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L’épreuve de Maths A Banque PT 2026 est un sujet de 4 heures sans calculatrice, articulé autour d’un fil conducteur original : insérer des variables aléatoires dans des matrices 2×2 de la forme \(M(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Les 4 parties mêlent algèbre linéaire (réduction) et probabilités (lois classiques, approximation numérique) avec une progression de difficulté bien calibrée. Les parties A et B sont indépendantes et posent les fondations exploitées dans les parties C et D, plus exigeantes.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A – Quelques matrices (Q1-8) | Réduction de matrices 2×2 paramétrées | Accessible à Élevé | Polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation, représentation graphique |
| Partie B – Un couple de variables aléatoires (Q1-6) | Loi conjointe et produits matriciels | Accessible | Lois marginales, espérance, covariance, indépendance |
| Partie C – Variables aléatoires dans une matrice (Q1-7) | Lois classiques et approximation de \(I\) | Élevé | Loi binomiale, loi de Poisson, fonctions génératrices, Monte Carlo |
| Partie D – Un deuxième couple (Q1-2) | Rang et indépendance | Élevé | Rang d’une matrice, diagonalisation, caractérisation de l’indépendance |
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Structure et thèmes du sujet
Partie A – Quelques matrices (Q1-8)
Cette partie étudie d’abord trois matrices 2×2 particulières \(M_1, M_2, M_3\), puis la famille générale \(M(a,b)\). Les questions 1 à 4 portent sur la diagonalisation et la trigonalisation de chacune des trois matrices. On constate que \(M_1\) possède deux valeurs propres réelles distinctes (diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)), \(M_2\) a deux valeurs propres complexes conjuguées (diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) uniquement), et \(M_3\) a une valeur propre double sans être diagonalisable (seulement trigonalisable). Ces trois cas illustrent toutes les situations possibles pour une matrice 2×2.
Les questions 5 à 8 généralisent l’étude : condition d’inversibilité, calcul du discriminant \(\Delta(a,b) = (a-1)^2 + 4b\), lien entre le signe de \(\Delta\) et la nature de la réduction, et enfin une représentation graphique dans le plan \((a,b)\) qui sépare les régions selon la nature de \(M(a,b)\).
Partie B – Un couple de variables aléatoires (Q1-6)
On travaille avec un couple \((X,Y)\) dont la loi conjointe est encodée dans une matrice \(C\) de taille 3×3. L’originalité est d’utiliser les produits matriciels \(CU\), \(V^TCU\) et \(V^TCV\) pour retrouver les lois marginales, l’espérance et le moment croisé \(E(XY)\). La partie se conclut par le calcul de la covariance, l’étude de l’indépendance et l’interprétation de la trace de \(C\) comme \(P(X = Y)\).
Partie C – Des variables aléatoires dans une matrice (Q1-7)
C’est le cœur du sujet. On forme la matrice aléatoire \(M(A,B)\) et on exploite les résultats de la partie A pour calculer des probabilités d’inversibilité et de diagonalisabilité. Trois cadres probabilistes sont successivement explorés : d’abord \(A,B\) sont les variables de la partie B, puis \(A\) suit une loi binomiale et \(B\) une loi géométrique, enfin \(A\) et \(B\) suivent chacune une loi de Poisson. Dans ce dernier cas, la probabilité de non-inversibilité s’écrit sous forme d’une série \(I = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(\lambda\mu)^k}{(k!)^2}\, e^{-(\lambda+\mu)}\), qu’il faut ensuite approcher numériquement (majoration du reste, code Python) et par simulation de Monte Carlo (inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
Partie D – Un deuxième couple de variables aléatoires (Q1-2)
On considère la matrice \(Q\) de taille \(n \times n\) d’une loi conjointe quelconque et on établit le lien fondamental : \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si \(\mathrm{rg}(Q) = 1\). La question 1 montre l’implication directe (avec diagonalisation de \(Q\)), la question 2 demande la réciproque.
Notions et chapitres testés
- Réduction des endomorphismes : polynôme caractéristique, valeurs propres (réelles et complexes), diagonalisation dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\), trigonalisation, sous-espaces propres, recherche de base de trigonalisation.
- Calcul matriciel : déterminant, inversibilité, rang, produit matriciel, interprétation des opérations sur les colonnes et lignes.
- Probabilités discrètes : loi conjointe, lois marginales, espérance, variance, covariance, indépendance de deux variables aléatoires.
- Lois classiques : loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\), loi géométrique, loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
- Fonctions génératrices : utilisation pour démontrer que la somme de deux Poisson indépendantes est une Poisson.
- Séries numériques : convergence, majoration du reste, lien avec l’approximation numérique.
- Informatique (Python) : écriture d’une fonction de calcul de somme partielle, utilisation des bibliothèques
math. - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : encadrement de \(I\) par simulation, convergence de l’estimateur.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la moyenne haute des épreuves Banque PT Maths A. La difficulté est bien graduée : les premières questions de chaque partie sont accessibles à tout candidat ayant travaillé le cours, tandis que les fins de parties (notamment C.5 à C.7 et D.2) demandent une réelle capacité de synthèse et de raisonnement autonome.
Par rapport aux années précédentes, on retrouve le mélange algèbre-probabilités cher à cette épreuve, mais avec une mise en scène plus unifiée que d’habitude. La partie A est classique et comparable en difficulté aux sujets 2023-2025. La partie B est un bon exercice de calcul matriciel appliqué aux probabilités, sans piège majeur. La partie C élève nettement le niveau : la manipulation des séries et l’écriture Python sous contrainte (sans calculatrice !) exigent une préparation solide. La partie D, courte mais dense, rappelle les questions d’approfondissement des sujets 2024 et 2025.
Un candidat bien préparé pouvait raisonnablement viser 60 à 70 % du sujet en traitant intégralement les parties A et B, et les premières questions de C et D.
Pièges et points techniques délicats
Partie A
Q1 – Trigonalisabilité : Attention, dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), toute matrice est trigonalisable (conséquence du théorème de d’Alembert-Gauss). La caractérisation par le polynôme caractéristique concerne la trigonalisabilité dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) : il faut que le polynôme caractéristique soit scindé sur \(\mathbb{R}\).
Q4a : Pour \(M_3\), le discriminant vaut \(\Delta = 0\) : valeur propre double \(\lambda = 3\). L’erreur classique est de conclure trop vite à la diagonalisabilité. Il faut vérifier la dimension du sous-espace propre. Ici, \(M_3 \neq 3I_2\) (le coefficient \((2,1)\) vaut 1), donc le sous-espace propre est de dimension 1 : la matrice n’est pas diagonalisable, mais elle est trigonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Q7a : C’est le piège central de la partie A. Quand \(\Delta(a,b) = 0\), le polynôme caractéristique admet une racine double \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{a+1}{2}\). Pour montrer que \(M(a,b)\) n’est pas diagonalisable, tu dois justifier que \(M(a,b) \neq \lambda_0 I_2\). L’argument clé : le coefficient \((2,1)\) de \(M(a,b)\) vaut toujours 1, alors que celui de \(\lambda_0 I_2\) vaut 0.
Q8 : La représentation graphique exige de tracer la parabole \(b = -\displaystyle\frac{(a-1)^2}{4}\) (lieu \(\Delta = 0\)) et la droite \(b = a\) (lieu de non-inversibilité). Ne confonds pas les deux courbes et pense à placer correctement les trois points \(M_1 = (2,6)\), \(M_2 = (3,-2)\) et \(M_3 = (5,-4)\).
Partie B
Q5 : Deux justifications sont demandées pour la non-indépendance. La première est le calcul direct : \(P(X=-1)P(Y=-1) = \displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{1}{9} \neq \displaystyle\frac{1}{12} = P(X=-1, Y=-1)\). La seconde peut être la covariance non nulle (qui implique la dépendance). Attention : une covariance nulle n’impliquerait pas l’indépendance, mais une covariance non nulle suffit à la réfuter.
Partie C
Q3c : Le calcul de \(P(A = B)\) avec \(A \sim \mathcal{B}(n,p)\) et \(B \sim \mathcal{G}(r)\) nécessite une manipulation de somme binomiale. L’astuce est de factoriser \(\displaystyle\frac{r}{1-r}\) pour faire apparaître le binôme de Newton \((p(1-r) + 1-p)^n = (1-pr)^n\). Sans cette factorisation, le calcul s’enlise.
Q4b : La démonstration que \(A + C \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\) (avec \(C = -B\)) passe par les fonctions génératrices. C’est un résultat classique, mais il faut le rédiger proprement en multipliant les fonctions génératrices de \(A\) et \(C\) (indépendantes).
Q6a : La majoration \(|R_n| \leq \displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\, e^{\lambda\mu – (\lambda+\mu)}\) demande d’utiliser l’inégalité \(\displaystyle\frac{1}{k!} \leq \displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\) pour \(k \geq n+1\) sur l’un des deux facteurs \(\displaystyle\frac{1}{k!}\), puis de sommer la série exponentielle restante.
Q7f : Avec \(\varepsilon = 10^{-2}\), l’encadrement de Bienaymé-Tchebychev donne une information exploitable. Avec \(\varepsilon = 10^{-3}\), la borne \(\displaystyle\frac{1}{4N\varepsilon^2}\) dépasse 1 : l’inégalité ne fournit alors aucune information utile. C’est un point critique à relever explicitement.
Partie D
Q1d : Trouver un contre-exemple avec \(n = 4\) d’une matrice de loi conjointe non diagonalisable est subtil. Il faut construire un couple \((X,Y)\) non constant tel que \(P(X = x_i) = 0\) pour au moins un indice, et que la matrice \(Q\) ne soit pas diagonalisable. Cela impose de sortir du cadre rang 1.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie A
Pour les questions 2 à 4, la méthode est standard : calculer le polynôme caractéristique, trouver les valeurs propres, déterminer les sous-espaces propres, puis construire la matrice de passage. Pour \(M_3\) (Q4b), il faut trouver un vecteur propre généralisé \(e_2\) tel que \((M_3 – 3I_2)e_2 = e_1\) où \(e_1\) est un vecteur propre. La base \((e_1, e_2)\) donne la matrice de trigonalisation \(T_3\).
Pour Q5, le déterminant \(\det(M(a,b)) = a – b\) donne immédiatement la condition d’inversibilité \(a \neq b\). Pour Q6, le discriminant \(\Delta(a,b) = (a+1)^2 – 4(a-b)\) se simplifie en \((a-1)^2 + 4b\).
Partie B
Chaque question s’appuie sur un produit matriciel bien choisi. L’idée directrice est que la matrice \(C\) encode toute l’information du couple \((X,Y)\) : le vecteur \(U = (1,1,1)^T\) sert à sommer (lois marginales), le vecteur \(V = (-1, 0, 1)^T\) à pondérer par les valeurs (espérances). Pour Q3, \(V^TCV = E(XY)\), ce qui donne directement la covariance par la formule \(\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)\). Pour Q6, la trace \(\mathrm{tr}(C) = \sum_i P(X = x_i, Y = x_i) = P(X = Y)\).
Partie C
La stratégie globale consiste à relier les événements « \(M(A,B)\) inversible » et « \(M(A,B)\) diagonalisable » aux conditions sur \((A,B)\) établies en partie A. L’inversibilité équivaut à \(A \neq B\), la non-diagonalisabilité dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) à \((A-1)^2 + 4B = 0\). Pour Q2, on utilise l’indépendance pour écrire \(P(A = B) = \sum_{k \in H} P(A=k)P(B=k)\). Pour Q4b, la méthode des fonctions génératrices est la voie naturelle. Pour Q5, le passage à la somme de la série utilise directement Q2 avec deux Poisson indépendantes.
Pour le code Python (Q6b) : la fonction val_app(eps) doit calculer les termes successifs \(\displaystyle\frac{(\lambda\mu)^k}{(k!)^2}\, e^{-(\lambda+\mu)}\) et s’arrêter quand le reste est majoré par eps. Utilise la majoration de Q6a comme critère d’arrêt. La commande print(val_app(1e-5)) répond à Q6c.
Partie D
Pour Q1a, si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(q_{i,j} = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)\), donc \(Q = p \cdot q^T\) est de rang 1. Pour Q1c, l’existence de deux valeurs propres distinctes (0 de multiplicité \(n-1\) et \(\mathrm{tr}(Q)\) strictement positive) assure la diagonalisabilité. La réciproque (Q2) repose sur la décomposition \(Q = u \cdot v^T\) et l’identification avec les marginales via les sommes de lignes et de colonnes.
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme une tendance forte des épreuves Banque PT : l’hybridation algèbre-probabilités. Pour te préparer efficacement, voici les priorités :
- Maîtrise la réduction des matrices 2×2 sur le bout des doigts. Tu dois être capable de traiter tous les cas (deux valeurs propres distinctes réelles, complexes conjuguées, valeur propre double) en moins de 10 minutes chacun. Entraîne-toi à trouver les bases de trigonalisation, pas seulement de diagonalisation.
- Travaille les lois classiques et leurs propriétés. Les questions sur la loi binomiale, la loi géométrique et la loi de Poisson sont récurrentes. Assure-toi de connaître les fonctions génératrices associées et la propriété de stabilité par somme des Poisson indépendantes.
- Entraîne-toi aux questions de représentation graphique. La Q8 demandait de tracer une parabole et une droite, puis de distinguer des régions. Ce type de question rapporte des points si tu es soigneux, mais en fait perdre beaucoup si tu te trompes de courbe.
- Ne néglige pas Python. L’écriture d’une fonction de calcul de somme partielle avec critère d’arrêt est un classique absolu. Entraîne-toi à écrire du code propre sans environnement de test.
- Prépare les résultats d’approximation probabiliste. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la méthode de Monte Carlo reviennent très souvent en fin de sujet. Sache les appliquer et, surtout, interpréter quand la borne obtenue n’est pas informative.
Enfin, en termes de gestion du temps : commence par les parties A et B (environ 1h30), qui offrent un excellent rapport points/temps. Attaque ensuite la partie C en traitant au minimum les questions 1 à 4, et termine par la partie D si le temps le permet. Les questions de fin de partie C (Python, Monte Carlo) sont plus techniques mais restent accessibles avec un entraînement régulier.
