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L’épreuve de Mathématiques 1 du concours CCINP MP 2026, d’une durée de quatre heures et sans calculatrice, se compose de deux exercices et d’un problème en trois parties. Le premier exercice, consacré aux requêtes SQL, interroge deux tables relationnelles. Le second porte sur les fonctions génératrices et la loi de Poisson. Le problème, cœur de l’épreuve, construit un parcours ambitieux allant du calcul d’une intégrale généralisée jusqu’à la formule sommatoire de Poisson, en passant par une équation différentielle du second ordre et les séries de Fourier. La difficulté globale est modérée dans les exercices, puis croissante dans le problème.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice I (Q1–Q4) | Requêtes SQL | Accessible | Jointures, agrégation GROUP BY, sous-requêtes NOT IN |
| Exercice II (Q5–Q8) | Fonctions génératrices et loi de Poisson | Accessible | Séries entières, produit de Cauchy, loi de Poisson |
| Problème – Partie I (Q9–Q14) | Calcul d’intégrale par EDO | Élevé | Intégrales généralisées, dérivation sous ∫, EDO y″−y=0 |
| Problème – Partie II (Q15–Q18) | Formule sommatoire de Poisson | Élevé | Séries de fonctions, coefficients de Fourier, convergence normale |
| Problème – Partie III (Q19–Q22) | Synthèse et application | Élevé | Noyau de Poisson, séries de Fourier, unicité |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice I – Requêtes SQL (Q1–Q4)
Cet exercice porte sur deux tables relationnelles, ELEVES (id, nom, prenom, email, promo) et PAIEMENTS (id, id_eleve, montant, date_paiement). Les quatre questions couvrent l’essentiel du programme SQL de CPGE : sélection avec filtrage et élimination de doublons (Q1), agrégation avec GROUP BY et ORDER BY (Q2), détection de doublons par regroupement sur plusieurs colonnes avec HAVING (Q3), et recherche par exclusion via sous-requête NOT IN (Q4). Le contexte est standard et les requêtes sont directes pour un candidat entraîné.
Exercice II – Fonctions génératrices et loi de Poisson (Q5–Q8)
On introduit la fonction génératrice \(G_X(t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n)\,t^n\) d’une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\). La question Q5 demande de justifier la convergence sur \([-1,1]\). La question Q6 rappelle et démontre l’expression de \(G_X\) pour \(X\) suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). La propriété multiplicative \(G_{X+Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)\) est établie en Q7 grâce au produit de Cauchy de deux séries entières. Enfin, Q8 en déduit la stabilité de la loi de Poisson par addition de variables indépendantes : si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, alors \(X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\).
Problème – Partie I : Calcul d’une intégrale (Q9–Q14)
On étudie la fonction \(g(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{x}{x^2 + t^2}\,e^{it}\,dt\) définie pour \(x\) strictement positif. Après avoir justifié que \(g\) est bien définie (Q9), un changement de variable \(u = t/x\) transforme l’intégrale en \(g(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{e^{ixu}}{1 + u^2}\,du\) (Q10), ce qui montre immédiatement que \(g\) est bornée. On démontre ensuite la limite \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = \pi\) (Q11), puis la régularité \(C^2\) de \(g\) (Q12). Le point central est la question Q13 : le calcul du laplacien de \(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) montre que cette fonction est harmonique. Par une double intégration par parties, on en déduit que \(g\) vérifie \(g^{\prime\prime}(x) – g(x) = 0\). En Q14, les conditions (bornitude et limite en \(0^+\)) déterminent entièrement la solution : \(g(x) = \pi\,e^{-x}\).
Problème – Partie II : Formule sommatoire de Poisson (Q15–Q18)
On pose \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{1+t^2}\) et \(F(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f(x+n) + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} f(x-n)\), soit la somme de \(f\) sur le réseau \(\mathbb{Z}\). On montre que \(F\) est bien définie et 1-périodique (Q15), puis continue (Q16). La question clé Q17 établit que les coefficients de Fourier de \(F\) coïncident avec la transformée de Fourier de \(f\) : \(c_k(F) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-2i\pi kt}\,dt\). Le calcul de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 e^{-2i\pi(n+k)t}\,dt\) (Q18) fournit l’outil d’orthogonalité nécessaire à cette démonstration.
Problème – Partie III : Applications (Q19–Q22)
En combinant les résultats des parties I et II, on calcule \(c_0(F) = \pi\) et \(c_k(F) = \pi\,e^{-2\pi k}\) pour tout entier \(k \geq 1\) (Q19). On construit la fonction \(G\) définie par la série de Fourier associée (Q20), on montre sa continuité et sa 1-périodicité, puis on conclut \(F = G\) par unicité des coefficients de Fourier (Q21). La question finale Q22 aboutit à l’expression fermée de \(F(x)\), résultat remarquable de la formule sommatoire de Poisson appliquée à la fonction lorentzienne.
Notions et chapitres testés
- Informatique – Bases de données relationnelles : requêtes SQL (
SELECT,WHERE,GROUP BY,HAVING,ORDER BY,DISTINCT, jointures, sous-requêtes). - Probabilités : variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbb{N}\), loi de Poisson, fonctions génératrices, produit de Cauchy de séries entières, stabilité par somme.
- Analyse – Intégrales généralisées : convergence absolue, domination, changement de variable, théorème de convergence dominée.
- Analyse – Équations différentielles : équation linéaire à coefficients constants \(y^{\prime\prime} – y = 0\), conditions aux limites, fonction exponentielle.
- Analyse – Séries de fonctions et séries de Fourier : convergence normale, continuité de la somme, coefficients de Fourier, interversion somme-intégrale, unicité des coefficients pour les fonctions continues périodiques.
- Calcul différentiel : dérivation sous le signe intégral, dérivées partielles, laplacien, fonctions harmoniques.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet CCINP Maths 1 MP 2026 se situe dans la moyenne haute des épreuves récentes du concours. Les exercices I et II sont accessibles et représentent une source de points précieuse : un candidat bien préparé peut les traiter intégralement en 45 à 60 minutes. Le problème, en revanche, est sensiblement plus ambitieux, avec un fil conducteur analytique exigeant qui va des intégrales généralisées à la formule sommatoire de Poisson.
Par rapport aux sujets CCINP Maths 1 MP des années 2023–2025, qui tendaient à équilibrer algèbre et analyse, l’édition 2026 fait la part belle à l’analyse pure. La construction progressive — calcul d’une transformée de Fourier sans recours à l’analyse complexe, puis périodisation et Fourier — rappelle davantage le style de certains sujets Centrale-Supélec. La présence d’un exercice SQL dans l’épreuve de mathématiques constitue une nouveauté notable.
Un candidat visant une note solide (12–14/20) doit impérativement réussir les deux exercices et les premières questions de chaque partie du problème (Q9, Q10, Q15, Q16). Pour viser l’excellence (16+), il est nécessaire de mener le problème jusqu’à Q22 en donnant l’expression fermée de \(F(x)\).
Pièges et points techniques délicats
Q3 – Détection de doublons en SQL. Beaucoup de candidats tenteront un simple GROUP BY id, qui ne détecte rien puisque id est une clé primaire. Il faut regrouper sur toutes les colonnes sauf id (c’est-à-dire nom, prenom, email, promo) et utiliser HAVING COUNT(*) >= 2 pour repérer les combinaisons apparaissant plusieurs fois.
Q7 – Produit de Cauchy et hypothèses. Le produit de Cauchy de deux séries entières nécessite la convergence absolue des deux séries. Il faut bien préciser que pour \(t \in \,]-1,1[\,\), les séries \(G_X(t)\) et \(G_Y(t)\) convergent absolument (car \(\displaystyle\sum P(X=n)|t|^n \leq \displaystyle\sum P(X=n) = 1\)). Oublier cette vérification coûte des points.
Q12 – Justification de la classe \(C^2\). Il s’agit d’appliquer deux fois le théorème de dérivation sous le signe intégral. Chaque application requiert trois conditions : continuité du noyau, existence de la dérivée partielle, et domination par une fonction intégrable indépendante de \(x\). Le piège est d’omettre la domination pour la dérivée seconde, qui nécessite un calcul explicite de \(\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}\!\left(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\right)\).
Q13 – Du laplacien nul à \(g^{\prime\prime} – g = 0\). C’est le passage le plus délicat du sujet. Après avoir montré que \(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) est harmonique, il faut effectuer deux intégrations par parties en \(t\) pour transférer \(\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\) sur le facteur \(e^{it}\). Comme \((e^{it})^{\prime\prime} = -e^{it}\), on obtient un changement de signe qui transforme l’équation du laplacien en \(g^{\prime\prime} = g\). L’erreur classique est de perdre un signe dans la double intégration par parties, ou d’oublier de vérifier l’annulation des termes de bord.
Q17 – Interversion somme-intégrale. Pour passer de \(c_k(F) = \displaystyle\int_0^1 F(t)\,e^{-2i\pi kt}\,dt\) à une intégrale sur \(\mathbb{R}\) tout entier, il faut remplacer \(F(t)\) par sa définition en série, puis intervertir somme et intégrale. Cette interversion se justifie par la convergence normale de la série sur \([0,1]\), grâce à la comparaison \(f(x+n) \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\) pour \(n\) assez grand. Le réassemblage des intégrales sur les intervalles \([n,n+1]\) recompose ensuite l’intégrale sur \(\mathbb{R}\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice I – SQL
- Q1 :
SELECT DISTINCT email FROM ELEVES WHERE promo <> 2025. - Q2 : Jointure
ELEVES JOIN PAIEMENTS ON id = id_eleve, agrégation parGROUP BY nom, prenom, tri parORDER BY nom, prenom. - Q3 : Sous-requête identifiant les combinaisons (nom, prenom, email, promo) ayant
COUNT(*) >= 2, puis sélection des id et emails correspondants. - Q4 :
SELECT id FROM ELEVES WHERE id NOT IN (SELECT id_eleve FROM PAIEMENTS).
Exercice II – Probabilités
- Q5 : Sur \([-1,1]\), la majoration \(|P(X=n)\,t^n| \leq P(X=n)\) et la convergence de \(\displaystyle\sum P(X=n) = 1\) assurent la convergence absolue.
- Q6 : Pour \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), on reconnaît l’exponentielle : \(G_X(t) = e^{-\lambda}\displaystyle\sum \displaystyle\frac{(\lambda t)^n}{n!} = e^{\lambda(t-1)}\).
- Q7 : Le produit de Cauchy fait apparaître \(\displaystyle\sum_{j=0}^{n} P(X=j)\,P(Y=n-j) = P(X+Y=n)\) par indépendance.
- Q8 : \(G_Z(t) = e^{\lambda(t-1)}\,e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda+\mu)(t-1)}\), d’où \(Z \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)\) par unicité de la fonction génératrice.
Problème – Partie I
- Q9 : Majorer \(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) par \(\displaystyle\frac{1}{x}\) au voisinage de \(0\) et par \(\displaystyle\frac{x}{t^2}\) à l’infini ; la convergence de l’intégrale s’ensuit.
- Q10 : Poser \(u = t/x\), justifier le difféomorphisme, et simplifier.
- Q11 : Appliquer le théorème de convergence dominée avec la domination \(\displaystyle\frac{1}{1+u^2} \in L^1(\mathbb{R})\).
- Q14 : La solution générale de \(y^{\prime\prime} – y = 0\) est \(A\,e^x + B\,e^{-x}\). La bornitude impose \(A = 0\), et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = \pi\) fixe \(B = \pi\). D’où \(g(x) = \pi\,e^{-x}\).
Problème – Parties II et III
- Q15 : La 1-périodicité résulte d’un réindexage de la série. La convergence se justifie par comparaison avec \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\).
- Q18 : L’intégrale vaut \(1\) si \(n+k = 0\) et \(0\) sinon — c’est l’orthogonalité de la base trigonométrique.
- Q19 : On utilise Q17 puis Q14 : \(c_k(F) = g(2\pi k) = \pi\,e^{-2\pi k}\) pour \(k \geq 1\), et \(c_0(F) = \pi\).
- Q20 : La convergence normale de la série de Fourier découle de \(|c_n(F)| = \pi\,e^{-2\pi |n|}\), qui est le terme général d’une série géométrique convergente.
- Q22 : En sommant la série géométrique complexe et en utilisant l’identité du noyau de Poisson \(1 + 2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} r^n \cos(n\theta) = \displaystyle\frac{1-r^2}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\) avec \(r = e^{-2\pi}\), on aboutit à \(F(x) = \pi\,\displaystyle\frac{\sinh(2\pi)}{\cosh(2\pi) – \cos(2\pi x)}\).
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet met en lumière plusieurs axes de travail prioritaires pour les candidats visant le CCINP en filière MP :
- SQL et bases de données : ne néglige pas cette partie du programme d’informatique. Les quatre questions de l’exercice I offrent des points accessibles, à condition de maîtriser les clauses
GROUP BY,HAVINGet les sous-requêtes. Entraîne-toi systématiquement sur des exercices variés. - Fonctions génératrices et loi de Poisson : la stabilité par somme via les fonctions génératrices est un grand classique. Révise le produit de Cauchy et ses hypothèses d’application (convergence absolue). Plus généralement, les exercices de probabilités discrètes sont fréquents au CCINP et rapportent des points rapidement.
- Intégrales généralisées et dérivation sous le signe intégral : ce thème revient régulièrement dans les problèmes du concours. Maîtrise les théorèmes classiques (convergence dominée, dérivation sous l’intégrale) et leurs hypothèses, en particulier la condition de domination qui est la source d’erreur la plus fréquente.
- Séries de Fourier : la formule sommatoire de Poisson est un sujet avancé mais qui s’inscrit naturellement dans le programme de séries de fonctions. Travaille les coefficients de Fourier, la convergence normale des séries trigonométriques, et l’unicité des coefficients pour les fonctions continues périodiques.
- Équations différentielles linéaires : l’équation du second ordre \(y^{\prime\prime} – y = 0\) est élémentaire, mais la démarche de ce problème — obtenir l’EDO par un argument analytique (laplacien + intégration par parties), puis déterminer les constantes par des conditions aux limites — est un schéma de raisonnement à assimiler absolument.
- Gestion du temps : commence par les deux exercices (45–60 min), puis attaque le problème dans l’ordre. Les premières questions de chaque partie (Q9, Q15, Q19) sont abordables et assurent un socle de points. Ne reste pas bloqué sur Q13 ou Q17 si l’argument de double intégration par parties ne vient pas immédiatement : passe aux questions suivantes qui peuvent être traitées indépendamment.
