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La matrice adjointe — transposée de la comatrice — intervient dans l’une des formules les plus élégantes de l’algèbre linéaire : \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\). Au-delà de cette formule d’inversion, elle révèle des liens profonds entre déterminant, rang et inversibilité. Ce cours couvre définition rigoureuse, propriétés démontrées, méthode de calcul et exercices corrigés pour les CPGE scientifiques.
I. Rappels — Mineurs et cofacteurs
La construction de la matrice adjointe repose entièrement sur les notions de mineur et de cofacteur. Ce paragraphe fixe les définitions et les notations utilisées dans la suite.
A. Mineur d’un coefficient
Définition — Mineur
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\). Le mineur \(M_{ij}\) du coefficient \(a_{ij}\) est le déterminant de la matrice \((n-1) \times (n-1)\) obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\).
Exemple. Pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), le mineur \(M_{12}\) s’obtient en supprimant la ligne 1 et la colonne 2 :
\(M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \times 1 – 2 \times 1 = -2\)
B. Cofacteur
Définition — Cofacteur
Le cofacteur du coefficient \(a_{ij}\) est le réel (ou scalaire) :
\(C_{ij} = (-1)^{i+j} \, M_{ij}\)
Le facteur \((-1)^{i+j}\) produit une alternance de signes selon la position dans la matrice.
Pour une matrice \(3 \times 3\), la grille des signes \((-1)^{i+j}\) est :
\(\begin{pmatrix} + & – & + \\ – & + & – \\ + & – & + \end{pmatrix}\)Le lien entre cofacteurs et déterminant est au cœur de tout ce qui suit : le développement par cofacteurs le long de la ligne \(i\) donne
\(\det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, C_{ik}\)Cette formule est démontrée dans le cours sur le déterminant d’une matrice.
Propriété clé (développement étranger). Si l’on remplace les coefficients de la ligne \(i\) par ceux d’une autre ligne \(j \neq i\), on développe le déterminant d’une matrice ayant deux lignes identiques. Ce déterminant vaut zéro :
\(\forall\, i \neq j, \quad \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, C_{jk} = 0\)
Ce résultat, appelé développement étranger, est le ressort de la démonstration de la relation fondamentale (section III).
II. Définition de la matrice adjointe
La matrice adjointe se construit en deux étapes : on forme d’abord la comatrice (matrice des cofacteurs), puis on la transpose.
A. Comatrice
Définition — Comatrice
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). La comatrice de \(A\), notée \(\mathrm{Com}(A)\), est la matrice dont le coefficient en position \((i,j)\) est le cofacteur \(C_{ij}\) :
\(\mathrm{Com}(A) = \big(C_{ij}\big)_{1 \leq i,j \leq n}\)
B. Définition formelle — Matrice adjointe
Définition — Matrice adjointe (ou adjugée)
La matrice adjointe de \(A\), notée \(\mathrm{adj}(A)\), est la transposée de la comatrice :
\(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top\)
Autrement dit, le coefficient en position \((i,j)\) de \(\mathrm{adj}(A)\) est le cofacteur \(C_{ji}\) (indices inversés) :
\(\big[\mathrm{adj}(A)\big]_{ij} = C_{ji} = (-1)^{j+i} \, M_{ji}\)
Attention — Transposition. L’adjointe n’est pas la comatrice : c’est sa transposée. Oublier cette transposition est l’erreur la plus fréquente en DS. Le coefficient en position \((i,j)\) de \(\mathrm{adj}(A)\) est le cofacteur de \(a_{ji}\), pas de \(a_{ij}\).
Attention — Ambiguïté terminologique. En français, « matrice adjointe » désigne deux objets distincts selon le contexte :
- Contexte déterminants/inversion : la transposée de la comatrice, notée \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top\). C’est le sujet de cette page.
- Contexte formes sesquilinéaires : la conjuguée transposée \(A^* = \overline{A}^\top\), parfois appelée « matrice adjointe hermitienne ».
En CPGE, le contexte lève toujours l’ambiguïté. Dans le chapitre sur les déterminants et l’inversion, il s’agit toujours de l’adjugée \(\mathrm{Com}(A)^\top\).
C. Cas de la dimension 2
Pour une matrice \(2 \times 2\), la formule est particulièrement simple et mérite d’être connue par cœur.
Formule — Adjointe d’une matrice 2×2
Si \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), alors :
\(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
On échange les éléments diagonaux et on change le signe des éléments anti-diagonaux.
Formule remarquable via Cayley-Hamilton. Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{tr}(A) \cdot I_2 – A\)
Cette formule permet de calculer l’adjointe sans calculer aucun cofacteur. Elle se déduit du théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique de \(A\) en dimension 2 est \(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A) \, X + \det(A)\), et \(\chi_A(A) = 0\) donne \(A^2 – \mathrm{tr}(A) \, A + \det(A) \, I_2 = 0\), soit \(A \cdot (\mathrm{tr}(A) \, I_2 – A) = \det(A) \, I_2\). En comparant avec \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \, I_2\), on identifie \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{tr}(A) \, I_2 – A\).
Vérification rapide. Pour \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), on a \(\mathrm{tr}(A) = a + d\) et :
\(\mathrm{tr}(A) \cdot I_2 – A = (a+d)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \mathrm{adj}(A) \quad \text{✓}\)Fiche de synthèse — Matrice adjointe
Toutes les formules, propriétés et la méthode d’inversion sur une seule page recto-verso à glisser dans ton classeur.
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D. Exemple complet en dimension 3
Calculons l’adjointe de la matrice suivante en détaillant chaque étape :
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)Étape 1 — Calcul des 9 cofacteurs.
\(C_{11} = (+1) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\) , \(C_{12} = (-1) \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\) , \(C_{13} = (+1) \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\)
\(C_{21} = (-1) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\) , \(C_{22} = (+1) \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1\) , \(C_{23} = (-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\)
\(C_{31} = (+1) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 5\) , \(C_{32} = (-1) \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4\) , \(C_{33} = (+1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2\)
Étape 2 — Comatrice.
\(\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 5 & -4 & -2 \end{pmatrix}\)
Étape 3 — Transposition.
\(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\)
On peut vérifier rapidement : \(\det(A) = 2(-1) – 1(-2) + 3(1) = 3\), et le produit \(A \cdot \mathrm{adj}(A)\) donne bien \(3 \, I_3\) (vérification laissée en exercice 3).
III. La relation fondamentale \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\)
C’est le théorème central de ce cours. Toutes les propriétés et applications de la matrice adjointe en découlent.
A. Énoncé du théorème
Théorème — Relation fondamentale ⋆ (exigible)
Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \mathrm{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n\)
Cette égalité est valable que \(A\) soit inversible ou non.
B. Démonstration ⋆
Démonstration de \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\).
Notons \(P = A \cdot \mathrm{adj}(A)\). Le coefficient en position \((i,j)\) de \(P\) est :
\(P_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, [\mathrm{adj}(A)]_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, C_{jk}\)où \(C_{jk}\) est le cofacteur de \(a_{jk}\) dans \(A\).
Cas \(i = j\) : \(P_{ii} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, C_{ik} = \det(A)\) par développement du déterminant le long de la ligne \(i\).
Cas \(i \neq j\) : \(P_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, C_{jk}\). Cette somme correspond au développement par cofacteurs d’une matrice \(B\) identique à \(A\) sauf que sa ligne \(j\) a été remplacée par la ligne \(i\) de \(A\). La matrice \(B\) possède deux lignes identiques (les lignes \(i\) et \(j\)), donc \(\det(B) = 0\).
On a donc \(P_{ij} = \delta_{ij} \cdot \det(A)\), ce qui donne \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\).
La preuve de \(\mathrm{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n\) est analogue en utilisant le développement par colonnes. ∎
C. Formule d’inversion
Corollaire — Formule d’inversion par l’adjointe
Si \(\det(A) \neq 0\), alors \(A\) est inversible et :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\)
Démonstration. Immédiate : si \(\det(A) \neq 0\), on divise la relation fondamentale par \(\det(A)\) et on obtient \(A \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\right) = I_n\), ce qui signifie que \(\displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\) est l’inverse de \(A\). ∎
Cette formule est fondamentale en théorie (elle prouve que l’inversibilité équivaut à \(\det(A) \neq 0\)) et utile en pratique pour les matrices de petite taille ou dépendant de paramètres.
IV. Propriétés algébriques de la matrice adjointe
Cette section rassemble les propriétés essentielles de la matrice adjointe. Chaque résultat est démontré — les preuves marquées ⋆ sont exigibles aux concours.
A. Déterminant de la matrice adjointe
Proposition. Pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\) :
\(\det\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \big(\det(A)\big)^{n-1}\)
Démonstration. De \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\), on prend le déterminant des deux membres :
\(\det(A) \cdot \det\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \big(\det(A)\big)^n\)Si \(\det(A) \neq 0\), on simplifie par \(\det(A)\) et on obtient le résultat.
Si \(\det(A) = 0\), il suffit de montrer que \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\). Deux cas se présentent : si \(\mathrm{rg}(A) \leq n – 2\), on a \(\mathrm{adj}(A) = 0_n\) (voir propriété E ci-dessous), donc \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\) ; si \(\mathrm{rg}(A) = n – 1\), on a \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\) (voir propriété E), donc \(\mathrm{adj}(A)\) n’est pas inversible et \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\). ∎
B. Adjointe d’un produit
Proposition. Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B) \cdot \mathrm{adj}(A)\)
L’ordre est inversé, comme pour l’inverse d’un produit.
Démonstration (cas inversible). Si \(A\) et \(B\) sont inversibles :
\(\mathrm{adj}(AB) = \det(AB) \cdot (AB)^{-1} = \det(A) \det(B) \cdot B^{-1} A^{-1}\) \(\mathrm{adj}(B) \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(B) B^{-1} \cdot \det(A) A^{-1} = \det(A)\det(B) \cdot B^{-1}A^{-1}\)Le résultat s’étend à toutes les matrices par densité des matrices inversibles dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). ∎
Piège classique. L’inversion de l’ordre est systématiquement oubliée en DS. Retiens l’analogie avec l’inverse : \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\), et de même \(\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B) \cdot \mathrm{adj}(A)\). C’est le dernier facteur qui passe en premier.
C. Adjointe de la transposée
Proposition. Pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{adj}(A^\top) = \big(\mathrm{adj}(A)\big)^\top\)
Démonstration (cas inversible). \(\mathrm{adj}(A^\top) = \det(A^\top) (A^\top)^{-1} = \det(A) (A^{-1})^\top = \big(\det(A) A^{-1}\big)^\top = \big(\mathrm{adj}(A)\big)^\top\). Extension par densité. ∎
D. Adjointe de l’adjointe
Proposition. Pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\) :
\(\mathrm{adj}\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \big(\det(A)\big)^{n-2} \cdot A\)
Démonstration (cas inversible).
\(\mathrm{adj}\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \det\big(\mathrm{adj}(A)\big) \cdot \big(\mathrm{adj}(A)\big)^{-1} = \big(\det(A)\big)^{n-1} \cdot \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot A = \big(\det(A)\big)^{n-2} \cdot A \quad \blacksquare\)Cas particulier \(n = 2\) : \(\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^0 \cdot A = A\). L’application \(A \mapsto \mathrm{adj}(A)\) est une involution en dimension 2.
E. Rang de la matrice adjointe
C’est la propriété la plus fine et la plus utile aux concours.
Théorème — Rang de l’adjointe. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\).
\(\mathrm{rg}\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \begin{cases} n & \text{si } \mathrm{rg}(A) = n \\ 1 & \text{si } \mathrm{rg}(A) = n-1 \\ 0 & \text{si } \mathrm{rg}(A) \leq n-2 \end{cases}\)
Démonstration.
Cas \(\mathrm{rg}(A) = n\) : \(A\) est inversible, donc \(\mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1}\) est inversible, d’où \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = n\).
Cas \(\mathrm{rg}(A) \leq n-2\) : toute sous-matrice \((n-1) \times (n-1)\) extraite de \(A\) est de rang \(\leq n-2\), donc de déterminant nul. Tous les mineurs d’ordre \(n-1\) sont nuls, donc tous les cofacteurs le sont : \(\mathrm{adj}(A) = 0_n\).
Cas \(\mathrm{rg}(A) = n-1\) : il existe un mineur d’ordre \(n-1\) non nul, donc \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_n\). Par ailleurs, \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n = 0_n\) (car \(\det(A) = 0\)). Les colonnes de \(\mathrm{adj}(A)\) sont donc dans \(\ker(A)\). Or \(\dim(\ker(A)) = n – \mathrm{rg}(A) = 1\) : toutes les colonnes de \(\mathrm{adj}(A)\) sont proportionnelles à un même vecteur non nul. Donc \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) \leq 1\), et comme \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_n\), on a \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\). ∎
| Propriété | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Relation fondamentale | \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\) | Toujours |
| Formule d’inversion | \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\) | \(\det(A) \neq 0\) |
| Déterminant | \(\det(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}\) | \(n \geq 2\) |
| Produit | \(\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B) \cdot \mathrm{adj}(A)\) | Toujours |
| Transposée | \(\mathrm{adj}(A^\top) = (\mathrm{adj}(A))^\top\) | Toujours |
| Double adjointe | \(\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^{n-2} \cdot A\) | \(n \geq 2\) |
| Scalaire | \(\mathrm{adj}(\lambda A) = \lambda^{n-1} \cdot \mathrm{adj}(A)\) | \(\lambda \in \mathbb{K}\) |
V. Méthode d’inversion par l’adjointe
La formule \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\) donne directement un algorithme d’inversion. Voici la marche à suivre, illustrée sur un exemple complet.
A. Les 4 étapes
Méthode — Inversion par l’adjointe en 4 étapes
- Calculer \(\det(A)\) et vérifier qu’il est non nul.
- Calculer les \(n^2\) cofacteurs \(C_{ij}\) en respectant la grille des signes \((-1)^{i+j}\).
- Former la comatrice \(\mathrm{Com}(A)\) puis la transposer pour obtenir \(\mathrm{adj}(A)\).
- Diviser par le déterminant : \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\).
B. Exemple résolu — Matrice 3×3
Inversons \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) par la méthode de l’adjointe.
Étape 1. \(\det(B) = 1(1 – 0) – 2(0 – 6) + 1(0 – 2) = 1 + 12 – 2 = 11 \neq 0\).
Étape 2. Cofacteurs :
\(C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\) , \(C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 6\) , \(C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\)
\(C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2\) , \(C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1\) , \(C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 4\)
\(C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\) , \(C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3\) , \(C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)
Étape 3. Comatrice puis transposition :
\(\mathrm{Com}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Étape 4. Inversion :
\(B^{-1} = \displaystyle\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Vérification : \((B \cdot B^{-1})_{11} = \displaystyle\frac{1}{11}(1 \times 1 + 2 \times 6 + 1 \times (-2)) = \displaystyle\frac{11}{11} = 1 \; \text{✓}\)
C. Quand utiliser cette méthode ?
| Critère | Méthode de l’adjointe | Gauss-Jordan |
|---|---|---|
| Taille optimale | \(2 \times 2\) et \(3 \times 3\) | Toute taille |
| Matrice à paramètres | Très adapté (formule close) | Plus lourd (pivots paramétrés) |
| Calcul numérique pur | Pénible dès \(n \geq 4\) | Efficace en \(O(n^3)\) |
| Résultat théorique | Indispensable (continuité de l’inversion, formules de Cramer) | Non adapté |
| Usage concours | Questions de cours, matrices paramétrées | Calcul explicite de grande taille |
En résumé. Utilise la méthode de l’adjointe quand la matrice est de petite taille ou contient des paramètres. Utilise Gauss-Jordan pour les calculs numériques en taille \(n \geq 4\). Aux concours, la méthode de l’adjointe est souvent demandée dans les questions de cours et les problèmes théoriques.
VI. Exercices corrigés
Huit exercices classés par difficulté croissante. Les trois premiers sont des applications directes du cours ; les suivants montent progressivement vers le niveau concours.
Exercice 1 — Adjointe d’une matrice 2×2 ★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}\). Calculer \(\mathrm{adj}(A)\) et vérifier que \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_2\).
Voir la correction
On applique la formule en dimension 2 : on échange les éléments diagonaux et on change le signe des éléments anti-diagonaux :
\(\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\)Calcul de \(\det(A) = 5 \times 7 – 3 \times 2 = 35 – 6 = 29\).
Vérification :
\(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35-6 & -15+15 \\ 14-14 & -6+35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 & 0 \\ 0 & 29 \end{pmatrix} = 29 \, I_2 \; \text{✓}\)Variante (via Cayley-Hamilton) : \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{tr}(A) \cdot I_2 – A = 12 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \; \text{✓}\)
Exercice 2 — Adjointe d’une matrice 3×3 ★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(\mathrm{Com}(A)\) puis \(\mathrm{adj}(A)\).
Voir la correction
Calcul des 9 cofacteurs en suivant la grille des signes :
\(C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\) , \(C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -3\) , \(C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3\)
\(C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0\) , \(C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -5\) , \(C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0\)
\(C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2\) , \(C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1\) , \(C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)
D’où :
\(\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & -5 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3 & -5 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)Exercice 3 — Vérification de la relation fondamentale ★★
En reprenant la matrice \(A\) de l’exercice 2, calculer \(\det(A)\) et vérifier que \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_3\).
Voir la correction
\(\det(A) = 1(1 \times 1 – (-1) \times 0) – 0 + 2(0 \times 0 – 1 \times 3) = 1 – 6 = -5\)Calculons \(A \cdot \mathrm{adj}(A)\) :
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3 & -5 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)Coefficient \((1,1)\) : \(1 \times 1 + 0 \times (-3) + 2 \times (-3) = 1 – 6 = -5\)
Coefficient \((1,2)\) : \(1 \times 0 + 0 \times (-5) + 2 \times 0 = 0\)
Coefficient \((1,3)\) : \(1 \times (-2) + 0 \times 1 + 2 \times 1 = 0\)
Coefficient \((2,2)\) : \(0 \times 0 + 1 \times (-5) + (-1) \times 0 = -5\)
Coefficient \((3,3)\) : \(3 \times (-2) + 0 \times 1 + 1 \times 1 = -5\)
Les autres coefficients hors diagonale valent 0 (vérification similaire). On obtient bien :
\(A \cdot \mathrm{adj}(A) = -5 \, I_3 = \det(A) \cdot I_3 \; \text{✓}\)Exercice 4 — Inversion par la méthode de l’adjointe ★★
Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(B^{-1}\) par la méthode de l’adjointe.
Voir la correction
Étape 1. \(\det(B) = 1(1-0) – 2(0-6) + 1(0-2) = 1+12-2 = 11 \neq 0\).
Étape 2. Cofacteurs (par lecture systématique) :
\(C_{11} = 1, \; C_{12} = 6, \; C_{13} = -2, \; C_{21} = -2, \; C_{22} = -1, \; C_{23} = 4, \; C_{31} = 5, \; C_{32} = -3, \; C_{33} = 1\)Étape 3. \(\mathrm{adj}(B) = \mathrm{Com}(B)^\top = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Étape 4. \(B^{-1} = \displaystyle\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Vérification rapide : \((B \cdot B^{-1})_{22} = \displaystyle\frac{1}{11}(0 \times (-2) + 1 \times (-1) + 3 \times 4) = \displaystyle\frac{11}{11} = 1 \; \text{✓}\)
Exercice 5 — Déterminant de l’adjointe ★★★
Démontrer que pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\), on a \(\det\big(\mathrm{adj}(A)\big) = \big(\det(A)\big)^{n-1}\).
Voir la correction
Cas \(\det(A) \neq 0\). De la relation fondamentale :
\(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\)En prenant le déterminant des deux membres :
\(\det(A) \cdot \det(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^n\)Comme \(\det(A) \neq 0\), on simplifie : \(\det(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}\).
Cas \(\det(A) = 0\). Il faut montrer que \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\).
- Si \(\mathrm{rg}(A) \leq n-2\) : tous les cofacteurs sont nuls, donc \(\mathrm{adj}(A) = 0_n\) et \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\).
- Si \(\mathrm{rg}(A) = n-1\) : le théorème sur le rang donne \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\) < \(n\), donc \(\mathrm{adj}(A)\) n’est pas inversible et \(\det(\mathrm{adj}(A)) = 0\).
Dans tous les cas, \(\det(\mathrm{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}\). ∎
Exercice 6 — Rang de la matrice adjointe ★★★
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq 2\). Montrer que :
- \(\mathrm{rg}(A) = n \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = n\)
- \(\mathrm{rg}(A) = n-1 \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\)
- \(\mathrm{rg}(A) \leq n-2 \Longrightarrow \mathrm{adj}(A) = 0_n\)
Voir la correction
1. Si \(\mathrm{rg}(A) = n\), alors \(A\) est inversible et \(\mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1}\). Le produit d’un scalaire non nul par une matrice inversible est inversible, donc \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = n\).
3. Si \(\mathrm{rg}(A) \leq n-2\), toute sous-matrice carrée d’ordre \(n-1\) a ses lignes (ou colonnes) liées : son déterminant — le mineur correspondant — est nul. Tous les cofacteurs sont nuls, donc \(\mathrm{adj}(A) = 0_n\).
2. Si \(\mathrm{rg}(A) = n-1\) :
- \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_n\) car \(\mathrm{rg}(A) = n-1\) assure l’existence d’un mineur d’ordre \(n-1\) non nul, donc d’un cofacteur non nul.
- \(\det(A) = 0\) (car \(A\) n’est pas inversible), d’où \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = 0_n\).
- Les colonnes de \(\mathrm{adj}(A)\) appartiennent à \(\ker(A)\), qui est de dimension \(n – (n-1) = 1\).
- Toutes les colonnes non nulles de \(\mathrm{adj}(A)\) sont proportionnelles au même vecteur, donc \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) \leq 1\).
- Comme \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_n\), on conclut \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\). ∎
Exercice 7 — Cayley-Hamilton et adjointe en dimension 2 ★★★
Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\).
- Rappeler le polynôme caractéristique de \(A\) et le théorème de Cayley-Hamilton.
- En déduire que \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{tr}(A) \cdot I_2 – A\).
- Application : calculer \(\mathrm{adj}(A)\) pour \(A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) par cette méthode.
Voir la correction
1. Le polynôme caractéristique de \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) est \(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A) \, X + \det(A)\). Le théorème de Cayley-Hamilton affirme \(\chi_A(A) = 0_2\), soit :
\(A^2 – \mathrm{tr}(A) \, A + \det(A) \, I_2 = 0_2\)2. De cette relation :
\(A^2 – \mathrm{tr}(A) \, A = -\det(A) \, I_2\) \(A \cdot \big(A – \mathrm{tr}(A) \, I_2\big) = -\det(A) \, I_2\) \(A \cdot \big(\mathrm{tr}(A) \, I_2 – A\big) = \det(A) \, I_2\)En comparant avec la relation fondamentale \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \, I_2\), et par unicité du produit (si \(A\) est inversible, on multiplie par \(A^{-1}\) à gauche ; si \(A\) n’est pas inversible, la vérification directe avec la formule des cofacteurs conclut), on identifie :
\(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{tr}(A) \, I_2 – A\)3. \(\mathrm{tr}(A) = 4 + 2 = 6\), donc :
\(\mathrm{adj}(A) = 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\)Vérification : la formule directe donne aussi \(\mathrm{adj}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \; \text{✓}\)
Exercice 8 — Image et noyau de l’adjointe ★★★★
Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) de rang 2.
- Justifier que \(\det(A) = 0\) et \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_3\).
- Montrer que \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\).
- Montrer que \(\mathrm{Im}(\mathrm{adj}(A)) = \ker(A)\).
- Montrer que \(\ker(\mathrm{adj}(A)) = \mathrm{Im}(A)\).
Voir la correction
1. \(\mathrm{rg}(A) = 2\) < \(3 = n\), donc \(A\) n’est pas inversible : \(\det(A) = 0\). Par ailleurs, \(\mathrm{rg}(A) = 2\) signifie qu’il existe un mineur d’ordre 2 non nul, donc au moins un cofacteur est non nul : \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_3\).
2. De \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_3 = 0_3\), les colonnes de \(\mathrm{adj}(A)\) sont dans \(\ker(A)\). Or \(\dim(\ker(A)) = 3 – 2 = 1\). Donc toutes les colonnes non nulles de \(\mathrm{adj}(A)\) sont colinéaires : \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) \leq 1\). Comme \(\mathrm{adj}(A) \neq 0_3\), on a \(\mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 1\).
3. D’après la question 2, \(\mathrm{Im}(\mathrm{adj}(A)) \subseteq \ker(A)\), et les deux espaces ont la même dimension (\(\dim = 1\)). Par égalité des dimensions :
\(\mathrm{Im}(\mathrm{adj}(A)) = \ker(A)\)4. De \(\mathrm{adj}(A) \cdot A = 0_3\) (relation fondamentale, membre gauche), les colonnes de \(A\) sont dans \(\ker(\mathrm{adj}(A))\), d’où \(\mathrm{Im}(A) \subseteq \ker(\mathrm{adj}(A))\).
Calculons les dimensions : \(\dim(\mathrm{Im}(A)) = \mathrm{rg}(A) = 2\) et \(\dim(\ker(\mathrm{adj}(A))) = 3 – \mathrm{rg}(\mathrm{adj}(A)) = 3 – 1 = 2\).
Les deux espaces ont la même dimension et l’un est inclus dans l’autre, donc :
\(\ker(\mathrm{adj}(A)) = \mathrm{Im}(A) \quad \blacksquare\)VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Erreur n°1 — Oublier la transposition.
❌ Copie fautive : « \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)\) »
🔍 Diagnostic : L’étudiant confond la comatrice et la matrice adjointe. La comatrice est la matrice des cofacteurs ; l’adjointe est sa transposée.
✅ Correction : \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top\). Le coefficient \((i,j)\) de l’adjointe est le cofacteur \(C_{ji}\), pas \(C_{ij}\).
Erreur n°2 — Erreur de signe dans les cofacteurs.
❌ Copie fautive : « \(C_{12} = M_{12}\) » (oubli du facteur \((-1)^{1+2}\))
🔍 Diagnostic : Le facteur \((-1)^{i+j}\) est systématiquement oublié ou mal appliqué.
✅ Correction : Toujours écrire la grille des signes sur le brouillon avant de calculer les cofacteurs. Pour \((1,2)\) : \((-1)^{1+2} = -1\), donc \(C_{12} = -M_{12}\).
Erreur n°3 — Mauvais ordre dans adj(AB).
❌ Copie fautive : « \(\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(A) \cdot \mathrm{adj}(B)\) »
🔍 Diagnostic : L’étudiant applique l’adjointe comme un morphisme d’algèbre, en conservant l’ordre.
✅ Correction : L’ordre s’inverse : \(\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B) \cdot \mathrm{adj}(A)\). C’est le même renversement que \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
Erreur n°4 — Confondre « matrice adjointe » et « matrice d’adjacence ».
La matrice d’adjacence est un objet de théorie des graphes : pour un graphe à \(n\) sommets, c’est la matrice \(n \times n\) dont le coefficient \((i,j)\) vaut 1 s’il y a une arête entre les sommets \(i\) et \(j\), et 0 sinon. Elle n’a aucun lien avec la matrice adjointe au sens de la comatrice transposée.
VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une matrice adjointe ?
La matrice adjointe de \(A\), notée \(\mathrm{adj}(A)\), est la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de \(A\). Elle vérifie la relation fondamentale \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n\), qui permet notamment d’exprimer l’inverse d’une matrice inversible sous la forme \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\).
Comment calculer la matrice adjointe d'une matrice 3×3 ?
En 3 étapes : 1) calculer les 9 cofacteurs \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) (attention à la grille des signes !) ; 2) les disposer dans la comatrice \(\mathrm{Com}(A)\) ; 3) transposer pour obtenir \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top\). Un exemple complet est détaillé dans la section II.D de cette page.
Quelle est la différence entre matrice adjointe et comatrice ?
La comatrice \(\mathrm{Com}(A)\) est la matrice dont le coefficient \((i,j)\) est le cofacteur \(C_{ij}\) de \(a_{ij}\). La matrice adjointe est la transposée de la comatrice : \(\mathrm{adj}(A) = \mathrm{Com}(A)^\top\). L’oubli de la transposition est l’erreur la plus courante sur ce sujet.
À quoi sert la matrice adjointe en pratique ?
La matrice adjointe sert principalement à inverser une matrice par la formule \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)\), en particulier pour les matrices de petite taille ou contenant des paramètres. Elle intervient aussi dans la formule de Cramer pour résoudre les systèmes linéaires, et dans des résultats théoriques sur le lien entre rang, déterminant et inversibilité.
Matrice adjointe et matrice d'adjacence : quelle différence ?
Ce sont deux notions totalement différentes malgré des noms proches. La matrice adjointe \(\mathrm{adj}(A)\) est un objet d’algèbre linéaire (transposée de la comatrice). La matrice d’adjacence est un objet de théorie des graphes : une matrice de 0 et de 1 qui encode les arêtes d’un graphe. En CPGE, le contexte élimine toute ambiguïté.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la matrice adjointe, ses propriétés et ses applications à l’inversion. Pour approfondir les notions mobilisées dans ce cours :
- Déterminant d’une matrice : calcul, propriétés et applications — pour revoir le développement par cofacteurs
- Inverse d’une matrice : méthode de calcul et propriétés — les différentes méthodes d’inversion
- Inverse d’une matrice 3×3 : méthode pas à pas — application directe de la méthode de l’adjointe
- Matrice inversible : définition, critères et déterminant — l’arbre décisionnel des critères d’inversibilité
- Rang d’une matrice : définition, calcul et propriétés — pour comprendre le théorème sur le rang de adj(A)
- Exercices corrigés sur les matrices — pour t’entraîner sur des problèmes transversaux
