Théorème Fondamental de l’Arithmétique : Cours, Démonstration et Exercices Corrigés

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Pourquoi \(12\) s’écrit \(2^2 \times 3\) et pas autrement ? Le théorème fondamental de l’arithmétique répond à cette question : tout entier supérieur ou égal à 2 admet une unique décomposition en produit de nombres premiers. Ce résultat, simple à énoncer, est la clé de voûte de toute l’arithmétique en Maths Expertes. Tu trouveras ici son énoncé précis, sa démonstration commentée pas à pas, ses applications concrètes et des exercices corrigés.

I. Énoncé du théorème fondamental de l’arithmétique

A. Énoncé formel

Ce théorème affirme deux choses distinctes, et les deux sont indispensables :

1. L’existence : toute décomposition en produit de premiers est possible (on peut toujours factoriser).
2. L’unicité : cette décomposition est la seule possible (à l’ordre près). Il n’y a pas deux façons différentes de factoriser un même entier.

B. Ce que dit le théorème en pratique

Le TFA signifie que les nombres premiers jouent le rôle de « briques élémentaires » pour construire tous les entiers. Tout entier \(n \geq 2\) est soit premier (une seule brique), soit un assemblage unique de briques premières.

La précision « à l’ordre près » est essentielle : les décompositions \(12 = 2^2 \times 3\) et \(12 = 3 \times 2^2\) sont considérées comme identiques. Pour lever toute ambiguïté, on range les facteurs premiers dans l’ordre croissant.

C. Premiers exemples de décomposition

Pour obtenir ces décompositions, on utilise les critères de divisibilité et la méthode de décomposition en facteurs premiers. Le TFA garantit que le résultat obtenu est le seul possible.

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II. Prérequis et programme officiel

A. À quel niveau étudie-t-on ce théorème ?

En 3ème, tu utilises la décomposition en facteurs premiers sans la justifier. En Terminale Maths Expertes, tu dois comprendre pourquoi cette décomposition existe et pourquoi elle est unique. C’est exactement ce que fait la démonstration du TFA. Conforme au programme officiel 2025-2026.

B. Les prérequis indispensables

Avant d’aborder le TFA, assure-toi de maîtriser ces notions :

• Nombres premiers : un entier \(p \geq 2\) est premier si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\) → nombres premiers
• Divisibilité : « \(a\) divise \(b\) » signifie qu’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(b = ka\) → critères de divisibilité
• Division euclidienne : pour \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^*\), il existe un unique couple \((q, r)\) tel que \(a = bq + r\) avec \(0 \leq r\) < \(b\) → division euclidienne
• PGCD et théorème de Bézout : il existe \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(au + bv = \mathrm{pgcd}(a, b)\) → PGCD et PPCM

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III. Démonstration commentée pas à pas

La démonstration du TFA se fait en deux temps : on montre d’abord que la décomposition existe, puis qu’elle est unique. L’unicité est la partie la plus délicate — c’est là que la plupart des preuves disponibles en ligne font l’impasse. Ici, chaque étape est commentée et justifiée.

📋 Démonstration au programme (Terminale Maths Expertes)

A. Preuve de l’existence (récurrence forte)

On montre par récurrence forte que tout entier \(n \geq 2\) se décompose en produit de nombres premiers.

Initialisation (\(n = 2\)) : \(2\) est un nombre premier, donc \(2 = 2^1\) est bien un produit de nombres premiers (un seul facteur). ✓

Hérédité : soit \(n \geq 3\). On suppose que tout entier \(k\) vérifiant \(2 \leq k\) < \(n\) se décompose en produit de nombres premiers (hypothèse de récurrence forte).

Distinguons deux cas :

Cas 1 : \(n\) est premier. Alors \(n = n^1\) est un produit de nombres premiers. ✓

Cas 2 : \(n\) n’est pas premier. Par définition, il existe des entiers \(a\) et \(b\) tels que \(n = a \times b\) avec \(2 \leq a \leq b\) et \(a\) < \(n\), \(b\) < \(n\).

Par hypothèse de récurrence forte, \(a\) et \(b\) se décomposent chacun en produit de nombres premiers. En juxtaposant ces deux décompositions, on obtient une décomposition de \(n = a \times b\) en produit de nombres premiers. ✓

Conclusion : par récurrence forte, tout entier \(n \geq 2\) admet au moins une décomposition en produit de nombres premiers. C’est l’existence.

B. Le lemme d’Euclide : l’outil clé pour l’unicité

Pour démontrer l’unicité, on a besoin d’un résultat intermédiaire essentiel. C’est ici que la plupart des preuves disponibles en ligne font l’impasse, en admettant ce lemme sans le justifier. Pas nous.

Démonstration du lemme d’Euclide :

Supposons que \(p \not\mid a\). On veut montrer que \(p \mid b\).

Stratégie : puisque \(p\) est premier et ne divise pas \(a\), on va utiliser Bézout pour « extraire » \(b\).

Étape 1 : \(p\) est premier et \(p \not\mid a\). Les seuls diviseurs positifs de \(p\) sont \(1\) et \(p\). Comme \(p \not\mid a\), on a \(\mathrm{pgcd}(p, a) = 1\).

Étape 2 : par le théorème de Bézout, il existe \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(pu + av = 1\).

Étape 3 : multiplions cette égalité par \(b\) :

\(pub + abv = b\)

Étape 4 : \(p \mid pub\) (car \(p\) est un facteur) et \(p \mid abv\) (car \(p \mid ab\) par hypothèse). Donc \(p\) divise la somme \(pub + abv = b\).

Conclusion : \(p \mid b\). ∎

C. Preuve de l’unicité

On montre par récurrence forte que la décomposition en facteurs premiers est unique (à l’ordre près).

Initialisation (\(n = 2\)) : si \(2 = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_r\) avec les \(p_i\) premiers, alors chaque \(p_i \geq 2\) et le produit est au moins \(2^r\). Pour que ce produit vaille \(2\), on doit avoir \(r = 1\) et \(p_1 = 2\). L’unicité est vérifiée. ✓

Hérédité : soit \(n \geq 3\). On suppose l’unicité pour tout entier \(k\) vérifiant \(2 \leq k\) < \(n\).

Supposons que \(n\) admette deux décompositions :

\(n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_r = q_1 \times q_2 \times \cdots \times q_s\)

avec \(p_1 \leq p_2 \leq \cdots \leq p_r\) et \(q_1 \leq q_2 \leq \cdots \leq q_s\) premiers.

Étape 1 — On montre que \(p_1 = q_1\) :

\(p_1\) divise \(n = q_1 \times q_2 \times \cdots \times q_s\). Par le lemme d’Euclide (appliqué de proche en proche), \(p_1\) divise l’un des \(q_j\). Comme \(q_j\) est premier et \(p_1 \geq 2\), on a nécessairement \(p_1 = q_j\). En particulier, \(p_1 = q_j \geq q_1\).

Par symétrie du raisonnement (en partant de \(q_1\) qui divise le produit des \(p_i\)), on obtient \(q_1 \geq p_1\).

Donc \(p_1 = q_1\).

Étape 2 — On simplifie et on conclut par récurrence :

On simplifie les deux membres par \(p_1 = q_1\) :

\(\displaystyle\frac{n}{p_1} = p_2 \times \cdots \times p_r = q_2 \times \cdots \times q_s\)

Si \(r = 1\) (un seul facteur premier), alors \(n = p_1\) est premier et \(s = 1\) également. L’unicité est vérifiée.

Si \(r \geq 2\), alors \(\displaystyle\frac{n}{p_1} \geq 2\) et \(\displaystyle\frac{n}{p_1}\) < \(n\). Par hypothèse de récurrence forte, la décomposition de \(\displaystyle\frac{n}{p_1}\) est unique : \(r – 1 = s – 1\) et \(p_i = q_i\) pour tout \(i \geq 2\).

Conclusion : \(r = s\) et \(p_i = q_i\) pour tout \(i\). La décomposition est unique. ∎

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IV. Conséquences et applications du TFA

Le TFA ne sert pas qu’à factoriser des entiers : il fonde une grande partie des outils de l’arithmétique. Voici les trois applications les plus importantes, suivies d’une extension pour la prépa.

A. Calcul du PGCD et du PPCM par la décomposition

Si deux entiers \(a\) et \(b\) ont pour décompositions :

\(a = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2} \times \cdots \times p_k^{\beta_k}\)

(en autorisant les exposants nuls pour utiliser les mêmes \(p_i\)), alors :

Ces formules sont des conséquences directes de l’unicité de la décomposition. Pour en savoir plus et t’entraîner sur des exemples, consulte la page PGCD et PPCM.

B. Nombre de diviseurs d’un entier

Si \(n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_r^{\alpha_r}\), alors le nombre total de diviseurs positifs de \(n\) est :

Pourquoi ça marche ? Chaque diviseur de \(n\) s’écrit \(p_1^{a_1} \times \cdots \times p_r^{a_r}\) avec \(0 \leq a_i \leq \alpha_i\). Pour chaque \(p_i\), il y a \(\alpha_i + 1\) choix possibles pour l’exposant (de \(0\) à \(\alpha_i\)). Le TFA garantit que chaque choix produit un diviseur distinct.

C. L’infinité des nombres premiers (preuve d’Euclide)

Le TFA donne aussi l’une des plus belles preuves de l’histoire des mathématiques, attribuée à Euclide (vers 300 av. J.-C.).

Démonstration : raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : \(p_1, p_2, \ldots, p_k\).

Considérons l’entier \(N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k + 1\).

On a \(N \geq 2\). Par le TFA (existence), \(N\) admet au moins un diviseur premier \(p\).

Or, pour chaque \(i\), \(N = p_i \times \left(\displaystyle\frac{p_1 \cdots p_k}{p_i}\right) + 1\), donc la division euclidienne de \(N\) par \(p_i\) donne un reste de \(1\). Ainsi \(p_i \not\mid N\) pour tout \(i\).

Mais \(p\) divise \(N\) et \(p\) devrait être l’un des \(p_i\) (puisqu’on a supposé que la liste \(p_1, \ldots, p_k\) est exhaustive). Contradiction.

Il existe donc une infinité de nombres premiers. ∎

D. 🔴 Extension CPGE : la valuation \(p\)-adique

En prépa (MPSI/PCSI), le TFA se reformule élégamment à l’aide de la valuation \(p\)-adique.

La valuation vérifie les propriétés fondamentales suivantes (conséquences directes du TFA) :

• \(v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b)\)
• \(v_p(\mathrm{pgcd}(a,b)) = \min(v_p(a), v_p(b))\)
• \(v_p(\mathrm{ppcm}(a,b)) = \max(v_p(a), v_p(b))\)
• \(a \mid b \iff \forall p \text{ premier},\ v_p(a) \leq v_p(b)\)

Formule de Legendre : la plus grande puissance de \(p\) divisant \(n!\) vaut :

\(v_p(n!) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left\lfloor \displaystyle\frac{n}{p^k} \right\rfloor\)

(somme finie car \(\lfloor n / p^k \rfloor = 0\) dès que \(p^k\) > \(n\)).

Cette formule est l’un des outils les plus puissants de l’arithmétique en prépa. Tu la retrouveras dans de nombreux problèmes de concours (X, Mines, Centrale).

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V. Quand et comment utiliser le TFA ?

Le TFA est un outil parmi d’autres en arithmétique. Savoir quand l’utiliser — et quand préférer une autre technique — est essentiel pour ne pas perdre de temps.

Voici trois exemples courts illustrant le choix de méthode :

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Le TFA semble simple, mais il cache plusieurs pièges récurrents en devoirs et examens. Voici les erreurs que je vois le plus souvent en tant que correcteur.

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VII. Exercices corrigés

Voici 5 exercices pour t’entraîner, classés par difficulté croissante. Chaque correction est détaillée pas à pas. Essaie de résoudre l’exercice avant de consulter la solution !

Exercice 1 ★ — Décomposition en facteurs premiers

Décomposer \(2520\) en produit de facteurs premiers.

Voir la correction

On divise successivement par les nombres premiers :

\(2520 = 2 \times 1260 = 2 \times 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 2 \times 315\) \(315 = 3 \times 105 = 3 \times 3 \times 35 = 3 \times 3 \times 5 \times 7\)

Donc :

\(2520 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\)

Par le TFA, cette décomposition est la seule possible.

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Exercice 2 ★ — PGCD et PPCM par la décomposition

Déterminer \(\mathrm{pgcd}(360, 756)\) et \(\mathrm{ppcm}(360, 756)\) en utilisant les décompositions en facteurs premiers.

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Étape 1 — Décompositions :

\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) \(756 = 2^2 \times 3^3 \times 7\)

Étape 2 — PGCD (minimum des exposants) :

\(\mathrm{pgcd}(360, 756) = 2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(2,3)} \times 5^{\min(1,0)} \times 7^{\min(0,1)}\) \(= 2^2 \times 3^2 \times 5^0 \times 7^0 = 4 \times 9 = 36\)

Étape 3 — PPCM (maximum des exposants) :

\(\mathrm{ppcm}(360, 756) = 2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(2,3)} \times 5^{\max(1,0)} \times 7^{\max(0,1)}\) \(= 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 8 \times 27 \times 5 \times 7 = 7560\)

Vérification : \(\mathrm{pgcd} \times \mathrm{ppcm} = 36 \times 7560 = 272\,160 = 360 \times 756\). ✓

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Exercice 3 ★★ — Nombre de diviseurs

Combien l’entier \(1800\) possède-t-il de diviseurs positifs ?

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Étape 1 — Décomposition :

\(1800 = 18 \times 100 = (2 \times 3^2) \times (2^2 \times 5^2) = 2^3 \times 3^2 \times 5^2\)

Étape 2 — Formule du nombre de diviseurs :

\(d(1800) = (3+1)(2+1)(2+1) = 4 \times 3 \times 3 = 36\)

L’entier \(1800\) possède exactement 36 diviseurs positifs.

Pour vérifier, on peut lister les premiers : \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, \ldots\) jusqu’à \(1800\).

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Exercice 4 ★★ — Irrationalité

Soit \(p\) un nombre premier. Démontrer que \(\sqrt{p}\) est irrationnel.

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Raisonnons par l’absurde. Supposons que \(\sqrt{p} \in \mathbb{Q}\). Alors il existe \(a, b \in \mathbb{N}^*\) tels que \(\sqrt{p} = \displaystyle\frac{a}{b}\) avec \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\).

Étape 1 : on élève au carré : \(a^2 = p \times b^2\).

Étape 2 : \(p \mid a^2\). Puisque \(p\) est premier, le lemme d’Euclide donne \(p \mid a\).

Étape 3 : écrivons \(a = pk\) avec \(k \in \mathbb{N}^*\). Alors \(p^2 k^2 = p b^2\), soit \(pk^2 = b^2\).

Étape 4 : \(p \mid b^2\). Par le lemme d’Euclide, \(p \mid b\).

Conclusion : \(p \mid a\) et \(p \mid b\), ce qui contredit \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\). Donc \(\sqrt{p} \notin \mathbb{Q}\). ∎

Remarque : ce raisonnement repose entièrement sur le lemme d’Euclide, qui est lui-même une conséquence du TFA (via Bézout). Sans l’unicité de la décomposition, on ne pourrait pas conclure.

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Exercice 5 ★★★ 🟠 Prépa — Formule de Legendre

Déterminer la plus grande puissance de \(3\) qui divise \(200!\), c’est-à-dire calculer \(v_3(200!)\).

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On applique la formule de Legendre :

\(v_3(200!) = \left\lfloor \displaystyle\frac{200}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \displaystyle\frac{200}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \displaystyle\frac{200}{27} \right\rfloor + \left\lfloor \displaystyle\frac{200}{81} \right\rfloor + \left\lfloor \displaystyle\frac{200}{243} \right\rfloor + \cdots\)

Calcul terme à terme :

• \(\lfloor 200 / 3 \rfloor = \lfloor 66{,}67 \rfloor = 66\)
• \(\lfloor 200 / 9 \rfloor = \lfloor 22{,}22 \rfloor = 22\)
• \(\lfloor 200 / 27 \rfloor = \lfloor 7{,}41 \rfloor = 7\)
• \(\lfloor 200 / 81 \rfloor = \lfloor 2{,}47 \rfloor = 2\)
• \(\lfloor 200 / 243 \rfloor = \lfloor 0{,}82 \rfloor = 0\) (on s’arrête car \(243\) > \(200\))

Résultat : \(v_3(200!) = 66 + 22 + 7 + 2 = 97\).

Ainsi, \(3^{97}\) divise \(200!\) mais \(3^{98}\) ne divise pas \(200!\).

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le théorème fondamental de l’arithmétique, sa démonstration et ses applications. Pour approfondir, voici les ressources complémentaires du cours d’arithmétique :

• Arithmétique : cours complet du collège à la prépa — le cours qui rassemble tous les théorèmes structurants
• Théorème de Gauss : énoncé, démonstration et exercices — le théorème frère du TFA, indispensable en arithmétique
• Congruences et arithmétique modulaire — l’étape suivante en Maths Expertes et en prépa
• Décomposition en facteurs premiers — la méthode pratique pour factoriser
• Nombres premiers — propriétés, crible d’Ératosthène et applications
• Exercices d’arithmétique 3ème corrigés — pour réviser les bases avant le brevet

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