Loi Uniforme Discrète et Continue : Cours Complet niveau Prépa

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La loi uniforme est le modèle probabiliste de l’équiprobabilité : elle attribue le même poids à chaque valeur possible d’une variable aléatoire. Omniprésente en théorie des probabilités — simulation de lois, méthode de Monte-Carlo, transformations — elle se décline en version discrète et continue. Tu trouveras ici les définitions rigoureuses, les démonstrations exigibles aux concours, les propriétés fondamentales (dont la méthode d’inversion de la fonction de répartition) et 8 exercices corrigés de difficulté croissante.

I. Définition et contexte

La loi uniforme formalise l’idée d’équiprobabilité : chaque valeur admissible est atteinte avec la même probabilité (cas discret) ou la même « densité de probabilité » (cas continu). Elle intervient dès la Terminale pour les lois à densité et devient un outil central en prépa pour la simulation et les transformations de variables aléatoires.

A. Loi uniforme discrète

Le cas particulier le plus fréquent est \(E = \{1, 2, \ldots, n\}\), noté \(X \sim \mathcal{U}(\{1, \ldots, n\})\).

B. Loi uniforme continue — densité de probabilité

Vérification : la fonction \(f\) est bien une densité, car \(f \geq 0\) et :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b \displaystyle\frac{1}{b – a}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{b – a}{b – a} = 1\)

C. Fonction de répartition

La fonction de répartition (FdR) de \(X \sim \mathcal{U}([a\,;b])\) se calcule par intégration de la densité.

Démonstration : pour \(x \in [a\,;b]\),

\(\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^x \displaystyle\frac{1}{b – a}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{x – a}{b – a}\)

La FdR est continue, affine sur \([a\,;b]\), constante par morceaux en dehors.

Dans le cas discret \(X \sim \mathcal{U}(\{1, \ldots, n\})\), la FdR est une fonction en escalier avec des sauts de hauteur \(\displaystyle\frac{1}{n}\) en chaque entier \(k \in \{1, \ldots, n\}\) :

\(\displaystyle \forall\, k \in \{1, \ldots, n\},\quad F(x) = \displaystyle\frac{k}{n} \text{ pour } k \leq x\) < \(k + 1\)

Les définitions posées, passons aux indicateurs numériques qui résument la loi uniforme : espérance, variance et écart-type.

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II. Espérance, variance et écart-type

A. Cas discret — formules et démonstration

Démonstration de \(E(X)\) :

\(\displaystyle E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \displaystyle\frac{1}{n} = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} = \displaystyle\frac{n+1}{2}\)

Démonstration de \(V(X)\) : on utilise la formule de König-Huygens : \(V(X) = E(X^2) – E(X)^2\).

\(\displaystyle E(X^2) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)

D’où :

\(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6} – \left(\displaystyle\frac{n+1}{2}\right)^{\!2} = (n+1)\left[\displaystyle\frac{2n+1}{6} – \displaystyle\frac{n+1}{4}\right]\)

\(\displaystyle = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{4(2n+1) – 6(n+1)}{24} = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{2n – 2}{24} = \displaystyle\frac{n^2 – 1}{12}\)

Plus généralement, pour \(X \sim \mathcal{U}(\{x_1, \ldots, x_n\})\) :

\(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad\qquad V(X) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 – \left(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^{\!2}\)

B. Cas continu — formules et démonstrations ⋆

Démonstration de \(E(X)\) ⋆ (exigible aux concours) :

\(\displaystyle E(X) = \int_a^b x \cdot \displaystyle\frac{1}{b – a}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{b – a}\left[\displaystyle\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \displaystyle\frac{b^2 – a^2}{2(b – a)} = \displaystyle\frac{(b – a)(b + a)}{2(b – a)} = \displaystyle\frac{a + b}{2}\)

Démonstration de \(V(X)\) ⋆ (exigible) : on applique la formule de König-Huygens.

\(\displaystyle E(X^2) = \int_a^b x^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{b – a}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{b – a}\left[\displaystyle\frac{x^3}{3}\right]_a^b = \displaystyle\frac{b^3 – a^3}{3(b – a)} = \displaystyle\frac{a^2 + ab + b^2}{3}\)

Puis :

\(\displaystyle V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = \displaystyle\frac{a^2 + ab + b^2}{3} – \displaystyle\frac{(a + b)^2}{4}\)

\(\displaystyle = \displaystyle\frac{4(a^2 + ab + b^2) – 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12} = \displaystyle\frac{a^2 – 2ab + b^2}{12} = \displaystyle\frac{(b – a)^2}{12}\)

Le tableau suivant résume toutes les formules à connaître.

C. Moments d’ordre supérieur et fonction génératrice 🔴

Moment d’ordre \(k\) : pour \(X \sim \mathcal{U}([a\,;b])\) et \(k \in \mathbb{N}^*\),

\(\displaystyle E(X^k) = \int_a^b \displaystyle\frac{x^k}{b – a}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{b^{k+1} – a^{k+1}}{(k+1)(b – a)}\)

Cas particulier \(\mathcal{U}([0\,;1])\) :

\(\displaystyle E(X^k) = \displaystyle\frac{1}{k+1}\)

Ce résultat élémentaire est d’une utilité remarquable dans les problèmes de concours : il permet de calculer rapidement toute espérance de la forme \(E(g(X))\) lorsque \(g\) est polynomiale.

Fonction génératrice des moments : pour \(t \neq 0\),

\(\displaystyle M_X(t) = E(\mathrm{e}^{tX}) = \int_a^b \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{tx}}{b – a}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{tb} – \mathrm{e}^{ta}}{t(b – a)}\)

et \(M_X(0) = 1\). On retrouve \(E(X)\) et \(V(X)\) en dérivant en \(t = 0\) : \(M_X^\prime(0) = E(X)\) et \(M_X^{\prime\prime}(0) – M_X^\prime(0)^2 = V(X)\).

Au-delà des formules de base, la loi uniforme possède des propriétés structurelles puissantes — en particulier son rôle central dans la simulation de lois quelconques.

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III. Propriétés et théorèmes fondamentaux

A. Symétrie

Démonstration : posons \(Y = a + b – X\). Pour \(y \in [a\,;b]\) :

\(\displaystyle F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \leq y) = \mathbb{P}(a + b – X \leq y) = \mathbb{P}(X \geq a + b – y)\)

\(\displaystyle = 1 – F_X(a + b – y) = 1 – \displaystyle\frac{(a + b – y) – a}{b – a} = 1 – \displaystyle\frac{b – y}{b – a} = \displaystyle\frac{y – a}{b – a} = F_X(y)\)

Les FdR de \(X\) et \(Y\) coïncident sur \([a\,;b]\), donc \(Y \sim \mathcal{U}([a\,;b])\). □

Conséquence : la loi uniforme est symétrique par rapport à son centre \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\), qui est à la fois l’espérance et la médiane de \(X\).

B. Transformation affine et standardisation

Démonstration (cas \(\alpha\) > \(0\)) : pour \(y \in [\alpha a + \beta\,;\,\alpha b + \beta]\),

\(\displaystyle F_Y(y) = \mathbb{P}(\alpha X + \beta \leq y) = \mathbb{P}\!\left(X \leq \displaystyle\frac{y – \beta}{\alpha}\right) = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{y – \beta}{\alpha} – a}{b – a} = \displaystyle\frac{y – (\alpha a + \beta)}{\alpha(b – a)}\)

C’est la FdR de \(\mathcal{U}([\alpha a + \beta\,;\,\alpha b + \beta])\). □

Toute loi uniforme se ramène ainsi à \(\mathcal{U}([0\,;1])\), qui est la « brique élémentaire » universelle.

C. Méthode de l’inversion de la fonction de répartition ⋆

C’est le résultat qui fait de la loi uniforme le pivot de toute la théorie de la simulation. Il permet de simuler n’importe quelle loi continue à partir d’un seul générateur de nombres uniformes.

Démonstration ⋆ : puisque \(F\) est continue et strictement croissante, elle admet une bijection réciproque \(F^{-1}\) et l’équivalence \(F^{-1}(U) \leq x \iff U \leq F(x)\) est valide. Donc :

\(\displaystyle \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(F^{-1}(U) \leq x) = \mathbb{P}(U \leq F(x)) = F(x)\)

La dernière égalité utilise \(U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\), d’où \(\mathbb{P}(U \leq u) = u\) pour \(u \in [0\,;1]\). □

Application fondamentale — Simulation de la loi exponentielle :

Si \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), sa FdR est \(F(x) = 1 – \mathrm{e}^{-\lambda x}\) pour \(x \geq 0\). On inverse :

\(\displaystyle u = 1 – \mathrm{e}^{-\lambda x} \;\Rightarrow\; x = -\displaystyle\frac{\ln(1 – u)}{\lambda}\)

Comme \(1 – U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\) lorsque \(U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\), on obtient la formule de simulation :

Ce procédé se généralise à toute loi continue dont on connaît la FdR inverse : loi normale (via l’algorithme de Box-Muller), loi de Weibull, loi de Cauchy, etc. C’est la base de la méthode de Monte-Carlo.

Ces propriétés théoriques étant établies, voyons comment les mobiliser concrètement face à un exercice.

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IV. Méthode — Reconnaître et utiliser une loi uniforme

A. Quand modéliser par une loi uniforme ?

Voici les mots-clés qui, dans un énoncé, signalent une loi uniforme :

• « choisi au hasard dans \([a\,;b]\) »
• « tirage équiprobable »
• « chaque valeur est également probable »
• « densité constante sur un intervalle »

Le tableau suivant positionne la loi uniforme par rapport aux autres lois classiques.

B. Calculs types pas à pas

Face à un exercice sur la loi uniforme continue, la démarche standard est la suivante :

1. Identifier les bornes \(a\) et \(b\) depuis l’énoncé.
2. Écrire la densité : \(\displaystyle f(x) = \displaystyle\frac{1}{b – a}\) sur \([a\,;b]\), \(0\) sinon.
3. Calculer les probabilités par la formule \(\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \displaystyle\frac{d – c}{b – a}\), en intersectant \([c\,;d]\) avec \([a\,;b]\).
4. Appliquer les formules : \(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{a+b}{2}\), \(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{(b – a)^2}{12}\).
5. Pour \(E(g(X))\) : appliquer le théorème de transfert \(\displaystyle E(g(X)) = \int_a^b g(x) \cdot \displaystyle\frac{1}{b – a}\,\mathrm{d}x\) — ne jamais écrire \(E(g(X)) = g(E(X))\) sauf si \(g\) est affine.

Place à la pratique : voici huit exercices classés par difficulté croissante.

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V. Exercices corrigés

Huit exercices de ★ à ★★★★★, couvrant les thèmes fondamentaux de ce chapitre : calculs directs, transformations, simulation, et problèmes de concours.

Exercice 1 — ★ I (Incontournable)

Soit \(X \sim \mathcal{U}([1\,;5])\).

1. Calculer \(\mathbb{P}(2 \leq X \leq 4)\).
2. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

Voir la correction

Ici \(a = 1\), \(b = 5\), donc \(b – a = 4\).

1. \(\displaystyle \mathbb{P}(2 \leq X \leq 4) = \displaystyle\frac{4 – 2}{5 – 1} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

2.

• \(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{1 + 5}{2} = 3\)
• \(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{(5-1)^2}{12} = \displaystyle\frac{16}{12} = \displaystyle\frac{4}{3}\)
• \(\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{\displaystyle\frac{4}{3}} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

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Exercice 2 — ★★

Montrer que si \(X \sim \mathcal{U}(\{1, 2, \ldots, n\})\), alors \(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{n+1}{2}\) et \(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{n^2 – 1}{12}\).

Voir la correction

Espérance :

\(\displaystyle E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \displaystyle\frac{1}{n} = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} = \displaystyle\frac{n+1}{2}\)

Variance (par König-Huygens) :

\(\displaystyle E(X^2) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)

\(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6} – \left(\displaystyle\frac{n+1}{2}\right)^{\!2} = (n+1)\left[\displaystyle\frac{2n+1}{6} – \displaystyle\frac{n+1}{4}\right] = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{2(2n+1) – 3(n+1)}{12}\)

\(\displaystyle = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{n – 1}{12} = \displaystyle\frac{n^2 – 1}{12} \quad \blacksquare\)

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Exercice 3 — ★★

Soit \(U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\) et \(Y = 3U – 1\).

1. Déterminer la loi de \(Y\).
2. Vérifier que \(E(Y) = 3\,E(U) – 1\).

Voir la correction

1. Par le théorème de transformation affine avec \(\alpha = 3\) > \(0\) et \(\beta = -1\) :

\(Y \sim \mathcal{U}([3 \cdot 0 – 1\,;\,3 \cdot 1 – 1]) = \mathcal{U}([-1\,;2])\)

2. \(\displaystyle E(Y) = \displaystyle\frac{-1 + 2}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle 3\,E(U) – 1 = 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} – 1 = \displaystyle\frac{1}{2}\). C’est cohérent — la linéarité de l’espérance le garantit.

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Exercice 4 — ★★★

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\).

1. Montrer que \(|X|\) est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de \(|X|\).
2. Par deux méthodes, montrer que \(|X|\) admet une espérance et la déterminer.

Voir la correction

On a \(X \sim \mathcal{U}\!\left(\left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\right)\), de densité \(\displaystyle f_X(x) = \displaystyle\frac{1}{\frac{3}{2} – (-1)} = \displaystyle\frac{2}{5}\) sur \(\left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\).

1. Densité de \(|X|\)

Posons \(Y = |X|\). Puisque \(X \in \left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\), on a \(Y \in \left[0\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\).

On calcule la FdR de \(Y\) par disjonction de cas.

Cas \(t \in [0\,;1]\) : comme \(-t \geq -1\), l’intervalle \([-t\,;t]\) est inclus dans \(\left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\).

\(\displaystyle F_Y(t) = \mathbb{P}(|X| \leq t) = \mathbb{P}(-t \leq X \leq t) = \displaystyle\frac{t – (-t)}{5/2} = \displaystyle\frac{2t}{5/2} = \displaystyle\frac{4t}{5}\)

Cas \(t \in \left]1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\) : comme \(-t\) < \(-1\), on intersecte \([-t\,;t]\) avec le support \(\left[-1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right]\) et on obtient \([-1\,;t]\).

\(\displaystyle F_Y(t) = \mathbb{P}(-1 \leq X \leq t) = \displaystyle\frac{t – (-1)}{5/2} = \displaystyle\frac{2(t + 1)}{5}\)

Vérification de continuité en \(t = 1\) : \(\displaystyle\frac{4 \cdot 1}{5} = \displaystyle\frac{4}{5}\) et \(\displaystyle\frac{2(1+1)}{5} = \displaystyle\frac{4}{5}\). ✓

La FdR \(F_Y\) est continue et dérivable par morceaux, donc \(Y = |X|\) est une variable aléatoire à densité. On dérive :

\(\displaystyle f_Y(t) = \begin{cases} \displaystyle\frac{4}{5} & \text{si } t \in \left[0\,;1\right[ \\[6pt] \displaystyle\frac{2}{5} & \text{si } t \in \left[1\,;\displaystyle\frac{3}{2}\right] \\[6pt] 0 & \text{sinon} \end{cases}\)

Vérification : \(\displaystyle \int_0^1 \displaystyle\frac{4}{5}\,\mathrm{d}t + \int_1^{3/2} \displaystyle\frac{2}{5}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{4}{5} + \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{4}{5} + \displaystyle\frac{1}{5} = 1\). ✓

2. Espérance de \(|X|\) — deux méthodes

Méthode 1 — Via la densité de \(|X|\) :

\(\displaystyle E(|X|) = \int_0^1 t \cdot \displaystyle\frac{4}{5}\,\mathrm{d}t + \int_1^{3/2} t \cdot \displaystyle\frac{2}{5}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{4}{5}\left[\displaystyle\frac{t^2}{2}\right]_0^1 + \displaystyle\frac{2}{5}\left[\displaystyle\frac{t^2}{2}\right]_1^{3/2}\)

\(\displaystyle = \displaystyle\frac{4}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{2}{5}\left(\displaystyle\frac{9}{8} – \displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{2}{5} + \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \displaystyle\frac{5}{8} = \displaystyle\frac{2}{5} + \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{8 + 5}{20} = \displaystyle\frac{13}{20}\)

Méthode 2 — Par le théorème de transfert appliqué à \(X\) :

\(\displaystyle E(|X|) = \int_{-1}^{3/2} |x| \cdot \displaystyle\frac{2}{5}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{2}{5}\left[\int_{-1}^{0} (-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^{3/2} x\,\mathrm{d}x\right]\)

\(\displaystyle = \displaystyle\frac{2}{5}\left[\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{9}{8}\right] = \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \displaystyle\frac{4 + 9}{8} = \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \displaystyle\frac{13}{8} = \displaystyle\frac{13}{20}\)

Les deux méthodes donnent bien \(\displaystyle E(|X|) = \displaystyle\frac{13}{20} = 0{,}65\).

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Exercice 5 — ★★★

On choisit un nombre \(X\) au hasard dans \([-2\,;4]\).

1. Quelle loi suit \(X\) ? Écrire sa densité.
2. Calculer \(\mathbb{P}(|X| \leq 1)\).
3. Calculer \(\mathbb{P}(X^2 \leq 4)\).
4. Calculer \(E(|X|)\).

Voir la correction

1. « Au hasard » dans un intervalle signifie loi uniforme : \(X \sim \mathcal{U}([-2\,;4])\), de densité \(\displaystyle f(x) = \displaystyle\frac{1}{6}\) sur \([-2\,;4]\).

2. \(|X| \leq 1 \iff -1 \leq X \leq 1\). L’intervalle \([-1\,;1] \subset [-2\,;4]\), donc :

\(\displaystyle \mathbb{P}(|X| \leq 1) = \displaystyle\frac{1 – (-1)}{4 – (-2)} = \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{1}{3}\)

3. \(X^2 \leq 4 \iff -2 \leq X \leq 2\). On intersecte avec \([-2\,;4]\) : intervalle utile \(= [-2\,;2]\).

\(\displaystyle \mathbb{P}(X^2 \leq 4) = \displaystyle\frac{2 – (-2)}{6} = \displaystyle\frac{4}{6} = \displaystyle\frac{2}{3}\)

4. Par le théorème de transfert :

\(\displaystyle E(|X|) = \int_{-2}^{4} |x| \cdot \displaystyle\frac{1}{6}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{6}\left[\int_{-2}^{0} (-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^4 x\,\mathrm{d}x\right]\)

\(\displaystyle = \displaystyle\frac{1}{6}\left[\displaystyle\frac{4}{2} + \displaystyle\frac{16}{2}\right] = \displaystyle\frac{1}{6} \cdot 10 = \displaystyle\frac{5}{3}\)

Notons que \(\displaystyle E(|X|) = \displaystyle\frac{5}{3} \neq |E(X)| = |1| = 1\) : on retrouve que \(E(|X|) \neq |E(X)|\) en général.

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Exercice 6 — ★★★

Soit \(U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\) et \(\lambda\) > \(0\). On pose \(\displaystyle X = -\displaystyle\frac{\ln(U)}{\lambda}\).

1. Rappeler la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
2. Calculer la FdR de \(X\).
3. En déduire la loi de \(X\).

Voir la correction

1. Pour \(Y \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), \(F_Y(t) = 1 – \mathrm{e}^{-\lambda t}\) pour \(t \geq 0\), et \(F_Y(t) = 0\) pour \(t\) < \(0\).

2. Pour \(t \geq 0\) :

\(\displaystyle F_X(t) = \mathbb{P}(X \leq t) = \mathbb{P}\!\left(-\displaystyle\frac{\ln(U)}{\lambda} \leq t\right) = \mathbb{P}(\ln(U) \geq -\lambda t) = \mathbb{P}(U \geq \mathrm{e}^{-\lambda t})\)

\(\displaystyle = 1 – \mathbb{P}(U \leq \mathrm{e}^{-\lambda t}) = 1 – \mathrm{e}^{-\lambda t}\)

(car \(\mathrm{e}^{-\lambda t} \in [0\,;1]\) et \(U \sim \mathcal{U}([0\,;1])\)). Pour \(t\) < \(0\), \(F_X(t) = 0\) car \(X \geq 0\) p.s.

3. On reconnaît \(F_X = F_Y\), donc \(\displaystyle X = -\displaystyle\frac{\ln(U)}{\lambda} \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\). □

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Exercice 7 — ★★★★

Soient \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes de même loi \(\mathcal{U}([0\,;1])\). On pose \(M_n = \max(X_1, \ldots, X_n)\).

1. Montrer que \(\forall\, t \in [0\,;1],\; F_{M_n}(t) = t^n\).
2. En déduire la densité de \(M_n\).
3. Calculer \(E(M_n)\).
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} E(M_n)\) et interpréter.

Voir la correction

1. Pour \(t \in [0\,;1]\) :

\(\displaystyle F_{M_n}(t) = \mathbb{P}(M_n \leq t) = \mathbb{P}(X_1 \leq t, \ldots, X_n \leq t)\)

Par indépendance :

\(\displaystyle = \prod_{i=1}^{n} \mathbb{P}(X_i \leq t) = \prod_{i=1}^{n} t = t^n \quad \blacksquare\)

2. La densité est la dérivée de la FdR : \(f_{M_n}(t) = n\,t^{n-1}\) pour \(t \in [0\,;1]\).

3.

\(\displaystyle E(M_n) = \int_0^1 t \cdot n\,t^{n-1}\,\mathrm{d}t = n \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t = n \cdot \displaystyle\frac{1}{n+1} = \displaystyle\frac{n}{n+1}\)

4. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} E(M_n) = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{n}{n+1} = 1\).

Interprétation : quand le nombre de tirages \(n\) croît, le maximum se rapproche de \(1\). Plus précisément, \(M_n \overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow} 1\) — le maximum d’un grand nombre de tirages uniformes dans \([0\,;1]\) finit par atteindre le bord supérieur de l’intervalle.

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Exercice 8 — ★★★★

Soit \(X \sim \mathcal{U}([1\,;\mathrm{e}])\).

1. Calculer \(E(\ln X)\).
2. A-t-on \(E(\ln X) = \ln(E(X))\) ? Justifier.

Voir la correction

1. Par le théorème de transfert :

\(\displaystyle E(\ln X) = \int_1^{\mathrm{e}} \ln(x) \cdot \displaystyle\frac{1}{\mathrm{e} – 1}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{e} – 1}\int_1^{\mathrm{e}} \ln(x)\,\mathrm{d}x\)

Intégration par parties avec \(u = \ln x\), \(v^\prime = 1\) :

\(\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}} \ln(x)\,\mathrm{d}x = [x\ln x – x]_1^{\mathrm{e}} = (\mathrm{e} \cdot 1 – \mathrm{e}) – (1 \cdot 0 – 1) = 0 + 1 = 1\)

Donc \(\displaystyle E(\ln X) = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{e} – 1} \approx 0{,}582\).

2. \(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{1 + \mathrm{e}}{2} \approx 1{,}859\), d’où \(\displaystyle \ln(E(X)) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{1 + \mathrm{e}}{2}\right) \approx 0{,}620\).

Donc \(E(\ln X) \neq \ln(E(X))\). Plus précisément, \(E(\ln X)\) < \(\ln(E(X))\).

C’est une conséquence de l’inégalité de Jensen : \(\ln\) étant concave, on a \(E(g(X)) \leq g(E(X))\) pour toute variable aléatoire \(X\) non constante. L’inégalité est stricte car \(X\) n’est pas p.s. constante.

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Exercice 9 — ★★★★★ (Concours)

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi \(\mathcal{U}([0\,;1])\). On pose \(S = X + Y\).

1. Montrer que pour \(s \in [0\,;1]\), la densité de \(S\) vaut \(f_S(s) = s\).
2. Montrer que pour \(s \in \,]1\,;2]\), \(f_S(s) = 2 – s\).
3. Identifier la loi de \(S\).
4. Retrouver \(E(S)\) et \(V(S)\) par un calcul direct, puis par linéarité.

Voir la correction

La densité de \(S = X + Y\) est donnée par le produit de convolution des densités de \(X\) et \(Y\) :

\(\displaystyle f_S(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \cdot f_Y(s – x)\,\mathrm{d}x\)

Puisque \(f_X = f_Y = \mathbf{1}_{[0;1]}\), le produit \(f_X(x) \cdot f_Y(s-x)\) est non nul ssi \(0 \leq x \leq 1\) et \(0 \leq s – x \leq 1\), soit \(\max(0, s-1) \leq x \leq \min(1, s)\).

1. Cas \(s \in [0\,;1]\) : les bornes d’intégration sont \(x \in [0\,;s]\).

\(\displaystyle f_S(s) = \int_0^s 1 \cdot 1\,\mathrm{d}x = s \quad \blacksquare\)

2. Cas \(s \in \,]1\,;2]\) : les bornes sont \(x \in [s-1\,;1]\).

\(\displaystyle f_S(s) = \int_{s-1}^1 \mathrm{d}x = 1 – (s-1) = 2 – s \quad \blacksquare\)

3. La densité \(f_S\) est triangulaire sur \([0\,;2]\), avec un pic en \(s = 1\). C’est la loi triangulaire \(\mathrm{Tri}(0, 1, 2)\).

4. Par calcul direct :

\(\displaystyle E(S) = \int_0^1 s \cdot s\,\mathrm{d}s + \int_1^2 s(2-s)\,\mathrm{d}s = \int_0^1 s^2\,\mathrm{d}s + \int_1^2 (2s – s^2)\,\mathrm{d}s\)

\(\displaystyle = \displaystyle\frac{1}{3} + \left[s^2 – \displaystyle\frac{s^3}{3}\right]_1^2 = \displaystyle\frac{1}{3} + \left(4 – \displaystyle\frac{8}{3}\right) – \left(1 – \displaystyle\frac{1}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{4}{3} – \displaystyle\frac{2}{3} = 1\)

Par linéarité : \(\displaystyle E(S) = E(X) + E(Y) = \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} = 1\). (Vérification cohérente.)

Variance : par indépendance, \(\displaystyle V(S) = V(X) + V(Y) = \displaystyle\frac{1}{12} + \displaystyle\frac{1}{12} = \displaystyle\frac{1}{6}\).

Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les variables aléatoires.

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Pour finir, voici les réponses aux questions les plus courantes sur la loi uniforme.

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises désormais la loi uniforme — définitions, formules, démonstrations exigibles et techniques de calcul. Pour poursuivre :

• Loi exponentielle — la loi continue obtenue par transformation de la loi uniforme via \(-\ln(U)/\lambda\)
• Loi normale — autre loi continue fondamentale, reliée à la loi uniforme par l’algorithme de Box-Muller
• Espérance — cours complet sur le calcul de \(E(X)\) pour toutes les lois classiques
• Variance — formule de König-Huygens, propriétés et démonstrations
• Fonction de répartition et densité — le cadre général des lois continues
• Exercices corrigés — Variables aléatoires — entraînement complémentaire sur l’ensemble du chapitre