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Tu sais résoudre une équation du second degré avec le discriminant. Mais que se passe-t-il quand le signe = est remplacé par ≤ ou ≥ ? C’est le sujet des inéquations du second degré — un chapitre clé du programme d’équations et inéquations, omniprésent en Première et en Terminale. Étude du signe d’une dérivée, position relative de deux courbes, problème d’optimisation : tu ne pourras pas y échapper. Tu trouveras ici le théorème du signe du trinôme, une méthode de résolution en 4 étapes, des exemples résolus pour chaque cas, et 6 exercices corrigés.
I. Définition et rappels sur le second degré
A. Qu’est-ce qu’une inéquation du second degré ?
Définition — Inéquation du second degré
Une inéquation du second degré est une inégalité qui peut se ramener à l’une des formes suivantes :
\(ax^2 + bx + c\) > \(0\) , \(ax^2 + bx + c \geq 0\) , \(ax^2 + bx + c\) < \(0\) ou \(ax^2 + bx + c \leq 0\)
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels avec \(a \neq 0\).
Résoudre une telle inéquation, c’est trouver l’ensemble des valeurs de \(x\) qui vérifient l’inégalité. Contrairement à une équation du second degré qui donne des valeurs ponctuelles (les racines), la solution d’une inéquation est un ensemble d’intervalles.
Si tu n’es pas encore à l’aise avec les inéquations du premier degré, commence par là avant de poursuivre — tu y retrouveras les bases du raisonnement sur les inégalités (règle du signe, inversion lors d’une multiplication par un nombre négatif).
B. Rappels : discriminant et racines d’un trinôme
Pour résoudre une inéquation du second degré, tu dois d’abord résoudre l’équation associée \(ax^2 + bx + c = 0\). Voici les résultats essentiels (pour le cours détaillé, consulte notre page sur l’équation du second degré).
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Le discriminant du trinôme est :
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
Trois cas se présentent :
- Si \(\Delta\) > \(0\) : deux racines distinctes \(x_1 = \displaystyle\frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) (avec \(x_1\) < \(x_2\)).
- Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = \displaystyle\frac{-b}{2a}\).
- Si \(\Delta\) < \(0\) : aucune racine réelle.
Ce sont ces racines — ou leur absence — qui déterminent entièrement le signe du trinôme sur \(\mathbb{R}\).
II. Le théorème du signe du trinôme
Ce théorème est le résultat central de tout le chapitre. Apprends-le par cœur — toutes les résolutions d’inéquations du second degré en découlent.
A. Énoncé du théorème
Théorème — Signe d’un trinôme du second degré
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^2 – 4ac\).
- Si \(\Delta\) > \(0\) : \(f\) admet deux racines \(x_1\) < \(x_2\). Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, et du signe opposé à \(a\) entre les racines.
- Si \(\Delta = 0\) : \(f\) admet une racine double \(x_0\). Le trinôme est du signe de \(a\) pour tout \(x \neq x_0\), et \(f(x_0) = 0\).
- Si \(\Delta\) < \(0\) : \(f\) n’a aucune racine réelle. Le trinôme est du signe de \(a\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Règle mnémotechnique : retiens « signe de a à l’extérieur ». Si \(a\) > \(0\), la parabole est tournée vers le haut (forme ∪) : le trinôme est positif à l’extérieur des racines. Si \(a\) < \(0\), la parabole est tournée vers le bas (forme ∩) : le trinôme est négatif à l’extérieur.
B. Les trois cas en tableaux de signes
Voici les tableaux de signes correspondant à chaque cas, pour \(a\) > \(0\) (si \(a\) < \(0\), il suffit d’inverser tous les signes).
Cas 1 — \(\Delta\) > \(0\) (deux racines \(x_1\) < \(x_2\)) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Cas 2 — \(\Delta = 0\) (racine double \(x_0\)) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | + | 0 | + |
Cas 3 — \(\Delta\) < \(0\) (aucune racine) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | + |
C. Démonstration au programme
Démonstration au programme ▼
Cas \(\Delta\) > \(0\) : le trinôme se factorise sous la forme :
\(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\)
Le signe de \(f(x)\) est le produit des signes de \(a\), de \((x – x_1)\) et de \((x – x_2)\). Or :
- \((x – x_1)\) < \(0\) si \(x\) < \(x_1\), nul si \(x = x_1\), et positif sinon.
- \((x – x_2)\) < \(0\) si \(x\) < \(x_2\), nul si \(x = x_2\), et positif sinon.
En dressant le tableau des signes des deux facteurs et en appliquant la règle des signes d’un produit, on obtient : le produit \((x – x_1)(x – x_2)\) est positif à l’extérieur de \(x_1\) et \(x_2\), négatif entre. On multiplie par le signe de \(a\) pour conclure.
Cas \(\Delta = 0\) : le trinôme s’écrit \(f(x) = a(x – x_0)^2\). Comme \((x – x_0)^2 \geq 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f(x)\) est celui de \(a\), avec \(f(x) = 0\) uniquement en \(x = x_0\).
Cas \(\Delta\) < \(0\) : on écrit la forme canonique \(f(x) = a\!\left[\left(x + \displaystyle\frac{b}{2a}\right)^{\!2} – \displaystyle\frac{\Delta}{4a^2}\right]\). Puisque \(\Delta\) < \(0\), le crochet est une somme de deux termes strictement positifs, donc strictement positif. Le signe de \(f(x)\) est celui de \(a\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
🔴 Extension prépa : en classe préparatoire, le signe d’un trinôme intervient dans les discussions selon un paramètre. On calcule \(\Delta\) en fonction du paramètre, puis on détermine les valeurs du paramètre pour lesquelles \(\Delta\) > \(0\), \(\Delta = 0\) ou \(\Delta\) < \(0\). C’est une inéquation du second degré… sur le paramètre lui-même (voir l’exercice 6 ci-dessous).
III. Méthode de résolution en 4 étapes et exemples résolus
Quelle que soit l’inéquation du second degré, la méthode est toujours la même. Voici les 4 étapes à suivre systématiquement.
A. Les 4 étapes de résolution
Méthode — Résoudre une inéquation du second degré
- Se ramener à la forme \(ax^2 + bx + c \geq 0\) (ou >, <, ≤) en passant tous les termes du même côté.
- Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) et les éventuelles racines.
- Dresser le tableau de signes du trinôme en utilisant le théorème du signe.
- Lire l’ensemble des solutions dans le tableau, en respectant le sens de l’inégalité (strict ou large).
Attention au sens strict / large : pour une inéquation stricte (> ou <), les racines sont exclues de l’ensemble des solutions (crochets ouverts). Pour une inéquation large (≥ ou ≤), les racines sont incluses (crochets fermés).
Passons à la pratique avec un exemple pour chacun des trois cas du discriminant.
B. Exemple 1 — Cas \(\Delta\) > \(0\) (★)
Résoudre \(x^2 – 5x + 4\) > \(0\).
Solution :
Étape 1 : l’inéquation est déjà sous la bonne forme, avec \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\).
Étape 2 : \(\Delta = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 4 = 25 – 16 = 9\) > \(0\).
Deux racines : \(x_1 = \displaystyle\frac{5 – 3}{2} = 1\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{5 + 3}{2} = 4\).
Étape 3 : \(a = 1\) > \(0\), donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
Étape 4 : on cherche \(f(x)\) > \(0\) (strict), donc les racines sont exclues.
\(S = \,]-\infty \,;\, 1\lbrack \;\cup\; ]4 \,;\, +\infty\lbrack\)
C. Exemple 2 — Cas \(\Delta = 0\) (★★)
Résoudre \(-x^2 + 4x – 4 \geq 0\).
Solution :
Étape 1 : l’inéquation est sous la bonne forme, avec \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -4\).
Étape 2 : \(\Delta = 4^2 – 4 \times (-1) \times (-4) = 16 – 16 = 0\).
Racine double : \(x_0 = \displaystyle\frac{-4}{2 \times (-1)} = 2\).
Étape 3 : \(a = -1\) < \(0\), donc le trinôme est négatif (signe de \(a\)) pour tout \(x \neq 2\), et nul en \(x = 2\).
Étape 4 : on cherche \(f(x) \geq 0\). Le trinôme est négatif partout sauf en \(x = 2\) où il vaut 0. La seule valeur vérifiant \(f(x) \geq 0\) est \(x = 2\).
\(S = \{2\}\)
D. Exemple 3 — Cas \(\Delta\) < \(0\) (★)
Résoudre \(2x^2 + 3x + 5\) > \(0\).
Solution :
Étape 1 : l’inéquation est sous la bonne forme, avec \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Étape 2 : \(\Delta = 3^2 – 4 \times 2 \times 5 = 9 – 40 = -31\) < \(0\).
Aucune racine réelle.
Étape 3 : \(a = 2\) > \(0\) et \(\Delta\) < \(0\), donc le trinôme est strictement positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Étape 4 : l’inégalité \(f(x)\) > \(0\) est vérifiée par tous les réels.
\(S = \mathbb{R}\)
Réflexe : si \(\Delta\) < \(0\), la réponse est immédiate — soit \(S = \mathbb{R}\) (trinôme du signe de \(a\) et inégalité dans le bon sens), soit \(S = \emptyset\) (inégalité dans le mauvais sens). Pas besoin de tableau de signes.
IV. Interprétation graphique : la parabole dit tout
La représentation graphique d’un trinôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole. Lire le signe du trinôme revient à déterminer où cette parabole se situe au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.
![Parabole y = x² − 5x + 4 (bleu #1f4acc) tracée sur l'intervalle [−1 ; 6]. Racines x = 1 et x = 4 marquées par des points](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/03/graphe-1-signe-trinome.png)
Lecture graphique :
- Résoudre \(f(x)\) > \(0\) revient à chercher les valeurs de \(x\) où la parabole est au-dessus de l’axe \(Ox\) (zones vertes).
- Résoudre \(f(x)\) < \(0\) revient à chercher les valeurs de \(x\) où la parabole est en dessous de l’axe \(Ox\) (zone rouge).
- Les racines sont les points d’intersection de la parabole avec l’axe \(Ox\).
Vérification rapide : avant d’attaquer le calcul, fais un schéma rapide de la parabole (vers le haut si \(a\) > \(0\), vers le bas si \(a\) < \(0\)). Place les racines sur l’axe. Tu peux alors anticiper le résultat et détecter immédiatement une erreur de signe.
V. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct à l’application en étude de fonctions et à la discussion avec paramètre. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Résoudre \(x^2 – 3x – 10\) < \(0\).
Voir la correction
\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -10\).
\(\Delta = 9 + 40 = 49\) > \(0\).
Racines : \(x_1 = \displaystyle\frac{3 – 7}{2} = -2\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{3 + 7}{2} = 5\).
\(a = 1\) > \(0\) : le trinôme est positif à l’extérieur des racines, négatif entre.
On cherche \(f(x)\) < \(0\) (strict) : \(S = \,]-2 \,;\, 5\lbrack\).
Exercice 2 ★ — Résoudre \(3x^2 + x + 2 \leq 0\).
Voir la correction
\(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 2\).
\(\Delta = 1 – 24 = -23\) < \(0\).
\(a = 3\) > \(0\) et \(\Delta\) < \(0\) : le trinôme est strictement positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
L’inégalité \(f(x) \leq 0\) n’est jamais vérifiée : \(S = \emptyset\).
Exercice 3 ★★ — Résoudre \(3x^2 – 7x + 2 \leq 0\).
Voir la correction
\(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
\(\Delta = 49 – 24 = 25\) > \(0\).
Racines : \(x_1 = \displaystyle\frac{7 – 5}{6} = \displaystyle\frac{1}{3}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{7 + 5}{6} = 2\).
\(a = 3\) > \(0\) : le trinôme est positif à l’extérieur, négatif ou nul entre les racines.
On cherche \(f(x) \leq 0\) (large, racines incluses) : \(S = \left\lbrack \displaystyle\frac{1}{3} \,;\, 2 \right\rbrack\).
Exercice 4 ★★ — Résoudre \(x^2 + 2x\) > \(3\).
Voir la correction
Attention : le second membre n’est pas 0 ! On commence par tout passer du même côté :
\(x^2 + 2x – 3\) > \(0\).
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\).
\(\Delta = 4 + 12 = 16\) > \(0\).
Racines : \(x_1 = \displaystyle\frac{-2 – 4}{2} = -3\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-2 + 4}{2} = 1\).
\(a = 1\) > \(0\) : positif à l’extérieur. On cherche \(f(x)\) > \(0\) (strict) :
\(S = \,]-\infty \,;\, -3\lbrack \;\cup\; ]1 \,;\, +\infty\lbrack\).
Exercice 5 ★★ — Soit \(g(x) = x^3 – 3x + 1\). Déterminer les intervalles sur lesquels \(g\) est croissante.
Voir la correction
\(g\) est croissante lorsque \(g^\prime(x) \geq 0\). Calculons la dérivée :
\(g^\prime(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)\).
On résout \(g^\prime(x) \geq 0\), c’est-à-dire \(x^2 – 1 \geq 0\) (puisque \(3\) > \(0\)).
\(\Delta = 0 + 4 = 4\) > \(0\). Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 1\).
\(a = 1\) > \(0\) : le trinôme \(x^2 – 1\) est positif à l’extérieur des racines.
Donc \(g^\prime(x) \geq 0\) sur \(]-\infty \,;\, -1\rbrack \cup \lbrack 1 \,;\, +\infty\lbrack\).
Conclusion : \(g\) est croissante sur \(]-\infty \,;\, -1\rbrack\) et sur \(\lbrack 1 \,;\, +\infty\lbrack\), et décroissante sur \(\lbrack -1 \,;\, 1\rbrack\).
Exercice 6 ★★★ 🔴 Prépa — Déterminer les valeurs de \(m \in \mathbb{R}\) telles que \(x^2 + 2mx + m + 6\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Voir la correction
Le trinôme \(f(x) = x^2 + 2mx + m + 6\) a pour coefficient dominant \(a = 1\) > \(0\).
D’après le théorème du signe, \(f(x)\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) si et seulement si \(\Delta\) < \(0\).
Calculons \(\Delta\) en fonction de \(m\) :
\(\Delta = (2m)^2 – 4 \times 1 \times (m + 6) = 4m^2 – 4m – 24\).
On résout \(\Delta\) < \(0\), soit \(4m^2 – 4m – 24\) < \(0\), ou encore \(m^2 – m – 6\) < \(0\).
C’est une inéquation du second degré… en \(m\).
Discriminant : \(\Delta^\prime = 1 + 24 = 25\) > \(0\).
Racines : \(m_1 = \displaystyle\frac{1 – 5}{2} = -2\) et \(m_2 = \displaystyle\frac{1 + 5}{2} = 3\).
Coefficient dominant \(1\) > \(0\) : négatif entre les racines.
Donc \(m^2 – m – 6\) < \(0\) pour \(m \in \,]-2 \,;\, 3\lbrack\).
Conclusion : \(x^2 + 2mx + m + 6\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) si et seulement si \(m \in \,]-2 \,;\, 3\lbrack\).
Fiche de synthèse : inéquation du second degré
Théorème du signe, méthode en 4 étapes, les 3 tableaux de signes et les pièges à éviter — tout sur une page recto.
📄 Télécharger la fiche PDFIdéal pour réviser avant un DS ou garder le cours sous les yeux pendant les exercices.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs les plus courantes en DS. Lis attentivement — elles te coûtent des points à chaque copie.
A. Oublier de vérifier le signe de \(a\)
❌ Copie fautive :
« \(\Delta = 9\) > \(0\), racines \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 4\). Le trinôme est positif entre les racines, donc \(S = \,]1 \,;\, 4\lbrack\). »
Diagnostic : l’élève n’a pas identifié le signe de \(a\). Si \(a\) > \(0\), le trinôme est positif à l’extérieur, pas entre. Si \(a\) < \(0\), c’est l’inverse.
✅ Correction :
« \(a = 1\) > \(0\) : le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, donc positif sur \(]-\infty \,;\, 1\lbrack \,\cup\, ]4 \,;\, +\infty\lbrack\) et négatif sur \(]1 \,;\, 4\lbrack\). »
B. Confondre strict et large (crochets ouverts / fermés)
Piège : écrire \(S = \,]-\infty \,;\, 2\lbrack \;\cup\; ]3 \,;\, +\infty\lbrack\) pour l’inéquation \(x^2 – 5x + 6 \geq 0\). L’inéquation est large (≥), les racines vérifient \(f(2) = 0 \geq 0\) et \(f(3) = 0 \geq 0\) : elles doivent être incluses.
Réponse correcte : \(S = \,]-\infty \,;\, 2\rbrack \;\cup\; \lbrack 3 \,;\, +\infty\lbrack\).
C. Oublier de se ramener à 0
Piège : face à \(x^2\) > \(3x + 4\), certains élèves calculent le discriminant de \(x^2\) (qui est 0) ou de \(3x + 4\). Il faut toujours réécrire l’inéquation avec 0 au second membre : \(x^2 – 3x – 4\) > \(0\), puis identifier \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\).
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une inéquation du second degré ?
C’est une inégalité portant sur un trinôme du second degré, de la forme \(ax^2 + bx + c \geq 0\) (ou >, <, ≤). La résoudre consiste à trouver toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient cette inégalité. La réponse est un ensemble d’intervalles (ou l’ensemble vide, ou \(\mathbb{R}\) tout entier).
Comment résoudre une inéquation du second degré ?
La méthode se résume en 4 étapes :
- Réécrire l’inéquation avec 0 au second membre.
- Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) et les racines éventuelles.
- Appliquer le théorème du signe du trinôme (signe de \(a\) à l’extérieur des racines).
- Lire l’ensemble des solutions en respectant strict/large.
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation du second degré ?
Une équation du second degré cherche les valeurs exactes de \(x\) telles que \(f(x) = 0\) : la réponse est un ensemble fini de nombres (0, 1 ou 2 racines). Une inéquation du second degré cherche un ensemble de valeurs de \(x\) telles que \(f(x)\) > \(0\) (ou ≥, <, ≤) : la réponse est un ou plusieurs intervalles.
Comment savoir si un trinôme est toujours positif ?
Un trinôme \(ax^2 + bx + c\) est strictement positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\) si et seulement si \(a\) > \(0\) et \(\Delta\) < \(0\). Si \(a\) > \(0\) et \(\Delta = 0\), le trinôme est positif ou nul (il s’annule en la racine double).
À quoi servent les inéquations du second degré ?
Elles sont omniprésentes dans l’étude de fonctions : déterminer le signe de la dérivée (pour les variations), résoudre \(f(x) \geq g(x)\) (position relative de deux courbes), trouver un domaine de validité, ou résoudre un problème d’optimisation. En prépa, elles apparaissent aussi dans les discussions selon un paramètre.
Comment dresser un tableau de signes d'un trinôme ?
Calcule \(\Delta\). Si \(\Delta\) > \(0\), place les racines \(x_1\) < \(x_2\) dans le tableau. Inscris le signe de \(a\) à l’extérieur des racines, le signe opposé entre elles, et 0 aux racines. Si \(\Delta \leq 0\), le trinôme garde le signe de \(a\) partout (avec éventuellement un 0 en la racine double).
Peut-on résoudre une inéquation du second degré sans calculer le discriminant ?
Parfois, oui. Si le trinôme se factorise directement (par exemple \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\)), tu peux étudier le signe du produit via un tableau de signes des facteurs, sans passer par \(\Delta\). C’est la méthode utilisée pour les équations produit nul, qui s’étend naturellement aux inéquations.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la résolution des inéquations du second degré. Pour continuer à progresser, voici les ressources complémentaires de notre cours sur les équations et inéquations :
- Équation du second degré — pour réviser le discriminant et les formules de résolution.
- Résoudre une inéquation — les bases : inéquations du premier degré, tableau de signes, valeur absolue.
- Les dérivées — pour exploiter le signe du trinôme dans l’étude des variations d’une fonction.
- Équation de la tangente — une application directe où la dérivée (et donc le signe d’un trinôme) intervient.
