Les critères de divisibilité permettent de savoir très vite si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11, sans faire la division. Sur cette page : un tableau récapitulatif, des méthodes claires avec exemples, les pièges classiques et des exercices corrigés (collège → lycée).

Contexte. Les critères de divisibilité font partie du chapitre nombres entiers. Ils sont indispensables pour la décomposition en facteurs premiers, le calcul du PGCD et PPCM, et la simplification de fractions.

Pour t’entraîner : exercices nombres entiers (tous niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).

Tout le cours « Nombres entiers »

Définition : qu’est-ce qu’un critère de divisibilité ?

Définition. Un entier \(n\) est divisible par un entier \(d\) (non nul) s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = dk\). On note aussi : \(d \mid n\).

Un critère de divisibilité est une règle qui permet de décider rapidement si \(d \mid n\), en observant quelques chiffres (les derniers chiffres) ou une transformation simple (somme des chiffres, somme alternée, etc.).

À quoi ça sert concrètement ?

Piège classique. « Divisible par 3 » ne veut pas dire « divisible par 9 ». Exemple : 123 est divisible par 3 (somme des chiffres = 6), mais pas par 9.

Tableau récapitulatif des critères de divisibilité

Voici les critères de divisibilité les plus utiles. L’objectif : les connaître par cœur (au moins 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11).

Tableau des critères de divisibilité (collège → lycée)
Diviseur Critère (règle) Exemple
2 Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8). 4 368 est divisible par 2.
3 La somme des chiffres est divisible par 3. 2 457 : \(2+4+5+7=18\), donc divisible par 3.
4 Le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4. 3 216 : 16 est divisible par 4, donc 3 216 aussi.
5 Le dernier chiffre est 0 ou 5. 1 035 est divisible par 5.
6 Divisible par 2 et par 3. 1 734 : dernier chiffre pair et somme 15, donc divisible par 6.
8 Le nombre formé par les 3 derniers chiffres est divisible par 8. 9 128 : 128 est divisible par 8, donc 9 128 aussi.
9 La somme des chiffres est divisible par 9. 7 290 : \(7+2+9+0=18\), donc divisible par 9.
10 Le dernier chiffre est 0. 4 320 est divisible par 10.
11 La différence entre la somme des chiffres en positions alternées est divisible par 11 (ou vaut 0). 27 214 : \((2+2+4)-(7+1)=0\), donc divisible par 11.
13 Bonus : si \(n=10L+U\), alors \(13 \mid n\) équivaut à \(13 \mid (L+4U)\). 91 : \(L=9\), \(U=1\), \(9+4=13\), donc divisible par 13.

Réflexe pour choisir vite.

  • 2 / 5 / 10 : regarde le dernier chiffre.
  • 4 : regarde les 2 derniers chiffres.
  • 8 : regarde les 3 derniers chiffres.
  • 3 / 9 : somme des chiffres.
  • 6 : combine 2 et 3.
  • 11 : somme alternée.

Les critères basés sur les derniers chiffres (2, 4, 5, 8, 10)

Ces critères sont les plus visuels : il suffit de regarder la « queue » du nombre. Ils sont particulièrement utiles pour décomposer un nombre en facteurs premiers rapidement.

Divisibilité par 2, 5 et 10

Ce sont les bases absolues :

  • Par 2 : Le chiffre des unités est \(0, 2, 4, 6\) ou \(8\).
  • Par 5 : Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
  • Par 10 : Le chiffre des unités est \(0\).

Divisibilité par 4 et 8

Ici, regarder le dernier chiffre ne suffit pas. Il faut regarder le bloc final.

Le critère de divisibilité par 4 s’applique si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. Les multiples de 4 à connaître sont : 04, 08, 12, 16, 20, …, 80, 84, 88, 92, 96.

Astuce pour diviser par 4 mentalement :

Un nombre est divisible par 4 si l’on peut le « diviser par 2 » deux fois de suite sans tomber sur une virgule.

Exemple : \(316 \rightarrow 158 \rightarrow 79\). C’est un entier, donc 316 est divisible par 4.

Le critère de divisibilité par 8 suit la même logique, mais sur les trois derniers chiffres. Par exemple, pour \(3\,160\), on regarde \(160\). Comme \(160 = 8 \times 20\), alors \(3\,160\) est divisible par 8.

Les critères basés sur la somme des chiffres (3 et 9)

Ces règles ne dépendent pas de la position des chiffres, mais de leur valeur cumulée.

  • Critère de divisibilité par 3 : On additionne tous les chiffres. Si le résultat est dans la table de 3, le nombre de départ l’est aussi.
  • Critère de divisibilité par 9 : On additionne tous les chiffres. Si le résultat est un multiple de 9, c’est gagné.

Exemple : le nombre 9 126

Somme des chiffres : \(9 + 1 + 2 + 6 = 18\).

\(18\) est divisible par 3 (car \(3 \times 6\)) et par 9 (car \(9 \times 2\)).

Donc \(9\,126\) est divisible par 3 et par 9.

Attention à la généralisation hâtive !

Cette règle de la « somme des chiffres » ne fonctionne QUE pour 3 et 9.

Elle ne fonctionne pas pour 4, 7 ou 11.

Par exemple, pour \(25\) : \(2+5=7\). Pourtant, 25 n’est pas divisible par 7.

Les cas particuliers et avancés (7 et 11)

Comment savoir si un nombre est divisible par 7 ou 11 sans calculatrice ? Ces critères sont moins enseignés, mais redoutablement efficaces en concours.

Le critère de divisibilité par 7 (méthode sans division)

La règle du 7 est une méthode itérative :

  1. Prenez le nombre sans son chiffre des unités (on le « tronque »).
  2. Soustrayez 2 fois le chiffre des unités que vous avez enlevé.
  3. Si le résultat est un multiple de 7 (comme 7, 14, −7, 0…), alors le nombre de départ l’est aussi.

Testons si 112 est divisible par 7 :

  1. On sépare le dernier chiffre (2) du reste (11).
  2. Calcul : \(11 – (2 \times 2) = 11 – 4 = 7\).
  3. 7 est bien un multiple de 7.

Conclusion : 112 est divisible par 7.

Divisibilité par 11 : règle de la somme alternée

On numérote les chiffres du nombre en partant de la droite (unités, dizaines, centaines, …). On fait :

  • la somme des chiffres en positions « impaires » (unités, centaines, …)
  • la somme des chiffres en positions « paires » (dizaines, milliers, …)

Le nombre est divisible par 11 si la différence de ces deux sommes est divisible par 11 (ou vaut 0).

Exemple. 27 214 : \((2+2+4)-(7+1)=0\), donc 27 214 est divisible par 11.

Critères pour les nombres composés (6, 12, 15…)

Pour qu’un nombre soit divisible par un nombre composé \(N = a \times b\) (où \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux), il doit être divisible par \(a\) ET par \(b\).

  • Divisibilité par 6 : divisible par 2 (pair) ET par 3 (somme des chiffres).
  • Divisibilité par 12 : divisible par 3 ET par 4.
  • Divisibilité par 15 : divisible par 3 ET par 5.

Cette logique de décomposition est très utile pour identifier les nombres premiers ou simplifier des expressions.

Pour aller plus loin : pourquoi ces critères fonctionnent ?

Ces critères ne sont pas magiques : ils reposent sur l’arithmétique modulaire (congruences). En bref, tout s’explique par le fait que \(10 \equiv 1 \pmod{9}\) (ce qui donne le critère par 9) et \(10 \equiv -1 \pmod{11}\) (ce qui donne la somme alternée pour 11).

Si tu es en Première, Terminale ou CPGE et que tu souhaites comprendre pourquoi ces règles fonctionnent, le point de départ est la division euclidienne (pour la notion de reste), puis la divisibilité en général dans le chapitre nombres entiers.

Exercices corrigés sur les critères de divisibilité

Tu veux une banque plus large ? Tu peux aussi consulter :

Consigne. Fais les exercices sans corrigé, puis lis la correction pour vérifier. L’objectif n’est pas de « deviner », mais de développer des réflexes fiables.

Série 1 (niveau 6e) — Réflexes 2 / 3 / 5 / 9 / 10

Exercice 1. Dire si 4 680 est divisible par 2, 3, 5, 9, 10.

▶ Voir la correction (Exercice 1)

Par 2 : oui (dernier chiffre 0). Par 5 : oui (0). Par 10 : oui (0). Somme des chiffres \(4+6+8+0=18\), donc par 3 : oui et par 9 : oui.

Exercice 2. Parmi 125, 240, 307, 900, 1 035 : lesquels sont divisibles par 5 ? par 10 ?

▶ Voir la correction (Exercice 2)

Divisible par 5 si dernier chiffre 0 ou 5 : 125, 240, 900, 1 035. Divisible par 10 si dernier chiffre 0 : 240, 900.

Exercice 3. Trouver le chiffre \(x\) (0 à 9) pour que \(N = 400 + 10x + 2\) soit divisible par 9.

▶ Voir la correction (Exercice 3)

Somme des chiffres : \(4 + x + 2 = 6 + x\). On veut \(6 + x\) divisible par 9, donc \(x = 3\).

Série 2 (intermédiaire) — 4 / 6 / 8 / 11

Exercice 4. Dire si 3 216 est divisible par 4.

▶ Voir la correction (Exercice 4)

On regarde 16 : \(16 = 4 \times 4\). Donc 3 216 est divisible par 4.

Exercice 5. Dire si 9 128 est divisible par 8.

▶ Voir la correction (Exercice 5)

On regarde 128 : \(128 = 8 \times 16\). Donc 9 128 est divisible par 8.

Exercice 6. Dire si 1 734 est divisible par 6.

▶ Voir la correction (Exercice 6)

Pair (4), donc divisible par 2. Somme des chiffres \(1+7+3+4=15\), divisible par 3. Donc divisible par 6.

Exercice 7. Dire si 27 214 est divisible par 11.

▶ Voir la correction (Exercice 7)

Somme alternée : \((2+2+4)-(7+1)=0\), donc divisible par 11.

Série 3 (challenge) — 7 et bonus 13

Exercice 8. Montrer que 112 est divisible par 7 (avec la méthode \(L – 2U\)).

▶ Voir la correction (Exercice 8)

\(L=11\), \(U=2\). \(11 – 2 \times 2 = 7\). Donc 112 est divisible par 7.

Exercice 9. Dire si 2 031 est divisible par 7 (méthode itérative).

▶ Voir la correction (Exercice 9)

\(L=203\), \(U=1\) : \(203 – 2 = 201\). Puis \(L=20\), \(U=1\) : \(20 – 2 = 18\). 18 n’est pas divisible par 7, donc 2 031 n’est pas divisible par 7.

Exercice 10. Dire si 91 est divisible par 13 (bonus \(L + 4U\)).

▶ Voir la correction (Exercice 10)

\(L=9\), \(U=1\) : \(9+4=13\), donc 91 est divisible par 13.

Exercice 11. Un lot de 1 512 bonbons est-il divisible en paquets de 8 sans reste ?

▶ Voir la correction (Exercice 11)

On regarde les 3 derniers chiffres : 512. Comme \(512 = 8 \times 64\), oui (1 512 est divisible par 8).

Astuce « premium » (pour gagner du temps). Quand tu hésites, commence par les critères les plus rapides (2/5/10, puis 4/8, puis 3/9). Ensuite seulement, passe à 6, 11, 7.

FAQ — Critères de divisibilité


Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 ?

Par 2 : dernier chiffre pair. Par 3 : somme des chiffres divisible par 3. Par 4 : 2 derniers chiffres divisibles par 4. Par 5 : dernier chiffre 0 ou 5. Par 9 : somme des chiffres divisible par 9. Par 10 : dernier chiffre 0.

Comment savoir si un nombre est divisible par 7 ?

On utilise la méthode \(L – 2U\) : on sépare le dernier chiffre \(U\) du reste \(L\), puis on calcule \(L – 2U\). Si le résultat est divisible par 7, le nombre de départ l’est aussi. On peut répéter l’opération si le résultat est encore grand.

Comment savoir si un nombre est divisible par 11 ?

On calcule la somme alternée des chiffres (en partant de la droite : somme des positions impaires − somme des positions paires). Si la différence est divisible par 11 (ou vaut 0), alors le nombre est divisible par 11.

Est-ce que la règle de la somme des chiffres marche pour tous les nombres ?

Non. La règle de la somme des chiffres ne fonctionne que pour les critères de divisibilité par 3 et par 9. Elle ne s’applique pas à 4, 7, 8 ou 11 — chacun a son propre critère.

Quelle différence entre diviseur, multiple et divisible ?

Dire que \(d\) est un diviseur de \(n\), c’est dire que \(n\) est un multiple de \(d\). Dans les deux cas : \(d \mid n\) (il existe un entier \(k\) tel que \(n = dk\)). Pour approfondir : nombres entiers.

Comment savoir si un nombre est divisible par 6 ?

Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 (dernier chiffre pair) et par 3 (somme des chiffres divisible par 3). Par exemple, 1 734 : dernier chiffre 4 (pair) et \(1+7+3+4=15\) (divisible par 3), donc 1 734 est divisible par 6.

Comment retenir facilement les critères de divisibilité ?

Classe-les en trois familles : (1) derniers chiffres pour 2, 4, 5, 8 et 10, (2) somme des chiffres pour 3 et 9, (3) somme alternée pour 11. Pour 6, combine les critères par 2 et par 3. Pour 7, retiens la formule \(L – 2U\). Entraîne-toi avec les exercices sur les nombres entiers.


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