : Taylor-Young ne donne jamais de \(f^{(n+1)}(c)\) ni d’intégrale.
4. Se tromper sur l’ordre du reste après composition. Lors d’un calcul, tronquer trop tôt ou conserver des termes au-delà de la précision du \(o\) fausse le résultat. La gestion des ordres est détaillée dans la fiche méthode de calcul d’un DL.
X. Questions fréquentes
Quelle est la formule de Taylor-Young ?
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable en \(a\) (ou de classe \(\mathcal{C}^n\) au voisinage de \(a\)), alors au voisinage de \(a\) : \(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\big((x-a)^n\big)\). Le reste est un \(o\big((x-a)^n\big)\), c’est-à-dire une quantité négligeable devant \((x-a)^n\).
Quelle est la différence entre Taylor-Young et Taylor-Lagrange ?
Taylor-Young donne un reste qualitatif \(o\big((x-a)^n\big)\) avec une hypothèse faible (dérivable \(n\) fois en \(a\)) et un résultat local : il sert aux développements limités. Taylor-Lagrange donne un reste explicite \(\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) avec une hypothèse plus forte (\(\mathcal{C}^{n+1}\)) et un résultat global : il sert à majorer une erreur d’approximation. Voir le tableau comparatif de la section IV.
Pourquoi Taylor-Young justifie l'existence des développements limités ?
Parce qu’il fournit directement une écriture de \(f\) comme polynôme plus un \(o\) : c’est exactement la définition d’un développement limité. Dès qu’une fonction est de classe \(\mathcal{C}^n\), elle admet donc un DL à l’ordre \(n\), de coefficients \(\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\).
Qu'est-ce que la formule de Maclaurin ?
C’est simplement la formule de Taylor-Young appliquée au point \(a = 0\) : \(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)\). C’est elle qui engendre tous les DL usuels en \(0\).
Une fonction qui admet un DL est-elle forcément deux fois dérivable ?
Non. À l’ordre \(1\), avoir un DL équivaut à être dérivable. Mais dès l’ordre \(2\), la réciproque est fausse : \(f(x) = x^3\sin(\frac1x)\) admet un DL à l’ordre \(2\) en \(0\) sans y être deux fois dérivable (cf. exercice 4).
Comment démontre-t-on la formule de Taylor-Young ?
Par récurrence sur l’ordre \(n\). On dérive le reste pour appliquer l’hypothèse de récurrence à \(f^\prime\) à l’ordre \(n-1\), puis on conclut grâce à un lemme issu du théorème des accroissements finis qui « remonte » la relation de négligeabilité. La démonstration complète est en section III.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’énoncé, la démonstration et les usages de la formule de Taylor-Young. Pour consolider et approfondir :
- L’inégalité de Taylor-Lagrange — l’outil complémentaire pour majorer l’erreur d’approximation.
- Le tableau des DL des fonctions usuelles — tous les DL de référence à connaître par cœur.
- La méthode de calcul d’un DL — produit, quotient, composition et changement de variable.
- Les équivalents usuels en 0 — la suite logique pour le calcul de limites.
- Les exercices corrigés sur les DL — du calibre prépa au niveau X/ENS.
- Vue d’ensemble : le cours complet sur les développements limités.
La formule de Taylor-Young repose sur la maîtrise des dérivées successives : si ce socle n’est pas solide, c’est là qu’il faut commencer.
