Tu as 15 € et un jeu vidéo coûte 23 €. Combien dois-tu encore économiser ? Ce problème se traduit par une équation du premier degré. Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître ces équations, les résoudre pas à pas et les utiliser dans des problèmes concrets.
Prérequis : avant de commencer, assure-toi de savoir :
- Additionner et soustraire des nombres relatifs
- Développer et réduire une expression littérale
- Multiplier et diviser des nombres relatifs
Conforme au programme officiel de mathématiques du cycle 4 (4ème–3ème).
I. Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?
A. Un exemple pour comprendre
Imagine que tu achètes des cahiers à 3 € pièce et que tu paies 21 € au total. Combien de cahiers as-tu achetés ?
Tu peux écrire : \(3 \times x = 21\), où \(x\) représente le nombre de cahiers. C’est une équation. La résoudre, c’est trouver la valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
Ici, \(x = 7\) : tu as acheté 7 cahiers. On dit que 7 est la solution de l’équation.
B. Définition et vocabulaire
Définition — Équation du premier degré
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité contenant un nombre inconnu (souvent noté \(x\)) qui n’apparaît qu’à la puissance 1.
Forme générale : \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres connus, avec \(a \neq 0\).
Vocabulaire à retenir :
- Inconnue : la lettre dont on cherche la valeur (souvent \(x\)).
- Membre de gauche : tout ce qui est à gauche du signe \(=\).
- Membre de droite : tout ce qui est à droite du signe \(=\).
- Solution : la valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
- Résoudre : trouver toutes les solutions de l’équation.
Exemples et contre-exemples :
- \(2x + 5 = 11\) → équation du premier degré ✓
- \(4x = 20\) → équation du premier degré ✓
- \(x^2 + 3 = 12\) → pas du premier degré (le \(x\) est au carré, c’est une équation du second degré)
II. Résoudre une équation du premier degré
Tu sais maintenant reconnaître une équation du premier degré. Voyons comment la résoudre.
A. Le principe de la balance
Pense à une équation comme une balance en équilibre. Le membre de gauche pèse autant que le membre de droite. Pour garder l’équilibre, tu dois toujours faire la même opération des deux côtés.
Règle d’or : tu peux additionner, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre (sauf diviser par 0). L’égalité reste vraie.
B. La méthode en 4 étapes
Résolvons ensemble \(2x + 3 = 11\) :
| Étape | Ce que tu fais | Ici |
|---|---|---|
| 1. Développer et réduire | Simplifie chaque membre si nécessaire | Rien à faire ici |
| 2. Regrouper | Les \(x\) d’un côté, les nombres de l’autre | \(2x = 11 - 3\) |
| 3. Simplifier | Calcule chaque membre | \(2x = 8\) |
| 4. Isoler \(x\) | Divise par le nombre devant \(x\) | \(x = \displaystyle\frac{8}{2} = 4\) |
Vérification : \(2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11\) ✓ C’est correct !
Pense toujours à vérifier : remplace \(x\) par ta solution dans l’équation de départ. Si les deux membres sont égaux, tu as juste !
C. Exemples résolus
Exemple 1 : Résoudre \(5x - 7 = 18\).
\(5x = 18 + 7 = 25\)
\(x = \displaystyle\frac{25}{5} = 5\)
Vérification : \(5 \times 5 - 7 = 25 - 7 = 18\) ✓
Exemple 2 — Des \(x\) des deux côtés : Résoudre \(7x - 4 = 3x + 12\).
On regroupe les \(x\) à gauche et les nombres à droite :
\(7x - 3x = 12 + 4\)
\(4x = 16\)
\(x = \displaystyle\frac{16}{4} = 4\)
Vérification : membre de gauche : \(7 \times 4 - 4 = 24\). Membre de droite : \(3 \times 4 + 12 = 24\) ✓
D. Résoudre graphiquement une équation
Tu peux aussi résoudre une équation en utilisant un graphique. Pour résoudre \(2x + 1 = 7\), trace la droite \(y = 2x + 1\) et la droite horizontale \(y = 7\). Leur point d’intersection te donne la solution.
Les deux droites se croisent en \(x = 3\). Vérifions : \(2 \times 3 + 1 = 7\) ✓
Deux cas particuliers à connaître :
- Si ta résolution aboutit à \(0 = 0\) (une égalité toujours vraie), alors tout nombre est solution.
- Si ta résolution aboutit à \(0 = 5\) (une égalité fausse), alors l’équation n’a aucune solution.
Exemple : \(2x + 4 = 2x + 4\) donne \(0 = 0\). Tout \(x\) convient.
Exemple : \(3x + 1 = 3x + 5\) donne \(1 = 5\). Aucune solution !
III. Cas particuliers : parenthèses et fractions
Tu maîtrises la méthode de base. Voyons ce qui change quand l’équation contient des parenthèses ou des fractions.
A. Équations avec des parenthèses
Quand une équation contient des parenthèses, commence par développer, puis applique la méthode habituelle.
Exemple : Résoudre \(3(x + 2) = 21\).
Étape 1 : On développe : \(3x + 6 = 21\)
Étape 2 : \(3x = 21 - 6 = 15\)
Étape 3 : \(x = \displaystyle\frac{15}{3} = 5\)
Vérification : \(3 \times (5 + 2) = 3 \times 7 = 21\) ✓
B. Équations avec des fractions
Pour te débarrasser des fractions, multiplie les deux membres par le dénominateur.
Exemple : Résoudre \(\displaystyle\frac{x + 1}{4} = 3\).
Étape 1 : On multiplie les deux côtés par 4 : \(x + 1 = 12\)
Étape 2 : \(x = 12 - 1 = 11\)
Vérification : \(\displaystyle\frac{11 + 1}{4} = \displaystyle\frac{12}{4} = 3\) ✓
Astuce : si l’équation a plusieurs fractions avec des dénominateurs différents, multiplie les deux membres par le plus petit commun multiple de tous les dénominateurs. Toutes les fractions disparaissent d’un coup !
IV. Mettre un problème en équation
En 3ème, tu dois souvent traduire un problème du quotidien en équation, puis la résoudre. Voici la marche à suivre :
- Choisis l’inconnue : identifie ce que tu cherches et appelle-le \(x\).
- Traduis en maths : écris les informations du problème sous forme d’équation.
- Résous : applique la méthode en 4 étapes.
- Conclus : réponds au problème avec une phrase complète et vérifie.
Exemple : Tom a le double de l’argent de Léa. À eux deux, ils ont 36 €. Combien a chacun ?
Inconnue : on note \(x\) la somme de Léa (en €). Tom a donc \(2x\).
Équation : \(x + 2x = 36\), c’est-à-dire \(3x = 36\).
Résolution : \(x = \displaystyle\frac{36}{3} = 12\).
Conclusion : Léa a 12 € et Tom a \(2 \times 12 = 24\) €.
Vérification : \(12 + 24 = 36\) ✓
Tu veux t’entraîner sur d’autres problèmes de mise en équation ? Consulte nos exercices d’équations corrigés pour la 3ème.
V. Exercices corrigés
À ton tour ! Voici 5 exercices progressifs. Essaie de résoudre chaque équation avant de regarder la correction.
Exercice 1 : Résoudre \(3x + 5 = 17\).
Voir la correction
\(3x = 17 - 5 = 12\) \(x = \displaystyle\frac{12}{3} = 4\)Vérification : \(3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17\) ✓
Exercice 2 : Résoudre \(4x - 3 = 2x + 7\).
Voir la correction
\(4x - 2x = 7 + 3\) \(2x = 10\) \(x = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\)Vérification : \(4 \times 5 - 3 = 17\) et \(2 \times 5 + 7 = 17\) ✓
Exercice 3 : Résoudre \(2(x - 3) = 4x + 2\).
Voir la correction
On développe : \(2x - 6 = 4x + 2\)
On regroupe : \(2x - 4x = 2 + 6\), soit \(-2x = 8\)
\(x = \displaystyle\frac{8}{-2} = -4\)Vérification : \(2 \times (-4 - 3) = 2 \times (-7) = -14\) et \(4 \times (-4) + 2 = -16 + 2 = -14\) ✓
Exercice 4 : Résoudre \(\displaystyle\frac{2x + 1}{3} = 5\).
Voir la correction
On multiplie par 3 : \(2x + 1 = 15\)
\(2x = 15 - 1 = 14\) \(x = \displaystyle\frac{14}{2} = 7\)Vérification : \(\displaystyle\frac{2 \times 7 + 1}{3} = \displaystyle\frac{15}{3} = 5\) ✓
Exercice 5 (problème) : Le périmètre d’un rectangle est 42 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 3 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Voir la correction
On note \(x\) la largeur (en cm). La longueur vaut \(x + 3\).
Périmètre : \(2 \times (x + x + 3) = 42\), soit \(2(2x + 3) = 42\).
On développe : \(4x + 6 = 42\)
\(4x = 42 - 6 = 36\) \(x = \displaystyle\frac{36}{4} = 9\)Conclusion : la largeur est 9 cm et la longueur est \(9 + 3 = 12\) cm.
Vérification : \(2 \times (9 + 12) = 2 \times 21 = 42\) cm ✓
Tu veux encore plus d’entraînement ? Retrouve nos exercices d’équations corrigés pour la 4ème et nos exercices d’équations pour la 3ème.
La fiche de cours « Équation du premier degré » en 3 pages PDF
Définition, méthode en 4 étapes, pièges à éviter — tout l’essentiel à garder sous les yeux pendant tes révisions.
📄 Télécharger la fiche gratuiteIdéal pour réviser la veille du contrôle — format PDF imprimable.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les 3 erreurs que font le plus souvent les élèves — et comment les éviter.
Piège n°1 — Oublier de changer le signe
❌ Copie fautive : « \(3x + 5 = 17\) donc \(3x = 17 + 5 = 22\) »
Diagnostic : quand tu déplaces \(+5\) de l’autre côté du \(=\), il devient \(-5\). C’est le piège le plus fréquent !
✅ Correction : \(3x = 17 - 5 = 12\), donc \(x = 4\).
Piège n°2 — Diviser un seul côté
❌ Copie fautive : « \(6x = 18 + 12\) donc \(x = 3 + 12 = 15\) »
Diagnostic : l’élève a divisé \(6x\) par 6, mais pas le \(12\). Tu dois d’abord simplifier le membre de droite : \(18 + 12 = 30\), puis diviser.
✅ Correction : \(6x = 30\), donc \(x = 5\).
Piège n°3 — Mal distribuer le signe « moins »
❌ Copie fautive : « \(-(2x + 3) = -2x + 3\) »
Diagnostic : le signe \(-\) s’applique à tous les termes à l’intérieur de la parenthèse, pas seulement au premier.
✅ Correction : \(-(2x + 3) = -2x - 3\).
VI bis. Deux erreurs supplémentaires à traquer
Les trois pièges vus juste avant sont les plus fréquents, mais ils ne sont pas les seuls. Voici deux erreurs plus discrètes qui coûtent régulièrement des points en contrôle de 3e, parce qu’elles passent inaperçues à celui qui les commet. Elles complètent la liste : au total, tu as maintenant les cinq fautes classiques bien en tête.
Piège n°4 — Multiplier un seul terme au lieu du membre entier
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{x}{3} + 2 = 5\) donc \(x + 2 = 15\) »
Diagnostic : l’élève a multiplié par 3 uniquement la fraction, en oubliant le \(+2\). Quand tu multiplies par un nombre pour chasser une fraction, ce nombre doit toucher chaque terme des deux membres, pas seulement celui qui porte la fraction.
✅ Correction : \(3 \times \displaystyle\frac{x}{3} + 3 \times 2 = 3 \times 5\), soit \(x + 6 = 15\), donc \(x = 9\).
La règle de la balance vue au chapitre II est ici la meilleure protection : tu multiplies un membre entier, jamais un morceau isolé. Écris toujours la multiplication devant la parenthèse ou devant chaque terme avant de simplifier.
Piège n°5 — Se tromper de signe en divisant par un coefficient négatif
❌ Copie fautive : « \(-2x = 8\) donc \(x = 4\) »
Diagnostic : l’élève a divisé \(8\) par \(2\) en oubliant le signe moins. Le coefficient devant \(x\) est \(-2\), pas \(2\). Diviser par un négatif change le signe du résultat.
✅ Correction : \(x = \displaystyle\frac{8}{-2} = -4\).
Cette faute est sournoise parce que le calcul « \(8\) divisé par \(2\) » est juste ; c’est le signe qui manque. Tu l’as déjà croisée dans l’exercice 3 du chapitre V, où \(-2x = 8\) donnait bien \(x = -4\).
Le bon réflexe contre les cinq pièges : après chaque résolution, remplace ta valeur dans l’équation de départ. Une vérification qui tombe juste élimine d’un coup une erreur de signe, une distribution ratée ou un membre à moitié divisé. C’est trente secondes qui sauvent l’exercice.
Récapitulatif des cinq erreurs à surveiller :
- oublier de changer le signe en déplaçant un terme ;
- diviser un seul côté de l’égalité ;
- mal distribuer le signe moins devant une parenthèse ;
- multiplier un seul terme au lieu du membre entier ;
- oublier le signe en divisant par un coefficient négatif.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une équation du premier degré en maths ?
Une équation du premier degré est une égalité contenant une inconnue (souvent \(x\)) qui n’apparaît qu’à la puissance 1. Sa forme générale est \(ax + b = 0\). Par exemple, \(3x + 5 = 17\) est une équation du premier degré. La résoudre, c’est trouver la valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
Comment résoudre une équation du premier degré en 4 étapes ?
Suis ces 4 étapes : (1) développe et réduis chaque membre, (2) regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre, (3) simplifie chaque membre, (4) divise par le nombre devant \(x\). Termine toujours par une vérification en remplaçant \(x\) dans l’équation de départ.
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Une équation utilise le signe \(=\) (égalité) et a généralement une seule solution. Une inéquation utilise un signe d’inégalité (comme < ou ≥) et a souvent une infinité de solutions. Les deux se résolvent avec la même logique, mais attention : quand tu multiplies ou divises une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité.
Comment résoudre une équation avec des fractions ?
Multiplie les deux membres de l’équation par le dénominateur pour faire disparaître la fraction. S’il y a plusieurs fractions avec des dénominateurs différents, multiplie par le plus petit commun multiple de tous les dénominateurs. Tu retrouves alors une équation classique sans fraction.
Une équation du premier degré a-t-elle toujours une seule solution ?
Dans la grande majorité des cas, oui : elle a exactement une solution. Mais il existe deux exceptions. Si la simplification donne \(0 = 0\), l’équation est vraie pour tout nombre (infinité de solutions). Si elle donne une égalité fausse comme \(0 = 5\), l’équation n’a aucune solution.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises les équations du premier degré. Voici la suite de ton parcours :
- Équation produit nul et équation quotient — pour résoudre des équations après factorisation
- Équation à deux inconnues et systèmes — quand il y a deux inconnues (chaque équation du système est du premier degré)
- Résoudre une inéquation — même logique de résolution, avec le sens de l’inégalité en plus
- Équation du second degré — l’étape suivante au lycée
