Tu veux savoir combien d’heures travailler pour gagner au moins 50 €. Pour trouver la réponse, tu as besoin d’une inéquation ! Ce cours du chapitre équations et inéquations t’explique tout : définition, méthode de résolution et exercices corrigés. Conforme au programme officiel 2025-2026.
Avant de commencer, vérifie que tu maîtrises :
- La résolution d’une équation du premier degré
- L’addition et la soustraction de nombres relatifs
- La comparaison de nombres sur une droite graduée
- Les règles de signe pour la multiplication
I. Qu’est-ce qu’une inéquation ?
A. Définition à partir d’un exemple concret
Imagine que tu as 20 € pour acheter des cahiers à 3 € pièce. Combien peux-tu en acheter sans dépasser ton budget ?
Si on appelle \(x\) le nombre de cahiers, la dépense totale est \(3x\) euros. Tu veux que cette dépense ne dépasse pas 20 € :
\(3x \leq 20\)
Cette expression est une inéquation. Contrairement à une équation, il y a ici plusieurs réponses : tu peux acheter 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 cahiers. Mais pas 7, car \(3 \times 7 = 21\) > \(20\).
Définition — Inéquation
Une inéquation est une inégalité qui contient un nombre inconnu (souvent noté \(x\)).
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’inégalité vraie. Chacune de ces valeurs s’appelle une solution.
B. Les 4 symboles d’inégalité
En mathématiques, on utilise quatre symboles pour exprimer une inégalité :
| Symbole | Signification | Exemple | Est-ce que 5 est solution ? |
|---|---|---|---|
| < | strictement inférieur à | \(x\) < \(5\) | Non (5 n’est pas strictement inférieur à 5) |
| > | strictement supérieur à | \(x\) > \(5\) | Non |
| ≤ | inférieur ou égal à | \(x \leq 5\) | Oui (5 est bien égal à 5) |
| ≥ | supérieur ou égal à | \(x \geq 5\) | Oui |
Astuce pour retenir : les symboles ≤ et ≥ contiennent un petit trait « = » en dessous. Si tu le vois, le nombre lui-même est accepté comme solution. Sinon (< et >), il ne l’est pas.
C. Équation ou inéquation : quelle différence ?
| Équation | Inéquation | |
|---|---|---|
| Symbole | = | < , > , ≤ , ≥ |
| Exemple | \(2x + 1 = 7\) | \(2x + 1\) > \(7\) |
| Nombre de solutions | En général un seul nombre (ici \(x = 3\)) | En général une infinité de nombres (ici tous les \(x\) > \(3\)) |
| Réponse | Un nombre exact | Un ensemble de nombres |
La résolution d’une inéquation utilise les mêmes techniques qu’une équation du premier degré : on isole \(x\) d’un côté. Mais il y a une règle supplémentaire qui change tout…
II. Les 3 propriétés pour résoudre une inéquation
Bonne nouvelle : résoudre une inéquation, c’est presque comme résoudre une équation. Tu peux faire les mêmes opérations des deux côtés… avec une règle piège en plus.
A. Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres
Partons d’un fait simple : \(5\) > \(3\). Ajoutons 2 des deux côtés :
\(5 + 2\) > \(3 + 2\), c’est-à-dire \(7\) > \(5\). ✓
L’inégalité est restée dans le même sens. On peut aussi vérifier avec une soustraction : \(5 – 4\) > \(3 – 4\), soit \(1\) > \(-1\). ✓
Propriété 1
On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d’une inéquation sans changer le sens de l’inégalité.
Application : pour résoudre \(x + 4 \leq 10\), on soustrait 4 des deux côtés :
\(x \leq 6\)
Toutes les valeurs de \(x\) inférieures ou égales à 6 sont solutions.
B. Multiplier ou diviser par un nombre positif
On sait que \(6\) > \(4\). Multiplions par 2 :
\(6 \times 2\) > \(4 \times 2\), c’est-à-dire \(12\) > \(8\). ✓
Le sens n’a pas changé non plus.
Propriété 2
On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement positif sans changer le sens de l’inégalité.
Application : pour résoudre \(3x \leq 15\), on divise par 3 (qui est positif) :
\(x \leq 5\)
C. Multiplier ou diviser par un nombre négatif — le piège n°1 !
Voici la règle qui distingue les inéquations des équations. Observe bien :
On sait que \(5\) > \(3\). Multiplions les deux côtés par \(-1\) :
\(5 \times (-1) = -5\) et \(3 \times (-1) = -3\).
Or, \(-5\) < \(-3\) (car \(-5\) est plus à gauche sur la droite graduée).
L’inégalité s’est inversée ! On avait « > », on obtient « < ».
Propriété 3 — La règle d’or
Quand on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif, le sens de l’inégalité s’inverse :
- < devient >
- > devient <
- ≤ devient ≥
- ≥ devient ≤
L’astuce du thermomètre 🌡️
10°C est plus chaud que 5°C : on a bien 10 > 5.
Mais –10°C est plus froid que –5°C : on a –10 < –5.
Quand tu passes en négatif, l’ordre s’inverse. C’est exactement ce qui se passe avec les inéquations !
Application : pour résoudre \(-2x\) > \(6\), on divise par \(-2\) (négatif) et on inverse le signe :
\(x\) < \(-3\)
Vérification : essayons \(x = -4\) (qui est bien inférieur à \(-3\)) : \(-2 \times (-4) = 8\) > \(6\). ✓
Tu connais maintenant les trois propriétés essentielles. Voyons comment les utiliser ensemble pour résoudre une inéquation complète.
III. Résoudre une inéquation du premier degré — méthode pas à pas
A. Les 4 étapes de résolution
Méthode — Résoudre une inéquation du premier degré
- Développer et simplifier chaque membre si nécessaire
- Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre (propriété 1)
- Diviser par le coefficient de \(x\) — si ce coefficient est négatif, on inverse le signe ! (propriétés 2 ou 3)
- Écrire la solution et la vérifier avec un nombre
B. Exemples résolus
Exemple 1 : Résoudre \(3x – 5\) > \(7\).
Étape 1 : rien à développer.
Étape 2 : on ajoute 5 des deux côtés → \(3x\) > \(12\).
Étape 3 : on divise par 3 (positif, pas d’inversion) → \(x\) > \(4\).
Étape 4 : les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 4.
Vérification avec \(x = 5\) : \(3 \times 5 – 5 = 10\) > \(7\). ✓
Exemple 2 : Résoudre \(-2x + 4 \leq 10\).
Étape 1 : rien à développer.
Étape 2 : on soustrait 4 des deux côtés → \(-2x \leq 6\).
Étape 3 : on divise par \(-2\) (négatif, on inverse ≤ en ≥) → \(x \geq -3\).
Étape 4 : les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à \(-3\).
Vérification avec \(x = 0\) : \(-2 \times 0 + 4 = 4 \leq 10\). ✓
Exemple 3 : Résoudre \(5 – 3x \geq 2x + 1\).
Étape 1 : rien à développer.
Étape 2 : on regroupe les \(x\) à gauche et les nombres à droite.
- On soustrait \(2x\) des deux côtés → \(5 – 5x \geq 1\).
- On soustrait 5 des deux côtés → \(-5x \geq -4\).
Étape 3 : on divise par \(-5\) (négatif, on inverse ≥ en ≤) → \(x \leq \displaystyle\frac{4}{5}\).
Étape 4 : les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à \(\displaystyle\frac{4}{5}\).
Vérification avec \(x = 0\) : \(5 – 0 = 5 \geq 0 + 1 = 1\). ✓
C. Représenter les solutions sur une droite graduée
Pour visualiser les solutions, on les représente sur une droite graduée avec deux conventions :
- Cercle vide ○ pour les inégalités strictes (< ou >) : le nombre lui-même n’est pas solution.
- Cercle plein ● pour les inégalités larges (≤ ou ≥) : le nombre est solution.
- Une flèche dans la direction de toutes les solutions.
D. Résoudre une inéquation graphiquement
Tu peux aussi résoudre une inéquation en lisant un graphique. Par exemple, pour résoudre \(2x – 1\) > \(3\) :
- Trace la droite \(y = 2x – 1\).
- Trace la droite horizontale \(y = 3\).
- Repère les valeurs de \(x\) pour lesquelles la première droite est au-dessus de la seconde.
Sur le graphique, la droite bleue passe au-dessus de la droite dorée quand \(x\) > \(2\). La solution est donc : tous les nombres strictement supérieurs à 2.
Tu maîtrises maintenant la résolution des inéquations au niveau collège. Si tu es au lycée ou en prépa, les sections suivantes sont pour toi !
IV. 🟡 Aller plus loin — Inéquations au lycée et en prépa
A. 🟡 Tableau de signes et inéquation quotient (Seconde–Première)
Au lycée, tu rencontres des inéquations plus complexes, comme des inéquations quotient :
\(\displaystyle\frac{2x – 6}{x + 1} \geq 0\)
Ici, impossible de simplement diviser des deux côtés : le signe du dénominateur dépend de \(x\) ! La méthode passe par un tableau de signes :
- Trouve les racines de chaque facteur : \(2x – 6 = 0\) donne \(x = 3\) ; \(x + 1 = 0\) donne \(x = -1\) (valeur interdite).
- Place ces valeurs dans le tableau et étudie le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
- Déduis le signe du quotient à l’aide de la règle des signes.
- Lis les intervalles qui répondent à la question.
La factorisation est souvent nécessaire pour identifier les facteurs. L’étude du signe d’une fonction utilise exactement la même technique de tableau.
Pour les inéquations qui contiennent un \(x^2\), la méthode passe par le discriminant et le signe du trinôme. Retrouve le cours complet sur notre page dédiée aux inéquations du second degré.
B. 🟡 Inéquation avec valeur absolue (Première–Terminale)
La valeur absolue \(|a|\) représente la distance entre le nombre \(a\) et 0 sur la droite graduée. Pour résoudre une inéquation avec valeur absolue, on utilise deux règles :
- \(|X|\) < \(a\) se traduit par la double inégalité : \(-a\) < \(X\) < \(a\)
- \(|X|\) > \(a\) se traduit par : \(X\) < \(-a\) ou \(X\) > \(a\)
Exemple : Résoudre \(|2x – 3|\) < \(5\).
On traduit : \(-5\) < \(2x – 3\) < \(5\).
On ajoute 3 partout : \(-2\) < \(2x\) < \(8\).
On divise par 2 (positif) : \(-1\) < \(x\) < \(4\).
Les solutions sont tous les réels de l’intervalle \(]-1\,;\,4[\).
C. 🔴 Ce qui change en prépa
En classe préparatoire, les inéquations deviennent un outil au service de l’analyse et de l’algèbre :
- L’inégalité triangulaire \(|a + b| \leq |a| + |b|\) est utilisée en permanence pour majorer des quantités.
- Les encadrements permettent de démontrer des limites et la convergence de suites (théorème des gendarmes).
- L’écriture devient formelle : quantificateurs (pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), il existe…), intervalles et notations ensemblistes.
Les fondamentaux que tu apprends au collège — surtout l’inversion du signe quand on multiplie par un négatif — restent la base de tout ce qui suit.
V. Exercices corrigés
Entraîne-toi avec ces 5 exercices classés par difficulté. Essaie de résoudre chaque exercice avant de regarder la correction !
Exercice 1 ★ — Résoudre \(4x + 1\) > \(13\).
Voir la correction
On soustrait 1 des deux côtés : \(4x\) > \(12\).
On divise par 4 (positif, pas d’inversion) : \(x\) > \(3\).
Solutions : tous les nombres strictement supérieurs à 3.
Vérification : \(x = 5\) → \(4 \times 5 + 1 = 21\) > \(13\). ✓
Exercice 2 ★ — Résoudre \(-3x + 9 \leq 0\).
Voir la correction
On soustrait 9 des deux côtés : \(-3x \leq -9\).
On divise par \(-3\) (négatif, on inverse ≤ en ≥) : \(x \geq 3\).
Solutions : tous les nombres supérieurs ou égaux à 3.
Vérification : \(x = 3\) → \(-3 \times 3 + 9 = 0 \leq 0\). ✓
Exercice 3 ★★ — Résoudre \(7 – 2x\) > \(3x – 8\).
Voir la correction
On regroupe les \(x\) à gauche et les nombres à droite :
- On soustrait \(3x\) des deux côtés : \(7 – 5x\) > \(-8\).
- On soustrait 7 des deux côtés : \(-5x\) > \(-15\).
On divise par \(-5\) (négatif, on inverse > en <) : \(x\) < \(3\).
Solutions : tous les nombres strictement inférieurs à 3.
Vérification : \(x = 0\) → \(7 – 0 = 7\) > \(0 – 8 = -8\). ✓
Exercice 4 ★★ — Un fleuriste dispose d’un budget de 50 €. Chaque rose coûte 3,50 € et il doit payer 8 € de frais de livraison fixes. Combien de roses peut-il commander au maximum ?
Voir la correction
On appelle \(x\) le nombre de roses. Le coût total est \(3{,}5x + 8\) euros.
On veut que le coût ne dépasse pas 50 € : \(3{,}5x + 8 \leq 50\).
On soustrait 8 : \(3{,}5x \leq 42\).
On divise par 3,5 (positif) : \(x \leq 12\).
Réponse : le fleuriste peut commander au maximum 12 roses.
(On garde la valeur entière car on ne commande pas une demi-rose !)
Exercice 5 ★★ — Paul a résolu l’inéquation \(-4x + 2 \geq 18\). Il trouve \(x \geq -4\). Repère son erreur et donne la bonne réponse.
Voir la correction
Reprenons le calcul de Paul :
\(-4x + 2 \geq 18\)\(-4x \geq 16\) (il a bien soustrait 2 des deux côtés ✓)
Ensuite, Paul divise par \(-4\) et obtient \(x \geq -4\).
L’erreur : Paul a divisé par un nombre négatif sans inverser le signe !
Correction : \(-4x \geq 16\) → on divise par \(-4\) et on inverse ≥ en ≤ → \(x \leq -4\).
Vérification : \(x = -5\) → \(-4 \times (-5) + 2 = 22 \geq 18\). ✓
Contre-vérification : \(x = 0\) (la « réponse » de Paul) → \(-4 \times 0 + 2 = 2\), or \(2 \geq 18\) est faux. ✗
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — Oublier d’inverser le signe
C’est l’erreur la plus fréquente dans les copies. Quand tu divises (ou multiplies) par un nombre négatif, le sens de l’inégalité doit changer.
❌ Copie fautive : \(-3x \leq 12\) → \(x \leq -4\)
✅ Correction : \(-3x \leq 12\) → division par \(-3\) (négatif !) → \(x \geq -4\)
Piège n°2 — Écrire la solution à l’envers
En résolvant, tu obtiens parfois \(4\) > \(x\). C’est correct, mais peu clair. Pense toujours à réécrire avec \(x\) à gauche : \(x\) < \(4\).
Astuce : le symbole pointe toujours vers le plus petit nombre. Si tu écris \(x\) < \(4\), la pointe est vers \(x\), donc \(x\) est le plus petit.
Piège n°3 — Confondre « strict » et « large »
Avec \(x\) < \(5\), le nombre 5 n’est pas solution.
Avec \(x \leq 5\), le nombre 5 est solution.
Regarde bien si le symbole a un petit trait en dessous (≤ ou ≥) ou non (< ou >).
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une inéquation en maths ?
Une inéquation est une inégalité qui contient un nombre inconnu, souvent noté \(x\). Par exemple, \(3x + 1\) > \(10\) est une inéquation. La résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’inégalité vraie. Contrairement à une équation (qui donne en général un seul résultat), une inéquation a le plus souvent une infinité de solutions.
Comment résoudre une inéquation ?
On résout une inéquation comme une équation : on isole \(x\) en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant des deux côtés. La seule différence essentielle : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité (< devient >, et ≤ devient ≥).
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Une équation utilise le signe « = » et a en général un nombre fini de solutions (souvent une seule). Une inéquation utilise les signes <, >, ≤ ou ≥ et a en général une infinité de solutions. Par exemple, \(2x = 6\) donne \(x = 3\) (une solution), tandis que \(2x\) > \(6\) donne \(x\) > \(3\) (une infinité). Pour approfondir, consulte notre cours sur les équations et inéquations.
Quelles sont les propriétés d'une inéquation ?
Les trois propriétés fondamentales sont : (1) on peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le sens ; (2) on peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens ; (3) quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. La propriété 3 est le piège le plus fréquent dans les copies !
Quels sont les 4 symboles d'inégalité en mathématiques ?
Les quatre symboles sont : < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal) et ≥ (supérieur ou égal). Les symboles ≤ et ≥ sont dits « larges » car ils incluent l’égalité (le nombre frontière est solution). Les symboles < et > sont dits « stricts » (le nombre frontière n’est pas solution).
Comment vérifier la solution d'une inéquation ?
Choisis un nombre qui fait partie de ta solution et remplace \(x\) par ce nombre dans l’inéquation de départ. Si l’inégalité est vraie, ta solution est probablement correcte. Pour être sûr, teste aussi un nombre qui n’est pas dans ta solution : l’inégalité doit être fausse. Ce double test est la meilleure façon de détecter une erreur de signe.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les bases des inéquations. Voici les prochaines étapes pour continuer ta progression :
- 📖 Reviens au cours complet : Équations et Inéquations
- → Passe au niveau suivant : Inéquation du second degré (lycée)
- → Révise le cours parallèle : Équation du premier degré
- → Entraîne-toi : Exercices d’équations de 3ème
- → Renforce les bases : Factorisation (utile pour les inéquations produit et quotient)
