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Face à \(\sqrt{50}\) sans calculatrice, beaucoup d’élèves bloquent. Pourtant, avec quelques réflexes simples, tu peux trouver une racine carrée exacte ou une bonne valeur approchée à la main. Cette page est faite pour les élèves de 3ème et de Seconde qui veulent gagner en autonomie et grappiller des points au brevet comme au lycée.
I. Ce qu’il faut savoir avant de calculer
Calculer une racine carrée, c’est répondre à la question : « quel nombre positif, multiplié par lui-même, donne le nombre de départ ? ». Avant toute méthode, il faut donc bien comprendre le lien entre la racine et le carré d’un nombre.
Définition — Racine carrée
La racine carrée d’un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\). On la note \(\sqrt{a}\).
Autrement dit : \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\) et \((\sqrt{a})^2 = a\).
Par exemple, \(\sqrt{36} = 6\) car \(6 \times 6 = 36\). Deux points de vigilance avant de commencer :
- On ne peut calculer la racine carrée que d’un nombre positif ou nul : \(\sqrt{-9}\) n’existe pas au collège.
- Une racine carrée est toujours positive : \(\sqrt{25} = 5\), jamais \(-5\).
Certaines racines tombent « juste » (on obtient un entier), d’autres non. Toute la difficulté du calcul à la main est de savoir reconnaître dans quel cas on est, puis de choisir la bonne technique.
II. Quelle méthode choisir ?
Il n’existe pas une seule façon de calculer une racine carrée, mais quatre réflexes selon la situation. Le tableau ci-dessous t’indique lequel utiliser en fonction du nombre que tu as sous les yeux. C’est ta boussole pour tout le reste de la page.
| Ta situation | Méthode à utiliser | Ce que tu obtiens |
|---|---|---|
| Le nombre est un carré parfait (\(49\), \(81\)…) | Reconnaître la racine exacte | Une valeur exacte entière |
| Le nombre n’est pas un carré parfait, tu veux un ordre de grandeur | Encadrer entre deux entiers | Un encadrement (ex. entre \(5\) et \(6\)) |
| Le nombre « cache » un grand carré parfait (\(72\), \(50\)…) | Simplifier avant de calculer | Une écriture exacte plus simple |
| Tu veux une valeur décimale précise | Méthode de Héron 🟡 | Une valeur approchée fiable |
Les 4 méthodes de calcul de racine carrée sur une seule fiche
Carrés parfaits, encadrement, simplification et méthode de Héron : tout en recto-verso, à glisser dans ton classeur.
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Les trois premières méthodes sont au programme de 3ème et de Seconde. La quatrième, la méthode de Héron, est un bonus qui impressionne toujours : on la détaille plus bas.
III. Les 4 techniques pas à pas
A. Reconnaître une racine exacte (carrés parfaits)
Un carré parfait est un nombre qui est le carré d’un entier. Leur racine carrée « tombe juste ». Le premier réflexe est donc de connaître par cœur la liste des premiers carrés parfaits : c’est la table la plus rentable de tout le chapitre.
| Nombre \(n\) | Carré \(n^2\) | Racine \(\sqrt{n^2}\) |
|---|---|---|
| 1 à 5 | 1, 4, 9, 16, 25 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| 6 à 10 | 36, 49, 64, 81, 100 | 6, 7, 8, 9, 10 |
| 11 à 15 | 121, 144, 169, 196, 225 | 11, 12, 13, 14, 15 |
La méthode :
- Regarde si le nombre sous la racine figure dans ta liste de carrés parfaits.
- Si oui, la racine est l’entier correspondant. Fin du calcul.
- Si non, passe à l’encadrement ou à la simplification.
Exemple : Calculer \(\sqrt{169}\).
Je repère que \(169 = 13^2\). Donc \(\sqrt{169} = 13\). C’est une valeur exacte, sans arrondi.
Si le nombre n’est pas dans la liste, ne cherche pas de valeur exacte entière : elle n’existe pas. Il faut alors encadrer.
B. Encadrer une racine entre deux entiers
Quand le nombre n’est pas un carré parfait, tu peux quand même dire entre quels deux entiers consécutifs se trouve sa racine. C’est très utile pour vérifier un résultat ou donner un ordre de grandeur.
La méthode :
- Cherche le plus grand carré parfait inférieur au nombre.
- Cherche le plus petit carré parfait supérieur au nombre.
- La racine est comprise entre les racines de ces deux carrés parfaits.
Exemple : Encadrer \(\sqrt{30}\).
Les carrés parfaits qui entourent \(30\) sont \(25\) et \(36\), car \(25\) < \(30\) < \(36\).
Comme \(\sqrt{25} = 5\) et \(\sqrt{36} = 6\), on obtient :
\(5\) < \(\sqrt{30}\) < \(6\).
Et comme \(30\) est presque à mi-chemin entre \(25\) et \(36\), en étant légèrement plus proche de \(25\), on devine que \(\sqrt{30}\) est un peu en dessous de \(5{,}5\) (la vraie valeur est environ \(5{,}48\)).
C. Simplifier avant de calculer
Parfois, le nombre sous la racine cache un grand carré parfait. Le faire sortir de la racine donne une écriture exacte bien plus simple. C’est la compétence clé pour simplifier une racine carrée.
La méthode : on cherche à écrire le nombre sous la forme d’un carré parfait multiplié par un autre nombre, puis on sort le carré parfait.
Exemple : Simplifier \(\sqrt{72}\).
On repère que \(72 = 36 \times 2\), et \(36\) est un carré parfait.
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
L’écriture \(6\sqrt{2}\) est exacte et beaucoup plus lisible que \(\sqrt{72}\).
Cette technique s’appuie sur une règle essentielle : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) (valable pour des nombres positifs). Attention, elle ne marche pas avec l’addition — on y revient dans les erreurs fréquentes.
D. 🟡 Approcher avec la méthode de Héron (lycée)
Voici la méthode qui fait la différence : elle permet d’obtenir une valeur approchée précise, à la main, en quelques étapes. Elle porte le nom d’un mathématicien de l’Antiquité, Héron d’Alexandrie. On la classe en niveau lycée car elle repose sur une répétition de calculs (une suite).
Le principe pour calculer \(\sqrt{a}\) :
- Choisis une première estimation \(x\) proche du résultat (par exemple un entier voisin).
- Remplace \(x\) par la moyenne entre \(x\) et \(\displaystyle\frac{a}{x}\).
- Recommence : chaque étape rapproche fortement de la vraie valeur.
La formule à répéter : la nouvelle estimation vaut
\(x_{\text{nouveau}} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x + \displaystyle\frac{a}{x}\right)\)
En pratique, deux ou trois répétitions suffisent pour avoir 3 décimales exactes.
Exemple : Approcher \(\sqrt{10}\).
Estimation de départ : \(x = 3\) (car \(3^2 = 9\) est proche de \(10\)).
Étape 1 : \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(3 + \displaystyle\frac{10}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}(3 + 3{,}333) \approx 3{,}167\).
Étape 2 : \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(3{,}167 + \displaystyle\frac{10}{3{,}167}\right) \approx 3{,}162\).
La vraie valeur est \(\sqrt{10} \approx 3{,}1623\) : on l’a retrouvée en deux étapes seulement.
IV. Exemples résolus pas à pas
Reprenons les quatre méthodes sur des cas complets, du plus simple au plus astucieux, pour bien voir le raisonnement se dérouler.
Exemple 1 🟢 — Racine exacte. Calculer \(\sqrt{144}\).
Je reconnais \(144 = 12^2\) dans ma table. Donc \(\sqrt{144} = 12\). Vérification : \(12 \times 12 = 144\) ✓.
Exemple 2 🟢 — Encadrement. Entre quels entiers se trouve \(\sqrt{50}\) ?
Les carrés parfaits voisins sont \(49\) et \(64\) : \(49\) < \(50\) < \(64\).
Donc \(7\) < \(\sqrt{50}\) < \(8\). Comme \(50\) est tout proche de \(49\), \(\sqrt{50}\) est à peine plus grand que \(7\) (environ \(7{,}07\)).
Exemple 3 🟡 — Simplification. Simplifier \(\sqrt{50}\).
\(50 = 25 \times 2\), et \(25\) est un carré parfait.
\(\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\). Comme \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), on retrouve bien \(5 \times 1{,}414 \approx 7{,}07\), cohérent avec l’exemple 2.
Exemple 4 🟡 — Héron. Approcher \(\sqrt{20}\) avec une estimation de départ \(x = 4\).
Étape 1 : \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(4 + \displaystyle\frac{20}{4}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}(4 + 5) = 4{,}5\).
Étape 2 : \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(4{,}5 + \displaystyle\frac{20}{4{,}5}\right) \approx 4{,}472\).
La vraie valeur est \(\sqrt{20} \approx 4{,}4721\) : deux étapes suffisent. On peut aussi vérifier en simplifiant : \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
V. Erreurs fréquentes et pièges
Trois erreurs reviennent à chaque contrôle. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — Croire que la racine « se distribue » sur l’addition.
❌ Copie fautive : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Diagnostic : on a appliqué la règle du produit à une addition. C’est faux.
✅ Correction : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Retiens bien : \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Erreur n°2 — Oublier de simplifier au maximum.
❌ Écrire \(\sqrt{48} = 2\sqrt{12}\) et s’arrêter là.
Diagnostic : \(12\) contient encore un carré parfait (\(4\)).
✅ Correction : \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\). Cherche toujours le plus grand carré parfait.
Erreur n°3 — Donner une racine négative.
❌ Écrire \(\sqrt{16} = \pm 4\).
Diagnostic : on confond avec la résolution de \(x^2 = 16\) (qui, elle, a deux solutions).
✅ Correction : une racine carrée est toujours positive, donc \(\sqrt{16} = 4\).
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction : c’est comme ça qu’on progresse vraiment.
Exercice 1 — Racines exactes ★
Calcule sans calculatrice : \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{121}\) et \(\sqrt{0}\).
Voir la correction de l’exercice 1
Ces trois nombres sont des carrés parfaits.
\(\sqrt{81} = 9\) car \(9^2 = 81\).
\(\sqrt{121} = 11\) car \(11^2 = 121\).
\(\sqrt{0} = 0\) car \(0^2 = 0\).
Résultats : 9, 11 et 0.
Exercice 2 — Encadrement ★
Donne un encadrement de \(\sqrt{40}\) entre deux entiers consécutifs.
Voir la correction de l’exercice 2
Je cherche les carrés parfaits qui entourent \(40\) : ce sont \(36\) et \(49\).
\(36\) < \(40\) < \(49\), donc \(\sqrt{36}\) < \(\sqrt{40}\) < \(\sqrt{49}\).
Conclusion : \(6\) < \(\sqrt{40}\) < \(7\) (la valeur exacte est proche de \(6{,}32\)).
Exercice 3 — Simplification ★★
Écris \(\sqrt{98}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible.
Voir la correction de l’exercice 3
Je cherche le plus grand carré parfait qui divise \(98\). On a \(98 = 49 \times 2\).
\(\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}\).
Résultat : \(\sqrt{98} = 7\sqrt{2}\). On ne peut pas simplifier davantage car \(2\) ne contient aucun carré parfait.
Exercice 4 — Raisonnement 🟡 ★★
Sans calculatrice, \(\sqrt{45}\) est-il plus proche de \(6\) ou de \(7\) ? Justifie, puis affine avec une étape de la méthode de Héron à partir de \(x = 7\).
Voir la correction de l’exercice 4
Les carrés voisins de \(45\) sont \(36\) (\(6^2\)) et \(49\) (\(7^2\)). Comme \(45\) est beaucoup plus proche de \(49\) que de \(36\), \(\sqrt{45}\) est plus proche de 7.
Une étape de Héron avec \(x = 7\) :
\(x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(7 + \displaystyle\frac{45}{7}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}(7 + 6{,}428) \approx 6{,}714\).
Conclusion : \(\sqrt{45} \approx 6{,}71\) (valeur réelle \(6{,}708\)). Le raisonnement est confirmé.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?
Trois réflexes : vérifie d’abord si le nombre est un carré parfait (la racine tombe juste), sinon encadre-le entre deux entiers consécutifs, et si le nombre cache un grand carré parfait, simplifie-le sous la forme \(a\sqrt{b}\). Pour une valeur décimale précise, utilise la méthode de Héron.
Comment calculer une racine carrée à la main rapidement ?
Le plus rapide est de connaître par cœur les carrés parfaits de 1 à 15. Ensuite, pour un nombre quelconque, encadre-le entre deux carrés parfaits voisins : tu obtiens un résultat au dixième près en quelques secondes, sans aucun calcul compliqué.
Combien vaut la racine carrée de 2 ?
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). C’est un nombre qui ne s’écrit pas avec un nombre fini de décimales : on dit qu’il est irrationnel. On peut retenir la valeur approchée \(1{,}414\) pour le collège. Pour en savoir plus, découvre notre page racine carrée de 2.
Quelle est la différence entre calculer et simplifier une racine carrée ?
Calculer, c’est obtenir une valeur (exacte comme \(\sqrt{49}=7\), ou approchée comme \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\)). Simplifier, c’est réécrire la racine sous une forme plus courte et exacte, par exemple \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), sans donner de valeur décimale. On simplifie souvent avant de calculer.
Comment calculer une racine cubique ?
La racine cubique de \(a\) est le nombre dont le cube (la puissance 3) vaut \(a\). Par exemple, la racine cubique de \(27\) est \(3\) car \(3^3 = 27\). Le principe est le même que pour la racine carrée : on cherche les « cubes parfaits » (1, 8, 27, 64, 125…).
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer, encadrer et simplifier une racine carrée sans calculatrice. Pour consolider et découvrir où ces racines apparaissent réellement :
- Fonctions Carré, Cube, Racine Carrée (Seconde) : Cours
- Le théorème de Pythagore : cours complet, formule et exemples
- 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème)
- Décomposition en Facteurs Premiers (3ème) : Méthode
- Nombre premier : définition, propriétés et liste des nombres premiers
- Au lycée, les racines carrées servent à dériver la fonction racine et à lever certaines limites : découvre le Calcul de Dérivées (1ère) : Méthode et Exemples.
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