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Tu butes sur une limite indéterminée du type \(\displaystyle\frac{0}{0}\) et tu ne sais pas par quel bout la prendre ? Les équivalents usuels sont l’outil le plus rapide pour lever ces indéterminations en prépa. Ils condensent en une ligne ce qu’un développement limité complet exprimerait en trois. Dans cet article, tu vas apprendre la définition rigoureuse d’un équivalent, mémoriser le tableau des équivalents usuels en 0, comprendre d’où ils viennent (ils dérivent tous des DL à l’ordre 1), et surtout maîtriser les règles d’usage, car un équivalent mal manipulé est l’une des fautes les plus sanctionnées aux concours.
I. Qu’est-ce qu’un équivalent ? Définition rigoureuse
L’idée intuitive est simple : deux fonctions sont équivalentes en un point lorsqu’elles « se ressemblent » au voisinage de ce point, c’est-à-dire que leur rapport tend vers 1. Formalisons.
Définition — Fonctions équivalentes
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage d’un point \(a \in \overline{\mathbb{R}}\) (où \(a\) peut être réel ou infini), avec \(g\) ne s’annulant pas au voisinage de \(a\) (sauf éventuellement en \(a\)). On dit que \(f\) est équivalente à \(g\) en \(a\), et on note \(f(x) \underset{a}{\sim} g(x)\), lorsque :
\(\displaystyle \lim_{x \to a} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = 1.\)
Dans tout ce chapitre, le point d’étude privilégié est \(a = 0\) : c’est là que se trouvent les équivalents « usuels ». On notera alors simplement \(f \sim g\) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté.
A. Une formulation équivalente avec le petit o
Il existe une seconde définition, parfaitement équivalente à la première, qui fait le pont direct avec les développements limités. Elle est souvent plus maniable dans les preuves.
Définition équivalente (avec la notation de Landau)
On a \(f \underset{a}{\sim} g\) si et seulement si :
\(f(x) = g(x) + o\big(g(x)\big) \quad \text{au voisinage de } a.\)
Autrement dit, \(f – g\) est négligeable devant \(g\) : la différence entre \(f\) et \(g\) est « petite » par rapport à \(g\) lui-même.
La notation de Landau (petit o, grand O) est détaillée sur la page pilier des développements limités. Retiens pour l’instant que \(h(x) = o\big(g(x)\big)\) en \(a\) signifie \(\displaystyle\frac{h(x)}{g(x)} \to 0\).
B. L’équivalence est une relation d’équivalence
Le terme n’est pas un hasard. La relation \(\sim\) possède les trois propriétés caractéristiques.
Propriété : la relation \(\underset{a}{\sim}\) est :
- réflexive : \(f \sim f\) ;
- symétrique : si \(f \sim g\) alors \(g \sim f\) ;
- transitive : si \(f \sim g\) et \(g \sim h\), alors \(f \sim h\).
C’est la transitivité qui autorise les chaînes de calcul : on remplace une expression par un équivalent, puis celui-ci par un autre, jusqu’à obtenir une forme simple.
C. Le lien fondamental avec les limites
Voici la propriété qui justifie tout l’intérêt des équivalents : deux fonctions équivalentes ont la même limite.
Propriété — Équivalent et limite
Si \(f \underset{a}{\sim} g\) et si \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \ell\) (avec \(\ell\) réel ou infini), alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
C’est exactement ce mécanisme qui rend les indéterminations calculables : on remplace une fonction compliquée par un équivalent simple dont on connaît la limite.
Maintenant que la définition est posée, passons à l’outil que tu utiliseras quotidiennement : le tableau des équivalents usuels.
II. Le tableau des équivalents usuels en 0
Voici la liste à connaître par cœur. Tous ces équivalents sont valables en 0. Ils se lisent comme suit : au voisinage de 0, la fonction de gauche se comporte comme le terme de droite.
| Fonction | Équivalent en 0 | Famille |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(x\) | Trigonométrie |
| \(\tan x\) | \(x\) | Trigonométrie |
| \(\arcsin x\) | \(x\) | Trigo. réciproque |
| \(\arctan x\) | \(x\) | Trigo. réciproque |
| \(1 – \cos x\) | \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\) | Trigonométrie |
| \(e^x – 1\) | \(x\) | Exponentielle |
| \(\ln(1+x)\) | \(x\) | Logarithme |
| \((1+x)^\alpha – 1\) | \(\alpha x\) | Puissance |
| \(\sqrt{1+x} – 1\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\) | Puissance (\(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\)) |
| \(\mathrm{sh}\, x\) | \(x\) | Hyperbolique |
| \(\mathrm{th}\, x\) | \(x\) | Hyperbolique |
| \(\mathrm{ch}\, x – 1\) | \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\) | Hyperbolique |
Tous les équivalents usuels sur une fiche recto-verso
Le tableau complet, les règles d’usage (ce qui est permis, ce qui est interdit) et les pièges à éviter, condensés sur une page imprimable.
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Lecture mnémotechnique : la plupart des fonctions « sympathiques » qui valent 0 en 0 et ont une pente non nulle sont équivalentes à \(x\) (c’est leur tangente). Les exceptions sont les fonctions « paires » qui décollent à l’ordre 2 : \(1 – \cos x\) et \(\mathrm{ch}\, x – 1\) sont en \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\).
Pourquoi ces équivalents précis ? Ils ne tombent pas du ciel : ils découlent tous des développements limités. C’est ce que nous démontrons maintenant.
III. D’où viennent les équivalents usuels ? Les démonstrations
Le principe est unique et puissant : un équivalent en 0 est le premier terme non nul du développement limité. Établissons d’abord ce résultat général, puis appliquons-le.
A. Le principe : premier terme non nul du DL
Propriété fondamentale
Soit \(f\) admettant un développement limité en 0 dont le premier terme non nul est \(a_p\, x^p\) (avec \(a_p \neq 0\)). Alors :
\(f(x) \underset{0}{\sim} a_p\, x^p.\)
Démonstration. Par hypothèse, \(f(x) = a_p x^p + o(x^p)\) avec \(a_p \neq 0\). Alors :
\(\displaystyle\frac{f(x)}{a_p x^p} = \displaystyle\frac{a_p x^p + o(x^p)}{a_p x^p} = 1 + \displaystyle\frac{o(x^p)}{a_p x^p} \longrightarrow[x \to 0]{}\ 1,\)car \(\displaystyle\frac{o(x^p)}{a_p x^p} \to 0\) par définition du petit o. D’où \(f(x) \sim a_p x^p\). ∎
Tous les équivalents du tableau découlent de cette propriété appliquée aux DL des fonctions usuelles (que tu retrouves en détail sur la page des DL usuels). Voyons les cas emblématiques.
B. Cas par cas
Cas de \(\sin x \sim x\).
Le DL de \(\sin\) en 0 à l’ordre 1 est \(\sin x = x + o(x)\) (issu de Taylor-Young, puisque \(\sin(0)=0\) et \(\sin^\prime(0)=\cos 0 = 1\)). Le premier terme non nul est \(x\), donc \(\sin x \sim x\).
Cas de \(\ln(1+x) \sim x\) et \(e^x – 1 \sim x\).
On a \(\ln(1+x) = x + o(x)\) et \(e^x = 1 + x + o(x)\), soit \(e^x – 1 = x + o(x)\). Dans les deux cas le premier terme non nul est \(x\).
Cas de \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\).
Ici le terme d’ordre 1 disparaît (la fonction est paire). On a \(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\), donc :
\(\displaystyle 1 – \cos x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2).\)
Le premier terme non nul est \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\), d’où l’équivalent. C’est le piège classique : ne pas écrire « \(1 – \cos x \sim 0\) » parce que le terme d’ordre 1 est nul !
Cas de \((1+x)^\alpha – 1 \sim \alpha x\).
Le DL généralisé donne \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + o(x)\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\). Donc \((1+x)^\alpha – 1 = \alpha x + o(x) \sim \alpha x\). En particulier, avec \(\alpha = \displaystyle\frac12\) : \(\sqrt{1+x} – 1 \sim \displaystyle\frac{x}{2}\).
Tu vois le mécanisme : à chaque fois, on prend le DL, on repère le premier terme non nul, et c’est terminé. Reste à savoir comment manipuler ces équivalents sans se tromper — c’est le cœur de la difficulté.
IV. Règles d’utilisation : ce qui est permis, ce qui est interdit
Les équivalents obéissent à des règles strictes. Trois opérations sont autorisées, deux opérations sont formellement interdites. Connaître cette frontière, c’est éviter 90 % des fautes sur les équivalents aux concours.
A. Les opérations autorisées : produit, quotient, puissance
Propriété — Opérations compatibles avec l’équivalence
Si \(f_1 \underset{a}{\sim} g_1\) et \(f_2 \underset{a}{\sim} g_2\), alors :
- Produit : \(f_1 f_2 \underset{a}{\sim} g_1 g_2\) ;
- Quotient : \(\displaystyle\frac{f_1}{f_2} \underset{a}{\sim} \displaystyle\frac{g_1}{g_2}\) (si les dénominateurs ne s’annulent pas) ;
- Puissance constante : \(f_1^{\,\beta} \underset{a}{\sim} g_1^{\,\beta}\) pour \(\beta\) fixé (si les puissances ont un sens au voisinage de \(a\)).
Démonstration du produit. Comme \(\displaystyle\frac{f_1}{g_1} \to 1\) et \(\displaystyle\frac{f_2}{g_2} \to 1\), le produit des rapports \(\displaystyle\frac{f_1 f_2}{g_1 g_2} = \displaystyle\frac{f_1}{g_1} \cdot \displaystyle\frac{f_2}{g_2} \to 1 \times 1 = 1\). ∎
B. Les deux interdits absolus : somme et composition
Interdit n°1 — On n’additionne JAMAIS deux équivalents.
Si \(f_1 \sim g_1\) et \(f_2 \sim g_2\), il est faux en général que \(f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2\).
Contre-exemple. En 0, \(\sin x \sim x\) et \(-x \sim -x\). Pourtant \(\sin x – x \sim -\displaystyle\frac{x^3}{6}\) (et non \(\sim 0\) !). Les termes principaux se sont annulés, et l’équivalent de la somme se cache à un ordre bien plus élevé.
Interdit n°2 — On ne compose pas un équivalent, en particulier dans un logarithme ou une exponentielle.
Si \(f \sim g\), il est faux en général que \(\ln f \sim \ln g\) ou \(e^f \sim e^g\).
Contre-exemple. En \(+\infty\), \(x + 1 \sim x\), mais \(e^{x+1} = e \cdot e^x\) n’est pas équivalent à \(e^x\) (leur rapport vaut \(e \neq 1\)). De même, \(\ln\) et l’exponentielle sont très sensibles aux petites différences.
Comment lever une indétermination dans une somme ou un logarithme, alors ? La réponse passe par les développements limités : c’est exactement ce que détaille la fiche méthode pour calculer un DL. Lorsqu’une somme d’équivalents fait disparaître les termes principaux, il faut repasser au DL pour aller chercher l’ordre suivant.
Règle d’or : les équivalents sont parfaits pour les produits, quotients et puissances. Dès qu’apparaît une somme/différence de fonctions équivalentes, ou un logarithme/exponentielle d’une expression qui tend vers 0 ou l’infini, repasse aux développements limités.
V. Les équivalents en l’infini
En \(+\infty\) (ou \(-\infty\)), les équivalents fonctionnent selon une logique différente : on ne s’intéresse plus au plus petit terme, mais au terme dominant.
Règle pour les polynômes et fractions rationnelles :
- Un polynôme est équivalent en \(\pm\infty\) à son monôme de plus haut degré. Ex : \(3x^2 – 5x + 7 \underset{+\infty}{\sim} 3x^2\).
- Une fraction rationnelle est équivalente au quotient des monômes dominants. Ex : \(\displaystyle\frac{2x^3 + x}{5x^2 – 1} \underset{+\infty}{\sim} \displaystyle\frac{2x^3}{5x^2} = \displaystyle\frac{2x}{5}\).
Exemple — équivalent en l’infini. Cherchons un équivalent de \(f(x) = \sqrt{x^2 + x} – x\) en \(+\infty\).
On factorise par le terme dominant sous la racine :
\(\displaystyle \sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \displaystyle\frac{1}{x}} = x\left(1 + \displaystyle\frac{1}{2x} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\right).\)
Donc \(\displaystyle f(x) = x + \displaystyle\frac{1}{2} + o(1) – x = \displaystyle\frac{1}{2} + o(1)\), d’où \(\displaystyle f(x) \underset{+\infty}{\to} \displaystyle\frac{1}{2}\).
On a utilisé l’équivalent \(\sqrt{1+u} – 1 \sim \displaystyle\frac{u}{2}\) avec \(u = \displaystyle\frac{1}{x} \to 0\) : c’est un changement de variable légitime puisque l’argument tend vers 0.
Attention : les équivalents usuels du tableau (sin, ln, exp…) sont valables en 0, pas en l’infini. Pour les utiliser, l’argument de la fonction doit tendre vers 0. On pose alors un changement de variable \(u = \displaystyle\frac{1}{x}\) (ou similaire) pour se ramener à 0.
Que ce soit en 0 ou à l’infini, l’objectif reste le même : calculer des limites. Voyons la méthode en action.
VI. Calculer une limite avec les équivalents
C’est l’application reine. La stratégie tient en une phrase : remplacer chaque facteur d’un produit/quotient par son équivalent le plus simple, puis lire la limite.
Exemple 1. Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin(3x)}{\ln(1 + 2x)}\).
En 0 : \(\sin(3x) \sim 3x\) (car \(3x \to 0\)) et \(\ln(1+2x) \sim 2x\). C’est un quotient, donc :
\(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{\ln(1+2x)} \sim \displaystyle\frac{3x}{2x} = \displaystyle\frac{3}{2}.\)
La limite vaut \(\displaystyle\frac{3}{2}\).
Exemple 2 — avec une puissance. Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x \, \tan x}\).
Numérateur : \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\). Dénominateur : \(x \tan x \sim x \cdot x = x^2\). Donc :
\(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x \tan x} \sim \displaystyle\frac{x^2/2}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}.\)
La limite vaut \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Exemple 3 — le piège de la somme. Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\tan x – \sin x}{x^3}\).
Tentation fautive : \(\tan x \sim x\) et \(\sin x \sim x\), donc \(\tan x – \sin x \sim x – x = 0\)… ce qui ne donne rien (forme \(\displaystyle\frac{0}{x^3}\)). Interdit n°1 : on n’additionne pas les équivalents.
On repasse aux DL à l’ordre 3 : \(\tan x = x + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)\) et \(\sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\). Donc :
\(\displaystyle \tan x – \sin x = \displaystyle\frac{x^3}{3} + \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3) = \displaystyle\frac{x^3}{2} + o(x^3) \sim \displaystyle\frac{x^3}{2}.\)
D’où \(\displaystyle\frac{\tan x – \sin x}{x^3} \sim \displaystyle\frac{1}{2}\) : la limite vaut \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Cet exemple 3 illustre parfaitement la frontière entre équivalents et DL. C’est précisément la chaîne logique que nous explicitons maintenant.
VII. Équivalent et développement limité : la chaîne logique
Équivalents, DL, limites et asymptotes forment un parcours cohérent. Comprendre ce fil conducteur transforme ta façon d’aborder le calcul asymptotique.
La chaîne :
\(\textbf{DL} \;\Rightarrow\; \textbf{équivalent} \;\Rightarrow\; \textbf{limite} \;\Rightarrow\; \textbf{asymptote}.\)
- Un DL donne le premier terme non nul, qui fournit l’équivalent.
- L’équivalent permet de lire la limite d’une forme indéterminée.
- L’étude des termes suivants du DL renseigne la position de la courbe (par rapport à une tangente ou une asymptote).
Le sens de lecture est essentiel : du DL on déduit l’équivalent, jamais l’inverse. Un équivalent ne contient que l’information du premier terme ; il « oublie » tout le reste. C’est pourquoi un équivalent ne suffit pas dès qu’on additionne (les termes principaux peuvent se compenser) : il faut alors la richesse complète du DL.
Illustration. De \(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) on tire :
- l’équivalent \(e^x – 1 \sim x\) (premier terme non nul de \(e^x – 1\)) ;
- la limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = 1\) ;
- l’information de position : \(e^x – 1 – x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) qui est positif, donc la courbe de \(e^x\) est au-dessus de sa tangente \(y = 1+x\) près de 0.
Pour t’entraîner sur cette chaîne complète — DL composés, limites indéterminées, asymptotes obliques — la page d’exercices corrigés propose des énoncés calibrés concours. Avant cela, prenons le temps de pratiquer les équivalents.
VIII. Exercices corrigés
Trois exercices progressifs, du calcul direct au raisonnement. Cherche-les avant de regarder le corrigé.
Exercice 1 — Limite par quotient (★)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin(5x)}{e^{2x} – 1}\).
Corrigé. En 0, \(\sin(5x) \sim 5x\) (l’argument \(5x \to 0\)) et \(e^{2x} – 1 \sim 2x\). Comme il s’agit d’un quotient (opération autorisée) :
\(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{e^{2x}-1} \sim \displaystyle\frac{5x}{2x} = \displaystyle\frac{5}{2}.\)
La limite vaut \(\displaystyle\frac{5}{2}\).
Exercice 2 — Forme exponentielle (★★)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (1 + 2x)^{1/x}\).
Corrigé. Forme indéterminée \(1^{\infty}\). On passe par l’exponentielle (jamais d’équivalent directement dans un exposant !) :
\(\displaystyle (1+2x)^{1/x} = \exp\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\ln(1+2x)\right).\)
Dans l’exposant, on a le droit d’utiliser l’équivalent car c’est un produit/quotient : \(\ln(1+2x) \sim 2x\), donc :
\(\displaystyle\frac{\ln(1+2x)}{x} \sim \displaystyle\frac{2x}{x} = 2 \longrightarrow[x\to 0^+]{} 2.\)
Par continuité de l’exponentielle : \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{1/x} = e^2\).
Remarque correcteur : on applique l’équivalent à l’intérieur de l’exposant (un quotient), puis on compose par exp après avoir trouvé la limite de l’exposant. On ne compose jamais l’équivalent lui-même par l’exponentielle.
Exercice 3 — Le piège de la somme (★★★)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\ln(1+x) – x}{x^2}\).
Corrigé. Tentation fautive : \(\ln(1+x) \sim x\), donc \(\ln(1+x) – x \sim 0\). Faux : on n’additionne pas les équivalents, et les termes principaux se compensent ici.
On repasse au DL à l’ordre 2 : \(\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Donc :
\(\displaystyle \ln(1+x) – x = -\displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim -\displaystyle\frac{x^2}{2}.\)
Ainsi \(\displaystyle\frac{\ln(1+x) – x}{x^2} \sim \displaystyle\frac{-x^2/2}{x^2} = -\displaystyle\frac{1}{2}\). La limite vaut \(-\displaystyle\frac{1}{2}\).
Tu retrouveras une banque complète d’exercices de ce type, avec variantes niveau X/ENS, sur la page dédiée du cocon. Avant de conclure, récapitulons les erreurs qui coûtent le plus de points.
IX. Erreurs fréquentes à éviter
Erreur 1 — Additionner les équivalents.
❌ Copie fautive : « \(\tan x – \sin x \sim x – x = 0\) ».
Diagnostic : la somme/différence n’est pas compatible avec \(\sim\). Quand les termes principaux s’annulent, l’équivalent du résultat est à un ordre supérieur.
✅ Correction : repasser au DL et soustraire les développements complets.
Erreur 2 — Écrire « \(f \sim 0\) ».
❌ « \(\sin x – x \sim 0\) ».
Diagnostic : un équivalent à 0 n’a aucun sens (le quotient \(\displaystyle\frac{f}{0}\) n’est pas défini). La seule fonction équivalente à la fonction nulle est… la fonction nulle. Si tu obtiens 0, c’est que tu as utilisé un interdit ou un ordre insuffisant.
Erreur 3 — Composer par ln ou exp.
❌ « \(u \sim v \Rightarrow \ln u \sim \ln v\) ».
Diagnostic : faux en général. On manipule l’équivalent à l’intérieur de l’argument (produit/quotient), puis on compose la limite, pas l’équivalent.
Erreur 4 — Oublier que l’argument doit tendre vers 0.
❌ « \(\sin x \sim x\) en \(+\infty\) ».
Diagnostic : les équivalents usuels sont des équivalents en 0. Pour \(\sin(u(x))\), il faut que \(u(x) \to 0\) pour écrire \(\sin(u(x)) \sim u(x)\).
X. Questions fréquentes
Quels sont les équivalents usuels à connaître par cœur en prépa ?
Les incontournables en 0 sont : \(\sin x \sim x\), \(\tan x \sim x\), \(\arcsin x \sim x\), \(\arctan x \sim x\), \(\mathrm{sh}\, x \sim x\), \(\mathrm{th}\, x \sim x\), \(e^x – 1 \sim x\), \(\ln(1+x) \sim x\), \((1+x)^\alpha – 1 \sim \alpha x\), et les deux équivalents d’ordre 2 : \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) et \(\mathrm{ch}\, x – 1 \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\).
Peut-on additionner deux équivalents ?
Non, jamais. L’équivalence est compatible avec le produit, le quotient et la puissance, mais pas avec la somme ni la différence. Si tu dois additionner des fonctions équivalentes (par exemple \(\tan x – \sin x\)), repasse à leurs développements limités et soustrais les DL complets.
Quelle est la différence entre un équivalent et un développement limité ?
Un développement limité décrit une fonction par une somme de plusieurs termes plus un reste : \(f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n)\). Un équivalent ne retient que le premier terme non nul de ce DL. L’équivalent est donc moins précis mais plus rapide : parfait pour les produits/quotients, insuffisant dès qu’il y a une somme où les termes principaux se compensent. On déduit toujours l’équivalent du DL, jamais l’inverse.
Comment utiliser un équivalent pour calculer une limite ?
Quand tu rencontres une forme indéterminée sous forme de produit ou de quotient, remplace chaque facteur par son équivalent le plus simple (en 0 ou à l’infini), simplifie, puis lis la limite. Exemple : \(\displaystyle\frac{\sin 3x}{\ln(1+2x)} \sim \displaystyle\frac{3x}{2x} = \displaystyle\frac{3}{2}\).
Pourquoi 1 − cos x est-il équivalent à x²/2 et pas à x ?
Parce que le terme d’ordre 1 du DL de \(1 – \cos x\) est nul (\(\cos\) est paire). Le DL donne \(1 – \cos x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) : le premier terme non nul est d’ordre 2, donc l’équivalent est \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\).
Les équivalents usuels marchent-ils en l'infini ?
Pas directement : les équivalents du tableau valent en 0. À l’infini, on raisonne sur le terme dominant (un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré). Pour utiliser un équivalent usuel à l’infini, il faut un changement de variable (par exemple \(u = \displaystyle\frac{1}{x} \to 0\)) afin de se ramener à un argument tendant vers 0.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les équivalents usuels et leurs règles d’emploi. Pour consolider :
- Le tableau des DL des fonctions usuelles — la source de tous les équivalents.
- La méthode complète pour calculer un DL — indispensable quand les équivalents ne suffisent plus.
- La formule de Taylor-Young — le théorème qui fonde l’existence des DL en 0.
- Les exercices corrigés sur les DL — pour t’entraîner du calcul direct au niveau concours.
- Le cours complet sur les développements limités — la vue d’ensemble du chapitre.
Les équivalents reposent entièrement sur la notion de dérivée (via la tangente en 0) : un prérequis à maîtriser parfaitement. Pense aussi à revoir l’intégration par parties et les techniques de changement de variable, souvent associées dans les exercices d’analyse asymptotique.
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