La parité d’une fonction (fonction paire ou impaire) est un outil simple, mais très rentable : elle permet de reconnaître des symétries, de simplifier l’étude d’une fonction et de gagner du temps en DS. Tu vas apprendre ici à identifier, démontrer et utiliser la parité, de la Seconde à la Terminale.
Pour réviser le chapitre « fonctions » autour de cette page :
- Fonctions en maths : cours complet (page pilier)
- Ensemble de définition d’une fonction
- Tableau de variation d’une fonction (méthode)
- Fonctions trigonométriques (sin, cos…)
- Fonction carré, cube et racine carrée
Définition : fonction paire, fonction impaire (et conditions)
Condition indispensable : domaine centré en 0 (ce que ça veut dire)
Avant de parler de « paire » ou « impaire », il faut regarder l’ensemble de définition (le domaine) de la fonction, noté \(D_f\).
Domaine « centré en 0 » (ou « symétrique par rapport à 0 ») : on dit que \(D_f\) est centré en \(0\) si, dès que \(x\) est dans \(D_f\), alors \(-x\) est aussi dans \(D_f\).
Autrement dit : pour tout \(x \in D_f\), on a \(-x \in D_f\).
Exemples d’ensembles centrés ou non centrés en 0
Centrés en 0 : \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), \([-a ; a]\) (où \(a\) > \(0\)), \(]-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty[\)
NON centrés en 0 : \([0 ; +\infty[\), \(]1 ; 5[\), \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
Conséquence clé : si le domaine n’est pas centré en \(0\), la fonction ne peut pas être paire ni impaire (et on s’arrête là).
Si tu veux revoir la méthode sur le domaine : ensemble de définition d’une fonction.
« Formule » d’une fonction paire / impaire : égalités à connaître
Fonction paire : une fonction \(f\) est paire si :
- \(D_f\) est centré en \(0\),
- et pour tout \(x \in D_f\), \(f(-x) = f(x)\).
Fonction impaire : une fonction \(f\) est impaire si :
- \(D_f\) est centré en \(0\),
- et pour tout \(x \in D_f\), \(f(-x) = -f(x)\).
Ces deux égalités sont le cœur de la notion. Tout le reste (graphique, propriétés, exercices) découle de là.
| Type | Condition sur le domaine | Égalité à vérifier | Symétrie de la courbe | Exemples classiques |
|---|---|---|---|---|
| Paire | Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\) | \(f(-x) = f(x)\) | Symétrie par rapport à l’axe (Oy) | \(x^2\), \(|x|\), \(\cos(x)\) |
| Impaire | Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\) | \(f(-x) = -f(x)\) | Symétrie centrale de centre O | \(x\), \(x^3\), \(\sin(x)\) |
Réflexe DS : pour une fonction impaire, si \(0 \in D_f\), alors \(f(0) = 0\) (car \(f(0) = -f(0)\)). C’est un contrôle rapide.
Fonction ni paire ni impaire : critères et contre-exemples
Une fonction peut être :
- paire,
- impaire,
- ou ni paire ni impaire (c’est le cas le plus fréquent).
Contre-exemple n°1 : domaine non centré en 0
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\). Son domaine est \(D_f = [0, +\infty[\), qui n’est pas centré en \(0\) (par exemple \(1 \in D_f\) mais \(-1 \notin D_f\)).
Conclusion : \(f\) n’est ni paire ni impaire.
Contre-exemple n°2 : égalité fausse
Soit \(g(x) = x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\). On a \(g(-x) = -x + 1\).
- \(g(-x) \neq g(x)\) (donc pas paire),
- \(g(-x) \neq -g(x)\) (donc pas impaire).
Conclusion : \(g\) n’est ni paire ni impaire.
Reconnaître la parité sur un graphique (symétries)
Symétrie par rapport à (Oy) : comment la « voir » correctement
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (Oy).
Test visuel fiable : si un point \((x, f(x))\) est sur la courbe, alors le point \((-x, f(x))\) doit aussi être sur la courbe.
On « replie » mentalement la partie droite sur la partie gauche autour de l’axe (Oy).
Symétrie centrale en O : comment la « voir » correctement
La courbe d’une fonction impaire admet l’origine O comme centre de symétrie (rotation de 180°).
Test visuel fiable : si un point \((x, f(x))\) est sur la courbe, alors le point \((-x, -f(x))\) doit aussi être sur la courbe.
On « tourne » mentalement la courbe d’un demi-tour autour de l’origine.
Piège fréquent : une « jolie symétrie » qui n’est pas la parité
Piège n°1 : une symétrie par rapport à la droite \(x = a\) (axe vertical décalé) ne signifie pas « fonction paire ». La parité se fait uniquement autour de \(0\).
Exemple : la parabole \((x-2)^2\) est symétrique par rapport à la droite \(x = 2\), mais ce n’est pas une fonction paire (car \(f(-x) \neq f(x)\)).
Piège n°2 : une courbe « qui se ressemble » à gauche et à droite ne suffit pas. Il faut vérifier que les points correspondent exactement (mêmes ordonnées pour la paire, opposées pour l’impaire).
Si tu veux t’entraîner sur de la lecture graphique (images, antécédents, intersections), travaille aussi : Image et antécédent d’une fonction.
Méthode de calcul : démontrer qu’une fonction est paire ou impaire
Étape 1 : vérifier l’ensemble de définition
Avant tout calcul, annonce clairement le domaine :
- si \(D_f\) n’est pas centré en \(0\), alors conclusion immédiate : ni paire ni impaire ;
- si \(D_f\) est centré en \(0\), tu peux passer à l’étape 2.
Étape 2 : calculer f(-x) efficacement
Tu remplaces \(x\) par \(-x\) dans l’expression, puis tu simplifies proprement.
Pièges de signes (les 3 classiques) :
- \((-x)^2 = x^2\) (puissance paire) ;
- \((-x)^3 = -x^3\) (puissance impaire) ;
- \(\displaystyle\frac{1}{-x} = -\displaystyle\frac{1}{x}\) (le signe sort du quotient).
Si tu bloques sur les simplifications (factoriser, réduire, gérer les parenthèses), c’est souvent un problème de calcul littéral : Calcul littéral (cours complet).
Étape 3 : conclure
Tu compares ensuite :
- si tu obtiens \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x \in D_f\), alors \(f\) est paire ;
- si tu obtiens \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x \in D_f\), alors \(f\) est impaire ;
- sinon : ni paire ni impaire.
Exemple rédigé : étudier la parité de \(f(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2 + 1}\)
Étape 1 : L’ensemble de définition est \(D_f = \mathbb{R}\) (le dénominateur \(x^2 + 1\) ne s’annule jamais). Cet ensemble est bien centré en 0.
Étape 2 : Calculons \(f(-x)\) :
\(f(-x) = \displaystyle\frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \displaystyle\frac{-x}{x^2 + 1}\)
Étape 3 : Comparons avec \(-f(x)\) :
\(-f(x) = -\displaystyle\frac{x}{x^2 + 1} = \displaystyle\frac{-x}{x^2 + 1}\)
On constate que \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Conclusion : La fonction \(f\) est impaire.
Méthode pour prouver « ni paire ni impaire » (contre-exemple)
Pour montrer rapidement qu’une fonction n’est pas paire (ou pas impaire), un seul contre-exemple suffit.
Deux façons rapides :
- Contre-exemple sur le domaine : trouver un \(x\) tel que \(x \in D_f\) mais \(-x \notin D_f\) → alors ni paire ni impaire.
- Contre-exemple sur l’égalité : choisir une valeur simple (souvent \(x = 1\)), calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\), puis vérifier que \(f(-1) \neq f(1)\) et \(f(-1) \neq -f(1)\).
Exemple : montrer que \(f(x) = x^2 + x\) n’est ni paire ni impaire
Méthode par contre-exemple : Choisissons \(x = 1\).
- \(f(1) = 1^2 + 1 = 2\)
- \(f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 – 1 = 0\)
Vérifications :
- \(f(-1) = 0 \neq 2 = f(1)\) → donc \(f\) n’est pas paire
- \(-f(1) = -2\), or \(f(-1) = 0 \neq -2\) → donc \(f\) n’est pas impaire
Conclusion : La fonction \(f\) est ni paire ni impaire.
Parité des fonctions usuelles (tableau récapitulatif)
Voici un tableau récapitulatif de la parité des fonctions de référence les plus courantes. Ce tableau constitue une référence rapide à mémoriser.
| Fonction | Expression | Parité |
|---|---|---|
| Fonction identité | \(f(x) = x\) | Impaire |
| Fonction carré | \(f(x) = x^2\) | Paire |
| Fonction cube | \(f(x) = x^3\) | Impaire |
| Fonction inverse | \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) | Impaire |
| Fonction racine carrée | \(f(x) = \sqrt{x}\) | Ni paire ni impaire (\(D_f = [0 ; +\infty[\) non centré) |
| Fonction exponentielle | \(f(x) = e^x\) | Ni paire ni impaire |
| Fonction logarithme népérien | \(f(x) = \ln(x)\) | Ni paire ni impaire (\(D_f = \,]0 ; +\infty[\) non centré) |
| Fonction cosinus | \(f(x) = \cos(x)\) | Paire |
| Fonction sinus | \(f(x) = \sin(x)\) | Impaire |
| Fonction tangente | \(f(x) = \tan(x)\) | Impaire |
| Fonction valeur absolue | \(f(x) = |x|\) | Paire |
Règle mnémotechnique : les fonctions puissances \(x^n\) sont paires si \(n\) est pair, et impaires si \(n\) est impair (pour \(n\) entier naturel non nul).
Utilité de la parité dans l’étude de fonction
La parité n’est pas qu’une propriété théorique : elle permet de diviser par deux le travail lors de l’étude d’une fonction et de simplifier drastiquement certains calculs d’intégrales.
Réduction du domaine d’étude
Propriété fondamentale : diviser l’étude par deux
- Si \(f\) est paire → étudier uniquement sur \(\mathbb{R}^+ \cap D_f\), puis compléter par symétrie axiale (axe des ordonnées)
- Si \(f\) est impaire → étudier uniquement sur \(\mathbb{R}^+ \cap D_f\), puis compléter par symétrie centrale (origine)
Exemple : réduction du domaine pour \(f(x) = \displaystyle\frac{x^2}{x^2 – 4}\)
1) Vérification de la parité :
\(f(-x) = \displaystyle\frac{(-x)^2}{(-x)^2 – 4} = \displaystyle\frac{x^2}{x^2 – 4} = f(x)\)
La fonction est paire.
2) Réduction du domaine d’étude :
Au lieu d’étudier \(f\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}\) (ensemble complet), il suffit de l’étudier sur \([0 ; +\infty[ \setminus \{2\}\) (moitié positive uniquement).
3) Complétion par symétrie :
Une fois le tableau de variation établi sur \([0 ; +\infty[\), on complète la partie négative par symétrie axiale : si \(f\) croît sur \([a ; b]\), elle décroît sur \([-b ; -a]\).
Gain : On évite de calculer la dérivée et d’étudier son signe sur toute la partie négative !
Règle générale pour le tableau de variation :
- Fonction paire : croissante sur \([0 ; +\infty[\) ⇒ décroissante sur \(]-\infty ; 0]\)
- Fonction impaire : croissante sur \([0 ; +\infty[\) ⇒ croissante sur \(]-\infty ; 0]\)
Lien avec la dérivée
Propriété : parité de la dérivée
- Si \(f\) est paire et dérivable ⇒ \(f^\prime\) est impaire
- Si \(f\) est impaire et dérivable ⇒ \(f^\prime\) est paire
Conséquence : Si \(f\) est paire et dérivable en 0, alors \(f^\prime(0) = 0\) (tangente horizontale en 0).
Exemple : \(f(x) = x^2\) (paire) ⇒ \(f^\prime(x) = 2x\) (impaire), et \(f^\prime(0) = 0\) ✓
Lien avec les intégrales (niveau Terminale)
Calcul ultra-rapide d’intégrales sur \([-a ; a]\)
- Fonction paire : \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx\)
- Fonction impaire : \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0\) (sans aucun calcul !)
Exemple 1 : \(I = \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x) \, dx\)
→ \(f(x) = x^3 + 3x\) est impaire ⇒ \(I = 0\) (aucun calcul)
Exemple 2 : \(J = \int_{-1}^{1} (x^2 + \cos(x)) \, dx\)
→ \(g(x) = x^2 + \cos(x)\) est paire ⇒ \(J = 2 \int_{0}^{1} (x^2 + \cos(x)) \, dx\) (calcul divisé par 2)
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Exercices corrigés (progressifs)
Ces exercices sont centrés sur la parité d’une fonction (fonction paire et impaire). Pour un entraînement plus large sur l’étude de fonctions : exercices sur les fonctions en Seconde.
Niveau 1 : reconnaître (formules simples et réflexes)
Exercice 1. Étudier la parité de \(f(x) = x^4 – 3x^2 + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Le domaine est \(\mathbb{R}\), donc symétrique.
\(f(-x) = (-x)^4 – 3(-x)^2 + 2 = x^4 – 3x^2 + 2 = f(x)\).
Donc \(f\) est paire.
Exercice 2. Étudier la parité de \(g(x) = x^3 – 5x\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : \(\mathbb{R}\), symétrique.
\(g(-x) = (-x)^3 – 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 – 5x) = -g(x)\).
Donc \(g\) est impaire.
Exercice 3. Étudier la parité de \(h(x) = x^2 + 3x\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : \(\mathbb{R}\), symétrique.
\(h(-x) = (-x)^2 + 3(-x) = x^2 – 3x\).
Or \(h(-x) \neq h(x)\) et \(h(-x) \neq -h(x)\) (car \(-h(x) = -(x^2 + 3x) = -x^2 – 3x\)).
Donc \(h\) est ni paire ni impaire.
Niveau 2 : domaine et simplifications (racines, fractions, logarithmes)
Exercice 4. Étudier la parité de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Le domaine est \(\mathbb{R}\) car \(x^2 + 4\) est toujours positif.
\(f(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 4} = \sqrt{x^2 + 4} = f(x)\).
Donc \(f\) est paire.
Exercice 5. Étudier la parité de \(g(x) = \displaystyle\frac{1}{x + 2}\).
▶ Voir la correction
Le domaine est \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
Il n’est pas symétrique : par exemple \(2\) appartient au domaine, mais \(-2\) n’y appartient pas.
Donc \(g\) est ni paire ni impaire (on ne peut pas parler de parité si le domaine n’est pas symétrique).
Exercice 6. Étudier la parité de \(h(x) = \ln(1 + x^2)\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : on a \(1 + x^2\) > \(0\) pour tout \(x\), donc le domaine est \(\mathbb{R}\) (symétrique).
\(h(-x) = \ln(1 + (-x)^2) = \ln(1 + x^2) = h(x)\).
Donc \(h\) est paire.
Niveau 3 : composition, morceaux et « pièges DS »
Exercice 7. Étudier la parité de \(f(x) = \displaystyle\frac{x}{1 + x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : \(\mathbb{R}\) (car \(1 + x^2\) n’est jamais nul), donc symétrique.
\(f(-x) = \displaystyle\frac{-x}{1 + (-x)^2} = \displaystyle\frac{-x}{1 + x^2} = -f(x)\).
Donc \(f\) est impaire.
Exercice 8. Étudier la parité de \(g(x) = |x| + x\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : \(\mathbb{R}\), symétrique.
\(g(-x) = |-x| + (-x) = |x| – x\).
On n’a ni \(g(-x) = g(x)\) (car \(|x| – x \neq |x| + x\) en général), ni \(g(-x) = -g(x)\) (car \(-g(x) = -(|x| + x) = -|x| – x\)).
Donc \(g\) est ni paire ni impaire.
Exercice 9. Sans détailler la trigonométrie, déterminer la parité de \(u(x) = \cos(x^3)\) sur \(\mathbb{R}\).
▶ Voir la correction
Domaine : \(\mathbb{R}\), symétrique.
On utilise l’idée de composition : \(x^3\) est une fonction impaire, et \(\cos\) est une fonction paire.
Donc \(u\) est paire. Vérification rapide :
\(u(-x) = \cos((-x)^3) = \cos(-x^3) = \cos(x^3) = u(x)\).
Pour les justifications complètes : parité de sin et cos.
Bonus (piège DS). On définit \(v\) par :
\(v(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \geq 0,\\ -x^2 & \text{si } x \leq 0. \end{cases}\)
Montrer que \(v\) est impaire.
▶ Voir la correction
Le domaine est \(\mathbb{R}\), symétrique.
On raisonne par cas.
- Si \(x \geq 0\), alors \(v(x) = x^2\) et \(-x \leq 0\), donc \(v(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = -v(x)\).
- Si \(x \leq 0\), alors \(v(x) = -x^2\) et \(-x \geq 0\), donc \(v(-x) = (-x)^2 = x^2 = -(-x^2) = -v(x)\).
Dans tous les cas, \(v(-x) = -v(x)\) : \(v\) est impaire.
FAQ (questions fréquentes)
Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?
En trois étapes : (1) vérifier que le domaine est symétrique par rapport à \(0\), (2) calculer \(f(-x)\), (3) comparer à \(f(x)\) (paire) ou \(-f(x)\) (impaire). Si aucune des deux égalités ne tient, la fonction est ni paire ni impaire.
Quelle est la formule d'une fonction paire ?
La condition est : \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\) du domaine (avec un domaine centré en \(0\)). Graphiquement, cela correspond à une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Comment étudier la parité d'une fonction ?
Commence par vérifier que l’ensemble de définition \(D_f\) est centré en \(0\) (si \(x \in D_f\) alors \(-x \in D_f\)). Ensuite, remplace \(x\) par \(-x\) dans l’expression de \(f\) et simplifie. Compare le résultat à \(f(x)\) et à \(-f(x)\) pour conclure.
Quelles sont les propriétés des fonctions paires et impaires ?
Les plus utiles : somme de deux paires = paire, somme de deux impaires = impaire, produit de deux impaires = paire, produit paire × impaire = impaire. Et côté graphique : paire ↔ symétrie par rapport à (Oy), impaire ↔ symétrie centrale en l’origine. Pour les intégrales, l’intégrale d’une fonction impaire sur \([-a ; a]\) vaut \(0\).
Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ?
Oui, mais c’est très rare : la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle (\(f(x) = 0\) pour tout \(x\)). En effet, si \(f(-x) = f(x)\) et \(f(-x) = -f(x)\), alors \(f(x) = -f(x)\), donc \(2f(x) = 0\), soit \(f(x) = 0\).
À quoi sert la parité d'une fonction ?
La parité permet de diviser le domaine d’étude par deux : on étudie seulement la partie positive, puis on complète par symétrie. Elle simplifie aussi les calculs d’intégrales : l’intégrale d’une fonction impaire sur \([-a ; a]\) vaut zéro, et celle d’une fonction paire se réduit à \(2\int_0^a f(x)\,dx\).
Pour aller plus loin
Chapitres du cocon « fonctions » :
- Les fonctions en mathématiques : cours complet (page pilier)
- Image et antécédent d’une fonction (lecture graphique et méthode)
- Fonction carré, cube et racine carrée
- Fonctions en Seconde : cours complet
- Exercices sur les fonctions en Seconde (corrigés)
- Exercices sur les fonctions en 3ème (corrigés)
- Fonction affine : cours complet
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