Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Cette page te donne la définition, la liste des 25 nombres premiers de 1 à 100, la méthode pour tester si un nombre est premier (test jusqu’à la racine carrée), et des exercices corrigés progressifs.
Définition. Un entier naturel \(p\) est un nombre premier si \(p\) > \(1\) et si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\).
Autrement dit : on ne peut pas écrire \(p = a \times b\) avec \(a\) et \(b\) des entiers strictement plus grands que 1.
Contexte. Les nombres premiers font partie du chapitre nombres entiers. Ils sont indispensables pour la décomposition en facteurs premiers, les critères de divisibilité et le calcul du PGCD et PPCM.
Pour t’entraîner : exercices nombres entiers (tous niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).
Définition : qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Exemples et contre-exemples
Dire que \(d\) est un diviseur de \(n\), c’est dire que \(n\) est un multiple de \(d\). On le note \(d \mid n\). Pour repérer rapidement les diviseurs d’un nombre, utilise les critères de divisibilité.
Exemples rapides
- \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) sont premiers (exactement 2 diviseurs chacun).
- \(4\) n’est pas premier (diviseurs : \(1\), \(2\), \(4\)).
- \(9\) n’est pas premier (diviseurs : \(1\), \(3\), \(9\)).
Piège classique. Un nombre peut être impair sans être premier : par exemple \(9\), \(15\), \(21\)… « Impair » ne veut pas dire « premier ».
Nombres premiers vs nombres composés
Un nombre qui n’est pas premier (et qui est strictement supérieur à 1) est appelé nombre composé. Un nombre composé possède au moins trois diviseurs.
Exemple : 12 est un nombre composé.
Ses diviseurs sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 (six diviseurs). On peut écrire \(12 = 2 \times 6\) ou \(12 = 3 \times 4\). C’est le point de départ de la décomposition en facteurs premiers : \(12 = 2^2 \times 3\).
Cas particuliers : 0, 1 et 2
- \(0\) n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs).
- \(1\) n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur positif).
- \(2\) est premier, et c’est le seul nombre premier pair.
Erreur classique : considérer 1 comme premier.
Le nombre 1 ne possède qu’un seul diviseur : lui-même (car \(1 = 1 \times 1\)). Or, la définition exige exactement deux diviseurs distincts. Conclusion : 1 n’est ni premier, ni composé. C’est un cas particulier appelé l’unité en arithmétique.
Quels sont les nombres premiers ? (liste de 1 à 100)
Les premiers nombres premiers à retenir
Pour réviser efficacement, retiens au minimum : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\), \(29\), \(31\)…
Tableau des 25 nombres premiers jusqu’à 100
Il existe exactement 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 :
| Rangs 1–5 | Rangs 6–10 | Rangs 11–15 | Rangs 16–20 | Rangs 21–25 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 13 | 31 | 53 | 73 |
| 3 | 17 | 37 | 59 | 79 |
| 5 | 19 | 41 | 61 | 83 |
| 7 | 23 | 43 | 67 | 89 |
| 11 | 29 | 47 | 71 | 97 |
Ces 25 nombres reviennent fréquemment dans les exercices. Remarque : hormis 2, tous sont impairs et se terminent par 1, 3, 7 ou 9 (jamais par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8).
Astuce. Pour vérifier rapidement si un nombre est premier, commence par tester la divisibilité par \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\)… Les critères de divisibilité font gagner énormément de temps.
Au-delà de 100 : méthode plutôt que liste
Les requêtes du type « liste des nombres premiers jusqu’à 1 000 » existent, mais afficher une liste gigantesque n’aide pas à apprendre. Le plus utile, c’est :
- une méthode pour les retrouver (crible d’Ératosthène / test jusqu’à la racine carrée),
- et une ressource imprimable (PDF) si tu en as besoin pour des exercices.
Comment savoir si un nombre est premier ? (méthode efficace)
La question « comment savoir si un nombre est premier » revient tout le temps. La méthode dépend de la taille du nombre, mais l’idée est toujours la même : chercher un diviseur.
Approche de démarrage : tester les petits diviseurs
Méthode simple (pour commencer)
- Si \(n \leq 1\), alors \(n\) n’est pas premier.
- Si \(n = 2\), alors \(n\) est premier.
- Si \(n\) est pair, alors \(n\) n’est pas premier.
- Tester la divisibilité par 3, 5, 7, 11, 13… jusqu’à trouver un diviseur ou épuiser les possibilités.
Limite : cette méthode fonctionne pour les petits nombres, mais devient vite fastidieuse. Il existe une amélioration majeure.
Si tu n’es pas à l’aise avec « divisible par 3 », « divisible par 9 », etc., va directement à : critères de divisibilité.
Méthode optimisée : s’arrêter à la racine carrée
Propriété (très utile). Si un entier \(n\) n’est pas premier, alors il possède un diviseur \(d\) (différent de 1) qui est inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\).
Conséquence pratique : pour décider si \(n\) est premier, il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{n}\) (au-delà, c’est inutile).
Exemple : 91 est-il un nombre premier ?
Calculons \(\sqrt{91} \approx 9{,}54\). Il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à 9 : 2, 3, 5, 7.
- 91 est impair → 2 ne divise pas 91
- Somme des chiffres : \(9 + 1 = 10\), non divisible par 3
- 91 ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 ne divise pas 91
- \(91 \div 7 = 13\) → 7 divise 91
Conclusion : 91 n’est pas premier (\(91 = 7 \times 13\)).
Le crible d’Ératosthène
Le crible d’Ératosthène est un algorithme antique pour générer tous les nombres premiers jusqu’à un entier \(n\) donné. Il repose sur l’élimination successive des multiples.
Principe du crible d’Ératosthène (4 étapes)
- Écrire tous les entiers de 2 à \(n\).
- Le premier nombre non barré est 2 : on le garde et on barre tous ses multiples.
- On répète avec le nombre suivant non barré (3, puis 5, puis 7…) jusqu’à dépasser \(\sqrt{n}\).
- Tous les nombres non barrés sont premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier naturel supérieur à 1 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture unique s’appelle la décomposition en produit de facteurs premiers (théorème fondamental de l’arithmétique).
Par exemple : \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) ou \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\).
Cette décomposition permet de trouver tous les diviseurs d’un nombre, de simplifier des fractions, de calculer des PGCD et PPCM, et bien plus encore.
👉 Cours complet sur la décomposition en facteurs premiers (méthodes détaillées + exercices corrigés).
Nombres premiers entre eux
Définition. Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est 1, autrement dit si \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\).
Ne pas confondre : « nombre premier » et « nombres premiers entre eux ».
Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être eux-mêmes des nombres premiers.
Exemple : 15 et 28 sont premiers entre eux (car \(\mathrm{PGCD}(15, 28) = 1\)), bien que ni 15 (= 3 × 5) ni 28 (= 4 × 7) ne soient des nombres premiers.
Cette notion est essentielle pour les fractions irréductibles : \(\displaystyle\frac{a}{b}\) est irréductible si et seulement si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
👉 Cours complet sur le PGCD et le PPCM (calcul, algorithme d’Euclide, applications).
Exercices corrigés sur les nombres premiers
Pour une banque d’exercices plus large : exercices nombres entiers (multi-niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).
Niveau 5e–4e : reconnaissance
Exercice 1. Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers : 13, 15, 17, 20, 23 ?
▶ Voir la correction (Exercice 1)
- 13 : diviseurs 1 et 13 → premier.
- 15 : \(15 = 3 \times 5\) → pas premier.
- 17 : diviseurs 1 et 17 → premier.
- 20 : \(20 = 4 \times 5\) → pas premier.
- 23 : diviseurs 1 et 23 → premier.
Réponse : 13, 17 et 23.
Exercice 2. 51 est-il un nombre premier ? Justifier.
▶ Voir la correction (Exercice 2)
On teste la divisibilité par les petits nombres premiers :
- 51 est impair → 2 ne divise pas 51.
- Somme des chiffres : \(5 + 1 = 6\), divisible par 3.
- Donc \(51 = 3 \times 17\).
Conclusion : 51 n’est pas premier.
Exercice 3. Donner les 5 premiers nombres premiers après 30.
▶ Voir la correction (Exercice 3)
On teste successivement à partir de 31 :
- 31 : diviseurs 1 et 31 → premier.
- 32 à 36 : non premiers (pairs, multiples de 3 ou 5).
- 37 : diviseurs 1 et 37 → premier.
- 38 à 40 : non premiers.
- 41 : diviseurs 1 et 41 → premier.
- 42 : pair → non premier.
- 43 : diviseurs 1 et 43 → premier.
- 44 à 46 : non premiers.
- 47 : diviseurs 1 et 47 → premier.
Réponse : 31, 37, 41, 43 et 47.
Niveau 4e–3e : liste et propriétés
Exercice 4. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 50 et 100 ?
▶ Voir la correction (Exercice 4)
En consultant la liste : 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Réponse : il y a exactement 10 nombres premiers entre 50 et 100.
Exercice 5. 91 est-il un nombre premier ? Utiliser le test de la racine carrée.
▶ Voir la correction (Exercice 5)
\(\sqrt{91} \approx 9{,}54\). On teste 2, 3, 5, 7 :
- 91 est impair → 2 non.
- \(9 + 1 = 10\), pas divisible par 3.
- Ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 non.
- \(91 \div 7 = 13\) → 7 divise 91.
Conclusion : 91 n’est pas premier (\(91 = 7 \times 13\)).
Niveau lycée : tests et applications
Exercice 6. Montrer que 121 n’est pas un nombre premier.
▶ Voir la correction (Exercice 6)
\(\sqrt{121} = 11\). On teste 2, 3, 5, 7, 11 :
- 121 est impair → 2 non.
- \(1 + 2 + 1 = 4\), pas divisible par 3.
- Ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 non.
- \(121 \div 7 = 17{,}28\ldots\) → 7 non.
- \(121 \div 11 = 11\) → 11 divise 121.
Conclusion : \(121 = 11^2\), c’est un carré parfait, pas un nombre premier.
Exercice 7. 143 et 187 sont-ils premiers entre eux ?
▶ Voir la correction (Exercice 7)
Décomposons chaque nombre :
- \(143 = 11 \times 13\)
- \(187 = 11 \times 17\)
Ils partagent le diviseur commun 11. Donc 143 et 187 ne sont pas premiers entre eux. Pour la méthode complète : cours sur le PGCD.
Exercice 8. 103 est-il un nombre premier ?
▶ Voir la correction (Exercice 8)
\(\sqrt{103} \approx 10{,}15\). On teste 2, 3, 5, 7 :
- 103 est impair → 2 non.
- \(1 + 0 + 3 = 4\), pas divisible par 3.
- Ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 non.
- \(103 \div 7 = 14{,}71\ldots\) → 7 non.
Conclusion : 103 est un nombre premier.
Pour aller plus loin : propriétés avancées
Les nombres premiers recèlent des propriétés fascinantes qui continuent d’occuper les mathématiciens depuis l’Antiquité.
Théorème : infinité des nombres premiers (Euclide)
Théorème d’Euclide. Il existe une infinité de nombres premiers.
Esquisse de démonstration (par l’absurde) :
Supposons par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers. Notons-les \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Considérons le nombre \(N = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1\).
Ce nombre \(N\) n’est divisible par aucun des \(p_i\) (car la division donne toujours un reste de 1). Il est donc soit premier lui-même, soit divisible par un nombre premier qui n’est pas dans notre liste. Dans les deux cas, contradiction.
Nombres premiers remarquables
Les nombres de Mersenne sont de la forme \(M_p = 2^p – 1\) (avec \(p\) premier). Exemples : \(M_2 = 3\), \(M_3 = 7\), \(M_5 = 31\), \(M_7 = 127\). Attention : tous ne sont pas premiers (\(M_{11} = 2047 = 23 \times 89\)).
Les nombres de Fermat sont de la forme \(F_n = 2^{2^n} + 1\). Les cinq premiers (\(F_0\) à \(F_4\)) sont premiers, mais Euler a montré que \(F_5\) est composé. Aucun autre nombre de Fermat premier n’a été trouvé depuis.
Applications en cryptographie
Les nombres premiers jouent un rôle crucial en cryptographie moderne, notamment dans l’algorithme RSA. Le principe : multiplier deux grands nombres premiers est facile, mais factoriser le résultat est extrêmement difficile. Cette asymétrie est la base de la sécurité des paiements en ligne.
FAQ — Nombres premiers
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
C’est un entier naturel \(p\) avec \(p\) > \(1\) qui a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et \(p\).
Quels sont les nombres premiers de 1 à 100 ?
Les 25 nombres premiers de 1 à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Comment savoir si un nombre est premier ?
On teste s’il a un diviseur autre que 1 et lui-même. Méthode efficace : tester la divisibilité par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) jusqu’à \(\sqrt{n}\). Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier. Les critères de divisibilité accélèrent les tests.
2 est-il un nombre premier ?
Oui. \(2\) est premier car ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(2\). C’est aussi le seul nombre premier pair.
1 est-il un nombre premier ?
Non. Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même), alors que la définition exige exactement deux diviseurs distincts. 1 n’est ni premier ni composé.
Un nombre premier peut-il être négatif ?
Dans la définition scolaire, on parle des entiers naturels : les nombres premiers sont donc positifs. En maths avancées, on peut discuter de « premiers » dans d’autres ensembles, mais ce n’est pas l’objectif ici.
Quelle différence entre nombre premier et nombres premiers entre eux ?
Un nombre premier a exactement 2 diviseurs (1 et lui-même). Deux nombres premiers entre eux ont un PGCD égal à 1, mais ils ne sont pas forcément premiers eux-mêmes. Exemple : 15 et 28 sont premiers entre eux. Pour en savoir plus : PGCD et PPCM.
Pour aller plus loin
À explorer sur le thème des entiers :
- Cours complet : nombres entiers
- Entiers naturels (ℕ)
- Entiers relatifs (ℤ)
- Entiers consécutifs
- Critères de divisibilité
- Division euclidienne
- Décomposition en facteurs premiers
- PGCD et PPCM
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