Comment mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper ? La trigonométrie te donne les outils ! En 3ème, tu découvres trois rapports — le cosinus, le sinus et la tangente — qui permettent de calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle. Dans ce cours complet de trigonométrie, tu vas apprendre à les utiliser pas à pas, avec des exemples concrets et des exercices corrigés.
À quoi ça sert ? Les architectes utilisent la trigonométrie pour calculer la hauteur d’un bâtiment, les marins pour naviguer en pleine mer, et les géomètres pour mesurer des distances inaccessibles. C’est aussi la base de la physique des ondes (son, lumière) !
I. Ce qu’il faut savoir avant de commencer
Avant de te lancer dans la trigonométrie, vérifie que tu maîtrises ces notions :
- Reconnaître un triangle rectangle et repérer l’angle droit
- Connaître le théorème de Pythagore (relation entre les trois côtés)
- Savoir ce qu’est un angle aigu (entre 0° et 90°)
- Utiliser les touches cos, sin et tan de ta calculatrice
Programme officiel : Ce cours couvre le thème « Utiliser la trigonométrie » du programme de mathématiques du cycle 4 (classe de 3ème). Conforme au programme 2025-2026.
Tu es prêt ? Alors commençons par le vocabulaire essentiel du triangle rectangle.
II. Les côtés du triangle rectangle
En trigonométrie, tout commence par savoir nommer les côtés du triangle rectangle par rapport à un angle aigu choisi. C’est la clé de tout le chapitre !
Définition — Les trois côtés du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu choisi :
- L’hypoténuse est le côté le plus long, situé en face de l’angle droit.
- Le côté adjacent est le côté qui touche l’angle choisi (sans être l’hypoténuse).
- Le côté opposé est le côté situé en face de l’angle choisi.
Attention : l’hypoténuse est toujours la même (en face de l’angle droit), mais le côté adjacent et le côté opposé changent selon l’angle que tu étudies. Commence toujours par repérer l’angle !
Maintenant que tu sais nommer les côtés, passons aux trois rapports trigonométriques.
III. Cosinus, sinus et tangente
Les trois rapports trigonométriques relient un angle aigu du triangle rectangle à deux de ses côtés. Découvrons-les un par un.
A. Le cosinus d’un angle
Prends un triangle rectangle avec un angle de 60°. Le côté adjacent mesure 4 cm et l’hypoténuse 8 cm. Divise le côté adjacent par l’hypoténuse : \(\displaystyle\frac{4}{8} = 0{,}5\). Ce nombre, c’est le cosinus de 60° !
Définition — Cosinus
Dans un triangle rectangle :
\(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
B. Le sinus d’un angle
Dans un autre triangle rectangle, l’angle vaut 30°. Le côté opposé mesure 3 cm et l’hypoténuse 6 cm. Cette fois, divise le côté opposé par l’hypoténuse : \(\displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5\). C’est le sinus de 30°.
Définition — Sinus
Dans un triangle rectangle :
\(\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
C. La tangente d’un angle
Dernier rapport : dans un triangle rectangle avec un angle de 45°, le côté opposé et le côté adjacent mesurent tous les deux 5 cm. Divise l’opposé par l’adjacent : \(\displaystyle\frac{5}{5} = 1\). C’est la tangente de 45°.
Définition — Tangente
Dans un triangle rectangle :
\(\tan(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Voici un récapitulatif des trois formules :
| Rapport | Formule | Côtés utilisés |
|---|---|---|
| Cosinus | \(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) | Adjacent et hypoténuse |
| Sinus | \(\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) | Opposé et hypoténuse |
| Tangente | \(\tan(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\) | Opposé et adjacent |
Tu retrouveras le cours détaillé sur ces rapports dans notre page sinus, cosinus et tangente, et les valeurs exactes pour les angles classiques (30°, 45°, 60°…) dans le tableau des valeurs trigonométriques.
D. SOH-CAH-TOA : l’astuce pour tout retenir
SOH – CAH – TOA : ce mot magique résume les trois formules d’un coup !
- SOH → Sinus = Opposé / Hypoténuse
- CAH → Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- TOA → Tangente = Opposé / Adjacent
Répète-le plusieurs fois à voix haute. Tu ne l’oublieras plus !
Tu connais les formules. Voyons maintenant comment les utiliser concrètement.
IV. Méthode : calculer une longueur ou un angle
La première étape est toujours de choisir le bon rapport. Voici un organigramme pour t’aider :
A. Calculer une longueur manquante
Suis ces 4 étapes :
- Repère l’angle aigu connu et identifie les deux côtés en jeu (le connu et le cherché).
- Choisis le rapport (cos, sin ou tan) grâce à l’organigramme.
- Écris la formule et remplace les valeurs connues.
- Isole l’inconnue et calcule à la calculatrice.
Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en B, on sait que \(\widehat{A} = 40°\) et \(AC = 10\) cm. Calcule BC.
Étape 1 : Par rapport à l’angle \(\widehat{A}\), BC est le côté opposé et AC est l’hypoténuse.
Étape 2 : Opposé et hypoténuse → on utilise le sinus.
Étape 3 : \(\sin(40°) = \displaystyle\frac{BC}{10}\)
Étape 4 : \(BC = 10 \times \sin(40°) \approx 10 \times 0{,}643 \approx 6{,}4 \text{ cm}\)
B. Calculer un angle manquant
Si tu connais deux côtés mais pas l’angle, tu utilises la fonction inverse de ta calculatrice : les touches \(\cos^{-1}\), \(\sin^{-1}\) ou \(\tan^{-1}\) (parfois notées « arccos », « arcsin », « arctan » ou accessibles via Shift + cos/sin/tan).
- Identifie les deux côtés connus (adjacent, opposé, hypoténuse).
- Choisis le bon rapport et calcule la fraction.
- Utilise la touche inverse pour obtenir l’angle.
Exemple : Dans le triangle DEF rectangle en E, on sait que \(DE = 3\) cm et \(DF = 7\) cm. Calcule \(\widehat{D}\).
Étape 1 : Par rapport à \(\widehat{D}\), DE est le côté adjacent et DF est l’hypoténuse.
Étape 2 : Adjacent et hypoténuse → cosinus. On calcule : \(\cos(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{3}{7} \approx 0{,}429\).
Étape 3 : \(\widehat{D} = \cos^{-1}(0{,}429) \approx 64{,}6°\).
Vérifie ta calculatrice ! Assure-toi qu’elle est bien réglée en degrés (DEG) et non en radians (RAD). Un mauvais mode donne un résultat complètement faux.
La fiche de révision trigonométrie triangle rectangle
Toutes les formules, la méthode SOH-CAH-TOA et les pièges à éviter sur une seule page imprimable.
Idéal pour réviser la veille du contrôle ou du brevet.
C’est le moment de t’entraîner !
V. Exercices corrigés
Voici 5 exercices classés par difficulté. Essaie de les résoudre avant de regarder la correction ! Tu veux aller encore plus loin ? Découvre nos exercices de trigonométrie corrigés pour le brevet.
Exercice 1 ★ — Dans un triangle EFG rectangle en F, on donne \(\widehat{E} = 35°\) et \(EG = 8\) cm. Calcule la longueur EF (arrondie au dixième).
Voir la correction
Par rapport à l’angle \(\widehat{E}\) : EF est le côté adjacent, EG est l’hypoténuse.
On utilise le cosinus :
\(\cos(35°) = \displaystyle\frac{EF}{8}\) \(EF = 8 \times \cos(35°) \approx 8 \times 0{,}819 \approx 6{,}6 \text{ cm}\)Exercice 2 ★ — Dans un triangle RST rectangle en S, on donne \(\widehat{R} = 50°\) et \(RT = 10\) cm. Calcule la longueur ST (arrondie au dixième).
Voir la correction
Par rapport à l’angle \(\widehat{R}\) : ST est le côté opposé, RT est l’hypoténuse.
On utilise le sinus :
\(\sin(50°) = \displaystyle\frac{ST}{10}\) \(ST = 10 \times \sin(50°) \approx 10 \times 0{,}766 \approx 7{,}7 \text{ cm}\)Exercice 3 ★ — Dans un triangle IJK rectangle en J, on donne \(\widehat{I} = 40°\) et \(IJ = 6\) cm. Calcule la longueur JK (arrondie au dixième).
Voir la correction
Par rapport à l’angle \(\widehat{I}\) : JK est le côté opposé, IJ est le côté adjacent.
On utilise la tangente :
\(\tan(40°) = \displaystyle\frac{JK}{6}\) \(JK = 6 \times \tan(40°) \approx 6 \times 0{,}839 \approx 5{,}0 \text{ cm}\)Exercice 4 ★★ — Dans un triangle ABC rectangle en B, on donne \(AB = 5\) cm et \(BC = 7\) cm. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{A}\) (arrondie au degré).
Voir la correction
Par rapport à l’angle \(\widehat{A}\) : BC est le côté opposé, AB est le côté adjacent.
On utilise la tangente :
\(\tan(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{7}{5} = 1{,}4\) \(\widehat{A} = \tan^{-1}(1{,}4) \approx 54°\)Exercice 5 ★★ — Un géomètre se place à 15 mètres du pied d’un arbre. Il mesure un angle de 62° entre le sol et le sommet de l’arbre. Quelle est la hauteur de l’arbre ? (Arrondir au dixième de mètre.)
Voir la correction
On modélise la situation par un triangle rectangle :
- L’angle mesuré vaut 62°.
- La distance au pied de l’arbre (15 m) est le côté adjacent.
- La hauteur de l’arbre est le côté opposé (c’est ce qu’on cherche).
Côté opposé et côté adjacent → on utilise la tangente :
\(\tan(62°) = \displaystyle\frac{\text{hauteur}}{15}\) \(\text{hauteur} = 15 \times \tan(62°) \approx 15 \times 1{,}881 \approx 28{,}2 \text{ m}\)L’arbre mesure environ 28,2 mètres.
VI. Erreurs fréquentes et pièges
Voici les trois erreurs les plus courantes. Lis-les bien pour ne pas les reproduire !
Piège n°1 — Confondre côté adjacent et côté opposé. C’est l’erreur la plus fréquente ! Ces deux côtés changent selon l’angle étudié. Seule l’hypoténuse reste toujours la même. Astuce : commence toujours par écrire quel est l’angle, puis nomme les côtés par rapport à cet angle.
Piège n°2 — Calculatrice en radians au lieu de degrés. Si ta calculatrice affiche « RAD » au lieu de « DEG », tous tes résultats seront faux. Vérifie le mode avant chaque calcul ! Par exemple, \(\cos(60°) = 0{,}5\) en degrés, mais ta calculatrice affichera \(0{,}999…\) si elle est en radians.
Piège n°3 — Inverser le numérateur et le dénominateur.
❌ Faux : \(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}\)
✅ Correct : \(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
Rappelle-toi : le cosinus et le sinus sont toujours compris entre 0 et 1 (pour un angle aigu). Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c’est que tu as inversé la fraction !
VII. Questions fréquentes
Comment calculer la trigonométrie d'un triangle rectangle ?
Commence par identifier l’angle aigu et les côtés en jeu (adjacent, opposé, hypoténuse). Choisis le bon rapport — cosinus, sinus ou tangente — selon les côtés concernés, écris la formule, remplace les valeurs connues, puis calcule à la calculatrice.
Quelles sont les 3 formules de trigonométrie ?
Les trois formules du triangle rectangle sont :
- Cosinus = côté adjacent / hypoténuse
- Sinus = côté opposé / hypoténuse
- Tangente = côté opposé / côté adjacent
Retiens le mot SOH-CAH-TOA pour ne jamais les oublier. Tu retrouveras ces formules et bien d’autres dans notre formulaire de trigonométrie.
Comment trouver la longueur manquante d'un triangle rectangle ?
Si tu connais un angle et un côté, utilise la trigonométrie (cos, sin ou tan) pour calculer le côté manquant. Si tu connais deux côtés (mais pas d’angle), utilise plutôt le théorème de Pythagore.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et la trigonométrie ?
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés du triangle rectangle entre eux (il n’utilise aucun angle). La trigonométrie relie un angle aigu à deux côtés. En résumé : deux côtés connus et tu cherches le troisième → Pythagore. Un angle et un côté connus → trigonométrie.
Qu'est-ce que la méthode 3-4-5 ?
C’est un cas particulier du théorème de Pythagore : un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 (car \(3^2 + 4^2 = 5^2\)). Les artisans et les maçons l’utilisent sur les chantiers pour vérifier qu’un angle est bien droit, sans rapporteur. Ce n’est pas une formule de trigonométrie, mais elle est liée au triangle rectangle !
Comment savoir s'il faut utiliser cosinus, sinus ou tangente ?
Regarde quels côtés interviennent dans ton problème :
- Adjacent + hypoténuse → cosinus
- Opposé + hypoténuse → sinus
- Opposé + adjacent → tangente
Utilise l’organigramme de la section IV pour choisir en un coup d’œil.
VIII. Pour aller plus loin
Et après ? En Seconde, tu découvriras le cercle trigonométrique : une façon de généraliser le cosinus et le sinus à tous les angles (pas seulement les angles aigus). Tu étudieras aussi les fonctions sinus et cosinus, qui dessinent de belles courbes en forme de vague !
Tu maîtrises maintenant la trigonométrie dans le triangle rectangle. Pour approfondir :
- Exercices de trigonométrie corrigés — Brevet
- Sinus, cosinus et tangente : cours complet
- Tableau des valeurs trigonométriques
- Loi des sinus et théorème d’Al-Kashi (pour les triangles quelconques)
