Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Inverser une matrice \(3 \times 3\) est l’une des compétences les plus sollicitées en algèbre linéaire — en DS, en colles et aux concours. Deux méthodes sont au programme : le pivot de Gauss-Jordan et la comatrice. Tu trouveras ici chaque méthode détaillée pas à pas, un tableau comparatif pour choisir la bonne, des exemples résolus sur la même matrice pour comparer les deux approches, et les erreurs qui coûtent des points en concours.
I. Rappels — formules et conditions d’inversibilité
Avant de calculer un inverse, il faut s’assurer qu’il existe. Cette section rassemble les critères à connaître et la formule théorique qui fonde les deux méthodes.
A. Quand une matrice 3×3 est-elle inversible ?
Proposition — Critères équivalents d’inversibilité
Soit \(A \in M_3(\mathbb{R})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \(A\) est inversible : \(\exists B \in M_3(\mathbb{R}),\; AB = BA = I_3\).
- \(\det(A) \neq 0\).
- \(\mathrm{rg}(A) = 3\).
- \(\ker(A) = \{0_{\mathbb{R}^3}\}\).
- Les colonnes de \(A\) forment une famille libre de \(\mathbb{R}^3\).
En pratique, le critère le plus rapide est \(\det(A) \neq 0\). C’est toujours la première étape — avant tout calcul d’inverse. Pour le calcul du déterminant, consulte la page déterminant d’une matrice 3×3 (règle de Sarrus). Pour les autres critères et leur démonstration, voir matrice inversible.
B. Formule générale d’inversion
Théorème — Formule d’inversion par la comatrice
Soit \(A \in M_3(\mathbb{R})\) avec \(\det(A) \neq 0\). Alors :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \;\cdot\; {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\)
où \(\mathrm{Com}(A) = \bigl(C_{ij}\bigr)_{1 \leq i,j \leq 3}\) est la comatrice de \(A\), et \({}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\) sa transposée (parfois notée \(\mathrm{adj}(A)\), la matrice adjointe).
Le cofacteur \(C_{ij}\) est défini par :
\(C_{ij} = (-1)^{i+j} \, M_{ij}\)où \(M_{ij}\) est le mineur (le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\)).
Cette formule repose sur l’identité fondamentale :
\(A \;\cdot\; {}^{t}\!\mathrm{Com}(A) = \det(A) \;\cdot\; I_3\)Astuce — Vérification rapide : cette identité sert aussi à vérifier ton calcul d’inverse. Si tu as calculé \(A^{-1}\) par Gauss-Jordan, un seul produit \(A \cdot A^{-1}\) suffit : tu dois retrouver \(I_3\).
II. Quelle méthode choisir ? Gauss-Jordan ou comatrice
Les deux méthodes sont au programme et donnent le même résultat. Le choix dépend du contexte. Voici un tableau comparatif pour trancher rapidement.
| Critère | Gauss-Jordan | Comatrice |
|---|---|---|
| Principe | Réduire \((A \mid I_3)\) en \((I_3 \mid A^{-1})\) | \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \;\cdot\; {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\) |
| Prérequis | Opérations élémentaires sur les lignes | Déterminants 2×2 et 3×3 |
| Nombre de calculs | ~20–30 opérations élémentaires | 1 dét 3×3 + 9 dét 2×2 + 1 transposition |
| Risque d’erreur principal | Erreurs arithmétiques cumulatives | Erreurs de signe (cofacteurs) |
| Avantage clé | Systématique, aucune formule à mémoriser | Formule explicite, utile en calcul formel |
| Fournit le déterminant ? | Oui (produit des pivots, en bonus) | Oui (calculé en premier) |
| Recommandé quand… | DS, concours, matrice quelconque | Matrice creuse (beaucoup de zéros), ou \(\det(A)\) déjà connu |
La fiche méthode « Inverser une matrice 3×3 » en recto-verso
Les deux méthodes résumées, la grille des signes, les erreurs à éviter — tout sur une fiche PDF prête à imprimer.
📄 Télécharger la fiche PDFIdéal pour tes révisions de colles et de DS.
Conseil concours : en cas de doute, Gauss-Jordan est le choix par défaut. La méthode est algorithmique : tu ne peux pas « oublier une formule ». Réserve la comatrice aux matrices avec des zéros bien placés ou lorsque le déterminant est déjà connu (question précédente d’un problème).
Quand ne pas calculer l’inverse : si l’objectif est de résoudre un système \(AX = B\), il est souvent plus efficace d’appliquer Gauss directement sur \((A \mid B)\) via la factorisation de Gauss, plutôt que de calculer \(A^{-1}\) puis \(X = A^{-1}B\).
Pour les matrices \(2 \times 2\), la formule directe est plus rapide que ces deux méthodes. Pour la théorie générale, consulte le cours complet sur l’inverse d’une matrice.
III. Méthode 1 — Inversion par pivot de Gauss-Jordan
A. Les 4 étapes
Méthode — Pivot de Gauss-Jordan
- Former la matrice augmentée \((A \mid I_3)\).
- Échelonner par opérations élémentaires sur les lignes (\(L_i \leftarrow L_i – \lambda L_j\), échanges, dilatations) pour obtenir une forme triangulaire supérieure à gauche.
- Remonter (substitution arrière) pour transformer la partie gauche en \(I_3\).
- Lire le résultat : la partie droite est \(A^{-1}\). Vérifier en calculant \(A \cdot A^{-1}\).
À écrire sur la copie : « On forme la matrice augmentée \((A \mid I_3)\) et on applique le pivot de Gauss-Jordan. » Puis lister chaque opération avant la matrice obtenue : \(L_3 \leftarrow L_3 – 5L_1\). Ne jamais écrire une matrice sans indiquer l’opération qui y mène.
B. Exemple résolu complet 🟠 Prépa (★★)
Inversons la matrice :
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\)Étape 1 — Matrice augmentée :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)Étape 2 — Descente (échelonnement) :
\(L_3 \leftarrow L_3 – 5L_1\) :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right)\)\(L_3 \leftarrow L_3 + 4L_2\) :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right)\)La partie gauche est maintenant triangulaire supérieure (avec des pivots tous égaux à \(1\), d’où \(\det(A) = 1\)).
Étape 3 — Remontée (réduction) :
\(L_2 \leftarrow L_2 – 4L_3\), puis \(L_1 \leftarrow L_1 – 3L_3\), puis \(L_1 \leftarrow L_1 – 2L_2\) :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right)\)Étape 4 — Lecture et vérification :
\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)Vérification : on calcule la première ligne de \(A \cdot A^{-1}\) :
\((1, 2, 3) \cdot \begin{pmatrix} -24 \\ 20 \\ -5 \end{pmatrix} = -24 + 40 – 15 = 1 \quad\text{✓}\)
\((1, 2, 3) \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ -15 \\ 4 \end{pmatrix} = 18 – 30 + 12 = 0 \quad\text{✓}\)
Les autres produits se vérifient de même : \(A \cdot A^{-1} = I_3\).
IV. Méthode 2 — Inversion par la comatrice
A. Les 5 étapes
Méthode — Inversion par la comatrice
- Calculer \(\det(A)\) (par Sarrus ou développement). Vérifier \(\det(A) \neq 0\).
- Calculer les 9 cofacteurs \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\).
- Former la matrice des cofacteurs \(\mathrm{Com}(A) = (C_{ij})\).
- Transposer : \({}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\).
- Diviser : \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \;\cdot\; {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\).
Pour l’étape 2, la grille des signes \((-1)^{i+j}\) est :
\(\begin{pmatrix} + & – & + \\ – & + & – \\ + & – & + \end{pmatrix}\)Moyen mnémonique : le signe du cofacteur \(C_{ij}\) est \(+\) si \(i+j\) est pair, \(–\) sinon. La case \((1,1)\) est toujours \(+\).
B. Exemple résolu complet 🟠 Prépa (★★) — même matrice
Reprenons la même matrice pour comparer les deux méthodes :
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\)Étape 1 — Déterminant (développement selon \(L_1\)) :
\(\det(A) = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}\) \(= 1(0-24) – 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 – 15 = 1\)Comme \(\det(A) = 1 \neq 0\), la matrice est inversible.
Étape 2 — Cofacteurs :
| Cofacteur | Signe | Mineur \(M_{ij}\) | Valeur |
|---|---|---|---|
| \(C_{11}\) | \(+\) | \(\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24\) | \(-24\) |
| \(C_{12}\) | \(–\) | \(\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -20\) | \(+20\) |
| \(C_{13}\) | \(+\) | \(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5\) | \(-5\) |
| \(C_{21}\) | \(–\) | \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -18\) | \(+18\) |
| \(C_{22}\) | \(+\) | \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15\) | \(-15\) |
| \(C_{23}\) | \(–\) | \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -4\) | \(+4\) |
| \(C_{31}\) | \(+\) | \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5\) | \(+5\) |
| \(C_{32}\) | \(–\) | \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4\) | \(-4\) |
| \(C_{33}\) | \(+\) | \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\) | \(+1\) |
Étape 3 — Comatrice :
\(\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}\)Étape 4 — Transposition :
\({}^{t}\!\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)Étape 5 — Division par le déterminant :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{1} \cdot {}^{t}\!\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)Comparaison des deux méthodes : sur cette matrice, les deux approches donnent bien le même résultat. La méthode de Gauss-Jordan a demandé 5 opérations élémentaires ; la comatrice a nécessité 10 calculs de déterminants (1 de taille 3 + 9 de taille 2). Sur une matrice avec davantage de zéros, les cofacteurs seraient plus rapides ; ici, Gauss-Jordan est légèrement plus efficace.
V. Exemples résolus supplémentaires
Voici trois exemples de difficulté croissante pour consolider les deux méthodes.
Exemple 1 🟠 Prépa (★★) — Matrice creuse (comatrice recommandée)
Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\).
Déterminant : \(\det(B) = 1(1 \cdot 1 – 0 \cdot (-1)) – 0 + 2((-1)(-1) – 1 \cdot 2) = 1 + 2(1 – 2) = 1 – 2 = -1\).
Cofacteurs (les zéros accélèrent le calcul) :
\(\mathrm{Com}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}\) \({}^{t}\!\mathrm{Com}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) \(B^{-1} = \displaystyle\frac{1}{-1} \cdot {}^{t}\!\mathrm{Com}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\)Vérification (première colonne de \(BB^{-1}\)) : \((1,0,2) \cdot (-1,-1,1) = -1+0+2 = 1\;\text{✓}\), \((-1,1,0) \cdot (-1,-1,1) = 1-1+0 = 0\;\text{✓}\), \((2,-1,1) \cdot (-1,-1,1) = -2+1+1 = 0\;\text{✓}\).
Exemple 2 🟠 Prépa (★★★) — Matrice paramétrée
Soit \(A(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & t \\ t & 0 & 1 \end{pmatrix}\), avec \(t \in \mathbb{R}\).
a) Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(A(t)\) est inversible.
\(\det(A(t)) = 1(1) – t(0 – t^2) + 0 = 1 + t^3\)Or \(1 + t^3 = (1+t)(1 – t + t^2)\). Le discriminant de \(1 – t + t^2\) vaut \(1 – 4 = -3\) < \(0\), donc \(1 – t + t^2\) > \(0\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
Conclusion : \(A(t)\) est inversible si et seulement si \(t \neq -1\).
b) Calculer \(A(t)^{-1}\) pour \(t \neq -1\).
Les 9 cofacteurs donnent :
\(\mathrm{Com}(A(t)) = \begin{pmatrix} 1 & t^2 & -t \\ -t & 1 & t^2 \\ t^2 & -t & 1 \end{pmatrix}\)On remarque la structure circulante. Après transposition :
\(A(t)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{1+t^3} \begin{pmatrix} 1 & -t & t^2 \\ t^2 & 1 & -t \\ -t & t^2 & 1 \end{pmatrix}\)Vérification rapide : pour \(t = 0\), on obtient \(A(0) = I_3\) et \(A(0)^{-1} = I_3\). ✓
Exemple 3 🟠 Prépa / 🔵 Maths Expertes (★★★) — Inverse déduit d’une relation polynomiale
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(A^2\).
\(A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A + 2I_3\)b) En déduire que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\).
De \(A^2 = A + 2I_3\), on tire :
\(A^2 – A = 2I_3 \;\;\Longrightarrow\;\; A(A – I_3) = 2I_3 \;\;\Longrightarrow\;\; A \cdot \displaystyle\frac{A – I_3}{2} = I_3\)Donc \(A\) est inversible et :
\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2}(A – I_3) = \displaystyle\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)Ce type de raisonnement est un classique dès la Terminale maths expertes et jusqu’en concours. Dès qu’un énoncé demande de calculer \(A^2\) (ou \(A^n\)) avant de demander l’inverse, c’est un indice : cherche une relation \(P(A) = 0\) pour en extraire \(A^{-1}\) sans calcul lourd. Voir aussi matrice puissance et diagonalisation.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les quatre erreurs qui reviennent le plus souvent en DS et aux concours, présentées sous la forme « copie fautive → diagnostic → correction ».
Erreur 1 — Oublier de vérifier l’inversibilité
❌ Copie fautive : « On inverse \(A\) par Gauss-Jordan… » (l’étudiant démarre le calcul sans avoir vérifié que \(\det(A) \neq 0\)).
Diagnostic : si \(\det(A) = 0\), le pivot de Gauss produit une ligne nulle et le calcul échoue en plein milieu — temps perdu et points perdus.
✅ Correction : toujours écrire en premier : « On calcule \(\det(A) = \ldots \neq 0\), donc \(A\) est inversible. » Puis seulement commencer le calcul de \(A^{-1}\).
Erreur 2 — Se tromper de signe dans les cofacteurs
❌ Copie fautive : « \(C_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -20\) » (l’étudiant oublie le signe \((-1)^{1+2} = -1\)).
Diagnostic : le cofacteur \(C_{12}\) porte le signe \((-1)^{1+2} = -1\). Il faut écrire \(C_{12} = -M_{12} = -(-20) = +20\).
✅ Correction : écrire systématiquement \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\) et appliquer la grille des signes \(+, -, +, -, +, -, +, -, +\) avant de calculer le mineur.
Erreur 3 — Oublier la transposition de la comatrice
❌ Copie fautive : « \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{Com}(A)\) » (l’étudiant divise par le déterminant mais ne transpose pas).
Diagnostic : la formule exige la transposée de la comatrice, pas la comatrice elle-même. L’erreur produit une matrice qui n’est pas l’inverse de \(A\).
✅ Correction : la formule correcte est \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\). N’oublie jamais le « \(t\) » de transposée.
Erreur 4 — Appliquer Gauss sur une seule moitié
❌ Copie fautive : l’étudiant effectue \(L_3 \leftarrow L_3 – 5L_1\) sur les colonnes 1 à 3 (la partie \(A\)) mais oublie d’appliquer la même opération sur les colonnes 4 à 6 (la partie \(I_3\)).
Diagnostic : chaque opération élémentaire porte sur la ligne entière de la matrice augmentée \((A \mid I_3)\). Si tu ne modifies qu’une moitié, le lien entre les deux parties est rompu.
✅ Correction : à chaque opération, traiter les 6 colonnes simultanément. Vérifier en fin de calcul que \(A \cdot A^{-1} = I_3\).
VII. Exercices d’application
Cinq exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 (★★) — Gauss-Jordan
Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\) par la méthode de Gauss-Jordan.
Voir la correction
Déterminant : \(\det(A) = 1(15-9) – 2(6-3) + 1(6-5) = 6 – 6 + 1 = 1 \neq 0\). La matrice est inversible.
Gauss-Jordan :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)\(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1\), \(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\)\(L_3 \leftarrow L_3 – L_2\) :
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)\)Remontée : \(L_2 \leftarrow L_2 – L_3\), \(L_1 \leftarrow L_1 – L_3\), \(L_1 \leftarrow L_1 – 2L_2\) :
\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)Vérification : \((1,2,1) \cdot (6,-3,1) = 6 – 6 + 1 = 1\;\text{✓}\)
Exercice 2 (★★) — Comatrice
Calculer l’inverse de \(B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) par la méthode de la comatrice.
Voir la correction
Déterminant : \(\det(B) = 3(1-1) – 2(1-2) + 1(1-2) = 0 + 2 – 1 = 1\).
Cofacteurs :
\(C_{11} = 0,\; C_{12} = 1,\; C_{13} = -1\) \(C_{21} = -1,\; C_{22} = 1,\; C_{23} = 1\) \(C_{31} = 1,\; C_{32} = -2,\; C_{33} = 1\)Comatrice et transposée :
\({}^{t}\!\mathrm{Com}(B) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)Comme \(\det(B) = 1\) :
\(B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)Vérification : \((3,2,1) \cdot (0,1,-1) = 0 + 2 – 1 = 1\;\text{✓}\), \((3,2,1) \cdot (-1,1,1) = -3 + 2 + 1 = 0\;\text{✓}\).
Exercice 3 (★★★) — Paramètre
Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}\), avec \(a \in \mathbb{R}\).
- Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(M\) est-elle inversible ?
- Calculer \(M^{-1}\) pour \(a = 0\).
Voir la correction
1) En développant :
\(\det(M) = 1(a – 1) – 1(1 – a) + a(1 – a^2)\) \(= (a-1) – (1-a) + a(1-a)(1+a)\) \(= (a-1) + (a-1) + a(1-a)(1+a)\) \(= 2(a-1) – a(a-1)(1+a)\) \(= (a-1)\bigl[2 – a(1+a)\bigr]\) \(= (a-1)(2 – a – a^2)\) \(= -(a-1)(a^2 + a – 2)\) \(= -(a-1)(a+2)(a-1)\) \(= -(a-1)^2(a+2)\)Donc \(\det(M) = 0 \iff a = 1\) ou \(a = -2\).
Conclusion : \(M\) est inversible si et seulement si \(a \notin \{-2,\; 1\}\).
2) Pour \(a = 0\) : \(\det(M) = -(0-1)^2(0+2) = -2\).
\(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)Par la comatrice (calcul des 9 cofacteurs) :
\(M^{-1} = \displaystyle\frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)Exercice 4 (★★★) — Relation polynomiale
Soit \(A \in M_3(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 – 3A + 2I_3 = 0\).
- Montrer que \(A\) est inversible.
- Exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et \(I_3\).
Voir la correction
1) De \(A^2 – 3A + 2I_3 = 0\), on tire :
\(A^2 – 3A = -2I_3\) \(A(A – 3I_3) = -2I_3\) \(A \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)(A – 3I_3) = I_3\)Donc \(A\) est inversible (on a exhibé son inverse à droite, et pour les matrices carrées, un inverse à droite est aussi un inverse à gauche).
2)
\(A^{-1} = -\displaystyle\frac{1}{2}(A – 3I_3) = \displaystyle\frac{1}{2}(3I_3 – A)\)Exercice 5 🟠 Prépa / 🔵 Maths Expertes (★★★)
Soit \(J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(A = I_3 + 2J\).
- Calculer \(J^2\).
- En déduire \(A^2\), puis montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
Voir la correction
1) \(J^2 = 3J\) (chaque coefficient de \(J^2\) vaut \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3\)).
2) \(A = I_3 + 2J\), donc :
\(A^2 = I_3 + 4J + 4J^2 = I_3 + 4J + 12J = I_3 + 16J\)Cherchons \(A^{-1}\) sous la forme \(\alpha I_3 + \beta J\) (car \(A\) est combinaison linéaire de \(I_3\) et \(J\), et \(\{I_3, J\}\) engendre une sous-algèbre commutative).
\(A(\alpha I_3 + \beta J) = \alpha I_3 + (\alpha \cdot 2 + \beta + 2\beta \cdot 3)J = \alpha I_3 + (2\alpha + 7\beta)J\)On veut \(= I_3\), donc \(\alpha = 1\) et \(2\alpha + 7\beta = 0\), soit \(\beta = -\displaystyle\frac{2}{7}\).
\(A^{-1} = I_3 – \displaystyle\frac{2}{7}J = \displaystyle\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}\)VIII. Rédaction concours — ce que le correcteur attend
L’inversion d’une matrice \(3 \times 3\) revient fréquemment aux concours (X, Mines-Ponts, Centrale). Voici les points que le correcteur vérifie systématiquement.
Checklist de rédaction
- Inversibilité justifiée avant tout calcul : « On calcule \(\det(A) = \ldots \neq 0\), donc \(A\) est inversible. »
- Méthode annoncée : « On détermine \(A^{-1}\) par le pivot de Gauss-Jordan. » (ou « par la comatrice »).
- Opérations élémentaires nommées : chaque opération est écrite avant la matrice résultante (\(L_3 \leftarrow L_3 – 5L_1\)).
- Résultat encadré : le correcteur cherche \(A^{-1} = \ldots\) visuellement repérable.
- Vérification : au minimum une ligne du produit \(A \cdot A^{-1}\) est calculée explicitement.
Modèle de rédaction type :
« On calcule \(\det(A) = 1 \neq 0\), donc \(A \in GL_3(\mathbb{R})\).
On forme la matrice augmentée \((A \mid I_3)\) et on procède par opérations élémentaires sur les lignes :
[opérations et matrices intermédiaires]
On obtient \((I_3 \mid B)\), d’où \(A^{-1} = B = \ldots\)
Vérification : la première colonne de \(A \cdot A^{-1}\) donne \((1, 0, 0)\). ✓ »
Point de vigilance : lors d’un problème long, si une question antérieure a déjà établi que \(\det(A) \neq 0\), tu peux simplement écrire « D’après la question \(k\), \(A\) est inversible. » Ne recalcule pas le déterminant — le correcteur apprécie la concision.
IX. Questions fréquentes
Comment faire l'inverse d'une matrice 3×3 ?
Deux méthodes sont au programme. Gauss-Jordan : tu formes la matrice augmentée \((A \mid I_3)\) et tu appliques des opérations élémentaires sur les lignes jusqu’à obtenir \((I_3 \mid A^{-1})\). Comatrice : tu calcules le déterminant et les 9 cofacteurs, puis \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\). Dans les deux cas, vérifie d’abord que \(\det(A) \neq 0\).
Gauss-Jordan ou comatrice : quelle méthode est la plus rapide pour une matrice 3×3 ?
En pratique, Gauss-Jordan est généralement plus rapide et moins sujet aux erreurs de signe. La comatrice devient avantageuse quand la matrice possède beaucoup de zéros (les cofacteurs se simplifient) ou quand le déterminant a déjà été calculé dans une question précédente.
Comment vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur dans le calcul de l'inverse ?
Calcule le produit \(A \cdot A^{-1}\) (ou au minimum une ligne de ce produit) et vérifie que tu obtiens \(I_3\). Si un seul coefficient diffère, il y a une erreur. Cette vérification prend 2 minutes et peut sauver des points en concours.
Quelle est la différence entre la comatrice et la matrice adjointe ?
En algèbre linéaire française, la matrice adjointe (notée \(\mathrm{adj}(A)\)) désigne la transposée de la comatrice : \(\mathrm{adj}(A) = {}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\). La comatrice \(\mathrm{Com}(A)\) est la matrice des cofacteurs non transposée. Dans la formule d’inversion, c’est bien l’adjointe (= comatrice transposée) qui intervient. Attention : en anglais, « adjugate » = \({}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\), tandis que « adjoint » désigne souvent la transposée conjuguée — ne pas confondre.
Une matrice 3×3 est-elle toujours inversible ?
Non. Une matrice \(3 \times 3\) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Par exemple, une matrice dont deux lignes sont proportionnelles a un déterminant nul et n’est pas inversible. Les critères complets d’inversibilité sont détaillés sur la page matrice inversible.
Calculateur : inverse d’une matrice 3×3
Saisis les 9 coefficients, le calculateur affiche le déterminant, la comatrice (9 cofacteurs), sa transposée (adjointe) et l’inverse sous la forme (1/det) × adj(A). Parfait pour vérifier chaque étape de la méthode.
Matrice A :Cet outil sert à vérifier tes calculs. En examen et aux concours, aucune calculatrice matricielle n’est autorisée — maîtriser la méthode de la comatrice ou Gauss-Jordan à la main reste indispensable.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais les deux méthodes d’inversion d’une matrice \(3 \times 3\). Pour approfondir :
- Inverse d’une matrice : cours complet — théorie générale, propriétés de \(A^{-1}\)
- Inverse d’une matrice 2×2 : formule directe — la formule rapide pour les cas simples
- Déterminant 3×3 : règle de Sarrus et cofacteurs — maîtriser le calcul du déterminant
- Factorisation de Gauss — la méthode de réduction sous-jacente
- Exercices corrigés sur les matrices — 20+ exercices progressifs
