Tu cherches des exercices de factorisation seconde avec des corrigés détaillés et un PDF téléchargeable ? Cette page propose un entraînement progressif adapté au programme de 2nde : facteur commun (y compris « caché »), identités remarquables, simplification de fractions, résolution par produit nul, étude de signe — et un contrôle type DS avec barème pour te tester en conditions réelles.

Exercices corrigés — Factorisation seconde (PDF imprimable)

30 exercices progressifs + un contrôle type DS (1h) avec barème : facteur commun, identités remarquables, fractions, produit nul, étude de signe. Corrections détaillées pas à pas.

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Identités remarquables, produit nul, étude de signe — tout pour réussir le DS de seconde.

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Cours complet : Factorisation : cours, formules et méthodes

Organisation de la page

Exercices de factorisation seconde — progression
Série Technique Nombre d’exercices Objectif
Série 1 Facteur commun (immédiat, caché, fraction) 8 exercices Automatiser la mise en évidence
Série 2 Identités remarquables 6 exercices Reconnaître les formes classiques
Série 3 Développer puis factoriser 5 exercices Alterner les deux sens
Série 4 Produit nul et équations 5 exercices Résoudre grâce à la factorisation
Série 5 Exercices mixtes type DS 6 exercices Mélanger les techniques
Évaluation Contrôle type DS (1h) 6 exercices Se tester en conditions réelles

Conseil de travail : avant d’ouvrir une correction, essaie 2 à 5 minutes par exercice. Ensuite, compare la démarche puis vérifie en redéveloppant. Répète ce rituel 2 à 3 fois dans la semaine : c’est ce qui construit les automatismes.

Avant de commencer : choisir la bonne méthode

En seconde, l’erreur la plus fréquente n’est pas de ne pas savoir factoriser, mais de partir dans la mauvaise direction. Voici comment choisir rapidement.

Quelle méthode utiliser ?
Ce que tu repères Méthode Vérification
Un même facteur dans tous les termes (nombre, variable ou parenthèse) Facteur commun (mise en évidence) Redévelopper
Forme \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\) Identité remarquable : \((a+b)^2\) ou \((a-b)^2\) Développer le carré
Forme \(a^2 – b^2\) Différence de carrés : \((a-b)(a+b)\) Développer le produit
Une parenthèse commune dans plusieurs termes Regroupement puis facteur commun Redévelopper ligne par ligne

Règle de validation. Une factorisation est correcte si, en redéveloppant, on retombe exactement sur l’expression initiale (mêmes signes, mêmes coefficients).

Série 1 — Facteur commun (8 exercices)

Objectif : automatiser la mise en évidence, y compris quand le facteur commun est « caché » (signe négatif, fraction, parenthèse).

Facteur commun immédiat

Exercice 1 — Factoriser 6x + 9

Point méthode : facteur commun le plus grand : \(3\).

Correction : \(6x + 9 = 3(2x + 3)\).

Vérification : \(3(2x + 3) = 6x + 9\). ✓

Exercice 2 — Factoriser 12x² − 8x

Point méthode : facteur commun « coefficient + variable » : \(4x\).

Correction : \(12x^2 – 8x = 4x(3x – 2)\).

Vérification : \(4x(3x – 2) = 12x^2 – 8x\). ✓

Exercice 3 — Factoriser 15a² − 10a

Point méthode : on met \(5a\) en évidence.

Correction : \(15a^2 – 10a = 5a(3a – 2)\).

Facteur commun « caché » (signe, fraction, parenthèse)

Exercice 4 — Factoriser 12 − 4x

Point méthode : on peut choisir un facteur positif ou négatif. Les deux écritures sont correctes.

Correction : \(12 – 4x = 4(3 – x)\) ou \(-4(x – 3)\).

Exercice 5 — Factoriser (3/2)x − 3

Point méthode : on met \(\displaystyle\frac{3}{2}\) en évidence.

Correction : \(\displaystyle\frac{3}{2}x – 3 = \displaystyle\frac{3}{2}(x – 2)\).

Vérification : \(\displaystyle\frac{3}{2}(x – 2) = \displaystyle\frac{3}{2}x – 3\). ✓

Exercice 6 — Factoriser 2x(x − 3) + 5(x − 3)

Point méthode : parenthèse commune \((x – 3)\).

Correction : \(2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5)\).

Factoriser puis simplifier une fraction

Exercice 7 — Simplifier (6x² − 9x) / (3x)

Point méthode : factoriser le numérateur, puis simplifier. Attention à la condition \(x \neq 0\).

Correction : \(6x^2 – 9x = 3x(2x – 3)\). Donc, pour \(x \neq 0\) :

\(\displaystyle\frac{6x^2 – 9x}{3x} = \displaystyle\frac{3x(2x – 3)}{3x} = 2x – 3\).

Exercice 8 — Simplifier (10a² − 5a) / (5a)

Point méthode : condition \(a \neq 0\).

Correction : \(10a^2 – 5a = 5a(2a – 1)\). Donc, pour \(a \neq 0\) :

\(\displaystyle\frac{10a^2 – 5a}{5a} = 2a – 1\).

Série 2 — Identités remarquables (6 exercices)

Objectif : reconnaître les trois identités et passer rapidement à la forme factorisée.

Carrés parfaits

Exercice 9 — Factoriser x² + 8x + 16

Point méthode : comparer à \(a^2 + 2ab + b^2\). Ici \(a = x\) et \(b = 4\).

Correction : \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\).

Vérification : \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). ✓

Exercice 10 — Factoriser 9x² − 12x + 4

Point méthode : \(9x^2 = (3x)^2\) et \(4 = 2^2\). Vérifier : \(2 \times 3x \times 2 = 12x\).

Correction : \(9x^2 – 12x + 4 = (3x – 2)^2\).

Différence de deux carrés

Exercice 11 — Factoriser 4x² − 25

Point méthode : \(4x^2 = (2x)^2\) et \(25 = 5^2\).

Correction : \(4x^2 – 25 = (2x – 5)(2x + 5)\).

Exercice 12 — Factoriser (x + 5)² − 16

Point méthode : \(a^2 – b^2\) avec \(a = x + 5\) et \(b = 4\).

Correction : \((x + 5)^2 – 16 = (x + 5 – 4)(x + 5 + 4) = (x + 1)(x + 9)\).

Mélange : identités + facteur commun

Exercice 13 — Factoriser (x − 3)² − 2(x − 3)

Point méthode : avant de chercher une identité remarquable, vérifier s’il y a une parenthèse commune : ici \((x – 3)\).

Correction : \((x – 3)^2 – 2(x – 3) = (x – 3)\big[(x – 3) – 2\big] = (x – 3)(x – 5)\).

Exercice 14 — Factoriser (2x − 1)² − (x − 3)²

Point méthode : différence de deux carrés avec \(A = 2x – 1\) et \(B = x – 3\).

Correction :

\((2x – 1)^2 – (x – 3)^2 = \big[(2x – 1) – (x – 3)\big]\big[(2x – 1) + (x – 3)\big]\)

\(= (x + 2)(3x – 4)\).

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Série 3 — Développer puis factoriser (5 exercices)

Ces exercices sont typiques des bilans de seconde : on alterne développement et factorisation, et on vérifie systématiquement.

Exercice 15 — Factoriser (x − 2)(3x + 1) + (x − 2)(x − 5)

Point méthode : parenthèse commune \((x – 2)\). Pas besoin de développer.

Correction : \((x – 2)\big[(3x + 1) + (x – 5)\big] = (x – 2)(4x – 4) = 4(x – 2)(x – 1)\).

Exercice 16 — Factoriser (x + 4)² − (x + 4)(x − 2)

Point méthode : parenthèse commune \((x + 4)\).

Correction : \((x + 4)\big[(x + 4) – (x – 2)\big] = (x + 4)(6) = 6(x + 4)\).

Exercice 17 — Factoriser (x − 1)² − (x + 1)²

Point méthode : différence de deux carrés avec \(A = x – 1\) et \(B = x + 1\).

Correction :

\((x – 1)^2 – (x + 1)^2 = \big[(x – 1) – (x + 1)\big]\big[(x – 1) + (x + 1)\big] = (-2)(2x) = -4x\).

Exercice 18 — Factoriser 2(x − 3)² − 18

Point méthode : sortir le facteur \(2\), puis utiliser \(a^2 – b^2\).

Correction :

\(2(x – 3)^2 – 18 = 2\big[(x – 3)^2 – 9\big] = 2\big[(x – 3) – 3\big]\big[(x – 3) + 3\big] = 2(x – 6) \cdot x = 2x(x – 6)\).

Vérification : \(2x(x – 6) = 2x^2 – 12x\) et \(2(x – 3)^2 – 18 = 2(x^2 – 6x + 9) – 18 = 2x^2 – 12x\). ✓

Exercice 19 — Factoriser (2x + 3)² − (2x + 3)(x + 1)

Point méthode : parenthèse commune \((2x + 3)\).

Correction : \((2x + 3)\big[(2x + 3) – (x + 1)\big] = (2x + 3)(x + 2)\).

Série 4 — Produit nul et équations (5 exercices)

La factorisation sert aussi à résoudre : on met l’expression sous la forme \(A \times B = 0\), puis on applique la règle du produit nul.

Règle du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : \(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\).

Exercice 20 — Résoudre (x − 5)(x + 2) = 0

Correction : \(x – 5 = 0\) ou \(x + 2 = 0\), donc \(x = 5\) ou \(x = -2\).

Exercice 21 — Résoudre 2x(3x − 1) = 0

Correction : \(2x = 0\) ou \(3x – 1 = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Exercice 22 — Résoudre (2x − 3)² = 0

Point méthode : un carré est nul si et seulement si l’intérieur est nul.

Correction : \(2x – 3 = 0\), donc \(x = \displaystyle\frac{3}{2}\).

Exercice 23 — Résoudre x² − 16 = 0

Point méthode : utiliser \(a^2 – b^2\) avec \(a = x\) et \(b = 4\).

Correction : \(x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) = 0\), donc \(x = 4\) ou \(x = -4\).

Exercice 24 — Résoudre (x + 1)(x − 2) = 3(x + 1)

Point méthode : tout ramener d’un côté, puis factoriser.

Correction :

\((x + 1)(x – 2) – 3(x + 1) = 0\)
\((x + 1)\big[(x – 2) – 3\big] = 0\)
\((x + 1)(x – 5) = 0\)

Donc \(x = -1\) ou \(x = 5\).

Piège : ne jamais « simplifier par \((x + 1)\) » en divisant les deux membres — on perdrait la solution \(x = -1\).


Série 5 — Exercices mixtes type DS (6 exercices)

Ces exercices mélangent toutes les techniques : facteur commun, identités remarquables, simplification, résolution, étude de signe. Ils sont proches de ce qu’on attend en devoir surveillé de seconde.

Exercice 25 — Simplifier (x² − 9) / (x − 3)

Point méthode : utiliser \(a^2 – b^2\) au numérateur. Condition : \(x \neq 3\).

Correction : \(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\). Donc, pour \(x \neq 3\) :

\(\displaystyle\frac{x^2 – 9}{x – 3} = \displaystyle\frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3\).

Exercice 26 — Factoriser 4x² + 4x + 1 − (2x + 1)(x − 1)

Point méthode : reconnaître \(4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2\), puis facteur commun \((2x + 1)\).

Correction :

\((2x + 1)^2 – (2x + 1)(x – 1) = (2x + 1)\big[(2x + 1) – (x – 1)\big] = (2x + 1)(x + 2)\).

Exercice 27 — Factoriser x² − 6x + 9 − 4

Point méthode : regrouper : \(x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2\), puis différence de carrés.

Correction :

\((x – 3)^2 – 4 = (x – 3)^2 – 2^2 = (x – 5)(x – 1)\).

Exercice 28 — Étudier le signe de A(x) = (2x − 3)(x + 1)

Point méthode : un produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe.

Correction : les zéros sont \(x = \displaystyle\frac{3}{2}\) et \(x = -1\).

Tableau de signes de A(x) = (2x − 3)(x + 1)
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(\displaystyle\frac{3}{2}\) \(+\infty\)
\(2x – 3\) \(–\) \(–\) \(–\) \(0\) \(+\)
\(x + 1\) \(–\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(A(x)\) \(+\) \(0\) \(–\) \(0\) \(+\)

\(A(x)\) est strictement positif pour \(x\) dans \(]-\infty\,;\,-1[\) ou \(]\displaystyle\frac{3}{2}\,;\,+\infty[\).

Exercice 29 — Factoriser (x + 2)(x − 1) − (x + 2)(3x + 5)

Point méthode : parenthèse commune \((x + 2)\).

Correction :

\((x + 2)\big[(x – 1) – (3x + 5)\big] = (x + 2)(-2x – 6) = -2(x + 2)(x + 3)\).

Exercice 30 — Étudier le signe de (x − 4)(x + 2)

Point méthode : les zéros sont \(x = 4\) et \(x = -2\). Étudier le signe par intervalles.

Correction : le produit est strictement positif pour \(x\) dans \(]-\infty\,;\,-2[\) ou \(]4\,;\,+\infty[\).

Évaluation factorisation seconde — Contrôle type DS (1h)

Voici un sujet complet de DS avec barème indicatif. Fais-le en conditions réelles : 1 heure, sans regarder les corrections ci-dessus, puis compare.

Conseil pour le DS : commence par les exercices de facteur commun et d’identités (les plus rapides), puis passe aux exercices d’application (équation, signe). Garde les exercices multi-étapes pour la fin.

Exercice 1 — Facteur commun (/4 points)

Factoriser les expressions suivantes :

a) \(8x^2 – 12x\)

b) \(3x(x + 2) – 7(x + 2)\)

c) \(\displaystyle\frac{5}{3}x – 5\)

d) \((2x – 1)(x + 4) + (2x – 1)(3x – 2)\)

Correction :

a) \(8x^2 – 12x = 4x(2x – 3)\)

b) \(3x(x + 2) – 7(x + 2) = (x + 2)(3x – 7)\)

c) \(\displaystyle\frac{5}{3}x – 5 = \displaystyle\frac{5}{3}(x – 3)\)

d) \((2x – 1)(x + 4) + (2x – 1)(3x – 2) = (2x – 1)\big[(x + 4) + (3x – 2)\big] = (2x – 1)(4x + 2) = 2(2x – 1)(2x + 1)\)

Exercice 2 — Identités remarquables (/4 points)

Factoriser :

a) \(x^2 – 49\)

b) \(16x^2 + 24x + 9\)

c) \((x + 3)^2 – (2x – 1)^2\)

Correction :

a) \(x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)\)

b) \(16x^2 + 24x + 9 = (4x + 3)^2\)

c) \((x + 3)^2 – (2x – 1)^2 = \big[(x + 3) – (2x – 1)\big]\big[(x + 3) + (2x – 1)\big] = (-x + 4)(3x + 2)\)

Exercice 3 — Simplification de fractions (/3 points)

Simplifier (en précisant la condition d’existence) :

a) \(\displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2}\)

b) \(\displaystyle\frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}\)

Correction :

a) \(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\). Pour \(x \neq 2\) : \(\displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2} = x + 2\).

b) \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Pour \(x \neq -3\) : \(\displaystyle\frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3} = x + 3\).

Exercice 4 — Factoriser et résoudre (/4 points)

Soit \(B = (3x – 2)^2 – (3x – 2)(x + 5)\).

a) Factoriser \(B\).

b) Résoudre \(B = 0\).

Correction :

a) \(B = (3x – 2)\big[(3x – 2) – (x + 5)\big] = (3x – 2)(2x – 7)\).

b) \((3x – 2)(2x – 7) = 0\) → \(x = \displaystyle\frac{2}{3}\) ou \(x = \displaystyle\frac{7}{2}\).

Exercice 5 — Étude de signe (/3 points)

Soit \(f(x) = (x – 1)(x + 4)\).

a) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).

b) En déduire l’ensemble des solutions de \(f(x) \leq 0\).

Correction :

a) Les zéros sont \(x = 1\) et \(x = -4\).

Tableau de signes de f(x) = (x − 1)(x + 4)
\(x\) \(-\infty\) \(-4\) \(1\) \(+\infty\)
\(x – 1\) \(–\) \(–\) \(–\) \(0\) \(+\)
\(x + 4\) \(–\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(f(x)\) \(+\) \(0\) \(–\) \(0\) \(+\)

b) \(f(x) \leq 0\) pour \(x \in [-4\,;\,1]\).

Exercice 6 — Bonus expert (/2 points)

Soit \(C = 4x^2 – 12x + 9 – (2x – 3)(5x + 1)\).

a) Montrer que \(C = (2x – 3)(-3x – 4)\).

b) Résoudre \(C = 0\).

c) Calculer \(C\) pour \(x = -2\).

Correction :

a) On reconnaît \(4x^2 – 12x + 9 = (2x – 3)^2\), donc :

\(C = (2x – 3)^2 – (2x – 3)(5x + 1) = (2x – 3)\big[(2x – 3) – (5x + 1)\big] = (2x – 3)(-3x – 4)\).

b) \(2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \displaystyle\frac{3}{2}\) ou \(-3x – 4 = 0 \Rightarrow x = -\displaystyle\frac{4}{3}\).

c) \(C = (2 \times (-2) – 3)(-3 \times (-2) – 4) = (-7)(2) = -14\).

Les pièges classiques en seconde

Piège n°1 — Diviser au lieu de factoriser. Face à \((x + 1)(x – 2) = 3(x + 1)\), ne jamais « diviser par \((x + 1)\) ». On perdrait la solution \(x = -1\). Toujours ramener tout d’un côté et factoriser.

Piège n°2 — Oublier la condition d’existence. Quand on simplifie une fraction par un facteur, il faut préciser que ce facteur est non nul. Exemple : \(\displaystyle\frac{x^2 – 9}{x – 3} = x + 3\) uniquement pour \(x \neq 3\).

Piège n°3 — Confondre identité et facteur commun. Dans \((x – 3)^2 – 2(x – 3)\), la bonne approche est le facteur commun \((x – 3)\), pas une identité remarquable.

Vérification express : redéveloppe mentalement ta forme factorisée. Si tu retombes sur l’expression de départ, c’est bon. Si un signe diffère, tu as trouvé l’erreur.

Pour aller plus loin

Autres niveaux — exercices de factorisation

Cours et méthodes

Questions fréquentes


Comment savoir s'il faut factoriser ou développer ?

Si l’objectif est de résoudre une équation (produit nul), simplifier une fraction ou étudier un signe, on factorise. Si l’objectif est de réduire et calculer, on développe. Dans le doute, essaie de factoriser — tu pourras toujours vérifier en redéveloppant. Pour approfondir : développer et factoriser.

Quelles formules faut-il connaître en seconde ?

Les trois identités remarquables : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\). En seconde, tu dois aussi maîtriser la mise en évidence (y compris avec des fractions ou des parenthèses composées).

Comment vérifier une factorisation ?

La méthode la plus fiable est de redévelopper ta forme factorisée et de comparer avec l’expression initiale : mêmes termes, mêmes signes, mêmes coefficients. Tu peux aussi tester avec une valeur numérique (par exemple \(x = 0\) ou \(x = 1\)).

Pourquoi faut-il préciser une condition quand on simplifie une fraction ?

Quand on simplifie par un facteur (comme \((x – 3)\)), ce facteur ne doit pas être nul. Si \(x = 3\), le dénominateur vaut zéro et la fraction n’existe pas. La condition \(x \neq 3\) est donc obligatoire.

Comment résoudre une équation grâce à la factorisation ?

Tu factorises l’expression pour obtenir un produit de facteurs égal à zéro, puis tu appliques la règle du produit nul : chaque facteur est testé séparément. Attention à ne jamais diviser par une expression contenant \(x\).


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