Un nombre premier est un incontournable du collège… et une base solide pour la suite (divisibilité, fractions, décomposition, PGCD). Sur cette page, tu vas trouver une définition claire, la liste des nombres premiers de 1 à 100, une méthode fiable pour tester si un nombre est premier, et des exercices corrigés.
Conseil de méthode (parents/élèves)
- Si tu es en 5e–3e : vise la maîtrise des définitions, des listes (jusqu’à 100) et des tests simples.
- Si tu es au lycée : retiens surtout la méthode “jusqu’à la racine carrée” et le lien avec la décomposition.
- Si tu veux aller plus loin : tu peux ensuite enchaîner avec les critères de divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.
Définition : qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Définition mathématique
Définition. Un entier naturel \(p\) est un nombre premier si \(p\) > 1 et si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\).
Autrement dit : on ne peut pas écrire \(p\) comme un produit \(p = a \times b\) avec \(a\) et \(b\) des entiers strictement plus grands que 1.
Dire que \(d\) est un diviseur de \(n\), c’est dire que \(n\) est un multiple de \(d\). On le note : \(d \mid n\).
- Exemple : \(3 \mid 21\) (car \(21\) est un multiple de \(3\)).
- Contre-exemple : \(4\) ne divise pas \(21\) (car \(21\) n’est pas un multiple de \(4\)).
Exemples et contre-exemples (entiers vs non entiers, pairs, composés)
Exemples rapides
- \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) sont premiers.
- \(4\) n’est pas premier (il a \(1\), \(2\), \(4\) comme diviseurs).
- \(9\) n’est pas premier (diviseurs : \(1\), \(3\), \(9\)).
Piège classique
Un nombre peut être impair sans être premier : par exemple \(9\), \(15\), \(21\)… “Impair” ne veut pas dire “premier”.
Un nombre qui n’est pas premier (et qui est strictement supérieur à 1) est appelé nombre composé. Un nombre composé possède au moins trois diviseurs.
Exemple : 12 n’est pas un nombre premier
Les diviseurs de 12 dans l’ensemble des entiers naturels sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Le nombre 12 possède six diviseurs. Il ne peut donc pas être premier. On dit que 12 est un nombre composé.
On peut écrire 12 comme produit de nombres plus petits que lui : \(12 = 2 \times 6\) ou \(12 = 3 \times 4\).
Cas particuliers : 0, 1 et 2 (2 seul pair premier)
- \(0\) n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs).
- \(1\) n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur positif : \(1\)).
- \(2\) est premier, et c’est le seul nombre premier pair.
Erreur classique : considérer 1 comme premier
Le nombre 1 ne possède qu’un seul diviseur dans l’ensemble des entiers naturels : lui-même (car \(1 = 1 \times 1\)).
Or, la définition d’un nombre premier exige exactement deux diviseurs distincts : 1 et le nombre lui-même. Dans le cas de 1, ces deux « diviseurs » sont en réalité le même nombre.
Conclusion : 1 n’est ni premier, ni composé. C’est un cas particulier appelé l’unité en arithmétique.
Quels sont les nombres premiers ? (liste + repères)
Liste des nombres premiers (format lisible + “à retenir”)
Pour réviser efficacement, retiens au minimum les premiers nombres premiers : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\), \(29\), \(31\)…
Tableau “nombres premiers jusqu’à 100”
Il existe exactement 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. Les voici dans un tableau récapitulatif :
| Rangs 1-5 | Rangs 6-10 | Rangs 11-15 | Rangs 16-20 | Rangs 21-25 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 13 | 31 | 53 | 73 |
| 3 | 17 | 37 | 59 | 79 |
| 5 | 19 | 41 | 61 | 83 |
| 7 | 23 | 43 | 67 | 89 |
| 11 | 29 | 47 | 71 | 97 |
Ces 25 nombres sont à connaître, car ils reviennent fréquemment dans les exercices de collège et de lycée. Remarquez que, hormis 2, tous ces nombres premiers sont impairs et se terminent par 1, 3, 7 ou 9 (jamais par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8).
Astuce
Si tu veux vérifier rapidement si un nombre est premier, commence par tester la divisibilité par \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\)… Les critères de divisibilité font gagner énormément de temps.
“Jusqu’à 1000 / 10000” : ressource (PDF/outil) + mise en garde
Les requêtes du type “liste des nombres premiers jusqu’à \(1000\)” existent, mais afficher une liste gigantesque n’aide pas toujours à apprendre. Le plus utile, c’est :
- une méthode pour les retrouver (crible d’Eratosthène/ test jusqu’à la racine carrée),
- et une ressource imprimable (PDF) si tu en as besoin pour des exercices.
👉 Pour l’entraînement, privilégie la méthode dans la section Comment savoir si un nombre est premier ?.
Comment savoir si un nombre est premier ? (méthode efficace)
La question “comment savoir si un nombre est premier ?” revient tout le temps. La méthode dépend de la taille du nombre, mais l’idée est toujours la même : chercher un diviseur.
Approche de démarrage : tester les petits diviseurs
Lorsqu’on débute, la méthode la plus naturelle consiste à vérifier si le nombre \(n\) est divisible par 2, puis par 3, puis par 5, etc.
Méthode simple (pour commencer)
- Si \(n \leq 1\), alors \(n\) n’est pas premier.
- Si \(n = 2\), alors \(n\) est premier.
- Si \(n\) est pair, alors \(n\) n’est pas premier.
- Tester la divisibilité par 3, 5, 7, 11, 13… jusqu’à trouver un diviseur ou épuiser les possibilités.
Limite : Cette méthode fonctionne pour les petits nombres, mais devient vite fastidieuse. Il existe une amélioration majeure !
Si tu n’es pas à l’aise avec “divisible par 3”, “divisible par 9”, etc., va directement à : critères de divisibilité.
Méthode optimisée : s’arrêter à la racine carrée
Propriété (très utile). Si un entier \(n\) n’est pas premier, alors il possède un diviseur \(d\) (différent de 1) qui est inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\).
Conséquence pratique : pour décider si \(n\) est premier, il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{n}\) (au-delà, c’est inutile).
Exemple : 91 est-il un nombre premier ?
Calculons \(\sqrt{91} \approx 9{,}54\). Il suffit de tester les nombres premiers \(\leq 9{,}54\) : 2, 3, 5, 7.
- 91 est impair → 2 ne divise pas 91
- Somme des chiffres : \(9 + 1 = 10\), non divisible par 3 → 3 ne divise pas 91
- 91 ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 ne divise pas 91
- \(91 \div 7 = 13\) → 7 divise 91 ✓
Conclusion : 91 n’est pas premier (\(91 = 7 \times 13\)).
Sans la méthode \(\sqrt{n}\), on aurait dû tester aussi 11, 13, 17… jusqu’à 91. Ici, on s’arrête à 7 !
🎓 Le crible d’Ératosthène
Le crible d’Ératosthène est un algorithme antique pour générer tous les nombres premiers jusqu’à un entier \(n\) donné. Il repose sur l’élimination successive des multiples.
Principe du crible d’Ératosthène (4 étapes)
- Écrire tous les entiers de 2 à \(n\).
- Le premier nombre non barré est 2 : on le garde et on barre tous ses multiples.
- On répète avec le nombre suivant non barré (3, puis 5, puis 7…) jusqu’à dépasser \(\sqrt{n}\).
- Tous les nombres non barrés sont premiers.
Cet algorithme est particulièrement efficace pour générer des listes de nombres premiers en programmation.
🧮 Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture unique s’appelle la décomposition en produit de facteurs premiers.
Par exemple : \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) ou \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\).
Cette décomposition est fondamentale en arithmétique : elle permet de trouver tous les diviseurs d’un nombre, de simplifier des fractions, de calculer des PGCD et PPCM, et bien plus encore.
💡 Pour maîtriser cette notion essentielle : consultez notre cours complet sur la décomposition en produit de facteurs premiers, avec méthodes détaillées et exercices corrigés.
🤝 Nombres premiers entre eux
Définition : Nombres premiers entre eux
Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est 1, autrement dit si \(\text{PGCD}(a, b) = 1\).
Ne pas confondre : « nombre premier » et « nombres premiers entre eux »
Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être eux-mêmes des nombres premiers.
Exemple : 15 et 28 sont premiers entre eux (car \(\text{PGCD}(15, 28) = 1\)), bien que ni 15 (= 3 × 5) ni 28 (= 4 × 7) ne soient des nombres premiers.
Cette notion est essentielle pour déterminer si une fraction est irréductible : \(\frac{a}{b}\) est irréductible si et seulement si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
💡 Pour aller plus loin : découvrez comment calculer le PGCD de deux nombres et toutes les applications des nombres premiers entre eux dans notre cours complet sur le PGCD et le PPCM.
✏️ Exercices corrigés sur les nombres premiers
La pratique est essentielle pour maîtriser les nombres premiers. Voici une sélection d’exercices corrigés classés par niveau de difficulté.
💡 Exercices niveau 5e-4e : Reconnaissance
Exercice 1 : Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers : 13, 15, 17, 20, 23 ?
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Correction :
- 13 : Diviseurs de 13 : 1 et 13 → 13 est premier ✓
- 15 : \(15 = 3 \times 5\) → 15 n’est pas premier ✗
- 17 : Diviseurs de 17 : 1 et 17 → 17 est premier ✓
- 20 : \(20 = 4 \times 5\) → 20 n’est pas premier ✗
- 23 : Diviseurs de 23 : 1 et 23 → 23 est premier ✓
Réponse : Les nombres premiers sont 13, 17 et 23.
Exercice 2 : 51 est-il un nombre premier ? Justifier votre réponse.
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Méthode : On teste la divisibilité par les petits nombres premiers.
- 51 est impair → 2 ne divise pas 51
- Somme des chiffres de 51 : \(5 + 1 = 6\), qui est divisible par 3
- Donc 3 divise 51 : \(51 = 3 \times 17\)
Conclusion : 51 n’est pas premier car \(51 = 3 \times 17\). Il possède au moins quatre diviseurs : 1, 3, 17 et 51.
Exercice 3 : Donner les 5 premiers nombres premiers après 30.
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Méthode : On teste successivement les nombres à partir de 31.
- 31 : diviseurs 1 et 31 → premier ✓
- 32 : pair → non premier
- 33 : \(33 = 3 \times 11\) → non premier
- 34 : pair → non premier
- 35 : \(35 = 5 \times 7\) → non premier
- 36 : \(36 = 6 \times 6\) → non premier
- 37 : diviseurs 1 et 37 → premier ✓
- 38 : pair → non premier
- 39 : \(39 = 3 \times 13\) → non premier
- 40 : pair → non premier
- 41 : diviseurs 1 et 41 → premier ✓
- 42 : pair → non premier
- 43 : diviseurs 1 et 43 → premier ✓
- 44 : pair → non premier
- 45 : \(45 = 5 \times 9\) → non premier
- 46 : pair → non premier
- 47 : diviseurs 1 et 47 → premier ✓
Réponse : Les 5 premiers nombres premiers après 30 sont : 31, 37, 41, 43 et 47.
💡 Exercices niveau 4e-3e : Liste et propriétés
Exercice 4 : Combien y a-t-il de nombres premiers entre 50 et 100 ?
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En consultant la liste des nombres premiers jusqu’à 100, on trouve : 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Réponse : Il y a exactement 10 nombres premiers entre 50 et 100.
Exercice 5 : 91 est-il un nombre premier ? Utiliser le test de la racine carrée pour le vérifier.
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Méthode : On calcule \(\sqrt{91} \approx 9{,}54\).
Il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers inférieurs à 9,54 : 2, 3, 5, 7.
- 91 est impair → 2 ne divise pas 91
- \(9 + 1 = 10\), non divisible par 3 → 3 ne divise pas 91
- 91 ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 ne divise pas 91
- \(91 \div 7 = 13\) → 7 divise 91 ✓
Conclusion : 91 n’est pas premier. On a \(91 = 7 \times 13\).
⚙️ Exercices niveau lycée : Tests et applications
Exercice 6 : Montrer que 121 n’est pas un nombre premier.
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Méthode : On calcule \(\sqrt{121} = 11\).
Il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers jusqu’à 11 : 2, 3, 5, 7, 11.
- 121 est impair → 2 ne divise pas 121
- \(1 + 2 + 1 = 4\), non divisible par 3 → 3 ne divise pas 121
- 121 ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 ne divise pas 121
- \(121 \div 7 = 17{,}28…\) → 7 ne divise pas 121
- \(121 \div 11 = 11\) → 11 divise 121 ✓
Conclusion : 121 n’est pas premier car \(121 = 11 \times 11 = 11^2\).
121 est un carré parfait, ce qui signifie qu’il possède un nombre impair de diviseurs : 1, 11 et 121.
Exercice 7 : 143 et 187 sont-ils premiers entre eux ?
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Indices : Décomposer chaque nombre pour identifier les facteurs communs.
- \(143 = 11 \times 13\)
- \(187 = 11 \times 17\)
Conclusion : 143 et 187 ne sont pas premiers entre eux car ils partagent le diviseur commun 11.
💡 Pour aller plus loin : Consultez notre cours sur le PGCD pour maîtriser le calcul du plus grand diviseur commun.
Exercice 8 : 103 est-il un nombre premier ?
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Méthode : Calculons \(\sqrt{103} \approx 10{,}15\).
Il faut tester les nombres premiers \(\leq 10{,}15\) : 2, 3, 5, 7.
- 103 est impair → 2 ne divise pas 103
- \(1 + 0 + 3 = 4\), non divisible par 3 → 3 ne divise pas 103
- 103 ne se termine pas par 0 ou 5 → 5 ne divise pas 103
- \(103 \div 7 = 14{,}71…\) → 7 ne divise pas 103
Conclusion : 103 est un nombre premier.
Pour aller plus loin
Découvrez nos exercices sur les nombres entiers.🎓 Pour aller plus loin : propriétés avancées
Les nombres premiers recèlent des propriétés fascinantes qui continuent d’occuper les mathématiciens depuis l’Antiquité. Nous présentons ici quelques résultats remarquables, accessibles au lycée et en classe préparatoire.
🎓 Théorème : Infinité des nombres premiers (Euclide)
L’une des premières grandes découvertes sur les nombres premiers remonte à Euclide (vers 300 av. J.-C.).
Théorème d’Euclide
Il existe une infinité de nombres premiers.
Esquisse de démonstration (par l’absurde) :
Supposons par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers. Notons-les \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Considérons le nombre \(N = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1\).
Ce nombre \(N\) est strictement supérieur à tous les \(p_i\), donc il n’est pas premier (selon notre hypothèse). Il doit donc être divisible par au moins un des nombres premiers \(p_i\).
Mais si \(p_i\) divise \(N\), alors \(p_i\) divise aussi \(N – p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n = 1\), ce qui est impossible.
Cette contradiction prouve qu’il existe bien une infinité de nombres premiers.
Ce théorème a une conséquence importante : quelle que soit la taille d’un nombre premier que l’on connaît, il en existe toujours de plus grands. La recherche de nombres premiers géants est d’ailleurs une activité mathématique et informatique très active.
🎓 Nombres premiers remarquables
Certaines familles de nombres premiers présentent des propriétés particulières et font l’objet de recherches actives.
Les nombres de Mersenne
Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme \(M_p = 2^p – 1\), où \(p\) est un nombre premier.
Exemples :
- \(M_2 = 2^2 – 1 = 3\) (premier)
- \(M_3 = 2^3 – 1 = 7\) (premier)
- \(M_5 = 2^5 – 1 = 31\) (premier)
- \(M_7 = 2^7 – 1 = 127\) (premier)
Attention : tous les nombres de Mersenne ne sont pas premiers. Par exemple, \(M_{11} = 2^{11} – 1 = 2047 = 23 \times 89\) est composé.
Record actuel (2024) : Le plus grand nombre premier connu à ce jour est un nombre de Mersenne : \(2^{136\,279\,841} – 1\), qui comporte plus de 41 millions de chiffres en écriture décimale. Il a été découvert en octobre 2024 par le projet collaboratif GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Les nombres de Fermat
Un nombre de Fermat est un nombre de la forme \(F_n = 2^{2^n} + 1\).
Exemples :
- \(F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3\) (premier)
- \(F_1 = 2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 5\) (premier)
- \(F_2 = 2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 17\) (premier)
- \(F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 257\) (premier)
- \(F_4 = 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65\,537\) (premier)
Fermat conjecturait que tous les nombres de cette forme étaient premiers, mais Euler a montré en 1732 que \(F_5 = 2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297 = 641 \times 6\,700\,417\) est composé. Depuis, aucun autre nombre de Fermat premier n’a été découvert.
🎓 Applications en cryptographie
Les nombres premiers jouent un rôle crucial en cryptographie moderne, notamment dans le célèbre algorithme RSA (du nom de ses inventeurs Rivest, Shamir et Adleman, 1978).
Principe simplifié du chiffrement RSA :
- On choisit deux grands nombres premiers \(p\) et \(q\) (par exemple, de 300 chiffres chacun).
- On calcule leur produit \(n = p \times q\).
- Le nombre \(n\) est rendu public (clé publique), mais \(p\) et \(q\) restent secrets.
- Pour déchiffrer un message, il faut connaître \(p\) et \(q\).
Sécurité : La sécurité de RSA repose sur la difficulté de factoriser un très grand nombre \(n\) en produit de deux nombres premiers \(p\) et \(q\). Avec les ordinateurs actuels, factoriser un nombre de 600 chiffres (produit de deux nombres premiers de 300 chiffres) prendrait des millions d’années.
Cette application montre l’importance concrète des nombres premiers dans notre vie quotidienne : chaque fois que vous effectuez un paiement en ligne sécurisé, vous utilisez les propriétés des nombres premiers !
FAQ (PAA + questions fréquentes)
Quels sont les nombres premiers de 1 à 100 ?
Les nombres premiers de 1 à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Quels sont les nombres premiers ?
Il y en a une infinité. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Pour une liste complète jusqu’à 100, voir le tableau plus haut.
Comment savoir si un nombre est premier ?
On teste s’il a un diviseur autre que 1 et lui-même. Méthode efficace : tester la divisibilité par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) jusqu’à la valeur \(\sqrt{n}\). Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier.
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
C’est un entier naturel \(p\) avec \(p\) > \(1\) qui a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et \(p\).
2 est-il un nombre premier ?
Oui. \(2\) est premier car ses diviseurs positifs sont seulement \(1\) et \(2\). C’est aussi le seul nombre premier pair.
Un nombre premier peut-il être négatif ?
Dans la définition scolaire habituelle, on parle des entiers naturels : les nombres premiers sont donc positifs. En maths plus avancées, on peut discuter de “premiers” dans d’autres ensembles, mais ce n’est pas l’objectif ici.
Pour progresser vite. Si ce chapitre te sert de base pour l’arithmétique, continue avec :
- Critères de divisibilité (gagner du temps dans les tests)
- Division euclidienne (quotient/reste, bases solides)
- Décomposition en facteurs premiers (méthode + exercices)
- PGCD / PPCM (nombres premiers entre eux, applications)
- Cours complet : nombres entiers (pilier du cocon)
