L’étude des fonctions en maths repose sur un outil fondamental : le tableau de variation d’une fonction. Que tu sois en classe de Seconde pour une simple lecture graphique, ou en Terminale et Prépa pour une étude analytique poussée, maîtriser cet outil est incontournable.

Comment faire un tableau de variation sans erreur ? Comment relier le signe de la dérivée à la monotonie de la courbe ? Dans ce cours complet, tu trouveras une méthode pas à pas pour dresser un tableau de variations rigoureux, déjouer les pièges classiques et t’entraîner avec des exercices corrigés.

Si tu veux revoir les bases du chapitre « fonctions » (définitions, vocabulaire, lecture de courbes), commence par :

Qu’est-ce qu’un tableau de variation ?

Définition et utilité mathématique

Définition. Un tableau de variation d’une fonction \(f\) est un tableau qui indique, sur chaque intervalle de son domaine, si \(f\) est croissante ou décroissante, et qui précise les valeurs de \(f\) aux points importants (extrémités, points critiques, ruptures…).

Cet outil est extrêmement puissant. Il permet non seulement de comprendre l’allure générale de la courbe représentative, mais aussi de repérer les extrema (le minimum local et le maximum absolu). Par ailleurs, étudier au préalable la parité des fonctions ou leur périodicité permet souvent de réduire la taille de ce tableau et de simplifier l’étude.

Comprendre la structure graphique

Un tableau de variation standard se compose généralement de trois lignes horizontales :

  • La ligne des abscisses (\(x\)) : Elle indique le domaine de définition, les valeurs annulant la dérivée et les valeurs interdites.
  • La ligne du signe de la dérivée (\(f^\prime(x)\)) : Indispensable à partir de la classe de Première, elle indique par un \(+\) ou un \(–\) le signe de la fonction dérivée.
  • La ligne des variations de \(f(x)\) : Elle matérialise la monotonie par des flèches qui montent (↗) ou qui descendent (↘), et précise les valeurs remarquables (extrema, limites).

Notation cruciale : Une valeur interdite (une valeur de \(x\) pour laquelle la fonction n’est pas définie, comme \(0\) pour la fonction inverse) est toujours matérialisée par une double barre verticale (||) qui traverse les lignes du tableau.

Comment lire un tableau de variation (sans se tromper)

Lire un tableau de variation, c’est savoir répondre à 4 questions :

  1. Sur quel intervalle la fonction est-elle croissante ? décroissante ?
  2. Quels sont ses extrema (minimum/maximum) et où sont-ils atteints ?
  3. Quelles valeurs prend la fonction à des points précis ?
  4. Y a-t-il une rupture (fonction non définie, asymptote verticale, trou…) ?

Exemple de lecture (tableau « classique » avec un minimum en \(x=2\)) :

Tableau de variation d'une fonction avec un minimum en x = 2 : f décroissante sur ]-∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[
Exemple : lire un tableau de variation
  • \(f\) est décroissante sur \((-\infty,2]\).
  • \(f\) est croissante sur \([2,+\infty)\).
  • \(f\) admet un minimum en \(x=2\) (valeur : à lire/calculer si elle est indiquée).

Erreur classique. Confondre « minimum en \(x=2\) » et « minimum égal à \(2\) ».

Le point où le minimum est atteint est une valeur de \(x\). La valeur du minimum est \(f(2)\).

Méthode pour construire un tableau de variation (4 étapes)

La construction d’un tableau de variation repose sur une méthode systématique en quatre étapes. Cette méthode s’applique à toutes les fonctions dérivables et constitue le cœur de l’étude des variations.

Étape 0 — Déterminer l’ensemble de définition

On note le domaine \(\mathcal{D}_f\). On repère tout ce qui peut poser problème : dénominateur nul, racine carrée, logarithme, etc.

Si tu veux en savoir plus, consulte le cours dédié : Ensemble de définition d’une fonction.

Étape 1 — Calculer la dérivée de la fonction

La première étape consiste à déterminer la dérivée de la fonction étudiée. La dérivée \(f^\prime(x)\) représente le taux de variation instantané de \(f\) et indique la « pente » de la tangente à la courbe en chaque point.

Pour calculer une dérivée, on applique les règles de dérivation usuelles : dérivée d’une puissance (\((x^n)^\prime = nx^{n-1}\)), d’une somme (\((u+v)^\prime = u^\prime+v^\prime\)), d’un produit (\((uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime\)), ou d’un quotient (\(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}\)).

Pour un rappel complet des règles de dérivation et des formules usuelles, consulte le cours complet sur les dérivées ainsi que le tableau des dérivées usuelles.

Exemple : Soit \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).

On dérive terme à terme :

\(f^\prime(x) = 2x – 4\)

Étape 2 — Étudier le signe de la dérivée

L’étape cruciale consiste à déterminer où \(f^\prime(x)\) est positive, négative ou nulle, car c’est le signe de \(f^\prime(x)\) qui fixe les variations de \(f\) :

  • Si \(f^\prime(x)\) > \(0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
  • Si \(f^\prime(x)\) < \(0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle.
  • Si \(f^\prime(x)=0\) en \(x_0\), alors \(x_0\) est un candidat à un extremum (à confirmer par un changement de signe de \(f^\prime\)).

Méthode rapide :

  1. Étudier le signe sur chaque intervalle en résolvant \(f^\prime(x)\) > \(0\) / \(f^\prime(x)\) < \(0\) (souvent via factorisation ou signe d’un produit/quotient).
  2. En déduire les variations de \(f\) et repérer les changements de signe (max/min).

Exemple (suite) : Pour \(f^\prime(x) = 2x – 4\) :

On résout \(2x-4\) > \(0\) ⇔ \(x\) > \(2\) (donc \(f^\prime\) est positif à droite de 2).

Tableau de signes de \(f^\prime(x)\) :

Tableau de signes de f'(x) = 2x − 4 : négatif avant 2, nul en 2, positif après 2

Attention : Ne confonds jamais le signe de \(f(x)\) avec le signe de \(f^\prime(x)\). Une fonction peut être négative tout en étant croissante (exemple : \(f(x) = x – 5\) sur l’intervalle \([0, 3]\)).

Étape 3 — Construire le tableau et placer les flèches

Une fois le signe de la dérivée établi, on peut construire le tableau de variation proprement dit. La structure du tableau est la suivante :

  • Première ligne : On place les valeurs remarquables de \(x\) (bornes de l’ensemble de définition, points où \(f^\prime(x) = 0\), valeurs interdites) dans l’ordre croissant.
  • Deuxième ligne (optionnelle) : Le signe de \(f^\prime(x)\) sur chaque intervalle.
  • Troisième ligne : Les variations de \(f(x)\) représentées par des flèches :
    • Flèche montante (↗) lorsque \(f^\prime(x)\) > \(0\)
    • Flèche descendante (↘) lorsque \(f^\prime(x)\) < \(0\)

On calcule ensuite les valeurs de \(f(x)\) aux points remarquables (là où \(f^\prime(x) = 0\) ou aux bornes) et on les place aux extrémités des flèches.

Exemple (suite) : Pour \(f(x) = x^2 – 4x + 3\), on calcule \(f(2) = 4 – 8 + 3 = -1\).

Le tableau de variation s’écrit :

Tableau de variation de f(x) = x² − 4x + 3 : décroissante de +∞ à −1 en x = 2, puis croissante de −1 à +∞

Étape 4 — Identifier les extremums (maximum et minimum)

Un extremum est une valeur maximale ou minimale atteinte par la fonction. On distingue :

  • Maximum local : La fonction \(f\) admet un maximum local en \(x_0\) si \(f^\prime\) change de signe en passant de positif à négatif en \(x_0\). La fonction « monte puis descend ».
  • Minimum local : La fonction \(f\) admet un minimum local en \(x_0\) si \(f^\prime\) change de signe en passant de négatif à positif en \(x_0\). La fonction « descend puis monte ».

Pour identifier les extremums sur le tableau de variation, il suffit de repérer les points où les flèches changent de sens.

Extrema globaux : Un maximum global est la plus grande valeur atteinte par \(f\) sur tout son ensemble de définition. Un minimum global est la plus petite valeur. Un extremum local n’est pas forcément global.

Exemple (suite) : Pour \(f(x) = x^2 – 4x + 3\), la fonction admet un minimum global en \(x = 2\), où \(f(2) = -1\). Elle n’a pas de maximum (la fonction tend vers \(+\infty\) aux deux bornes).

Piège classique : Si \(f^\prime(x_0) = 0\), cela ne garantit PAS automatiquement un extremum. Il faut que \(f^\prime\) change effectivement de signe. Contre-exemple : \(f(x) = x^3\) en \(x = 0\). On a \(f^\prime(0) = 0\) mais \(f^\prime\) est positive de part et d’autre, donc pas d’extremum.

Tableaux de variation des fonctions de référence

Connaître les allures de base permet de gagner un temps précieux. Voici un rappel synthétique (clique sur les liens pour accéder aux cours détaillés).

Tableau de variation d’une fonction affine

L’allure d’une fonction affine \(f(x) = ax + b\) dépend uniquement du signe de \(a\) (le coefficient directeur).

Tableau de variation de f(x) = ax + b avec a positif : strictement croissante de −∞ à +∞
Variations de f(x) = ax + b si a > 0

Règle générale pour les fonctions affines :

  • Si \(a\) > \(0\), la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  • Si \(a\) < \(0\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  • Si \(a = 0\), la fonction est constante (dérivée nulle partout).

Tableau de variation du second degré (parabole)

Pour une fonction polynôme du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\), la courbe est une parabole. Si \(a\) > \(0\), la fonction est décroissante puis croissante, atteignant un minimum en \(x = \displaystyle\frac{-b}{2a}\).

Tableau de variation de la fonction inverse

Le tableau de variation de la fonction inverse \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) est le cas d’école parfait pour illustrer la valeur interdite en \(0\). La dérivée est \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{-1}{x^2}\), qui est toujours strictement négative pour tout \(x \neq 0\).

Tableau de variation de la fonction inverse 1/x : décroissante sur ]−∞ ; 0[ de 0 à −∞, double barre en 0, décroissante sur ]0 ; +∞[ de +∞ à 0
Variations de la fonction inverse

Un exemple concret plus complexe : fonction rationnelle

La méthode en 4 étapes s’applique à tous les types de fonctions. Les fonctions rationnelles présentent des valeurs interdites qui nécessitent une attention particulière dans le tableau de variation.

Exemple : Soit \(f(x) = \displaystyle\frac{x^2 – 1}{x – 2}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Étape 1 : On applique la formule du quotient :

\(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{(2x)(x-2) – (x^2-1)(1)}{(x-2)^2} = \displaystyle\frac{2x^2 – 4x – x^2 + 1}{(x-2)^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 4x + 1}{(x-2)^2}\)

Étape 2 : Le dénominateur \((x-2)^2\) est toujours positif (sauf en \(x=2\) où la fonction n’existe pas). Le signe de \(f^\prime(x)\) est donc celui du numérateur.

On résout \(x^2 – 4x + 1 = 0\) : \(\Delta = 16 – 4 = 12\), d’où \(x = \displaystyle\frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)

Donc \(x_1 = 2 – \sqrt{3} \approx 0{,}27\) et \(x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73\)

Étapes 3 et 4 : On calcule \(f(2-\sqrt{3})\) et \(f(2+\sqrt{3})\), puis on construit le tableau.

Tableau de variation de f(x) = (x² − 1)/(x − 2) avec valeur interdite en x = 2 : croissante puis décroissante avec maximum local en 2−√3, double barre en x = 2, décroissante puis croissante avec minimum local en 2+√3

Note : La double barre verticale (‖) indique que \(x = 2\) est une valeur interdite.

Pièges classiques

  • Domaine absent : on ne sait pas où la fonction est définie → tableau faux (voir ensemble de définition).
  • Valeur interdite mal notée : il faut une séparation nette (double barre) et deux colonnes distinctes si besoin.
  • Confusion « signe » vs « variations » : le tableau de signe de \(f(x)\) n’est pas celui de \(f^\prime(x)\).
  • Oubli de \(f(a)\) aux points critiques : chaque changement de sens doit être accompagné de la valeur calculée.
  • Conclusion trop forte : « maximum » alors que c’est juste un maximum local (ou juste une valeur lue sans comparaison aux bornes).

Exercices corrigés sur le tableau de variation

Voici une série d’exercices progressifs pour t’entraîner à construire et lire des tableaux de variation. Chaque exercice est suivi d’une correction détaillée.

Exercices niveau Seconde

Exercice 1 — Dresser un tableau de variations à partir d’une courbe

On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie sur \([-3, 5]\). Dresser le tableau de variation de \(f\) en identifiant les extremums et les intervalles de monotonie.

Courbe représentative de f sur [−3 ; 5] passant par (−3 ; 2), maximum local en (−1 ; 4), minimum local en (2 ; −1) et (5 ; 3)
Courbe représentative de la fonction f sur [−3 ; 5]
▶ Voir la correction

Méthode : Pour lire un tableau de variation sur une courbe, on repère :

  • Les points où la courbe change de sens (maximum ou minimum)
  • Les intervalles où la courbe monte (fonction croissante)
  • Les intervalles où la courbe descend (fonction décroissante)
  • Les valeurs aux points remarquables

Lecture graphique :

  • En \(x = -3\) : \(f(-3) = 2\)
  • La fonction croît de \(x = -3\) à \(x = -1\)
  • En \(x = -1\) : maximum local avec \(f(-1) = 4\)
  • La fonction décroît de \(x = -1\) à \(x = 2\)
  • En \(x = 2\) : minimum local avec \(f(2) = -1\)
  • La fonction croît de \(x = 2\) à \(x = 5\)
  • En \(x = 5\) : \(f(5) = 3\)

Tableau de variation :

Tableau de variation de f sur [−3 ; 5] : croissante de 2 à 4 (max en x = −1), décroissante de 4 à −1 (min en x = 2), croissante de −1 à 3

Conclusion : La fonction admet un maximum local en \(x = -1\) (valeur 4) et un minimum local en \(x = 2\) (valeur −1).

Exercices niveau Première

Exercice 2 — Polynôme du troisième degré

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

▶ Voir la correction

Étape 1 : Calcul de la dérivée

\(f^\prime(x) = 3x^2 – 12x + 9\)

Étape 2 : Signe de la dérivée

On factorise : \(f^\prime(x) = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\)

\(f^\prime(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x = 3\)

Tableau de signes :

  • \(x\) < \(1\) : \((x-1)\) < \(0\) et \((x-3)\) < \(0\), donc \(f^\prime(x)\) > \(0\)
  • \(1\) < \(x\) < \(3\) : \((x-1)\) > \(0\) et \((x-3)\) < \(0\), donc \(f^\prime(x)\) < \(0\)
  • \(x\) > \(3\) : \((x-1)\) > \(0\) et \((x-3)\) > \(0\), donc \(f^\prime(x)\) > \(0\)

Étape 3 : Calcul des valeurs aux extremums

\(f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5\)
\(f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1\)

Étape 4 : Tableau de variation

Tableau de variation de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 : croissante de −∞ à 5 (max local en x = 1), décroissante de 5 à 1 (min local en x = 3), croissante de 1 à +∞

Conclusion : La fonction admet un maximum local en \(x = 1\) (valeur 5) et un minimum local en \(x = 3\) (valeur 1).

Exercice 3 — Fonction rationnelle avec deux valeurs interdites

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2 – 4}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

▶ Voir la correction

Étape 1 : Calcul de la dérivée

On applique \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime v – uv^\prime}{v^2}\) avec \(u = x\) et \(v = x^2 – 4\) :

\(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{1 \cdot (x^2-4) – x \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 4 – 2x^2}{(x^2-4)^2} = \displaystyle\frac{-x^2 – 4}{(x^2-4)^2}\)

Étape 2 : Signe de la dérivée

Le numérateur \(-x^2 – 4\) < \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (somme de deux termes négatifs).

Le dénominateur \((x^2-4)^2\) > \(0\) pour tout \(x \neq \pm 2\).

Donc \(f^\prime(x)\) < \(0\) pour tout \(x \neq \pm 2\).

Étapes 3 et 4 : Tableau de variation

Tableau de variation de f(x) = x/(x² − 4) : décroissante sur chacun des trois intervalles ]−∞ ; −2[, ]−2 ; 2[ et ]2 ; +∞[, avec doubles barres en x = −2 et x = 2

Conclusion : La fonction est strictement décroissante sur chacun des trois intervalles \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 2[\) et \(]2, +\infty[\), mais elle n’est pas monotone sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

Exercice 4 — Fonction avec exponentielle (produit)

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = (2x + 1)e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

▶ Voir la correction

Étape 1 : Calcul de la dérivée

On applique \((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\) avec \(u = 2x + 1\) et \(v = e^{-x}\) :

\(f^\prime(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x+1) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2 – 2x – 1) = e^{-x}(1 – 2x)\)

Étape 2 : Signe de la dérivée

Comme \(e^{-x}\) > \(0\) pour tout \(x\), le signe de \(f^\prime(x)\) est celui de \(1 – 2x\).

\(1 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{1}{2}\)

  • Pour \(x\) < \(\displaystyle\frac{1}{2}\) : \(f^\prime(x)\) > \(0\)
  • Pour \(x\) > \(\displaystyle\frac{1}{2}\) : \(f^\prime(x)\) < \(0\)

Étape 3 : Calcul de la valeur à l’extremum

\(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \left(2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + 1\right)e^{-\frac{1}{2}} = 2e^{-\frac{1}{2}} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{e}}\)

Étape 4 : Tableau de variation

Tableau de variation de f(x) = (2x+1)e^(−x) : croissante de −∞ à 2/√e (max en x = 1/2), puis décroissante de 2/√e à 0

Note : \(\lim_{x \to -\infty} (2x+1)e^{-x} = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} (2x+1)e^{-x} = 0\) (croissance exponentielle l’emporte sur croissance polynomiale).

Conclusion : La fonction admet un maximum en \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\), de valeur \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{e}}\).

Exercices niveau Terminale

Exercice 5 — Fonction ln(u)

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) définie sur \(\mathbb{R}\).

▶ Voir la correction

Étape 1 : Calcul de la dérivée

On applique la formule de dérivation composée \((\ln(u))^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime}{u}\) :

\(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{2x}{x^2 + 1}\)

Étape 2 : Signe de la dérivée

Le dénominateur \(x^2 + 1\) > \(0\) pour tout \(x\).

Le signe de \(f^\prime(x)\) est donc celui du numérateur \(2x\).

\(f^\prime(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

  • Pour \(x\) < \(0\) : \(f^\prime(x)\) < \(0\)
  • Pour \(x\) > \(0\) : \(f^\prime(x)\) > \(0\)

Étape 3 : Calcul de la valeur à l’extremum

\(f(0) = \ln(1) = 0\)

Étape 4 : Tableau de variation

Tableau de variation de f(x) = ln(x² + 1) : décroissante de +∞ à 0 (min global en x = 0), puis croissante de 0 à +∞

Conclusion : La fonction admet un minimum global en \(x = 0\), de valeur \(f(0) = 0\).

Exercice 6 — Fonction trigonométrique

Dresser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = 2\sin(x) + \cos(2x)\) sur l’intervalle \([0, \pi]\).

▶ Voir la correction

Étape 1 : Calcul de la dérivée

\(f^\prime(x) = 2\cos(x) – 2\sin(2x)\)

En utilisant \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) :

\(f^\prime(x) = 2\cos(x)(1 – 2\sin(x))\)

Étape 2 : Signe de la dérivée

\(f^\prime(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = 0\) ou \(1 – 2\sin(x) = 0\)

Sur \([0, \pi]\) :

  • \(\cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)
  • \(\sin(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{6}\) ou \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\)

Étude du signe sur \([0, \pi]\) :

  • Sur \(\left[0, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right[\) : \(\cos(x)\) > \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) > \(0\), donc \(f^\prime(x)\) > \(0\)
  • Sur \(\left]\displaystyle\frac{\pi}{6}, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\) : \(\cos(x)\) > \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) < \(0\), donc \(f^\prime(x)\) < \(0\)
  • Sur \(\left]\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{5\pi}{6}\right[\) : \(\cos(x)\) < \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) < \(0\), donc \(f^\prime(x)\) > \(0\)
  • Sur \(\left]\displaystyle\frac{5\pi}{6}, \pi\right]\) : \(\cos(x)\) < \(0\) et \(1 – 2\sin(x)\) > \(0\), donc \(f^\prime(x)\) < \(0\)

Étape 3 : Calcul des valeurs

\(f(0) = 0 + 1 = 1\)
\(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{3}{2}\)
\(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 + \cos(\pi) = 2 – 1 = 1\)
\(f\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + \cos\left(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{3}{2}\)
\(f(\pi) = 0 + \cos(2\pi) = 1\)

Étape 4 : Tableau de variation

Tableau de variation de f(x) = 2sin(x) + cos(2x) sur [0 ; π] : croissante de 1 à 3/2 (max en π/6), décroissante de 3/2 à 1 (min en π/2), croissante de 1 à 3/2 (max en 5π/6), décroissante de 3/2 à 1

Conclusion : La fonction admet deux maximums locaux identiques en \(x = \displaystyle\frac{\pi}{6}\) et \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\) (valeur \(\displaystyle\frac{3}{2}\)), et un minimum local en \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) (valeur \(1\)).

Pour approfondir ta maîtrise des fonctions, consulte également les exercices sur les fonctions en 3ème, les exercices en Seconde et les exercices sur la fonction affine.

Tu veux progresser rapidement en maths et maîtriser parfaitement l’étude de fonctions ? Découvre les cours particuliers en ligne Excellence Maths, dispensés par des professeurs diplômés de Polytechnique, Centrale et Mines.

Tableau de variation en LaTeX (modèles prêts à copier)

Si tu cherches « latex tableau de variation », c’est souvent pour gagner du temps en rédaction (DM, fiche, rapport). Voici 2 modèles simples et robustes, puis des outils utiles pour vérifier (sans remplacer la méthode).

Modèle 1 — Tableau simple (1 extremum)

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & a & +\infty \\
\hline
f(x) & \nearrow & f(a) & \searrow
\end{array}
\]

Modèle 2 — Valeur interdite (double barre) au point c

\[
\begin{array}{c|cc|c|cc}
x & -\infty &  & c &  & +\infty \\
\hline
f(x) & \nearrow &  & \Vert &  & \searrow
\end{array}
\]

Conseil LaTeX : Un rendu « pro » vient surtout de la cohérence : mêmes bornes, mêmes points clés, valeurs \(f(a)\) calculées, et séparation nette des valeurs interdites.

Outils en ligne (pour vérifier rapidement)

  • GeoGebra / Desmos : visualiser la courbe, repérer un extremum, contrôler la cohérence du tableau.
  • CAS (calcul formel) : dériver, factoriser, résoudre \(f^\prime(x)=0\).

Ce qu’un outil ne garantit pas

  • le domaine correctement justifié (valeurs interdites),
  • la rédaction propre du tableau (double barre, limites),
  • l’exploitation du tableau (comparaisons, nombre de solutions de \(f(x)=k\)).

Piège « outil » : Un grapheur peut lisser la courbe et masquer une rupture ou une valeur interdite. Toujours vérifier le domaine avant de « valider » un tableau.

Questions fréquentes sur le tableau de variation


Comment faire un tableau de variations ?

Méthode en 5 étapes : (1) déterminer le domaine, (2) repérer les points qui découpent le domaine, (3) obtenir le sens de variation (lecture graphique ou signe de \(f^\prime(x)\)), (4) calculer les valeurs utiles, (5) remplir le tableau avec ↗ / ↘ et les valeurs clés.

Qu'est-ce qu'un tableau de variation d'une fonction ?

C’est un tableau qui résume, sur chaque intervalle du domaine, si la fonction est croissante ou décroissante, et qui indique les valeurs importantes (minimum, maximum, valeurs aux bornes, etc.).

Quelle est la formule de la variation ?

Il n’existe pas une « formule unique ». Le critère le plus utilisé au lycée est : si \(f^\prime(x)\) > \(0\) sur un intervalle, alors \(f\) y est croissante ; si \(f^\prime(x)\) < \(0\), alors \(f\) y est décroissante.

Comment lire un tableau de variation ?

Repère les flèches montantes (↗ = croissante) et descendantes (↘ = décroissante). Les points hauts correspondent aux maximums locaux, les points bas aux minimums locaux. Les doubles barres verticales (‖) signalent les valeurs interdites. Les valeurs de \(f(x)\) aux extrémités des flèches indiquent les valeurs atteintes par la fonction.

Quelle est la différence entre tableau de signes et tableau de variation ?

Le tableau de signes indique où une expression est positive, négative ou nulle. Le tableau de variation indique où une fonction est croissante ou décroissante. En pratique, on étudie d’abord le signe de \(f^\prime(x)\) (tableau de signes), puis on en déduit les variations de \(f\) (tableau de variation).


Pour aller plus loin dans le chapitre fonctions

Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers en ligne Excellence Maths pour un accompagnement personnalisé par un professeur diplômé de Polytechnique, Centrale ou Mines.