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Le sujet de Maths T ESCP 2026 (BCE, voie technologique) proposait trois exercices indépendants à traiter en quatre heures, sans calculatrice. L’épreuve couvrait un spectre large du programme : algèbre matricielle (puissances de matrices via conjugaison), probabilités discrètes et continues (le classique problème du collectionneur et la loi de Laplace), informatique (SQL et Python). Le niveau d’ensemble est conforme aux attentes de ce concours, avec des questions accessibles en début de chaque partie et une montée progressive en difficulté.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Ex. 1 – Parties I-II (Q1-9) | Spectre et puissances positives de T | Accessible | Polynôme annulateur, valeurs propres, binôme de Newton matriciel |
| Ex. 1 – Parties III-IV (Q10-19) | Puissances entières et conjugaison | Élevé | Matrice inverse, récurrence, relation de conjugaison |
| Ex. 2 – Partie I (Q20-28) | Série harmonique et constante d’Euler | Élevé | Étude de fonction, suites monotones bornées, intégrales |
| Ex. 2 – Parties II-III (Q29-39) | Problème du collectionneur et SQL | Accessible | Loi géométrique, espérance, requêtes SQL |
| Ex. 3 – Parties I-II (Q40-45) | Loi de Laplace asymétrique | Élevé | Densité, fonction de répartition, intégrales |
| Ex. 3 – Parties III-IV (Q46-56) | Simulation de la loi de Laplace | Élevé | Loi exponentielle, méthode d’inversion, Python |
| Ex. 3 – Partie V (Q57+) | Suite de variables de Laplace | Très élevé | Variance, moments, loi des grands nombres |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 — Puissances de matrices (Q1-19)
Cet exercice constitue le cœur d’algèbre linéaire de l’épreuve. L’objectif final est de calculer les puissances entières de la matrice \(M\) à l’aide de la relation de conjugaison \(M = 2PTP^{-1}\).
La Partie I (Q1-5) étudie le spectre de \(M\) via un polynôme annulateur \(R(x) = (x^2-4)(x-2)\). Tu identifies les racines, puis tu vérifies que \(U\) et \(V\) sont des vecteurs propres par calcul direct. La Partie I se conclut par une preuve d’inversibilité utilisant \(R(M) = O_3\).
La Partie II (Q6-9) est dédiée aux puissances positives de \(T\). La clé est la décomposition \(T^2 = I_3 + N\) où \(N\) est une matrice nilpotente d’ordre 2. La formule du binôme de Newton s’applique alors pour obtenir \(T^{2n}\) puis \(T^{2n+1}\).
La Partie III (Q10-14) étend le résultat aux puissances négatives en calculant \(T^{-1}\) et en montrant que \((T^{-1})^2 = I_3 – N\), ce qui permet d’adapter la même stratégie.
La Partie IV (Q15-19) rassemble tous les résultats : on vérifie que \(M = 2PTP^{-1}\) (une forme de diagonalisation généralisée), puis une récurrence fournit \(M^n = 2^n P T^n P^{-1}\) pour tout entier \(n\).
Exercice 2 — Le problème du collectionneur (Q20-39)
Cet exercice est une application probabiliste classique : combien d’achats faut-il en moyenne pour compléter une collection de \(n\) cartes ?
La Partie I (Q20-28) est un préliminaire d’analyse. On étudie la fonction \(f(x) = \ln(1+x) – x\) pour établir l’inégalité \(\ln(1+x) \leq x\), puis on montre que la suite \(u_j = H_j – \ln(j)\) (où \(H_j\) est la somme harmonique) est décroissante, positive, donc convergente. Ce résultat permet de conclure que \(\displaystyle\frac{H_n}{\ln(n)} \to 1\).
La Partie II (Q29-35) modélise chaque temps d’attente \(X_k\) par une loi géométrique de paramètre \(p_{n,k} = \displaystyle\frac{n-k+1}{n}\). L’espérance de \(N_n\) vaut \(n \cdot H_n\), et le résultat de la Partie I fournit l’équivalent \(\mathbb{E}(N_n) \sim n\ln(n)\).
La Partie III (Q36-39) porte sur des requêtes SQL appliquées à une base de données de cartes Pokémon. Ces questions offrent des points accessibles.
Exercice 3 — La loi de Laplace (Q40-57+)
Cet exercice introduit la loi de Laplace asymétrique \(\mathcal{L}(m, a, b)\) et en explore les propriétés.
La Partie I (Q40-41) demande de tracer la courbe d’un cas particulier et de compléter un code Python pour le tracé. La Partie II (Q42-45) détermine la constante de normalisation \(M = \displaystyle\frac{ab}{a+b}\), calcule la fonction de répartition \(F_X\) par morceaux, puis montre que \(-X \hookrightarrow \mathcal{L}(-m, b, a)\).
Les Parties III-IV (Q46-56) proposent deux méthodes de simulation Python. La première, dans le cas symétrique \(a=b\), utilise le fait que \(Y = |X-m|\) suit une loi exponentielle. La seconde, en cas général, repose sur la méthode classique d’inversion de la fonction de répartition avec une loi uniforme.
La Partie V (Q57+) étudie une suite de variables aléatoires \(X_n \hookrightarrow \mathcal{L}(0, 2^n, 2^n)\) et leur moyenne empirique, dans l’esprit de la loi des grands nombres.
Notions et chapitres testés
- Algèbre matricielle : polynôme annulateur, valeurs propres et vecteurs propres, matrice inversible et calcul de l’inverse, matrice nilpotente, formule du binôme de Newton matriciel, relation de conjugaison \(M = aPTP^{-1}\), récurrence sur les puissances.
- Analyse : étude de la fonction logarithme népérien, tableau de variations, suites monotones bornées, convergence, comparaison série-intégrale.
- Probabilités discrètes : loi géométrique, espérance et variance, somme de variables aléatoires indépendantes, série harmonique.
- Probabilités continues : densité de probabilité, fonction de répartition, loi exponentielle, loi uniforme, méthode d’inversion, intégrales généralisées.
- Informatique — SQL : clé primaire, SELECT DISTINCT, WHERE, jointure entre tables.
- Informatique — Python : structures conditionnelles, boucles, bibliothèques numpy et matplotlib, simulation de variables aléatoires.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Le sujet 2026 est globalement dans la moyenne haute des sujets ESCP Maths T des dernières années. La structure en trois exercices indépendants est classique et chaque exercice commence par des questions accessibles avant de monter en difficulté.
Par rapport aux sujets 2023-2025 :
- L’exercice 1 est très guidé et sans surprise pour qui maîtrise le calcul matriciel. Les premières questions (spectre, produit matrice-vecteur) permettent de sécuriser des points.
- L’exercice 2 se distingue par sa Partie I (Q20-28) qui demande une rigueur inhabituelle sur l’étude de suites et la comparaison série-intégrale. Le problème du collectionneur lui-même est un classique bien connu.
- L’exercice 3 est le plus exigeant. L’étude complète d’une loi à densité non standard avec deux méthodes de simulation demande une bonne maîtrise des intégrales et des fonctions de répartition.
Avec 57 questions (au minimum) en 4 heures, la gestion du temps était un enjeu majeur : environ 4 minutes par question en moyenne.
Pièges et points techniques délicats
Q5 — Inversibilité via le polynôme annulateur. L’erreur classique est de ne pas savoir exploiter \(R(M) = O_3\). Il faut réécrire cette relation sous la forme \(M \times Q(M) = 8I_3\) en isolant le terme constant, ce qui donne directement \(M^{-1}\).
Q8 — Formule du binôme de Newton. La formule ne s’applique que si les matrices commutent. Tu dois justifier explicitement que \(I_3\) et \(N\) commutent (ce qui est immédiat puisque \(I_3\) commute avec toute matrice). Ensuite, comme \(N^2 = O_3\), la somme se réduit à deux termes seulement.
Q22-24 — Application de l’inégalité avec un argument négatif. L’inégalité \(\ln(1+x) \leq x\) doit être appliquée avec \(x = -\displaystyle\frac{1}{j+1}\), qui est négatif mais bien dans le domaine de définition (car \(x > -1\)). Ne pas oublier de vérifier cette condition.
Q25-26 — Sens de la comparaison série-intégrale. Pour montrer \(\displaystyle\frac{1}{k} \geq \int_k^{k+1} \displaystyle\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\), il faut utiliser la décroissance de \(t \mapsto \displaystyle\frac{1}{t}\) sur \([k, k+1]\). En sommant, on obtient \(H_j \geq \ln(j+1)\), d’où \(u_j \geq 0\).
Q36 — Clé primaire de la table CARTES. Puisque l’enfant achète au maximum une carte par jour, l’attribut Date identifie de manière unique chaque enregistrement. C’est donc une clé primaire valide. Attention : Nom ne convient pas car un même Pokémon peut apparaître plusieurs fois.
Q42 — Normalisation de la densité. Le calcul de \(M\) impose de couper l’intégrale en deux morceaux (sur \(]-\infty, m]\) et \([m, +\infty[\)) et d’utiliser les intégrales d’exponentielles. Le résultat \(M = \displaystyle\frac{ab}{a+b}\) est indispensable pour toute la suite.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1-4 : Factoriser \(R(x) = (x-2)^2(x+2)\), identifier les racines \(\{-2, 2\}\) comme valeurs propres candidates. Calculer \(MU\) et \(MV\) par produit matriciel direct pour confirmer les valeurs propres.
- Q5 : Réécrire \(R(M) = O_3\) sous la forme \(M(-M^2 + 2M + 4I_3) = 8I_3\).
- Q6-9 : Calcul direct de \(T^2\), constat \(N^2 = O_3\), application du binôme tronqué : \((I_3 + N)^n = I_3 + nN\).
- Q10-14 : Calcul de \(T^{-1}\) (matrice triangulaire supérieure), puis même stratégie avec \(I_3 – N\). Pour Q13, montrer \((T^{-1})^k = (T^k)^{-1}\) par récurrence sur \(k\).
- Q15-19 : Calcul de \(\det(P) = 2 \neq 0\), puis \(MP = 2PT\) fournit \(a = 2\). La récurrence de Q19 traite simultanément \(M^n\) et \((M^{-1})^n\).
Exercice 2
- Q20-22 : Étude classique de \(f(x) = \ln(1+x) – x\) : dérivée \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{1+x} – 1\), maximum en \(x=0\) avec \(f(0) = 0\).
- Q23-24 : Écrire \(u_{j+1} – u_j\) et appliquer l’inégalité de Q22 pour montrer la décroissance.
- Q25-28 : Comparaison série-intégrale, puis argument « suite décroissante minorée par 0 converge ». Conclure \(H_n \sim \ln(n)\).
- Q29-35 : Identifier \(p_{n,k} = \displaystyle\frac{n-k+1}{n}\) et la loi géométrique associée. L’espérance de \(N_n\) vaut \(n \cdot H_n\), d’où \(\displaystyle\frac{\mathbb{E}(N_n)}{n\ln(n)} \to 1\).
- Q36-39 : SQL standard :
SELECT DISTINCT Nom FROM CARTES, jointures avecWHERE.
Exercice 3
- Q40-41 : Tracé à la main puis complétion Python (branches exponentielle croissante et décroissante).
- Q42-45 : Intégration par morceaux pour normaliser, puis calcul de \(F_X\) par intégration de la densité. Pour \(-X\), utiliser \(F_{-X}(t) = 1 – F_X(-t^-)\) en adaptant aux intervalles.
- Q46-50 : Exploiter \(Y = |X-m| \hookrightarrow \mathrm{Exp}(a)\) dans le cas symétrique. Le résultat du programme Python (≈ 2.024) est une approximation de \(\mathbb{E}(X) = m = 2\) par la loi des grands nombres.
- Q51-56 : Méthode d’inversion classique : montrer la bijectivité de \(F_X\) sur chaque intervalle, calculer la réciproque, puis vérifier que \(T = F_X^{-1}(U)\) suit la même loi que \(X\).
Conseils pour les futurs candidats
Gestion du temps : avec plus de 57 questions en 4 heures, la rapidité d’exécution est cruciale. Entraîne-toi à enchaîner les calculs matriciels et les intégrales sans hésiter.
En algèbre matricielle, maîtrise parfaitement le calcul de puissances de matrices via une relation de conjugaison \(M = aPTP^{-1}\). La stratégie « décomposer \(T^2\) en \(I_3 + N\) avec \(N\) nilpotente » est un grand classique de ce concours. Révise aussi les preuves par récurrence impliquant des matrices.
En probabilités, le problème du collectionneur revient régulièrement. Sois à l’aise avec la notion d’espérance d’une loi géométrique et la manipulation des sommes harmoniques. Pour les lois continues, entraîne-toi systématiquement à calculer densité, fonction de répartition et moments.
En informatique, les questions SQL et Python offrent des points accessibles à condition de s’y préparer. Révise les requêtes de base (SELECT, WHERE, DISTINCT, jointures) et la simulation de variables aléatoires avec numpy.
Sur le plan de la rédaction, chaque justification compte : commutatitivité avant d’appliquer le binôme, condition \(x > -1\) pour le logarithme, continuité et stricte monotonie pour la bijectivité d’une fonction de répartition. Ce sont ces détails qui séparent une copie correcte d’une copie excellente.
