Tableau de variation d’une fonction

L’étude des fonctions en maths repose sur un outil fondamental : le tableau de variation d’une fonction. Que vous soyez en classe de Seconde pour une simple lecture graphique, ou en Terminale et Prépa pour une étude analytique poussée, maîtriser cet outil est incontournable.

Comment faire un tableau de variation sans erreur ? Comment relier le signe de la dérivée à la monotonie de la courbe ? Dans ce cours complet signé Excellence Maths, nous vous guidons pas-à-pas pour dresser un tableau de variations rigoureux, déjouer les pièges classiques et vous entraîner avec nos exercices corrigés.

Si tu veux revoir les bases du chapitre « fonctions » (définitions, vocabulaire, lecture de courbes), commence par :

• Fonctions en maths (page pilier)
• Fonctions en Seconde (cours de synthèse)

---

Qu’est-ce qu’un tableau de variation ?

Définition et utilité mathématique

Cet outil est extrêmement puissant. Il permet non seulement de comprendre l’allure générale de la courbe représentative, mais aussi de repérer les extrema (le minimum local et le maximum absolu). Par ailleurs, étudier au préalable la parité des fonctions ou leur périodicité permet souvent de réduire la taille de ce tableau et de simplifier l’étude.

Comprendre la structure graphique

Un tableau de variation standard se compose généralement de trois lignes horizontales :

• La ligne des abscisses ( \(x\) ) : Elle indique le domaine de définition, les valeurs annulant la dérivée et les valeurs interdites.
• La ligne du signe de la dérivée ( \(f'(x)\) ) : Indispensable à partir de la classe de Première, elle indique par un \(+\) ou un \(–\) le signe de la fonction dérivée.
• La ligne des variations de \(f(x)\) : Elle matérialise la monotonie par des flèches qui montent (↗) ou qui descendent (↘), et précise les valeurs remarquables (extrema, limites).

---

Comment lire un tableau de variation (sans se tromper)

Lire un tableau de variation, c’est savoir répondre à 4 questions :

1. Sur quel intervalle la fonction est-elle croissante ? décroissante ?
2. Quels sont ses extrema (minimum/maximum) et où sont-ils atteints ?
3. Quelles valeurs prend la fonction à des points précis ?
4. Y a-t-il une rupture (fonction non définie, asymptote verticale, trou…) ?

Exemple de lecture (tableau « classique » avec un minimum en \(x=2\)) :

• \(f\) est décroissante sur \((-\infty,2]\).
• \(f\) est croissante sur \([2,+\infty)\).
• \(f\) admet un minimum en \(x=2\) (valeur : à lire/calculer si elle est indiquée).

---

Méthode pour construire un tableau de variation (4 étapes)

La construction d’un tableau de variation repose sur une méthode systématique en quatre étapes. Cette méthode s’applique à toutes les fonctions dérivables et constitue le cœur de l’étude des variations.

Étape 0 — Déterminer l’ensemble de définition

On note le domaine \(\mathcal{D}_f\). On repère tout ce qui peut poser problème : dénominateur nul, racine carrée, logarithme, etc.

👉 Si tu veux en savoir plus, consulte notre cours dédié : Ensemble de définition d’une fonction.

Étape 1 – Calculer la dérivée de la fonction

La première étape consiste à déterminer la dérivée de la fonction étudiée. La dérivée \(f'(x)\) représente le taux de variation instantané de \(f\) et indique la « pente » de la tangente à la courbe en chaque point.

Pour calculer une dérivée, on applique les règles de dérivation usuelles : dérivée d’une puissance (\((x^n)’ = nx^{n-1}\)), d’une somme (\((u+v)’ = u’+v’\)), d’un produit (\((uv)’ = u’v+uv’\)), ou d’un quotient (\(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v-uv’}{v^2}\)).

Pour un rappel complet des règles de dérivation et des formules usuelles, consultez notre cours complet sur les dérivées ainsi que le tableau des dérivées usuelles.

Étape 2 – Étudier le signe de la dérivée

L’étape cruciale consiste à déterminer où \(f'(x)\) est positive, négative ou nulle, car c’est le signe de \(f'(x)\) qui fixe les variations de \(f\) :

• Si \(f'(x)\) > \(0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si \(f'(x)\) < \(0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle.
• Si \(f'(x)=0\) en \(x_0\), alors \(x_0\) est un candidat à un extremum (à confirmer par un changement de signe de \(f’\)).

Étape 3 – Construire le tableau et placer les flèches

Une fois le signe de la dérivée établi, on peut construire le tableau de variation proprement dit. La structure du tableau est la suivante :

• Première ligne : On place les valeurs remarquables de \(x\) (bornes de l’ensemble de définition, points où \(f'(x) = 0\), valeurs interdites) dans l’ordre croissant.
• Deuxième ligne (optionnelle) : Le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle.
• Troisième ligne : Les variations de \(f(x)\) représentées par des flèches :
  • Flèche montante (↗) lorsque \(f'(x)\) > \(0\)
  • Flèche descendante (↘) lorsque \(f'(x)\) < \(0\)

On calcule ensuite les valeurs de \(f(x)\) aux points remarquables (là où \(f'(x) = 0\) ou aux bornes) et on les place aux extrémités des flèches.

Étape 4 – Identifier les extremums (maximum et minimum)

Un extremum est une valeur maximale ou minimale atteinte par la fonction. On distingue :

• Maximum local : La fonction \(f\) admet un maximum local en \(x_0\) si \(f’\) change de signe en passant de positif à négatif en \(x_0\). La fonction « monte puis descend ».
• Minimum local : La fonction \(f\) admet un minimum local en \(x_0\) si \(f’\) change de signe en passant de négatif à positif en \(x_0\). La fonction « descend puis monte ».

Pour identifier les extremums sur le tableau de variation, il suffit de repérer les points où les flèches changent de sens.

---

Tableaux de variation des fonctions de référence (Aperçu)

Connaître les allures de base permet de gagner un temps précieux. Voici un rappel synthétique (cliquez sur les liens pour accéder aux cours détaillés).

Tableau de variation d’une fonction affine

L’allure d’une fonction affine \(f(x) = ax + b\) dépend uniquement du signe de a (le coefficient directeur).

Règle générale pour les fonctions affines :

• Si \(a\) > \(0\), la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a\) < \(0\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a = 0\), la fonction est constante (dérivée nulle partout).

Tableau de variation du second degré (parabole)

Pour une fonction polynôme du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\), la courbe est une parabole. Si \(a\) > \(0\), la fonction est décroissante puis croissante, atteignant un minimum en \(x = \frac{-b}{2a}\).

Tableau de variation de la fonction inverse

Le tableau de variation de la fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\) est le cas d’école parfait pour illustrer la valeur interdite en \(0\). La dérivée est \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\), qui est toujours strictement négative pour tout \(x \neq 0\).

---

Un exemple concret de tableau de variation plus complexe : fonction rationnelle

La méthode en 4 étapes s’applique à tous les types de fonctions. Voici des exemples progressifs illustrant la construction de tableaux de variation pour différentes familles de fonctions.

Les fonctions rationnelles présentent des valeurs interdites qui nécessitent une attention particulière dans le tableau de variation.

---

Pièges classiques

• Domaine absent : on ne sait pas où la fonction est définie → tableau faux (voir ensemble de définition).
• Valeur interdite mal notée : il faut une séparation nette (double barre) et deux colonnes distinctes si besoin.
• Confusion « signe » vs « variations » : le tableau de signe de \(f(x)\) n’est pas celui de \(f'(x)\).
• Oubli de \(f(a)\) aux points critiques.
• Conclusion trop forte : « maximum » alors que c’est juste un maximum local (ou juste une valeur lue sans comparaison aux bornes).

---

Exercices corrigés sur le tableau de variation

Voici une série d’exercices progressifs pour vous entraîner à construire et lire des tableaux de variation. Chaque exercice est suivi d’une correction détaillée.

Exercices niveau seconde

Exercice 1 – Dresser un tableau de variations à partir d’une courbe

On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie sur \([-3, 5]\). Dresser le tableau de variation de \(f\) en identifiant les extremums et les intervalles de monotonie.

Voir la correction de l’exercice 1

Méthode : Pour lire un tableau de variation sur une courbe, on repère :

• Les points où la courbe change de sens (maximum ou minimum)
• Les intervalles où la courbe monte (fonction croissante)
• Les intervalles où la courbe descend (fonction décroissante)
• Les valeurs aux points remarquables

Lecture graphique :

• En \(x = -3\) : \(f(-3) = 2\)
• La fonction croît de \(x = -3\) à \(x = -1\)
• En \(x = -1\) : maximum local avec \(f(-1) = 4\)
• La fonction décroît de \(x = -1\) à \(x = 2\)
• En \(x = 2\) : minimum local avec \(f(2) = -1\)
• La fonction croît de \(x = 2\) à \(x = 5\)
• En \(x = 5\) : \(f(5) = 3\)

Tableau de variation :

Conclusion : La fonction admet un maximum local en \(x = -1\) (valeur 4) et un minimum local en \(x = 2\) (valeur −1).

---

Exercices niveau première

Exercice 2 – Polynôme du troisième degré

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction de l’exercice 2

Étape 1 : Calcul de la dérivée
\(f'(x) = 3x^2 – 12x + 9\)

Étape 2 : Signe de la dérivée
On factorise : \(f'(x) = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\)

\(f'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x = 1\) ou \(x = 3\)

Tableau de signes :
• \(x\) < \(1\) : \((x-1)\) < \(0\) et \((x-3)\) < \(0\), donc \(f'(x)\) > \(0\)
• \(1\) < \(x\) < \(3\) : \((x-1)\) > \(0\) et \((x-3)\) < \(0\), donc \(f'(x)\) < \(0\)
• \(x\) > \(3\) : \((x-1)\) > \(0\) et \((x-3)\) > \(0\), donc \(f'(x)\) > \(0\)

Étape 3 : Calcul des valeurs aux extremums
\(f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5\)
\(f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1\)

Étape 4 : Tableau de variation

Conclusion : La fonction admet un maximum local en \(x = 1\) (valeur 5) et un minimum local en \(x = 3\) (valeur 1).

---

Exercice 3 – Fonction rationnelle avec deux valeurs interdites

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = \frac{x}{x^2 – 4}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

Voir la correction de l’exercice 3

Étape 1 : Calcul de la dérivée
On applique \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\) avec \(u = x\) et \(v = x^2 – 4\) :

\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-4) – x \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{x^2 – 4 – 2x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2 – 4}{(x^2-4)^2}\)

Étape 2 : Signe de la dérivée
Le numérateur \(-x^2 – 4\) < \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (somme de deux termes négatifs).
Le dénominateur \((x^2-4)^2\) > \(0\) pour tout \(x \neq \pm 2\).
Donc \(f'(x)\) < \(0\) pour tout \(x \neq \pm 2\).

Étape 3 et 4 : Tableau de variation

Conclusion : La fonction est strictement décroissante sur chacun des trois intervalles \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 2[\) et \(]2, +\infty[\), mais elle n’est pas monotone sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

---

Exercice 4 – Fonction avec exponentielle (produit)

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = (2x + 1)e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction de l’exercice 4

Étape 1 : Calcul de la dérivée
On applique \((uv)’ = u’v + uv’\) avec \(u = 2x + 1\) et \(v = e^{-x}\) :

\(f'(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x+1) \cdot (-e^{-x})\)
\(= e^{-x}(2 – 2x – 1) = e^{-x}(1 – 2x)\)

Étape 2 : Signe de la dérivée
Comme \(e^{-x}\) > \(0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1 – 2x\).

\(1 – 2x = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{1}{2}\)

Pour \(x\) < \(\frac{1}{2}\) : \(f'(x)\) > \(0\)
Pour \(x\) > \(\frac{1}{2}\) : \(f'(x)\) < \(0\)

Étape 3 : Calcul de la valeur à l’extremum
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 1)e^{-\frac{1}{2}} = 2e^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{e}}\)

Étape 4 : Tableau de variation

Note : \(\lim_{x \to -\infty} (2x+1)e^{-x} = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} (2x+1)e^{-x} = 0\) (croissance exponentielle l’emporte sur croissance polynomiale).

Conclusion : La fonction admet un maximum en \(x = \frac{1}{2}\), de valeur \(\frac{2}{\sqrt{e}}\).

---

Exercices niveau terminale

Exercice 5 – Fonction ln(u)

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction de l’exercice 5

Étape 1 : Calcul de la dérivée
On applique la formule de dérivation composée \((\ln(u))’ = \frac{u’}{u}\) :

\(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)

Étape 2 : Signe de la dérivée
Le dénominateur \(x^2 + 1\) > \(0\) pour tout \(x\).
Le signe de \(f'(x)\) est donc celui du numérateur \(2x\).

\(f'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x = 0\)
Pour \(x\) < \(0\) : \(f'(x)\) < \(0\)
Pour \(x\) > \(0\) : \(f'(x)\) > \(0\)

Étape 3 : Calcul de la valeur à l’extremum
\(f(0) = \ln(1) = 0\)

Étape 4 : Tableau de variation

Conclusion : La fonction admet un minimum global en \(x = 0\), de valeur \(f(0) = 0\).

---

Exercice 6 – Fonction trigonométrique

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = 2\sin(x) + \cos(2x)\) sur l’intervalle \([0, \pi]\).

Voir la correction de l’exercice 6

Étape 1 : Calcul de la dérivée
\(f'(x) = 2\cos(x) – 2\sin(2x)\)
En utilisant \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) :
\(f'(x) = 2\cos(x)(1 – 2\sin(x))\)

Étape 2 : Signe de la dérivée
\(f'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\cos(x) = 0\) ou \(1 – 2\sin(x) = 0\)

Sur \([0, \pi]\) :
• \(\cos(x) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{\pi}{2}\)
• \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{\pi}{6}\) ou \(x = \frac{5\pi}{6}\)

Étude du signe sur \([0, \pi]\) :
• Sur \([0, \frac{\pi}{6}[\) : \(\cos(x)\) > \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) > \(0\), donc \(f'(x)\) > \(0\)
• Sur \(]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}[\) : \(\cos(x)\) > \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) < \(0\), donc \(f'(x)\) < \(0\)
• Sur \(]\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}[\) : \(\cos(x)\) < \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) < \(0\), donc \(f'(x)\) > \(0\)
• Sur \(]\frac{5\pi}{6}, \pi]\) : \(\cos(x)\) < \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) > \(0\), donc \(f'(x)\) < \(0\)

Étape 3 : Calcul des valeurs
\(f(0) = 0 + 1 = 1\)
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}\)
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 + \cos(\pi) = 2 – 1 = 1\)
\(f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}\)
\(f(\pi) = 0 + \cos(2\pi) = 1\)

Étape 4 : Tableau de variation

Conclusion : La fonction admet deux maximums locaux identiques en \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\) (valeur \(\frac{3}{2}\)), et un minimum local en \(x = \frac{\pi}{2}\) (valeur \(1\)).

Pour approfondir votre maîtrise des fonctions, consultez également nos pages sur les exercices sur les fonctions en 3ème, les exercices en seconde et les exercices sur la fonction affine.

---

Tableau de variation en LaTeX (modèles prêts à copier + outils en ligne)

Si tu cherches « latex tableau de variation« , c’est souvent pour gagner du temps en rédaction (DM, fiche, rapport). Voici 2 modèles simples et robustes, puis des outils utiles pour vérifier (sans remplacer la méthode).

Modèle 1 — Tableau simple (1 extremum)

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & a & +\infty \\
\hline
f(x) & \nearrow & f(a) & \searrow
\end{array}
\]

Modèle 2 — Valeur interdite (double barre) au point \(c\)

\[
\begin{array}{c|cc|c|cc}
x & -\infty &  & c &  & +\infty \\
\hline
f(x) & \nearrow &  & \Vert &  & \searrow
\end{array}
\]

Outils en ligne (pour vérifier rapidement)

• GeoGebra / Desmos : visualiser la courbe, repérer un extremum, contrôler la cohérence du tableau.
• CAS (calcul formel) : dériver, factoriser, résoudre \(f'(x)=0\).

Ce qu’un outil ne garantit pas

• le domaine correctement justifié (valeurs interdites),
• la rédaction propre du tableau (double barre, limites),
• l’exploitation du tableau (comparaisons, nombre de solutions de \(f(x)=k\)).

---

Foire Aux Questions (FAQ)

---

Pour aller plus loin dans le chapitre « fonctions »

• Fonctions en maths (page pilier) — définitions, vocabulaire, méthodes.
• Ensemble de définition — le point n°1 qui fait rater un tableau.
• Image et antécédent — indispensable pour lire/exploiter un tableau.
• Parité (paire / impaire) — utile pour accélérer certaines études.
• Convexité / concavité — pour aller plus fin (surtout au lycée/prépa).