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Inverser une matrice 2×2, c’est l’un des gestes calculatoires les plus fréquents en CPGE : résolution de systèmes de Cramer, calcul de matrices de passage, étude de suites récurrentes matricielles, polynômes de matrices. Bonne nouvelle : il existe une formule directe, rapide et infaillible — à condition de ne pas confondre les étapes. Voici la formule, la méthode en 4 étapes, et tout ce qu’il faut pour ne jamais se tromper, que tu sois en Terminale Maths Expertes ou en classe préparatoire.
I. La formule d’inversion d’une matrice 2×2
A. Formule fondamentale
En dimension 2, il n’est pas nécessaire de passer par la méthode de Gauss-Jordan : une formule explicite donne directement l’inverse à partir des quatre coefficients de la matrice. Cette formule repose sur deux ingrédients : la matrice adjointe (permutation diagonale + changement de signe anti-diagonal) et le déterminant, qui contrôle l’existence de l’inverse.
C’est le résultat central de cette page. Toute la suite en découle.
Théorème — Inverse d’une matrice 2×2
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) avec \(\det(A) = ad – bc \neq 0\).
Alors \(A\) est inversible, et :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad – bc}\,\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
La structure de cette formule est remarquablement simple : on échange les coefficients diagonaux \(a\) et \(d\), on change le signe des coefficients anti-diagonaux \(b\) et \(c\), puis on divise le tout par le déterminant \(ad – bc\).
Mnémonique : « Échange · Signe · Déterminant »
- Échange les coefficients diagonaux (\(a \leftrightarrow d\))
- Change le signe des coefficients anti-diagonaux (\(b \to -b\), \(c \to -c\))
- Divise tout par le déterminant \(ad – bc\)
B. Démonstration ⋆ 🟠 Prépa
Cette preuve est exigible aux concours. Elle consiste simplement à vérifier que le produit \(A \times B\) donne \(I_2\), où \(B\) est la matrice proposée.
Posons \(\Delta = ad – bc \neq 0\) et :
\(B = \displaystyle\frac{1}{\Delta}\,\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Calculons \(A \times B\) :
\(A \times B = \displaystyle\frac{1}{\Delta}\,\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
On développe chaque coefficient du produit matriciel :
- Coefficient \((1,1)\) : \(a \cdot d + b \cdot (-c) = ad – bc = \Delta\)
- Coefficient \((1,2)\) : \(a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0\)
- Coefficient \((2,1)\) : \(c \cdot d + d \cdot (-c) = cd – cd = 0\)
- Coefficient \((2,2)\) : \(c \cdot (-b) + d \cdot a = -bc + ad = \Delta\)
D’où :
\(A \times B = \displaystyle\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} \Delta & 0 \\ 0 & \Delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2\)
On vérifie de même que \(B \times A = I_2\) (calcul analogue), ce qui prouve que \(B = A^{-1}\). ∎
Raccourci en dimension finie. Pour les matrices carrées, il suffit de vérifier un seul côté : si \(AB = I_n\), alors automatiquement \(BA = I_n\). Ce résultat repose sur le théorème du rang en dimension finie. En pratique aux concours, vérifie un seul produit — mais mentionne le résultat.
C. Rôle du déterminant et condition d’inversibilité
Le déterminant \(\det(A) = ad – bc\) est le gardien de l’inversibilité :
| Condition | Conséquence | Interprétation |
|---|---|---|
| \(\det(A) \neq 0\) | \(A\) inversible, formule applicable | \(\ker(A) = \{0\}\), \(A\) est bijective |
| \(\det(A) = 0\) | \(A\) non inversible (singulière) | \(\ker(A) \neq \{0\}\), \(A\) n’est pas injective |
Interprétation géométrique (élément inédit). Une matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) représente une application linéaire de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\). Le déterminant \(\det(A)\) mesure le facteur de dilatation des aires : le carré unité est transformé en un parallélogramme d’aire \(|\det(A)|\). Si \(\det(A) = 0\), l’image du plan s’écrase sur une droite (ou un point) — la transformation « perd une dimension », et il n’existe pas de transformation inverse.
Ce lien entre déterminant et géométrie explique aussi pourquoi les matrices de rotation sont toujours inversibles : elles conservent les aires (\(\det = 1\)). Nous le vérifierons dans l’exemple 5.
II. Quand utiliser la formule directe 2×2 ?
Plusieurs méthodes permettent d’inverser une matrice. Le tableau ci-dessous te permet de choisir la bonne technique selon la situation — essentiel pour ne pas perdre de temps en DS.
| Méthode | Taille optimale | Rapidité pour du 2×2 | Quand la choisir |
|---|---|---|---|
| Formule directe 2×2 | 2×2 uniquement | ★★★★★ | Toujours pour une matrice 2×2 — c’est la méthode |
| Gauss-Jordan \((A \mid I) \to (I \mid A^{-1})\) | \(n \times n\), \(n \geq 3\) | ★★☆☆☆ | Matrices numériques de taille \(\geq 3\) (voir la fiche 3×3) |
| Comatrice \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det A}\,{}^t\!\mathrm{Com}(A)\) | \(n \times n\), \(n \leq 4\) | ★★★★★ (= formule directe) | Matrices avec paramètre (formule littérale fermée) |
| Cayley-Hamilton | \(n \times n\) | ★★★☆☆ | Quand le polynôme caractéristique est connu |
Observation clé. Pour une matrice 2×2, la formule directe et la méthode de la comatrice donnent exactement le même résultat. La formule que tu apprends ici est la formule de la comatrice spécialisée en dimension 2. Elle prend tout son intérêt car la comatrice d’une matrice 2×2 est triviale à écrire (pas de calcul de mineurs). Pour \(n \geq 3\), la comatrice devient plus lourde — on préfère alors Gauss-Jordan.
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III. Méthode pas à pas en 4 étapes
Voici la procédure à appliquer systématiquement. On l’illustre sur \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\).
Étape 1 — Calculer le déterminant
On calcule \(\det(A) = ad – bc\).
Sur l’exemple : \(\det(A) = 5 \times 1 – 2 \times 3 = 5 – 6 = -1\).
À écrire sur la copie
« On calcule \(\det(A) = ad – bc = \ldots\) »
Étape 2 — Vérifier l’inversibilité
Si \(\det(A) = 0\) : STOP. La matrice n’est pas inversible. Conclure.
Si \(\det(A) \neq 0\) : passer à l’étape 3.
Sur l’exemple : \(\det(A) = -1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
À écrire sur la copie
« Or \(\det(A) = -1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible. »
Piège classique en DS. Ne saute jamais cette étape, même si tu « vois » que la matrice est inversible. Un correcteur attend la phrase « \(\det(A) \neq 0\) donc \(A\) est inversible » avant toute application de la formule. L’oublier peut coûter 1 point.
Étape 3 — Former la matrice adjointe
À partir de \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), on forme :
\(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Concrètement : on permute \(a\) et \(d\) (diagonale), on oppose \(b\) et \(c\) (anti-diagonale).
Sur l’exemple : \(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}\).
Attention ! Les coefficients diagonaux \(a\) et \(d\) changent de place mais pas de signe. Seuls les coefficients anti-diagonaux \(b\) et \(c\) changent de signe. C’est l’erreur n°1 (voir section V).
Étape 4 — Multiplier par \(\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\)
On obtient l’inverse :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \times \mathrm{adj}(A)\)
Sur l’exemple :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}\)
À écrire sur la copie
« D’après la formule d’inversion d’une matrice 2×2 :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}\) »
Vérification : on contrôle \(A \times A^{-1}\) :
\(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5+6 & 10-10 \\ -3+3 & 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \quad \text{✓}\)
IV. Exemples résolus
Cinq exemples classés par difficulté croissante, du lycée au concours.
Exemple 1 — Inverse à coefficients entiers 🔵 Lycée
Énoncé. Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\).
Solution.
1. \(\det(A) = 3 \times 2 – 1 \times 5 = 6 – 5 = 1\).
2. \(\det(A) = 1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
3-4. \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\).
Vérification : \(A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 6-5 & -3+3 \\ 10-10 & -5+6 \end{pmatrix} = I_2\) ✓
Cas particulier agréable. Quand \(\det(A) = 1\) (ou \(-1\)), l’inverse a des coefficients entiers si \(A\) a des coefficients entiers. C’est le cas ici — pas de fractions !
Exemple 2 — Inverse avec fractions 🔵 Lycée
Énoncé. Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\).
Solution.
1. \(\det(A) = 4 \times 5 – 6 \times 3 = 20 – 18 = 2\).
2. \(\det(A) = 2 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
3-4. \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{5}{2} & -3 \\[6pt] -\displaystyle\frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}\).
Conseil : en prépa, on peut laisser le résultat sous forme factorisée \(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\) — c’est souvent plus lisible que de distribuer le \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Exemple 3 — Matrice dépendant d’un paramètre 🟠 Prépa
Énoncé. Soit \(A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix}\) avec \(a \in \mathbb{R}\). Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(A(a)\) est inversible, puis calculer \(A(a)^{-1}\).
Solution.
1. \(\det(A(a)) = 1 \times 1 – a \times a = 1 – a^2 = (1-a)(1+a)\).
2. \(\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = 1\) ou \(a = -1\).
Donc \(A(a)\) est inversible si et seulement si \(a \notin \{-1, 1\}\).
3-4. Pour \(a \neq \pm 1\) :
\(A(a)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{1 – a^2}\begin{pmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{pmatrix}\)
Remarque : \(A(a)^{-1}\) a la même structure que \(A(a)\) — c’est une matrice symétrique dont les termes diagonaux sont égaux. Ce n’est pas un hasard : l’ensemble des matrices de cette forme est stable par inversion (exercice !).
Exemple 4 — Coefficients complexes 🟠 Prépa
Énoncé. Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 1+i & 2 \\ 0 & 1-i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).
Solution.
1. \(\det(A) = (1+i)(1-i) – 2 \times 0 = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2\).
2. \(\det(A) = 2 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
3-4. \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-i & -2 \\ 0 & 1+i \end{pmatrix}\).
Observation : ici, \(A\) est triangulaire supérieure. Son inverse l’est aussi — c’est un résultat général. Le déterminant est le produit des termes diagonaux : \((1+i)(1-i) = 2\).
Exemple 5 — Matrice de rotation 🔴 Concours
Énoncé. Soit \(R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\). Calculer \(R(\theta)^{-1}\) et interpréter le résultat géométriquement.
Solution.
1. \(\det(R(\theta)) = \cos^2\theta – (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).
2. \(\det(R(\theta)) = 1 \neq 0\) : la matrice de rotation est toujours inversible, quel que soit \(\theta\).
3-4. \(R(\theta)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{1}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = R(-\theta)\).
Interprétation géométrique :
- \(R(\theta)\) est la rotation d’angle \(\theta\) autour de l’origine.
- Son inverse est la rotation d’angle \(-\theta\) — ce qui est naturel : « tourner à l’envers » annule la rotation.
- On remarque aussi : \(R(\theta)^{-1} = R(\theta)^T\) (la transposée). Cela signifie que \(R(\theta)\) est une matrice orthogonale.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les 4 erreurs que je vois le plus souvent en copie. Si tu en reconnais une, c’est le moment de la corriger définitivement.
Erreur 1 — Changer le signe des mauvais coefficients
❌ Copie fautive
« Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\). On a \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}\). »
Diagnostic : L’élève a changé le signe de tous les coefficients, y compris les diagonaux. Or seuls les coefficients anti-diagonaux changent de signe ; les diagonaux changent de place.
✅ Correction : \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\). On permute \(3 \leftrightarrow 2\) et on oppose \(1 \to -1\), \(5 \to -5\).
Erreur 2 — Oublier le facteur \(\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\)
❌ Copie fautive
« \(A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\), donc \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\). »
Diagnostic : L’élève a correctement formé la matrice adjointe… mais a oublié de diviser par \(\det(A) = 2\). Le résultat est \(\mathrm{adj}(A)\), pas \(A^{-1}\).
✅ Correction : \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\).
Test rapide : si ta matrice « inverse » n’a que des coefficients entiers alors que \(\det(A) \neq \pm 1\), c’est suspect.
Erreur 3 — Appliquer la formule quand \(\det(A) = 0\)
❌ Copie fautive
« Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). On a \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{0}\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)… »
Diagnostic : \(\det(A) = 4 – 4 = 0\). La matrice n’est pas inversible. Écrire \(\displaystyle\frac{1}{0}\) est une faute grave.
✅ Correction : « On calcule \(\det(A) = 4 – 4 = 0\). Donc \(A\) n’est pas inversible. » Point final. Pas de formule.
Erreur 4 — Permuter les coefficients anti-diagonaux au lieu des diagonaux
❌ Copie fautive
« \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\), donc \(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\). »
Diagnostic : L’élève a permuté \(b \leftrightarrow c\) (anti-diagonale) au lieu de \(a \leftrightarrow d\) (diagonale), et a opposé les mauvais coefficients.
✅ Correction : On permute la diagonale (\(3 \leftrightarrow 2\)) et on oppose l’anti-diagonale (\(1 \to -1\), \(5 \to -5\)) : \(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\).
VI. Exercices d’application
Cinq exercices classés par difficulté croissante, des applications directes aux raisonnements type concours. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★
Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\).
Voir la correction
Étape 1. \(\det(A) = 2 \times 4 – 3 \times 1 = 8 – 3 = 5\).
Étape 2. \(\det(A) = 5 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
Étapes 3-4.
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)
Vérification : \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\!\cdot\!\displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = I_2\) ✓
Exercice 2 ★
Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}\).
Voir la correction
Étape 1. \(\det(A) = (-1)(-5) – 2 \times 3 = 5 – 6 = -1\).
Étape 2. \(\det(A) = -1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
Étapes 3-4.
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\)
Remarque : lorsque \(\det(A) = -1\), la multiplication par \(\displaystyle\frac{1}{-1}\) revient à changer le signe de chaque coefficient de l’adjointe. Ici, les signes négatifs se simplifient : l’inverse a des coefficients positifs.
Exercice 3 ★★
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 4 & \lambda \end{pmatrix}\).
- Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la matrice \(A\) est-elle inversible ?
- Calculer \(A^{-1}\) en fonction de \(\lambda\) lorsque c’est possible.
Voir la correction
1. \(\det(A) = \lambda \cdot \lambda – 1 \cdot 4 = \lambda^2 – 4 = (\lambda – 2)(\lambda + 2)\).
\(\det(A) = 0 \Leftrightarrow \lambda = 2\) ou \(\lambda = -2\).
Donc \(A\) est inversible si et seulement si \(\lambda \notin \{-2,\, 2\}\).
2. Pour \(\lambda \neq \pm 2\) :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\lambda^2 – 4}\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -4 & \lambda \end{pmatrix}\)
Remarque : on observe que \(A^{-1}\) a la même forme que \(A\) (coefficients diagonaux égaux, coefficients anti-diagonaux fixés). Ce type d’observation est valorisé en copie de concours.
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Formule, mnémonique, 4 étapes et les 4 erreurs à éviter — tout sur un recto-verso prêt à imprimer.
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Exercice 4 ★★
Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^2 = 3A – 2I_2\). Montrer que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et \(I_2\).
Voir la correction
On part de la relation \(A^2 = 3A – 2I_2\) et on la réarrange :
\(A^2 – 3A + 2I_2 = 0\)
Soit :
\(A(A – 3I_2) = -2I_2\)
D’où :
\(A \times \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)(A – 3I_2) = I_2\)
Cela montre que \(A\) est inversible, et :
\(A^{-1} = -\displaystyle\frac{1}{2}(A – 3I_2) = \displaystyle\frac{3}{2}I_2 – \displaystyle\frac{1}{2}A = \displaystyle\frac{1}{2}(3I_2 – A)\)
Méthode à retenir : lorsqu’une matrice satisfait une relation polynomiale \(P(A) = 0\), on peut souvent en déduire une expression de \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\). C’est la technique du polynôme annulateur, omniprésente en CPGE.
Exercice 5 ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = A\) (matrice idempotente).
- Montrer que \(\det(A) \in \{0,\, 1\}\).
- En déduire : si \(A\) est inversible, alors \(A = I_2\).
Voir la correction
1. On a \(A^2 = A\). En passant au déterminant :
\(\det(A^2) = \det(A) \quad \Rightarrow \quad (\det A)^2 = \det A\)
Donc \(\det(A)\bigl(\det(A) – 1\bigr) = 0\), ce qui donne \(\det(A) \in \{0,\, 1\}\).
2. Si \(A\) est inversible, alors \(\det(A) \neq 0\), donc \(\det(A) = 1\). On peut alors multiplier la relation \(A^2 = A\) par \(A^{-1}\) à droite :
\(A^2 \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1} \quad \Rightarrow \quad A = I_2\)
Conclusion : la seule matrice 2×2 qui est à la fois idempotente et inversible est \(I_2\).
Remarque pour les concours : ce résultat est vrai en dimension quelconque. La preuve est identique (pas besoin de la formule d’inversion 2×2 ici — le raisonnement est purement algébrique).
VII. Rédaction concours — ce que le correcteur attend 🟠 Prépa
L’inversion d’une matrice 2×2 paraît simple… mais c’est souvent sur les « petits » calculs que les points se perdent. Voici les attentes explicites des correcteurs.
Modèle de rédaction — Inversion d’une matrice 2×2
« On calcule \(\det(A) = ad – bc = \ldots \neq 0\), donc \(A\) est inversible.
D’après la formule d’inversion d’une matrice 2×2 :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \ldots\)
On vérifie : \(AA^{-1} = I_2\). » (au moins une fois dans le problème)
Les 5 règles d’or :
- Toujours écrire le déterminant avant la formule. Phrase type : « \(\det(A) = \ldots \neq 0\), donc \(A\) est inversible. » Un correcteur qui ne voit pas cette phrase avant la formule retire des points.
- Si la matrice dépend d’un paramètre, discuter les cas. Phrase type : « Le déterminant s’annule si et seulement si \(\lambda = \ldots\). Pour \(\lambda \neq \ldots\), \(A(\lambda)\) est inversible et \(A(\lambda)^{-1} = \ldots\) »
- Vérifier \(AA^{-1} = I_2\) au moins une fois dans le problème (pas nécessairement à chaque inversion si tu en fais plusieurs).
- Ne pas « sortir » la formule sans contexte. Si l’énoncé ne l’a pas démontrée et que tu l’utilises pour la première fois, écris : « D’après la formule d’inversion d’une matrice 2×2… » — cela suffit.
- Factoriser plutôt que distribuer. Écrire \(\displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) est préférable à \(\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{4}{5} & -\displaystyle\frac{3}{5} \\ -\displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{2}{5} \end{pmatrix}\) — moins de fractions, moins d’erreurs de recopie.
VIII. Questions fréquentes
Comment inverser une matrice 2×2 ?
Pour inverser une matrice \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) : (1) calcule le déterminant \(\det(A) = ad – bc\) ; (2) vérifie que \(\det(A) \neq 0\) ; (3) échange \(a\) et \(d\), oppose \(b\) et \(c\) pour former l’adjointe ; (4) divise par \(\det(A)\). Le résultat est \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
Comment calculer le déterminant d'une matrice 2×2 ?
Pour \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), le déterminant vaut \(\det(A) = ad – bc\) : on multiplie les termes de la diagonale principale (\(a \times d\)) et on soustrait le produit de l’anti-diagonale (\(b \times c\)). C’est la formule la plus simple de toute l’algèbre linéaire. Pour les matrices de taille supérieure, consulte notre page sur le déterminant d’une matrice.
Quelle est la différence entre la formule directe 2×2 et la méthode de Gauss-Jordan ?
La formule directe donne le résultat en une seule expression algébrique — idéale pour les matrices 2×2, surtout avec des paramètres. La méthode de Gauss-Jordan consiste à augmenter la matrice \((A \mid I_n)\) et à effectuer des opérations élémentaires sur les lignes jusqu’à obtenir \((I_n \mid A^{-1})\). Elle est universelle (toute taille), mais plus lourde pour du 2×2. Règle simple : formule directe pour 2×2, Gauss-Jordan pour 3×3 et au-delà.
Que se passe-t-il si le déterminant d'une matrice 2×2 est nul ?
Si \(\det(A) = 0\), la matrice n’est pas inversible (on dit qu’elle est singulière). Géométriquement, l’application linéaire associée « écrase » le plan sur une droite (ou un point) — il est impossible de revenir en arrière. L’inverse n’existe pas. On conclut simplement : « \(\det(A) = 0\), donc \(A\) n’est pas inversible. » Pour en savoir plus, consulte la page matrice inversible : critères et propriétés.
Comment vérifier que l'inverse d'une matrice 2×2 est correcte ?
Le test est simple : calcule le produit \(A \times A^{-1}\). Si tu obtiens \(I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), l’inverse est correcte. En pratique, cela revient à 4 petits calculs (un par coefficient). Si l’un des coefficients hors diagonale n’est pas \(0\) ou un coefficient diagonal n’est pas \(1\), il y a une erreur. Cette vérification prend 30 secondes et peut sauver des points en DS.
Calculateur : inverse d’une matrice 2×2
Saisis les 4 coefficients, le calculateur applique la formule directe et affiche le détail du calcul du déterminant ad − bc, puis l’inverse. Idéal pour vérifier rapidement une matrice 2×2 avant un DS.
Matrice A :Cet outil sert à vérifier tes calculs. En examen et aux concours, aucune calculatrice matricielle n’est autorisée — connaître la formule (1/(ad−bc))·[[d,−b],[−c,a]] par cœur reste indispensable.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inversion d’une matrice 2×2. Voici les prolongements naturels :
- Passer à la dimension 3 : Inverse d’une matrice 3×3 — méthode pas à pas (Gauss-Jordan et comatrice côte à côte)
- Comprendre le cadre théorique : Inverse d’une matrice — cours complet (méthodes générales, propriétés de l’inversion)
- Maîtriser les critères d’inversibilité : Matrice inversible — définition, critères et déterminant
- Approfondir le déterminant : Déterminant d’une matrice — calcul, propriétés et applications
- S’entraîner davantage : Exercices corrigés sur les matrices (exercices transversaux et sujets type concours)
