La table ci-dessous donne les valeurs de la fonction de répartition \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\) pour \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). Elle couvre \(z\) de 0 à 3,9 avec une précision de \(10^{-4}\). Pour les valeurs négatives, utilise la relation de symétrie \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\) détaillée plus bas. Pour le cours complet, consulte la page loi normale.

Tout le cours « Variables Aléatoires »

I. Table complète de Φ(z) — Loi normale centrée réduite

Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). La table donne \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\) pour \(z \geq 0\). Chaque entrée se lit à l’intersection d’une ligne (partie entière et premier chiffre décimal de \(z\)) et d’une colonne (deuxième chiffre décimal).

Définition — Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

\(\Phi(z) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2}\, \mathrm{d}t\)

Courbe de densité de la loi normale centrée réduite N(0,1). Axe x de -4 à 4, axe y de 0 à 0,45. Courbe en cloche symétrique centrée en 0.

Lecture : ligne \(1{,}5\), colonne \(6\) → \(\Phi(1{,}56) = 0{,}9515\).

Valeurs de Φ(z) = P(Z ≤ z) pour Z suivant N(0,1)
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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Table de la loi normale N(0,1) — version imprimable

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II. Valeurs remarquables et quantiles usuels

Certaines valeurs reviennent systématiquement en probabilités, en statistique et dans les problèmes de concours. Il est indispensable de les connaître par cœur.

A. Valeurs de Φ à connaître par cœur

Les six valeurs incontournables

  • \(\Phi(1{,}00) = 0{,}8413\) → \(P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 68{,}3\,\%\)
  • \(\Phi(1{,}645) \approx 0{,}9500\) → seuil à 5 % unilatéral
  • \(\Phi(1{,}96) = 0{,}9750\) → seuil à 5 % bilatéral (le plus fréquent au bac et en concours)
  • \(\Phi(2{,}00) = 0{,}9772\)
  • \(\Phi(2{,}576) \approx 0{,}9950\) → seuil à 1 % bilatéral
  • \(\Phi(3{,}00) = 0{,}9987\) → \(P(-3 \leq Z \leq 3) \approx 99{,}7\,\%\)

Règle des « 68 – 95 – 99,7 » : environ 68 % des valeurs d’une loi normale se trouvent à moins d’un écart-type de la moyenne, 95 % à moins de deux, et 99,7 % à moins de trois.

B. Table des quantiles \(z_{\alpha}\)

Le quantile \(z_{\alpha}\) est défini par \(P(Z\) > \(z_{\alpha}) = \alpha\), autrement dit \(\Phi(z_{\alpha}) = 1 – \alpha\). Il intervient directement dans la construction des intervalles de confiance et dans les tests d’hypothèses.

Quantiles de la loi normale centrée réduite
\(\alpha\) \(\Phi(z_\alpha)\) \(z_\alpha\) Usage courant
0,10 0,9000 1,282 Test unilatéral à 10 %
0,05 0,9500 1,645 Test unilatéral à 5 %
0,025 0,9750 1,960 Intervalle de confiance à 95 %
0,01 0,9900 2,326 Test unilatéral à 1 %
0,005 0,9950 2,576 Intervalle de confiance à 99 %
0,001 0,9990 3,090 Test unilatéral à 0,1 %

Intervalle de confiance bilatéral à \((1-\alpha)\)

Pour un intervalle de confiance bilatéral au niveau \(1-\alpha\), on utilise le quantile \(z_{\alpha/2}\). Exemple : pour un intervalle à 95 %, \(\alpha = 0{,}05\) et \(z_{0{,}025} = 1{,}960\).

III. Propriétés et règles de lecture

La table ci-dessus ne couvre que les valeurs \(z \geq 0\). Trois propriétés permettent de traiter tous les cas rencontrés en exercice.

A. Symétrie — lire Φ pour z négatif

La densité de \(\mathcal{N}(0,1)\) est paire : \(\varphi(-t) = \varphi(t)\). Il en découle la relation fondamentale :

Propriété — Symétrie de Φ

\(\forall z \in \mathbb{R}, \quad \Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\)

Application : pour trouver \(\Phi(-1{,}25)\), on lit \(\Phi(1{,}25) = 0{,}8944\) dans la table, puis :

\(\Phi(-1{,}25) = 1 – 0{,}8944 = 0{,}1056\)

B. Probabilité d’un intervalle

Pour calculer la probabilité que \(Z\) tombe dans un intervalle, on combine deux lectures :

Formules de base

  • \(P(a \leq Z \leq b) = \Phi(b) – \Phi(a)\)
  • \(P(Z \geq z) = 1 – \Phi(z)\)
  • \(P(|Z| \leq z) = 2\,\Phi(z) – 1\) (intervalle symétrique)

La dernière formule est celle que tu utilises le plus souvent en Terminale et en prépa : elle exprime directement la probabilité de rester à moins de \(z\) écarts-types de la moyenne.

C. Standardisation — passer de \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) à \(\mathcal{N}(0,1)\)

La table ne s’applique directement qu’à la loi \(\mathcal{N}(0,1)\). Pour une variable \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) quelconque, on la ramène à la loi centrée réduite par le changement :

Standardisation

\(Z = \displaystyle\frac{X – \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)\)

En conséquence :

\(P(X \leq x) = \Phi\!\left(\displaystyle\frac{x – \mu}{\sigma}\right)\)

Le paramètre \(\mu\) est l’espérance et \(\sigma\) l’écart-type de \(X\). C’est la variance \(\sigma^2\) qui apparaît dans la notation \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) — ne confonds pas les deux.

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IV. Exemples d’application

Voici quatre situations typiques couvrant les cas les plus fréquents au bac et en concours.

Exemple 1 — Lecture directe

Déterminer \(P(Z \leq 1{,}73)\).

On repère la ligne \(1{,}7\) et la colonne \(3\) dans la table :

\(\Phi(1{,}73) = 0{,}9582\)

Exemple 2 — Valeur négative (symétrie)

Déterminer \(P(Z \leq -0{,}83)\).

On lit d’abord \(\Phi(0{,}83) = 0{,}7967\) (ligne \(0{,}8\), colonne \(3\)), puis :

\(\Phi(-0{,}83) = 1 – 0{,}7967 = 0{,}2033\)

Exemple 3 — Probabilité d’un intervalle

Déterminer \(P(0{,}5 \leq Z \leq 1{,}8)\).

On lit \(\Phi(1{,}80) = 0{,}9641\) et \(\Phi(0{,}50) = 0{,}6915\), puis :

\(P(0{,}5 \leq Z \leq 1{,}8) = 0{,}9641 – 0{,}6915 = 0{,}2726\)

Exemple 4 — Standardisation

La taille \(X\) d’une population suit la loi \(\mathcal{N}(170\,;\,100)\) (en cm, avec \(\sigma = 10\)). Calculer \(P(X \leq 185)\).

Étape 1. Standardiser :

\(z = \displaystyle\frac{185 – 170}{10} = 1{,}50\)

Étape 2. Lire dans la table :

\(P(X \leq 185) = \Phi(1{,}50) = 0{,}9332\)

Environ 93,3 % de cette population mesure moins de 185 cm.

V. Pièges classiques

Voici les trois erreurs qui coûtent le plus de points en DS et en concours.

Piège 1 — Confondre Φ(z) et P(Z ≥ z)

La table donne \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\), c’est-à-dire la probabilité à gauche. Pour la probabilité à droite, il faut prendre le complémentaire : \(P(Z \geq z) = 1 – \Phi(z)\). Beaucoup d’élèves lisent directement la table en croyant obtenir \(P(Z \geq z)\).

Piège 2 — Oublier de standardiser

Si \(X \sim \mathcal{N}(50\,;\,25)\), on ne peut pas lire directement \(P(X \leq 55)\) dans la table. Il faut d’abord poser \(z = (55 – 50)/5 = 1{,}00\), puis lire \(\Phi(1{,}00) = 0{,}8413\). L’oubli de la standardisation est l’erreur la plus fréquente sur les problèmes de loi normale au bac.

Piège 3 — Confondre σ et σ² dans N(μ,σ²)

La notation \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) fait apparaître la variance \(\sigma^2\), pas l’écart-type. Si l’énoncé dit \(X \sim \mathcal{N}(10\,;\,4)\), alors \(\sigma^2 = 4\) donc \(\sigma = 2\) (et non \(\sigma = 4\)). Diviser par \(4\) au lieu de \(2\) dans la standardisation fausse tout le calcul.

VI. Questions fréquentes


Qu'est-ce que la table de la loi normale centrée réduite ?

C’est un tableau numérique qui donne les valeurs de \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\) pour \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). Elle permet de calculer toute probabilité liée à la loi normale sans avoir à évaluer l’intégrale de Gauss, qui n’admet pas d’expression en termes de fonctions élémentaires.

Comment lire la table de la loi normale pour une valeur de z négative ?

La table ne liste que les \(z \geq 0\). Pour un \(z\) négatif, on utilise la propriété de symétrie : \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\). Par exemple, \(\Phi(-1{,}50) = 1 – \Phi(1{,}50) = 1 – 0{,}9332 = 0{,}0668\).

Peut-on utiliser la table pour une loi normale quelconque ?

Oui, à condition de standardiser d’abord. On pose \(Z = (X – \mu)/\sigma\) pour se ramener à \(\mathcal{N}(0,1)\), puis on lit la table. Par exemple, si \(X \sim \mathcal{N}(100\,;\,225)\) et qu’on cherche \(P(X \leq 130)\), on calcule \(z = (130 – 100)/15 = 2{,}00\) et on lit \(\Phi(2{,}00) = 0{,}9772\).

Quelle est la différence entre la table de la loi normale et la table de Student ?

La table de la loi normale s’applique quand la variable aléatoire suit une loi \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) avec \(\sigma\) connu. La table de Student intervient quand \(\sigma\) est estimé à partir de l’échantillon : la distribution est alors plus aplatie (queues plus lourdes), avec un paramètre \(\nu\) (degrés de liberté). Quand \(\nu \to +\infty\), la loi de Student converge vers \(\mathcal{N}(0,1)\).

Quand utilise-t-on la table de la loi normale en concours ?

En CPGE, la table intervient principalement dans les problèmes de convergence en loi (théorème central limite), les intervalles de confiance asymptotiques, les tests d’hypothèses, et l’approximation normale de la loi binomiale (théorème de Moivre-Laplace). En Terminale, elle est fournie dans les sujets de bac dès qu’un exercice porte sur la loi normale.

Comment faire une lecture inverse de la table de la loi normale ?

On parcourt la table à la recherche de la valeur la plus proche de la probabilité cherchée, puis on lit le \(z\) correspondant. Par exemple, si on cherche \(z\) tel que \(\Phi(z) = 0{,}9500\), on repère 0,9495 (ligne 1,6, colonne 4) et 0,9505 (ligne 1,6, colonne 5). Par interpolation linéaire, \(z \approx 1{,}645\). Les quantiles les plus courants sont rassemblés dans le tableau de la section II.


VII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la lecture de la table de la loi normale centrée réduite. Pour approfondir :

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