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Fiches de cours et méthodes

Polynômes

Le théorème de Cayley-Hamilton : énoncé, démonstration et applications

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Une matrice peut-elle être « racine » de son propre polynôme caractéristique ? C’est exactement ce qu’affirme le théorème de Cayley-Hamilton, l’un des résultats les plus utiles de la réduction des endomorphismes. Il transforme […]

Zakaria Laouar
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2026-06-19
Polynômes

Le polynôme interpolateur de Lagrange : méthode, exemples et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur On te donne quelques points du plan, et on te demande de faire passer une courbe « propre » par chacun d’eux. C’est exactement le problème d’interpolation polynomiale, et le polynôme de Lagrange en […]

Zakaria Laouar
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2026-06-19
Polynômes

Les polynômes de Bernstein : cours, propriétés et démonstrations

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Comment approcher n’importe quelle fonction continue par un polynôme, avec une formule explicite et constructive ? La réponse de Sergei Bernstein (1912) est l’une des plus élégantes de l’analyse : elle relie probabilités, polynômes […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Fractions rationnelles : décomposition en éléments simples

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Calculer une primitive de , sommer une série télescopique, inverser une transformée de Laplace : derrière ces calculs se cache une seule technique reine, la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle. C’est l’un […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Les polynômes de Bernoulli : cours, propriétés et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Tu cherches une formule close pour la somme des carrés, des cubes ou de n’importe quelle puissance des premiers entiers ? Derrière ces calculs se cache une seule famille de polynômes : les polynômes […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

La division euclidienne des polynômes : méthode, exemples et exercices

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Tu sais poser une division entre deux nombres entiers. La division euclidienne des polynômes obéit exactement à la même logique : on cherche un quotient et un reste, mais cette fois dans l’anneau . […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Les polynômes de Tchebychev : cours, propriétés et démonstrations

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Comment exprimer uniquement à l’aide de ? Comment construire le polynôme unitaire qui « oscille le moins » sur un intervalle ? Les polynômes de Tchebychev répondent à ces deux questions d’un seul geste. […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Les polynômes : cours complet, méthodes et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Un polynôme, c’est à la fois un outil de calcul que tu manipules dès la Terminale pour factoriser un cubique, et un objet algébrique qui structure tout un pan de l’algèbre en prépa : […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

25 Exercices de Polynômes Corrigés (Prépa) — PDF

Les polynômes traversent tout le programme de prépa : division euclidienne en Sup, racines et multiplicité, interpolation de Lagrange, puis réduction des endomorphismes en Spé (polynôme caractéristique, Cayley-Hamilton, polynôme minimal). C’est un domaine où l’on perd des points bêtement aux concours faute d’entraînement régulier. Voici 25 exercices corrigés pas à pas, classés par difficulté croissante, […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Les racines d’un polynôme : multiplicité, relations coefficients-racines et méthodes

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Derrière chaque équation que tu résous se cache un polynôme dont tu cherches les racines. Au lycée, tu as appris à résoudre avec le discriminant. En prépa, la question change d’échelle : combien de […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Zakaria Louar - prof de maths

Professeur de maths
depuis 2017

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Diplomé de
l’Ecole Polytechnique

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