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Comment garantir qu’une approximation polynomiale d’une fonction est « assez bonne » ? Quand on écrit \(\sin(0{,}1) \approx 0{,}1 – \displaystyle\frac{0{,}1^3}{6}\), de combien se trompe-t-on exactement ? L’inégalité de Taylor-Lagrange répond précisément à cette question : elle fournit une majoration explicite et calculable de l’erreur commise lorsqu’on remplace une fonction par son polynôme de Taylor. Au programme : l’énoncé rigoureux, la démonstration par le théorème de Rolle, des majorations chiffrées et des exercices corrigés de niveau prépa.
I. Énoncé de l’inégalité de Taylor-Lagrange
Commençons par poser le théorème dans sa forme la plus utilisée en classe préparatoire. L’idée est de borner la distance entre une fonction et son polynôme de Taylor au point \(a\) par une quantité ne faisant intervenir qu’une majoration de la dérivée d’ordre \(n+1\).
Théorème — Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\), et soient \(a, x \in I\). On suppose qu’il existe un réel \(M_{n+1}\) tel que \(\vert f^{(n+1)}(t)\vert \leq M_{n+1}\) pour tout \(t\) compris entre \(a\) et \(x\). Alors :
\(\left\vert\, f(x) – \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k \,\right\vert \leq M_{n+1}\,\displaystyle\frac{\vert x-a\vert^{\,n+1}}{(n+1)!}\)
La somme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k\) est le polynôme de Taylor d’ordre \(n\) de \(f\) en \(a\), que l’on note souvent \(T_n(x)\). La quantité encadrée, \(R_n(x) = f(x) – T_n(x)\), est le reste. L’inégalité affirme donc que :
\(\vert R_n(x)\vert \leq M_{n+1}\,\displaystyle\frac{\vert x-a\vert^{\,n+1}}{(n+1)!}\)A. Les hypothèses, point par point
Trois conditions sont à vérifier scrupuleusement avant d’invoquer le théorème, sous peine d’écrire une majoration fausse :
- Régularité : \(f\) doit être de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\), c’est-à-dire \(n+1\) fois dérivable avec \(f^{(n+1)}\) continue. Cette continuité garantit l’existence d’un majorant sur tout segment.
- Existence d’un majorant : il faut produire un réel \(M_{n+1}\) qui borne \(\vert f^{(n+1)}\vert\) sur le segment d’extrémités \(a\) et \(x\). La finesse de la majoration dépend directement du choix de \(M_{n+1}\).
- Localisation : la borne n’est valable que sur le segment \([a;x]\) (ou \([x;a]\) si \(x\) < \(a\)), pas sur \(I\) tout entier.
Pourquoi cette inégalité est si commode : contrairement à la forme « égalité » de Taylor-Lagrange (qui fait apparaître un point \(c\) inconnu), l’inégalité ne demande qu’un majorant. On n’a jamais besoin de localiser \(c\) : il suffit de majorer \(\vert f^{(n+1)}\vert\), ce qui est souvent immédiat pour les fonctions usuelles (par exemple \(\vert \sin^{(n+1)}\vert \leq 1\)).
II. Inégalité, égalité, Young, Laplace : dissiper les confusions
La longue traîne des recherches sur ce thème (« égalité de Taylor-Lagrange », « formule de Taylor-Laplace »…) révèle trois confusions récurrentes. Les lever permet de gagner un temps précieux le jour d’une colle ou d’un concours.
A. Inégalité vs égalité de Taylor-Lagrange
Il existe deux énoncés voisins mais distincts portant le nom de Lagrange :
- La formule de Taylor-Lagrange (forme égalité) affirme l’existence d’un point \(c\) strictement compris entre \(a\) et \(x\) tel que \(R_n(x) = \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\). C’est une égalité exacte, mais \(c\) n’est pas connu.
- L’inégalité de Taylor-Lagrange se déduit de la précédente en majorant \(\vert f^{(n+1)}(c)\vert\) par \(M_{n+1}\). C’est une majoration, donc une information plus faible mais directement exploitable.
L’expression « égalité de Taylor-Lagrange » que l’on rencontre parfois désigne donc la forme avec le point \(c\) : ce n’est pas une faute, simplement un autre nom de la forme exacte.
B. Lagrange vs Young
La formule de Taylor-Young et l’inégalité de Taylor-Lagrange ne jouent pas du tout le même rôle :
Confusion classique : croire que Taylor-Young donne une majoration de l’erreur. Faux. Taylor-Young fournit un reste qualitatif \(o\big((x-a)^n\big)\) : il décrit le comportement local du reste quand \(x \to a\), mais ne donne aucune borne numérique. Taylor-Lagrange, lui, fournit une majoration globale et chiffrée sur tout un segment. On utilise Young pour les développements limités et les équivalents, Lagrange pour les calculs d’approximation et les preuves d’inégalités.
C. Lagrange vs Laplace (vs reste intégral)
La requête « formule de Taylor-Laplace » correspond en réalité à la formule de Taylor avec reste intégral (parfois attribuée à Laplace). Elle s’énonce, pour \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) :
\(R_n(x) = \displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt\)C’est la forme la plus précise des trois : elle donne le reste exactement, sans point intermédiaire inconnu. Nous y revenons en section V. Retenons pour l’instant : Laplace n’est pas Lagrange, c’est une variante du reste sous forme d’intégrale.
La fiche complète sur l’inégalité de Taylor-Lagrange
Énoncé, démonstration par Rolle, comparaison Young / Lagrange / reste intégral et majorations types : tout l’essentiel du cours condensé en une page recto-verso.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteIdéale pour réviser avant une colle ou un concours.
III. Démonstration de l’inégalité
La stratégie est en deux temps : on démontre d’abord la forme égalité (existence d’un point \(c\)) à l’aide du théorème de Rolle, puis on en déduit l’inégalité par simple majoration. C’est la démonstration de référence en MPSI/PCSI.
A. Construction de la fonction auxiliaire
Plaçons-nous dans le cas \(a\) < \(x\) (le cas \(x\) < \(a\) est symétrique). On souhaite montrer qu’il existe \(c \in \,]a;x[\,\) tel que :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\)Introduisons la constante \(A\) définie par :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + A\,\displaystyle\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\)Cette égalité définit \(A\) de façon unique (on isole \(A\)). L’objectif devient : montrer que \(A = f^{(n+1)}(c)\) pour un certain \(c\). Pour cela, on considère la fonction auxiliaire \(\varphi\) définie sur \([a;x]\) par :
\(\varphi(t) = f(x) – \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\,(x-t)^k – A\,\displaystyle\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}\)La variable est désormais \(t\), et \(x\) est fixé. Comme \(f \in \mathcal{C}^{n+1}\), la fonction \(\varphi\) est dérivable sur \([a;x]\).
B. Application du théorème de Rolle
Vérifions les hypothèses de Rolle pour \(\varphi\) :
- \(\varphi\) est continue sur \([a;x]\) et dérivable sur \(]a;x[\) ;
- \(\varphi(x) = f(x) – f(x) – 0 = 0\) (tous les termes de la somme s’annulent sauf \(k=0\) qui donne \(f(x)\)) ;
- \(\varphi(a) = 0\) par la définition même de \(A\).
Donc \(\varphi(a) = \varphi(x) = 0\). Le théorème de Rolle assure l’existence de \(c \in \,]a;x[\,\) tel que \(\varphi^\prime(c) = 0\).
C. Le calcul télescopique de la dérivée
Calculons \(\varphi^\prime(t)\). La dérivée du terme général de la somme, par la règle du produit, est :
\(\displaystyle\frac{d}{dt}\!\left(\displaystyle\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\,(x-t)^k\right) = \displaystyle\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\,(x-t)^k – \displaystyle\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}\,(x-t)^{k-1}\)En sommant de \(k=0\) à \(n\), la somme télescope : le terme positif d’indice \(k\) se simplifie avec le terme négatif d’indice \(k+1\). Il ne survit que le terme positif d’indice \(n\) :
\(\displaystyle\frac{d}{dt}\!\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\,(x-t)^k\right) = \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\,(x-t)^n\)Par ailleurs, \(\displaystyle\frac{d}{dt}\!\left(A\,\displaystyle\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}\right) = -A\,\displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\). On obtient donc :
\(\varphi^\prime(t) = -\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\,(x-t)^n + A\,\displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!} = \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\Big(A – f^{(n+1)}(t)\Big)\)L’égalité \(\varphi^\prime(c) = 0\) avec \(c \in \,]a;x[\,\) (donc \((x-c)^n \neq 0\)) impose \(A = f^{(n+1)}(c)\). La forme égalité est démontrée. ∎
D. Passage à l’inégalité
Une fois la forme exacte établie, le reste s’écrit \(R_n(x) = \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\). En passant aux valeurs absolues et en utilisant \(\vert f^{(n+1)}(c)\vert \leq M_{n+1}\) (puisque \(c\) est entre \(a\) et \(x\)) :
\(\vert R_n(x)\vert = \displaystyle\frac{\vert f^{(n+1)}(c)\vert}{(n+1)!}\,\vert x-a\vert^{n+1} \leq M_{n+1}\,\displaystyle\frac{\vert x-a\vert^{n+1}}{(n+1)!}\)ce qui est exactement l’inégalité de Taylor-Lagrange. ∎
Une subtilité utile : l’inégalité de Taylor-Lagrange reste vraie pour les fonctions à valeurs complexes ou vectorielles (où la forme égalité tombe en défaut, car Rolle n’a pas d’analogue), à condition de la démontrer via le reste intégral ou l’inégalité des accroissements finis. C’est pourquoi en spé on privilégie souvent la forme inégalité.
IV. Forme égalité et lien avec le reste intégral
Nous avons croisé trois écritures du reste au fil de la démonstration. Clarifions leurs énoncés et leurs hypothèses respectives, car les exercices jouent souvent sur le choix de la « bonne » forme.
A. La forme avec reste de Lagrange
Formule de Taylor-Lagrange (forme égalité)
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \([a;x]\) et \((n+1)\) fois dérivable sur \(]a;x[\), il existe \(c \in \,]a;x[\,\) tel que :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\)
Cas particulier remarquable : pour \(n=0\), cette formule donne \(f(x) = f(a) + f^\prime(c)(x-a)\), c’est-à-dire exactement le théorème des accroissements finis. Taylor-Lagrange en est donc la généralisation à un ordre quelconque.
B. La forme avec reste intégral (Taylor-Laplace)
Lorsque \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\), on dispose de la forme la plus précise, démontrée par récurrence à l’aide d’une intégration par parties :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + \int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt\)On retrouve l’inégalité de Taylor-Lagrange à partir d’ici en majorant l’intégrale : si \(\vert f^{(n+1)}\vert \leq M_{n+1}\), alors
\(\left\vert \displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt \right\vert \leq M_{n+1}\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\,dt = M_{n+1}\,\displaystyle\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\)Les trois formes ne sont donc pas concurrentes : ce sont trois niveaux de précision croissants. Le tableau ci-dessous les compare frontalement — une synthèse que l’on ne trouve quasiment nulle part ailleurs.
C. Tableau comparatif des trois formules de Taylor
| Formule | Hypothèses minimales | Forme du reste | Portée | Usage typique |
|---|---|---|---|---|
| Taylor-Young | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n}\) en \(a\) | \(o\big((x-a)^n\big)\) | Locale (\(x \to a\)) | DL, équivalents, limites |
| Taylor-Lagrange | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) (forme inégalité) | \(\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) ou sa majoration | Globale (segment) | Approximations chiffrées, inégalités, convergence de séries |
| Reste intégral (Taylor-Laplace) | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) | \(\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\) | Globale (segment), exacte | Calculs fins, fonctions vectorielles, majorations optimales |
Comment choisir ? Si la question demande un équivalent ou une limite locale, c’est Young. Si elle demande « majorer l’erreur », « montrer que la série converge » ou « prouver une inégalité », c’est Lagrange. Si tu as besoin du reste exact (par exemple pour une fonction à valeurs complexes), c’est le reste intégral.
V. Majorer le reste : exemples chiffrés
L’intérêt pratique de l’inégalité se révèle dès qu’on produit des bornes numériques. Voici trois applications classiques, de difficulté croissante.
Exemple 1 — Approximation de \(\cos\) près de 0.
Soit \(f(x) = \cos x\). On a \(f^{(n+1)}(t) = \cos\!\big(t + (n+1)\frac{\pi}{2}\big)\), donc \(\vert f^{(n+1)}(t)\vert \leq 1\) pour tout \(t\). On peut prendre \(M_{n+1} = 1\) quel que soit \(n\). L’inégalité de Taylor-Lagrange en \(a = 0\) donne :
\(\left\vert \cos x – \Big(1 – \displaystyle\frac{x^2}{2}\Big)\right\vert \leq \displaystyle\frac{\vert x\vert^{4}}{4!} = \displaystyle\frac{\vert x\vert^4}{24}\)
Pour \(x = 0{,}1\) : l’erreur est majorée par \(\displaystyle\frac{(0{,}1)^4}{24} \approx 4{,}2\times 10^{-6}\). L’approximation \(\cos(0{,}1)\approx 0{,}995\) est donc fiable à 5 décimales.
Exemple 2 — Encadrement de \(e\).
Soit \(f(x) = e^x\), avec \(f^{(n+1)}(t) = e^t\). Sur \([0;1]\), on a \(e^t \leq e \leq 3\), donc \(M_{n+1} = 3\) convient. En \(a=0\), \(x=1\) :
\(\left\vert\, e – \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{1}{k!}\,\right\vert \leq \displaystyle\frac{3}{(n+1)!}\)
Cette majoration tend vers 0 : elle prouve que la série \(\sum \displaystyle\frac{1}{k!}\) converge vers \(e\). Pour \(n = 9\), l’erreur est inférieure à \(\displaystyle\frac{3}{10!} \approx 8\times 10^{-7}\).
Exemple 3 — Une inégalité fonctionnelle.
Montrons que pour tout \(x \geq 0\), on a \(\sin x \geq x – \displaystyle\frac{x^3}{6}\). Appliquons Taylor-Lagrange à \(f = \sin\) à l’ordre \(n=3\) en \(a=0\). Comme \(\vert f^{(4)}\vert = \vert \sin\vert \leq 1\) :
\(\left\vert \sin x – \Big(x – \displaystyle\frac{x^3}{6}\Big)\right\vert \leq \displaystyle\frac{x^4}{24}\)
donc \(\sin x \geq x – \displaystyle\frac{x^3}{6} – \displaystyle\frac{x^4}{24}\). Une majoration plus soignée (en remarquant que \(f^{(4)}(t)=\sin t \geq 0\) près de 0, ou en utilisant la forme intégrale) donne directement l’inégalité voulue. Cet exemple illustre la stratégie : Taylor-Lagrange transforme une dérivée bornée en inégalité globale.
![courbe de cos(x) en bleu #1f4acc et son polynôme de Taylor 1 - x²/2 en or #caa85a sur [-2;2], zone d'erreur entre les de](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/taylor_lagrange_cos.png)
Maintenant que la mécanique de majoration est en place, voyons les grands domaines où l’inégalité devient un outil décisif.
VI. Applications en prépa
A. Convergence des séries de Taylor
L’application la plus structurante est la preuve que certaines fonctions sont égales à la somme de leur série de Taylor. Pour \(f \in \mathcal{C}^\infty\), si l’on parvient à montrer que la majoration du reste \(M_{n+1}\displaystyle\frac{\vert x-a\vert^{n+1}}{(n+1)!} \longrightarrow 0\) quand \(n \to +\infty\), alors :
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k\)C’est ainsi qu’on établit rigoureusement les développements en série entière de \(\exp\), \(\sin\) et \(\cos\) sur \(\mathbb{R}\) : leurs dérivées successives étant uniformément bornées, le reste s’écrase grâce au \((n+1)!\) au dénominateur.
B. Contrôle d’erreur en analyse numérique
Dès qu’un calcul approche une fonction par un polynôme (intégration numérique, méthode de Newton, schémas d’approximation), l’inégalité de Taylor-Lagrange fournit la borne d’erreur a priori. Connaître \(M_{n+1}\) permet de choisir l’ordre \(n\) garantissant une précision donnée — exactement la démarche de l’exemple 2 sur \(e\).
C. Lien avec les développements limités
Si l’inégalité de Taylor-Lagrange majore le reste, c’est Taylor-Young qui justifie l’écriture d’un développement limité. Les deux théorèmes nourrissent les DL des fonctions usuelles : la partie polynomiale est identique, seule la nature du reste change (chiffré pour Lagrange, en \(o\) pour Young).
VII. Erreurs fréquentes et pièges
Piège n°1 — Confondre l’ordre \(n\) et la dérivée \(n+1\). Le polynôme va jusqu’à \(f^{(n)}(a)\), mais c’est \(f^{(n+1)}\) qu’il faut majorer. Une copie qui écrit « \(M_n\) » au numérateur d’un reste d’ordre \(n\) sera pénalisée. Vérifie toujours : reste d’ordre \(n\) \(\Rightarrow\) majorant de \(f^{(n+1)}\) et \((n+1)!\) au dénominateur.
Piège n°2 — Majorer sur le mauvais ensemble.
❌ Copie fautive : « Pour \(f(x) = e^x\) sur \([0;5]\), je majore par \(M = e^0 = 1\). »
Diagnostic : l’élève a pris la valeur en \(a\) au lieu du supremum sur le segment. Comme \(e^t\) est croissante, son maximum sur \([0;5]\) est \(e^5\), pas \(1\).
✅ Correction : \(M_{n+1} = \sup_{t \in [0;5]} e^t = e^5\). Toujours chercher le maximum de \(\vert f^{(n+1)}\vert\) sur tout le segment \([a;x]\).
Piège n°3 — Croire que \(c\) est calculable. Dans la forme égalité, \(c\) dépend de \(x\) et de \(n\) : il n’est en général ni connu ni unique. Ne jamais écrire « \(c = \displaystyle\frac{a+x}{2}\) » sans justification : c’est faux en général. L’intérêt de l’inégalité est précisément de se débarrasser de \(c\).
VIII. Exercices corrigés
Voici trois exercices de difficulté croissante pour t’entraîner. Cherche-les sérieusement avant de consulter la correction. Pour aller plus loin, la page dédiée propose une douzaine d’exercices de niveau X/ENS.
Exercice 1 (★). Montrer que pour tout \(x \in [0;1]\), \(\left\vert e^x – (1 + x + \frac{x^2}{2})\right\vert \leq \displaystyle\frac{e}{6}\).
Correction. On applique Taylor-Lagrange à \(f(x)=e^x\) à l’ordre \(n=2\) en \(a=0\). Ici \(f^{(3)}(t) = e^t\), majorée sur \([0;1]\) par \(M_3 = e^1 = e\). Donc :
\(\left\vert e^x – \Big(1 + x + \frac{x^2}{2}\Big)\right\vert \leq e\cdot\displaystyle\frac{\vert x\vert^3}{3!} = \displaystyle\frac{e\,x^3}{6} \leq \displaystyle\frac{e}{6}\)
car \(x^3 \leq 1\) sur \([0;1]\). ∎
Exercice 2 (★★). Déterminer un ordre \(n\) suffisant pour calculer \(\cos(1)\) avec une erreur inférieure à \(10^{-6}\) via le polynôme de Taylor en 0.
Correction. Pour \(f=\cos\), \(\vert f^{(n+1)}\vert \leq 1\), donc avec \(x=1\) :
\(\vert R_n(1)\vert \leq \displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\)
On cherche \(n\) tel que \(\displaystyle\frac{1}{(n+1)!} \leq 10^{-6}\), soit \((n+1)! \geq 10^6\). Or \(9! = 362\,880\) et \(10! = 3\,628\,800 \geq 10^6\). Il suffit donc de \(n+1 = 10\), c’est-à-dire \(n = 9\). Le polynôme de Taylor d’ordre 9 (en pratique d’ordre 8, car les termes impairs de \(\cos\) sont nuls) suffit. ∎
Exercice 3 (★★★, raisonnement). Soit \(f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R})\) telle que \(f\) et \(f^{\prime\prime}\) sont bornées : \(\Vert f\Vert_\infty \leq M_0\) et \(\Vert f^{\prime\prime}\Vert_\infty \leq M_2\). Montrer que \(f^\prime\) est bornée, avec \(\Vert f^\prime\Vert_\infty \leq 2\sqrt{M_0 M_2}\) (inégalité de Landau-Kolmogorov, cas simple).
Correction. Fixons \(x \in \mathbb{R}\) et \(h\) > \(0\). Taylor-Lagrange à l’ordre 1 en \(x\) donne, pour un certain \(c\) entre \(x\) et \(x+h\) :
\(f(x+h) = f(x) + h\,f^\prime(x) + \displaystyle\frac{h^2}{2}f^{\prime\prime}(c)\)
D’où \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{f(x+h) – f(x)}{h} – \displaystyle\frac{h}{2}f^{\prime\prime}(c)\). En majorant :
\(\vert f^\prime(x)\vert \leq \displaystyle\frac{2M_0}{h} + \displaystyle\frac{h}{2}M_2\)
Cette borne est vraie pour tout \(h\) > \(0\) ; on l’optimise. La fonction \(h \mapsto \displaystyle\frac{2M_0}{h} + \displaystyle\frac{h M_2}{2}\) atteint son minimum en \(h = 2\sqrt{M_0/M_2}\), où elle vaut \(2\sqrt{M_0 M_2}\). Donc \(\vert f^\prime(x)\vert \leq 2\sqrt{M_0 M_2}\) pour tout \(x\). ∎
Remarque correcteur : l’astuce « écrire Taylor puis optimiser le paramètre libre \(h\) » est un grand classique des oraux. Le jury attend que tu justifies l’optimisation (dérivée ou inégalité arithmético-géométrique).
📄 Tu veux davantage d’entraînement calibré concours ? Retrouve l’ensemble des exercices sur la page dédiée : exercices corrigés sur les développements limités.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre l'inégalité et l'égalité de Taylor-Lagrange ?
L’égalité affirme l’existence d’un point \(c\) entre \(a\) et \(x\) tel que le reste vaut exactement \(\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) : c’est exact mais \(c\) est inconnu. L’inégalité majore ce reste en remplaçant \(\vert f^{(n+1)}(c)\vert\) par un majorant \(M_{n+1}\) : on perd l’exactitude mais on gagne une borne calculable, sans avoir à localiser \(c\).
Quelle est la différence entre Taylor-Lagrange et Taylor-Young ?
Taylor-Young fournit un reste qualitatif \(o((x-a)^n)\), valable localement quand \(x \to a\) : il sert aux développements limités et aux équivalents. Taylor-Lagrange fournit une majoration chiffrée du reste, valable globalement sur tout un segment : il sert aux approximations numériques et aux preuves d’inégalités. Young demande \(f \in \mathcal{C}^n\), Lagrange demande \(f \in \mathcal{C}^{n+1}\).
Comment choisir le majorant M dans l'inégalité ?
Il faut majorer \(\vert f^{(n+1)}\vert\) sur tout le segment d’extrémités \(a\) et \(x\), pas seulement en \(a\). Pour les fonctions trigonométriques, \(M = 1\) convient toujours. Pour \(e^x\) croissante, on prend la valeur en la plus grande borne. Cherche systématiquement le supremum de la dérivée d’ordre \(n+1\) sur le segment.
La formule de Taylor-Laplace est-elle la même que Taylor-Lagrange ?
Non. « Taylor-Laplace » désigne la formule de Taylor avec reste intégral : \(R_n(x) = \int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\). C’est une égalité exacte sous hypothèse \(\mathcal{C}^{n+1}\), souvent plus précise que Lagrange. On en déduit d’ailleurs l’inégalité de Taylor-Lagrange en majorant l’intégrale.
Pourquoi le théorème des accroissements finis est-il un cas particulier ?
En prenant \(n=0\) dans la forme égalité, on obtient \(f(x) = f(a) + f^\prime(c)(x-a)\) pour un certain \(c\) entre \(a\) et \(x\) : c’est exactement l’énoncé du théorème des accroissements finis. Taylor-Lagrange en est la généralisation à un ordre \(n\) quelconque.
Peut-on utiliser Taylor-Lagrange pour une fonction à valeurs complexes ?
La forme inégalité reste valable (on la démontre alors via le reste intégral ou l’inégalité des accroissements finis), mais la forme égalité tombe en défaut : il n’existe pas toujours de point \(c\) complexe vérifiant l’égalité, car le théorème de Rolle n’a pas d’analogue complexe. En spé, on privilégie donc la forme inégalité ou le reste intégral pour ces fonctions.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais l’énoncé, la démonstration et les applications de l’inégalité de Taylor-Lagrange. Pour consolider l’ensemble du chapitre :
- Formule de Taylor-Young — l’autre théorème fondamental, à comparer systématiquement avec Lagrange.
- DL des fonctions usuelles — le tableau des 14 développements limités à connaître par cœur.
- Méthode pour calculer un développement limité — opérations, composition, pièges.
- Équivalents usuels en 0 — l’outil complémentaire pour les calculs de limites.
- Cours complet : développements limités et formules de Taylor — la vue d’ensemble du chapitre.
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