Tu connais le DL de \(\sin x\), mais impossible de retrouver celui de \(\tan x\) en plein DS ? C’est normal : en prépa, les développements limités usuels sont la boîte à outils que l’on mobilise pour calculer une limite indéterminée, trouver un équivalent ou positionner une courbe par rapport à sa tangente. Cette page rassemble les 14 DL usuels en 0 à l’ordre \(n\) générique, leurs démonstrations par famille, des astuces de mémorisation et un formulaire imprimable. L’objectif : que tu n’aies plus jamais à les recopier d’un poly mal scanné.
Tableau des développements limités usuels en 0
Tous les DL ci-dessous sont écrits au voisinage de \(0\), à l’ordre \(n\) générique. Chaque ligne donne la forme exacte de la partie régulière et celle du reste de Landau. C’est ce tableau que tu dois savoir reconstruire de tête : les démonstrations détaillées suivent plus bas.
| Fonction | Développement limité en 0 | Reste |
|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(1 + x + \displaystyle\frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \displaystyle\frac{x^{n}}{n!}\) | \(o(x^{n})\) |
| \(\mathrm{ch}\,x\) | \(1 + \displaystyle\frac{x^{2}}{2!} + \displaystyle\frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(o(x^{2n+1})\) |
| \(\mathrm{sh}\,x\) | \(x + \displaystyle\frac{x^{3}}{3!} + \displaystyle\frac{x^{5}}{5!} + \cdots + \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(o(x^{2n+2})\) |
| \(\cos x\) | \(1 – \displaystyle\frac{x^{2}}{2!} + \displaystyle\frac{x^{4}}{4!} – \cdots + (-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(o(x^{2n+1})\) |
| \(\sin x\) | \(x – \displaystyle\frac{x^{3}}{3!} + \displaystyle\frac{x^{5}}{5!} – \cdots + (-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(o(x^{2n+2})\) |
| \(\tan x\) | \(x + \displaystyle\frac{x^{3}}{3} + \displaystyle\frac{2x^{5}}{15} + \displaystyle\frac{17x^{7}}{315}\) | \(o(x^{8})\) |
| \(\mathrm{th}\,x\) | \(x – \displaystyle\frac{x^{3}}{3} + \displaystyle\frac{2x^{5}}{15}\) | \(o(x^{6})\) |
| \((1+x)^{\alpha}\) | \(1 + \alpha x + \displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \cdots + \displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}\) | \(o(x^{n})\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\) | \(1 – x + x^{2} – \cdots + (-1)^{n}x^{n}\) | \(o(x^{n})\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) | \(1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n}\) | \(o(x^{n})\) |
| \(\sqrt{1+x}\) | \(1 + \displaystyle\frac{x}{2} – \displaystyle\frac{x^{2}}{8} + \displaystyle\frac{x^{3}}{16}\) | \(o(x^{3})\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(x – \displaystyle\frac{x^{2}}{2} + \displaystyle\frac{x^{3}}{3} – \cdots + (-1)^{n-1}\displaystyle\frac{x^{n}}{n}\) | \(o(x^{n})\) |
| \(\arctan x\) | \(x – \displaystyle\frac{x^{3}}{3} + \displaystyle\frac{x^{5}}{5} – \cdots + (-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(o(x^{2n+2})\) |
| \(\arcsin x\) | \(x + \displaystyle\frac{x^{3}}{6} + \displaystyle\frac{3x^{5}}{40}\) | \(o(x^{6})\) |
Le formulaire des 14 DL usuels, prêt à imprimer
Toutes les formules à l’ordre n générique, regroupées par famille, sur une seule page A4. Idéal pour réviser avant une colle ou un DS.
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Ce tableau couvre les six familles que tu rencontreras en colle : exponentielle, hyperbolique, logarithmique, trigonométrique, trigonométrique réciproque et la famille puissance \((1+x)^{\alpha}\) qui contient à elle seule \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\), \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) et \(\sqrt{1+x}\) comme cas particuliers.
Le réflexe à avoir : tous ces DL existent parce que les fonctions concernées sont de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) au voisinage de \(0\). La formule de Taylor-Young garantit alors l’existence d’un DL à tout ordre, dont les coefficients sont les \(\displaystyle\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\).
Astuces pour retenir les DL usuels
Plutôt que d’apprendre 14 formules par cœur, retiens quelques principes structurants qui les relient entre elles.
Exploiter la parité
Une fonction paire n’a que des puissances paires, une fonction impaire que des puissances impaires. Ainsi :
- \(\cos\) et \(\mathrm{ch}\) (paires) ne contiennent que \(x^{0}, x^{2}, x^{4}, \dots\)
- \(\sin\), \(\mathrm{sh}\), \(\tan\), \(\arctan\), \(\arcsin\) (impaires) ne contiennent que \(x^{1}, x^{3}, x^{5}, \dots\)
Repérer les signes
Le couple « hyperbolique / circulaire » se déduit l’un de l’autre : \(\mathrm{ch}\) et \(\mathrm{sh}\) sont les versions de \(\cos\) et \(\sin\) sans les signes alternés. De même, \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) (que des \(+\)) est la version « tout positif » de \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\) (signes alternés).
Mnémotechnique factorielle : pour \(e^{x}\), \(\cos\), \(\sin\), \(\mathrm{ch}\), \(\mathrm{sh}\), le dénominateur est une factorielle. Pour \(\ln(1+x)\) et \(\arctan\), c’est un entier simple (\(n\) ou \(2n+1\)). Ne confonds jamais \(\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}=\displaystyle\frac{x^3}{6}\) (sinus) et \(\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\) (arctan).
Démonstrations par famille
Chaque DL se justifie soit par la formule de Taylor-Young, soit par dérivation/intégration d’un DL plus simple. Voici les raisonnements à connaître.
Famille puissance : (1+x)^α et ses cas particuliers
Posons \(f(x)=(1+x)^{\alpha}\). Une récurrence immédiate donne \(f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}\), d’où \(f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)\). La formule de Taylor-Young fournit alors directement le DL annoncé.
Cas particuliers utiles :
- \(\alpha=-1\) donne \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})\)
- en remplaçant \(x\) par \(-x\) : \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+\cdots+x^{n}+o(x^{n})\)
- \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) donne \(\sqrt{1+x}=1+\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{x^{2}}{8}+\cdots\)
Famille logarithmique : ln(1+x)
On part de \(\displaystyle\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}t^{k}+o(t^{n})\). Puisque \(\ln(1+x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{1+t}\), on intègre terme à terme le DL (théorème d’intégration des DL) :
\(\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{k+1}x^{k+1}+o(x^{n+1})=x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3}-\cdots+o(x^{n+1}).\)Famille exponentielle et hyperbolique
Comme \((e^{x})^{(k)}=e^{x}\), on a \(f^{(k)}(0)=1\) pour tout \(k\), d’où \(e^{x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})\). On obtient ensuite \(\mathrm{ch}\,x\) et \(\mathrm{sh}\,x\) par demi-somme et demi-différence :
\(\mathrm{ch}\,x=\displaystyle\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \qquad \mathrm{sh}\,x=\displaystyle\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.\)Les termes de degré impair s’annulent dans \(\mathrm{ch}\), ceux de degré pair dans \(\mathrm{sh}\) : on retrouve la parité.
Famille trigonométrique
Pour \(\cos\) et \(\sin\), on applique Taylor-Young en utilisant \(\cos^{(k)}(0)\) et \(\sin^{(k)}(0)\) qui décrivent le cycle \(0,1,0,-1\). Pour \(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\), on effectue le quotient des DL ou une division selon les puissances croissantes — technique détaillée dans la méthode pour calculer un DL.
Famille trigonométrique réciproque
On exploite \(\arctan^\prime(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\). En substituant \(x^{2}\) dans le DL de \(\displaystyle\frac{1}{1+t}\) puis en intégrant :
\(\arctan x=\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+\displaystyle\frac{x^{5}}{5}-\cdots+o(x^{2n+2}).\)Le même procédé avec \(\arcsin^\prime(x)=(1-x^{2})^{-1/2}\) donne le DL de \(\arcsin\).
Retrouver un DL avec la formule de Taylor-Young
Si tu oublies un DL en examen, tu peux toujours le reconstruire. La formule de Taylor-Young affirme que si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) au voisinage de \(0\), alors :
Formule de Taylor-Young en 0
\(f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+o(x^{n}).\)
Les coefficients du DL ne sont rien d’autre que les dérivées successives en \(0\) divisées par \(k!\).
Exemple — reconstruire le DL de \(e^{x}\) à l’ordre 3.
On a \(f^{(k)}(0)=1\) pour tout \(k\), donc :
\(e^{x}=1+\displaystyle\frac{1}{1!}x+\displaystyle\frac{1}{2!}x^{2}+\displaystyle\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{3})=1+x+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+\displaystyle\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}).\)
Ce calcul nécessite de maîtriser les dérivées successives : c’est le prérequis incontournable de tout le chapitre. En pratique, on l’utilise surtout pour les fonctions qui ne sont pas dans le tableau ; pour les 14 usuels, la mémorisation reste plus rapide.
DL d’un polynôme et changement de point
Une question qui revient souvent : « quel est le DL d’un polynôme en \(x\) ? » Réponse rassurante : un polynôme est son propre développement limité, à tout ordre supérieur ou égal à son degré. Par exemple, à l’ordre \(5\) :
\(P(x)=2x^{3}-x+4=4-x+2x^{3}+o(x^{5}).\)Le reste est nul ici, mais on l’écrit quand même \(o(x^{5})\) par cohérence avec l’ordre demandé. Pour un DL en un point \(a\neq 0\), on pose \(h=x-a\) et on se ramène à un DL en \(0\) de la variable \(h\). Cette technique de changement de variable est détaillée dans la fiche méthode.
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Le cas du voisinage de l’infini
Un DL se définit en un point fini. Pour étudier une fonction en \(+\infty\), on ne parle pas de DL mais de développement asymptotique : on pose \(t=\displaystyle\frac{1}{x}\), on effectue un DL en \(t=0\), puis on revient à \(x\). C’est l’outil clé pour détecter une asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à elle.
Exemple : pour \(f(x)=x\,\ln\!\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\) en \(+\infty\), on pose \(t=\displaystyle\frac{1}{x}\) :
\(\ln(1+t)=t-\displaystyle\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2}) \;\Longrightarrow\; f(x)=1-\displaystyle\frac{1}{2x}+o\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right).\)
On lit ainsi \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\).
Exemples d’application pas à pas
Voici trois utilisations directes du tableau, de la plus simple à la plus subtile.
Exemple 1 — DL par substitution. Calculer le DL de \(\ln(1+x^{2})\) à l’ordre \(4\).
On substitue \(x^{2}\) dans le DL de \(\ln(1+u)\) à l’ordre \(2\) (car \((x^2)^2=x^4\)) :
\(\ln(1+x^{2})=x^{2}-\displaystyle\frac{(x^{2})^{2}}{2}+o(x^{4})=x^{2}-\displaystyle\frac{x^{4}}{2}+o(x^{4}).\)
Exemple 2 — calcul de limite. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\).
Avec \(e^{x}=1+x+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\), le numérateur vaut \(\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\), donc :
\(\displaystyle\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\displaystyle\frac{1}{2}+o(1)\;\longrightarrow\;\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Le DL transforme une forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\) en un simple coefficient. C’est l’application reine du calcul de limites.
Exemple 3 — DL composé (calibre concours). DL de \(e^{\sin x}\) à l’ordre \(3\).
On part de \(\sin x=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\), qu’on injecte dans \(e^{u}=1+u+\displaystyle\frac{u^{2}}{2}+\displaystyle\frac{u^{3}}{6}+o(u^{3})\). En ne gardant que les termes jusqu’à \(x^{3}\) :
\(u=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{6},\quad u^{2}=x^{2}+o(x^{3}),\quad u^{3}=x^{3}+o(x^{3}).\)
\(e^{\sin x}=1+\left(x-\displaystyle\frac{x^{3}}{6}\right)+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+\displaystyle\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})=1+x+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3}).\)
L’image ci-dessous illustre comment les approximations de Taylor de \(\sin x\) s’améliorent à mesure que l’ordre augmente, au voisinage de \(0\).
![courbe de sin(x) en bleu #1f4acc sur [-pi, pi], et ses approximations de Taylor successives P1=x (or #caa85a), P3=x-x^3/](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/dl-sin-taylor.png)
Pièges fréquents à éviter
Piège n°1 — l’ordre de troncature dans une composée.
❌ Copie fautive : pour \(e^{\sin x}\) à l’ordre \(3\), l’élève prend \(\sin x\) à l’ordre \(1\) seulement.
Diagnostic : en tronquant trop tôt le DL intérieur, on perd des contributions de degré \(\leq 3\).
✅ Correction : on développe la fonction intérieure jusqu’à l’ordre final voulu, ici l’ordre \(3\), puis on tronque proprement à la fin.
Piège n°2 — confondre \(\displaystyle\frac{x^3}{3!}\) et \(\displaystyle\frac{x^3}{3}\). Le DL de \(\sin x\) contient \(-\displaystyle\frac{x^{3}}{6}\) (factorielle), celui de \(\arctan x\) contient \(-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\) (entier simple). Vérifie toujours si le dénominateur est une factorielle ou non.
Piège n°3 — oublier le reste de Landau. Un DL sans son \(o(x^{n})\) est faux : on écrirait une égalité polynomiale erronée. Le reste fait partie intégrante de l’énoncé, et il est sanctionné en colle s’il manque.
Aller plus vite en colle et en DS
Maîtriser ces 14 DL n’est que la première étape : ce qui distingue un bon élève de prépa, c’est la rapidité avec laquelle il choisit le bon ordre, la bonne substitution et la bonne troncature sous la pression du chrono.
Questions fréquentes
Comment retenir les DL usuels rapidement ?
Regroupe-les par famille (exponentielle, trigo, log, puissance), exploite la parité pour ne retenir que les puissances utiles, et mémorise le type de dénominateur (factorielle pour exp/sin/cos, entier simple pour ln et arctan). En cas d’oubli, la formule de Taylor-Young permet de reconstruire n’importe quel DL à partir des dérivées successives en 0.
Quel est le DL de cos(x) en 0 ?
À l’ordre \(2n+1\), on a \(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^{2}}{2!} + \displaystyle\frac{x^{4}}{4!} – \cdots + (-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\). Le développement ne contient que des puissances paires car le cosinus est une fonction paire.
Quelle est la différence entre un DL et un équivalent ?
Un développement limité donne une approximation polynomiale complète d’une fonction à un ordre donné, avec un terme de reste. Un équivalent ne retient que le premier terme non nul de ce DL : par exemple, de \(\sin x = x – \displaystyle\frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\) on déduit l’équivalent \(\sin x \sim x\) en 0. Le DL est plus riche ; l’équivalent est plus rapide à manipuler. Pour approfondir, consulte la fiche sur les équivalents usuels.
À quel ordre faut-il écrire un DL ?
Cela dépend de l’objectif. Pour une limite \(\displaystyle\frac{0}{0}\), on développe jusqu’à obtenir le premier terme non nul au numérateur et au dénominateur. Pour une position courbe/tangente, l’ordre 2 suffit souvent ; pour une asymptote, on développe la quantité \(\displaystyle\frac{1}{x}\) à l’ordre 1 ou 2. La règle d’or : développer un cran plus loin que strictement nécessaire pour ne pas perdre de terme.
Comment trouver le DL d'une fonction composée comme exp(sin x) ?
On développe d’abord la fonction intérieure (\(\sin x\)) à l’ordre final voulu, puis on l’injecte dans le DL de la fonction extérieure (\(e^{u}\)), en tronquant chaque puissance à l’ordre demandé. La principale difficulté est de ne garder que les termes pertinents à chaque étape. La technique complète est détaillée dans la méthode pour calculer un DL.
Les DL usuels sont-ils valables en un point autre que 0 ?
Le tableau donne les DL au voisinage de 0. Pour un DL en un point \(a \neq 0\), on pose \(h = x – a\) et on se ramène à un développement en \(h = 0\). Les DL usuels restent l’outil de base, appliqués à la nouvelle variable \(h\).
Pour aller plus loin
Tu disposes maintenant du formulaire complet des DL usuels. Pour transformer cette référence en réflexes de calcul :
- Méthode : calculer un développement limité — opérations, composition et changement de variable
- Exercices corrigés sur les développements limités — du calcul de limite au niveau X/ENS
- Formule de Taylor-Young — la source de tous les DL usuels
- Équivalents usuels en 0 — le premier terme non nul du DL
- Développements limités et formules de Taylor — le cours complet et le calculateur de DL
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