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L’épreuve de Mathématiques 1 du concours CCINP MPI 2026, d’une durée de quatre heures et sans calculatrice, se compose de deux exercices et d’un problème. L’exercice I porte sur des requêtes SQL appliquées à une base de données scolaire, l’exercice II explore les fonctions génératrices et la loi de Poisson, tandis que le problème — cœur du sujet — enchaîne calcul d’une intégrale paramétrique, construction de coefficients de Fourier et formule sommatoire de Poisson. Le niveau global est progressif : des questions d’entrée accessibles cèdent la place à des développements nettement plus techniques dans la seconde moitié du problème.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice I (Q1-Q4) | Requêtes SQL | Accessible | Jointures, agrégation GROUP BY, sous-requêtes |
| Exercice II (Q5-Q8) | Fonctions génératrices et loi de Poisson | Accessible | Séries entières, produit de Cauchy, stabilité par convolution |
| Problème – Partie I (Q9-Q14) | Calcul d’une intégrale paramétrique | Élevé | Intégrales généralisées, dérivation sous le signe intégral, EDO |
| Problème – Partie II (Q15-Q18) | Formule sommatoire de Poisson | Élevé | Séries de fonctions, coefficients de Fourier, convergence normale |
| Problème – Partie III (Q19-Q22) | Applications et calcul explicite | Élevé | Synthèse parties I et II, unicité des coefficients de Fourier |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice I – Requêtes SQL (Q1-Q4)
Cet exercice, caractéristique de la filière MPI, exploite deux tables relationnelles ELEVES et PAIEMENTS. Les quatre questions couvrent l’essentiel du programme SQL : sélection avec filtre et élimination de doublons (Q1), jointure avec agrégation et tri (Q2), détection de doublons par regroupement sur colonnes multiples (Q3), et requête de type « anti-jointure » pour identifier les élèves sans paiement (Q4). L’ensemble reste classique et constitue un réservoir de points accessibles.
Exercice II – Fonctions génératrices (Q5-Q8)
On introduit la fonction génératrice \(G_X(t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n)\,t^n\) d’une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\). Après avoir justifié la convergence sur \([-1,1]\) (Q5), on calcule explicitement \(G_X\) pour une loi de Poisson (Q6). Le produit de Cauchy de deux séries entières permet ensuite d’établir la propriété multiplicative \(G_{X+Y} = G_X \cdot G_Y\) pour des variables indépendantes (Q7), d’où la stabilité classique de la loi de Poisson par somme indépendante (Q8).
Problème – Partie I : Calcul d’une intégrale (Q9-Q14)
On étudie la fonction \(g(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{x}{x^2 + t^2}\,e^{it}\,dt\) pour \(x\) strictement positif. Après avoir montré que \(g\) est bien définie (Q9), un changement de variable la réécrit comme transformée de Fourier de la fonction de Cauchy \(\displaystyle\frac{1}{1+u^2}\) (Q10). On démontre que \(g\) est bornée et que \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = \pi\) (Q11), puis que \(g\) est de classe \(C^2\) (Q12). Le calcul du laplacien de \(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) (Q13), suivi d’une double intégration par parties, conduit à l’équation différentielle du second ordre \(y^{\prime\prime} – y = 0\). On en déduit finalement l’expression \(g(x) = \pi e^{-x}\) (Q14).
Problème – Partie II : Formule sommatoire de Poisson (Q15-Q18)
On pose \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{1+t^2}\) et \(F(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f(x+n) + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} f(x-n)\). Il s’agit de montrer que \(F\) est bien définie, 1-périodique et continue (Q15-Q16), puis d’établir que ses coefficients de Fourier vérifient \(c_k(F) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-2i\pi kt}\,dt\) (Q17). La question Q18 calcule une intégrale trigonométrique auxiliaire nécessaire à cette démonstration.
Problème – Partie III : Applications (Q19-Q22)
Cette partie finale combine les résultats des deux premières. On calcule \(c_0(F) = \pi\) puis, grâce à la Partie I, \(c_k(F) = \pi e^{-2\pi |k|}\) pour tout entier \(k\) (Q19). On construit la série de Fourier associée \(G\), on montre qu’elle est continue et 1-périodique (Q20), on démontre \(F = G\) par unicité des coefficients (Q21), et on en déduit une expression fermée de \(F(x)\) (Q22).
Notions et chapitres testés
- Bases de données et SQL (programme spécifique MPI) : requêtes SELECT, DISTINCT, WHERE, JOIN, GROUP BY, HAVING, ORDER BY, sous-requêtes NOT IN.
- Probabilités discrètes : loi de Poisson, fonction génératrice, indépendance, stabilité par convolution.
- Séries entières : rayon de convergence, produit de Cauchy, identification de somme.
- Intégrales généralisées : convergence absolue, domination, intégrales à paramètre.
- Théorèmes de régularité : théorème de continuité sous le signe intégral, théorème de dérivation sous le signe intégral (appliqué deux fois).
- Équations différentielles linéaires d’ordre 2 : résolution de \(y^{\prime\prime} – y = 0\), sélection de la solution par conditions aux limites.
- Séries de Fourier : coefficients de Fourier, convergence normale, théorème d’unicité.
- Séries de fonctions : convergence normale, interversion somme-intégrale.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet CCINP Maths 1 MPI 2026 s’inscrit dans la continuité des sessions précédentes en termes de structure : un exercice d’informatique théorique (SQL), un exercice de probabilités, et un problème d’analyse substantiel. La difficulté globale est modérée à élevée, avec un gradient bien pensé.
Les exercices I et II sont nettement plus abordables que le problème. L’exercice SQL ne présente aucune difficulté technique majeure pour un candidat MPI correctement préparé. L’exercice II sur les fonctions génératrices est un grand classique, du même type que ce qui a été proposé lors des sessions 2024 et 2025.
Le problème, en revanche, monte d’un cran. L’enchaînement intégrale paramétrique → fonction harmonique → équation différentielle → formule sommatoire de Poisson est ambitieux et exige une maîtrise solide de l’analyse. Les questions Q13-Q14 et Q17 constituent les passages les plus sélectifs. La question finale Q22, qui demande de sommer une série géométrique complexe, récompense les candidats ayant su exploiter toutes les parties du sujet. Par rapport aux éditions précédentes, le problème est légèrement plus exigeant sur le plan technique, notamment par la présence de l’exponentielle complexe \(e^{it}\) dans l’intégrale.
Pièges et points techniques délicats
Q1 – Oubli du DISTINCT : l’énoncé demande explicitement les emails « sans doublons ». Omettre le mot-clé DISTINCT fait perdre des points sur une question censée être immédiate.
Q3 – Regroupement correct pour détecter les doublons : il faut regrouper par toutes les colonnes sauf l’attribut id (c’est-à-dire nom, prenom, email, promo), puis filtrer avec HAVING COUNT(*) ≥ 2. Beaucoup de candidats oublieront d’inclure toutes les colonnes pertinentes dans le GROUP BY ou confondront « doublons de lignes » avec « doublons d’un seul champ ».
Q7 – Justification du produit de Cauchy : la question demande explicitement d’utiliser le produit de Cauchy. Il faut écrire \(G_X(t) \cdot G_Y(t)\) comme produit de deux séries entières, identifier le terme général, puis utiliser l’indépendance pour factoriser \(P(X = j,\, Y = n-j) = P(X = j) \cdot P(Y = n-j)\). Le piège classique est de négliger la justification de la convergence absolue, condition nécessaire à la validité du produit de Cauchy.
Q9 – Domination rigoureuse : il faut majorer \(\left|\displaystyle\frac{x}{x^2 + t^2}\,e^{it}\right| = \displaystyle\frac{x}{x^2 + t^2}\) et montrer l’intégrabilité sur \(\mathbb{R}\). Le piège est de ne pas préciser que \(x\) est fixé strictement positif, ce qui donne une domination en \(\displaystyle\frac{x}{t^2}\) au voisinage de l’infini.
Q12 – Classe \(C^2\) et hypothèses du théorème de dérivation : le théorème de dérivation sous le signe intégral doit être appliqué deux fois successivement. À chaque étape, il faut exhiber une fonction dominante intégrable indépendante de \(x\) sur tout segment \([a, b] \subset {]0, +\infty[}\). Un oubli de cette vérification coûte cher.
Q13 – Du laplacien à l’EDO : c’est le point technique central du problème. Après avoir vérifié que la fonction \((x,t) \mapsto \displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) est harmonique (laplacien nul), il faut effectuer deux intégrations par parties sur le terme \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\!\left(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\right) e^{it}\,dt\). Chaque intégration par parties fait apparaître un facteur \(i\), et les termes de bord doivent être soigneusement annulés. Le résultat final est \(g^{\prime\prime}(x) – g(x) = 0\).
Q17 – Interversion somme-intégrale : il faut justifier l’échange entre la somme définissant \(F\) et l’intégrale définissant \(c_k\). L’argument repose sur la convergence normale de la série sur \([0,1]\). Ensuite, un changement d’indice dans chaque intégrale (translation \(u = t + n\) ou \(u = t – n\)) permet de reconstituer l’intégrale sur \(\mathbb{R}\) tout entier, en exploitant la 1-périodicité de \(e^{-2i\pi kt}\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice I (Q1-Q4)
Q1 : SELECT DISTINCT email avec clause WHERE promo différente de 2025. Q2 : jointure entre ELEVES et PAIEMENTS sur l’identifiant, GROUP BY (nom, prenom) avec SUM(montant), ORDER BY nom puis prenom. Q3 : GROUP BY (nom, prenom, email, promo) avec HAVING COUNT(*) ≥ 2, puis sélection de id et email. Q4 : sous-requête avec NOT IN sur les id présents dans PAIEMENTS, ou bien LEFT JOIN avec filtre IS NULL.
Exercice II (Q5-Q8)
Q5 : Majorer \(|P(X=n)\,t^n| \leq P(X=n)\) pour \(|t| \leq 1\) et conclure par convergence de la série des probabilités. Q6 : Injecter \(P(X=n) = e^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^n}{n!}\) et reconnaître le développement en série de la fonction exponentielle, d’où \(G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}\). Q7 : Écrire le produit de Cauchy, identifier le coefficient d’ordre \(n\) comme \(\displaystyle\sum_{j=0}^{n} P(X=j)\,P(Y=n-j)\), et reconnaître \(P(X+Y=n)\) par indépendance. Q8 : Multiplier \(G_X(t) \cdot G_Y(t) = e^{(\lambda+\mu)(t-1)}\) et identifier une loi de Poisson de paramètre \(\lambda + \mu\).
Problème – Partie I (Q9-Q14)
Q9 : Domination par \(\displaystyle\frac{x}{x^2+t^2}\) qui est en \(O(1/t^2)\) à l’infini, donc intégrable. Q10 : Substitution \(t = xu\). On en déduit \(|g(x)| \leq \pi\) (intégrale de \(\displaystyle\frac{1}{1+u^2}\)). Q11 : Convergence dominée quand \(x \to 0^+\) : la limite de l’intégrande est \(\displaystyle\frac{1}{1+u^2}\), d’intégrale \(\pi\). Q12 : Application (deux fois) du théorème de dérivation sous le signe intégral avec domination locale. Q13 : Calcul direct des dérivées partielles secondes montrant l’harmonicité, puis double intégration par parties faisant apparaître \(i^2 = -1\). Q14 : Résolution de \(y^{\prime\prime} – y = 0\) : les solutions sont \(Ae^x + Be^{-x}\) ; le caractère borné impose \(A = 0\), et \(g(0^+) = \pi\) donne \(B = \pi\).
Problème – Partie II (Q15-Q18)
Q15 : Majoration de \(f(x+n)\) par \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) pour la convergence ; translation d’indice pour la 1-périodicité. Q16 : Convergence normale sur \([0,1]\) impliquant la continuité de \(F\), étendue à \(\mathbb{R}\) par périodicité. Q17 : Interversion somme-intégrale, puis changement de variable dans chaque terme pour recouvrir \(\mathbb{R}\). Q18 : Calcul direct : l’intégrale vaut 1 si \(n + k = 0\) et 0 sinon (exponentielle complexe de période entière).
Problème – Partie III (Q19-Q22)
Q19 : \(c_0(F) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{dt}{1+t^2} = \pi\). Pour \(k \geq 1\), reconnaître \(c_k(F) = g(2\pi k) = \pi e^{-2\pi k}\) grâce à la Partie I. Q20 : Convergence normale de la série (termes majorés par \(\pi e^{-2\pi n}\), série géométrique convergente), d’où continuité et 1-périodicité de \(G\). Q21 : Application directe du résultat d’unicité admis : \(F\) et \(G\) sont continues, 1-périodiques et ont les mêmes coefficients. Q22 : Sommation de la série géométrique complexe pour obtenir une expression fermée faisant intervenir \(\cosh\) et \(\cos\).
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme plusieurs tendances de l’épreuve CCINP Maths 1 MPI qu’il est essentiel d’anticiper :
- SQL : ne pas négliger les bases. L’exercice I ne représente qu’une fraction du barème, mais les points y sont faciles à collecter. Maîtrisez parfaitement les requêtes avec jointures, agrégation (GROUP BY / HAVING) et sous-requêtes imbriquées. Un entraînement régulier sur des exercices types suffit pour sécuriser ces points.
- Fonctions génératrices et lois discrètes classiques. Le programme de probabilités est systématiquement testé. Révisez la loi de Poisson, la loi géométrique et leurs propriétés (stabilité, fonction génératrice), ainsi que le produit de Cauchy appliqué aux séries de probabilités.
- Intégrales à paramètre : le cœur de l’analyse. La Partie I du problème mobilise les théorèmes fondamentaux : convergence dominée, changement de variable, dérivation sous le signe intégral. Ces outils doivent être maîtrisés dans leur version « intégrale à paramètre », avec une attention particulière aux hypothèses de domination.
- Équations différentielles et conditions aux limites. Savoir résoudre une EDO linéaire d’ordre 2 à coefficients constants est indispensable, mais le vrai enjeu est de sélectionner la bonne solution parmi les solutions générales grâce à des conditions de bornitude, de limite ou de comportement asymptotique. C’est un raisonnement récurrent dans les problèmes de concours.
- Séries de Fourier : un chapitre à ne pas sous-estimer. Les questions sur la formule sommatoire de Poisson exigent de maîtriser le calcul des coefficients de Fourier, la convergence normale des séries trigonométriques et les résultats d’unicité. C’est un chapitre souvent moins travaillé par les candidats MPI, et il peut faire la différence au classement.
- Gestion du temps. Les exercices I et II sont rapides (45 minutes à 1 heure au total). Consacrez au moins 2h30 au problème, en veillant à exploiter les « On admettra que… » qui permettent de poursuivre même si une question intermédiaire résiste.
