Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur

Le développement en série entière (DSE) est l’outil central du chapitre séries entières en deuxième année de CPGE. Développer une fonction en série entière — ou, inversement, calculer la somme d’une série — fait partie des compétences systématiquement testées aux concours (CCP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS). Tu trouveras ici la méthode complète en 5 étapes, 5 exemples résolus progressifs et 4 exercices corrigés type concours.

📚 Tout le cours « Séries entières »

I. Rappel : définition et cadre théorique du DSE

Avant d’attaquer la méthode, fixons le cadre. Ce rappel est volontairement concis — le cours complet sur les séries entières développe chaque point en détail.

A. Définition formelle

Définition — Développement en série entière (DSE)

On dit qu’une fonction \(f\) admet un développement en série entière (DSE) au voisinage de \(0\) s’il existe une suite \((a_n)_{n \geq 0}\) de réels et un réel \(R\) > \(0\) tels que :

\(\forall x \in ]-R, R[, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\)

Le réel \(R\) est le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n x^n\). La fonction \(f\) est alors de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(]-R, R[\).

Le calcul du rayon de convergence est un sujet à part entière — la page dédiée sur le rayon de convergence d’une série entière détaille les cinq méthodes standards (d’Alembert, Cauchy-Hadamard, comparaison, etc.).

B. DSE et série de Taylor — le théorème d’unicité

Théorème — Unicité du DSE

Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) sur \(]-R, R[\), alors les coefficients sont uniquement déterminés par :

\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad a_n = \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)

Le DSE de \(f\) coïncide donc avec sa série de Taylor en \(0\).

Attention — Toute fonction \(\mathcal{C}^{\infty}\) n’admet pas un DSE.

La fonction \(f(x) = e^{-1/x^2}\) (prolongée par \(f(0)=0\)) est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{(n)}(0) = 0\) pour tout \(n\), donc sa série de Taylor est nulle, mais \(f \neq 0\). Elle n’est pas développable en série entière.

Conséquence pratique : l’unicité du DSE signifie que toute méthode qui produit une écriture \(f(x) = \sum a_n x^n\) donne automatiquement le « bon » DSE. C’est ce qui rend les techniques indirectes (dérivation, intégration, composition) si puissantes.

C. DSE usuels de référence

Voici les DSE que tu dois connaître par cœur. Le formulaire complet des DSE usuels détaille chaque démonstration.

DSE usuels de référence (à connaître par cœur)
Fonction \(f(x)\) DSE Rayon
\(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) \(R = 1\)
\(e^x\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) \(R = +\infty\)
\(\ln(1+x)\) \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n\) \(R = 1\)
\(\sin(x)\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\, x^{2n+1}\) \(R = +\infty\)
\(\cos(x)\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!}\, x^{2n}\) \(R = +\infty\)
\((1+x)^{\alpha}\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} {\alpha \choose n}\, x^n\) \(R = 1\)
\(\arctan(x)\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}\, x^{2n+1}\) \(R = 1\)
\(\mathrm{sh}(x)\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) \(R = +\infty\)
\(\mathrm{ch}(x)\) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) \(R = +\infty\)

Ces neuf DSE constituent le socle de toute la méthode. Chaque DSE « compliqué » se ramène, in fine, à l’un d’entre eux par une opération algébrique ou analytique. Passons justement au choix de la bonne technique.

II. Quand chercher un DSE ? Tableau de décision

La difficulté principale du DSE n’est pas le calcul lui-même — c’est le choix de la technique. Voici le tableau qui résume les six stratégies fondamentales et quand les utiliser.

Quelle technique pour obtenir un DSE ?
Tu veux développer… Technique Principe Rayon résultant
Un DSE usuel (\(e^x\), \(\sin\), \(\cos\), \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\)…) Reconnaissance directe Identifier la fonction et écrire le DSE usuel Celui du DSE usuel
La dérivée d’une fonction dont le DSE est connu Dérivation terme à terme Si \(f(x) = \sum a_n x^n\), alors \(f^\prime(x) = \sum n\, a_n\, x^{n-1}\) Même rayon \(R\)
Une primitive d’une fonction dont le DSE est connu Intégration terme à terme \(\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t = \sum \displaystyle\frac{a_n}{n+1}\, x^{n+1}\) \(\geq R\) (bords à étudier)
\(f(x) = g(u(x))\) avec \(g\) usuel et \(u\) « simple » Composition / substitution Remplacer \(x\) par \(u(x)\) dans le DSE de \(g\) \(R\) tel que \(|u(x)|\) < \(R_g\)
Le produit \(f \cdot g\) de deux fonctions développables Produit de Cauchy \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}\) \(\min(R_f, R_g)\)
La solution d’une EDO linéaire Coefficients indéterminés Poser \(y = \sum a_n x^n\), injecter dans l’EDO, identifier À déterminer
Arbre de décision — Choix de technique pour un DSE

Réflexe concours : face à une question « développer \(f\) en série entière », commence toujours par te demander : de quel DSE usuel cette fonction est-elle « proche » ? L’identification correcte détermine 90 % du travail.

Le tableau ci-dessus te donne la vue d’ensemble. Détaillons maintenant chaque étape de la méthode.

🎁 EN BONUS

La fiche méthode DSE en recto-verso

Les 5 étapes, les 9 DSE usuels et l’arbre de décision sur une seule fiche à glisser dans ton classeur.

📄 Télécharger la fiche PDF

Idéal pour réviser la veille d’un DS ou d’une colle

III. Méthode pas à pas en 5 étapes

A. Étape 1 — Identifier la stratégie

Examine la fonction \(f\) et réponds à la question du tableau de décision :

  • \(f\) est-elle un DSE usuel ? → Reconnaissance directe.
  • \(f\) est-elle la dérivée ou une primitive d’un DSE connu ? → Dérivation ou intégration terme à terme.
  • \(f(x) = g(u(x))\) avec \(g\) usuel ? → Composition.
  • \(f = g \cdot h\) avec \(g\) et \(h\) développables ? → Produit de Cauchy.
  • \(f\) solution d’une EDO ? → Coefficients indéterminés.

En pratique, la plupart des DSE demandés aux concours relèvent de la dérivation, de l’intégration ou de la composition. Le produit de Cauchy et la méthode EDO apparaissent dans les questions plus difficiles.

B. Étape 2 — Se ramener à un DSE usuel

Réécris \(f(x)\) sous une forme qui fait apparaître un DSE usuel. Les manipulations les plus fréquentes :

  • Factoriser un coefficient : \(\displaystyle\frac{1}{2+3x} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 + \displaystyle\frac{3x}{2}}\)
  • Reconnaître une dérivée : \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} = \left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)^\prime\)
  • Reconnaître une primitive : \(\ln(1+x) = \int_0^x \displaystyle\frac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t\)
  • Poser un changement : \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \displaystyle\frac{1}{1-(-x^2)}\)

C. Étape 3 — Appliquer l’opération algébrique

C’est ici que les théorèmes de manipulation des séries entières entrent en jeu.

Théorème — Dérivation et intégration terme à terme

Soit \(\sum a_n x^n\) une série entière de rayon \(R\) > \(0\) et de somme \(f(x)\) sur \(]-R, R[\). Alors :

  • \(f\) est dérivable sur \(]-R, R[\) et \(f^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n\, a_n\, x^{n-1}\), de même rayon \(R\).
  • \(\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{a_n}{n+1}\, x^{n+1}\), de rayon \(\geq R\).

Effectue le calcul terme à terme en utilisant le théorème approprié, puis simplifie l’expression obtenue.

D. Étape 4 — Déterminer le rayon de convergence du résultat

Après toute opération, précise le rayon de convergence :

  • Dérivation / intégration : le rayon est conservé (même \(R\)), mais la convergence aux bords peut changer.
  • Composition \(f(x) = g(u(x))\) : le rayon vérifie \(|u(x)|\) < \(R_g\). Résous cette inégalité pour trouver l’intervalle de validité.
  • Produit de Cauchy : le rayon est \(\min(R_f, R_g)\).
  • EDO : le rayon se détermine a posteriori (souvent en reconnaissant la somme).

Pour les méthodes de calcul détaillées, consulte la page rayon de convergence d’une série entière.

E. Étape 5 — Étude aux bords (si exigée)

Si l’énoncé demande le domaine de convergence complet, étudie la convergence en \(x = R\) et \(x = -R\). Les outils classiques : critère de Leibniz (séries alternées), comparaison à une série de Riemann, critère d’Abel.

À écrire sur la copie — Structure type d’un DSE

  1. « On sait que \(g(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n t^n\) pour tout \(t \in ]-R_g, R_g[\). »
  2. « Par [théorème de dérivation / intégration] des séries entières, on obtient : »
  3. Calcul détaillé.
  4. « \(\forall x \in ]-R, R[, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n\) » (formule encadrée).
  5. « Le rayon de convergence est \(R = \ldots\) car [condition explicite]. »

La méthode est posée. Voyons-la maintenant en action sur cinq exemples de difficulté croissante.

Logo-excellence-maths
Progresser en maths spé avec un prof de Polytechnique
Tu veux maîtriser les séries entières et décrocher ton concours ? Un professeur diplômé de Polytechnique t'accompagne avec exigence et bienveillance. Résultats visibles dès les premières semaines.
Découvrir l'accompagnement

IV. Exemples résolus

🟠 Prépa = exercice classique de cours / TD. 🔴 Concours = exercice de niveau concours (Centrale, Mines-Ponts, X-ENS).

🟠 Exemple 1 — DSE de \(\ln(1+x)\) par intégration

Énoncé : Développer \(f(x) = \ln(1+x)\) en série entière.

Étape 1 : On reconnaît que \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{1+x}\), dont le DSE est connu. Stratégie : intégration.

Étape 2 : On part du DSE usuel :

\(\displaystyle\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n, \quad |t|\) < \(1\)

Étape 3 : Par intégration terme à terme sur \([0, x]\) :

\(\ln(1+x) = \int_0^x \displaystyle\frac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n\)

Étape 4 : Le rayon de convergence est \(R = 1\) (conservé par intégration).

Étape 5 : En \(x = 1\) : la série \(\sum \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) converge par le critère de Leibniz, donc le DSE est valable sur \(]-1, 1]\).

🟠 Exemple 2 — DSE de \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) par composition

Énoncé : Développer \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) en série entière.

Étape 1 : On reconnaît \(f(x) = g(u(x))\) avec \(g(t) = \displaystyle\frac{1}{1-t}\) et \(u(x) = -x^2\). Stratégie : composition.

Étape 2 : On part de \(\displaystyle\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} t^n\) pour \(|t|\) < \(1\).

Étape 3 : On substitue \(t = -x^2\) :

\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\, x^{2n}\)

Étape 4 : La condition \(|-x^2|\) < \(1\) donne \(|x|\) < \(1\), donc \(R = 1\).

🟠 Exemple 3 — DSE de \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\) par dérivation

Énoncé : Développer \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\) en série entière.

Étape 1 : On remarque que \(f(x) = \left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)^\prime\). Stratégie : dérivation.

Étape 2 : On part de \(\displaystyle\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) pour \(|x|\) < \(1\).

Étape 3 : Par dérivation terme à terme :

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} n\, x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\, x^n\)

Étape 4 : Le rayon de convergence est \(R = 1\) (conservé par dérivation).

🔴 Exemple 4 — DSE de \(\ln\!\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right)\) par combinaison

Énoncé : Développer \(f(x) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right)\) en série entière.

Étape 1 : On décompose \(f(x) = \ln(1+x) – \ln(1-x)\). Les DSE de \(\ln(1+x)\) et \(\ln(1-x)\) sont connus. Stratégie : combinaison linéaire.

Étape 2 : On connaît (Exemple 1) :

\(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n\)

Pour \(\ln(1-x)\), on substitue \(-x\) dans \(\ln(1+t)\) :

\(\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\)

Étape 3 :

\(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n + \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1} + 1}{n}\, x^n\)

Or \((-1)^{n-1} + 1 = 0\) si \(n\) est pair, et \((-1)^{n-1} + 1 = 2\) si \(n\) est impair. D’où :

\(\fbox{\phantom{.}} \quad f(x) = 2 \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\)

Étape 4 : \(R = 1\) (rayon commun aux deux DSE de départ).

Remarque : Ce DSE ne contient que des puissances impaires — caractéristique d’une fonction impaire.

🔴 Exemple 5 — DSE obtenu par résolution d’une EDO

Énoncé : Soit \(y\) la solution sur \(\mathbb{R}\) de \(y^\prime – 2xy = 0\), \(y(0) = 1\). Développer \(y\) en série entière et identifier la fonction.

Étape 1 : On cherche \(y\) sous la forme \(y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) sur un intervalle \(]-R, R[\).

Étape 2 : On calcule chaque terme de l’EDO :

\(y^\prime(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\, a_{n+1}\, x^n\)
\(2x\, y(x) = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, x^{n+1} = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n-1}\, x^n\)

Étape 3 : On injecte dans \(y^\prime – 2xy = 0\) et on identifie les coefficients :

  • Terme constant : \(a_1 = 0\)
  • \(\forall n \geq 1\) : \((n+1)\, a_{n+1} = 2\, a_{n-1}\), soit \(a_{n+1} = \displaystyle\frac{2\, a_{n-1}}{n+1}\)

Avec \(a_0 = y(0) = 1\) et \(a_1 = 0\), la récurrence donne \(a_{2k+1} = 0\) et :

\(a_0 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_4 = \displaystyle\frac{1}{2}, \quad a_6 = \displaystyle\frac{1}{6}, \quad \ldots \quad a_{2k} = \displaystyle\frac{1}{k!}\)

Étape 4 :

\(y(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2k}}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(x^2)^k}{k!} = e^{x^2}\)

Le rayon de convergence est \(R = +\infty\).

Vérification : \((e^{x^2})^\prime = 2x\, e^{x^2} = 2x \cdot y(x)\) ✓ et \(y(0) = e^0 = 1\) ✓.

V. Somme d’une série entière

Le problème inverse du DSE est tout aussi classique aux concours : étant donné une série entière \(\sum a_n x^n\), calculer sa somme en tant que fonction. La démarche est symétrique : on utilise les mêmes opérations (dérivation, intégration, multiplication par \(x\)) pour se ramener à une série géométrique.

Stratégie type pour calculer la somme d’une série entière :

  1. Si le coefficient \(a_n\) contient \(n\), \(n^2\), etc. → dériver la série géométrique autant de fois que nécessaire.
  2. Si le coefficient contient \(\displaystyle\frac{1}{n}\), \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), etc. → intégrer une série plus simple.
  3. Utiliser la multiplication par \(x\) comme transition entre dérivation et multiplication par \(n\).

Exemple résolu : Calculer \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2\, x^n\) pour \(|x|\) < \(1\).

Point de départ : la série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{1}{1-x}\).

Étape 1 — Obtenir \(\sum n\, x^n\) : On dérive : \(\sum_{n=1}^{+\infty} n\, x^{n-1} = \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\). En multipliant par \(x\) :

\(\sum_{n=1}^{+\infty} n\, x^n = \displaystyle\frac{x}{(1-x)^2}\)

Étape 2 — Obtenir \(\sum n^2\, x^n\) : On dérive \(\sum n\, x^n = \displaystyle\frac{x}{(1-x)^2}\) :

\(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2\, x^{n-1} = \left(\displaystyle\frac{x}{(1-x)^2}\right)^\prime = \displaystyle\frac{1+x}{(1-x)^3}\)

En multipliant par \(x\) :

\(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2\, x^n = \displaystyle\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\)

Vérification : En \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) : \(S\!\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{1}{8}} = 6\). Et \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 \cdot 2^{-n} = \displaystyle\frac{1}{2} + 1 + \displaystyle\frac{9}{8} + 1 + \ldots \to 6\) ✓.

Ce type de calcul est omniprésent dans les exercices de concours. Tu retrouveras d’autres exemples dans les exercices corrigés sur les séries entières.

VI. Erreurs fréquentes en DS et concours

Voici les cinq erreurs les plus sanctionnées par les correcteurs. Chacune est illustrée par une copie fautive commentée.

Erreur 1 — Confondre DSE et développement limité

❌ Copie fautive : « Le DSE de \(e^x\) est \(1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). »

Diagnostic : Ce n’est pas un DSE — c’est un développement limité (DL) à l’ordre 2. Le DL est un polynôme suivi d’un reste ; le DSE est une série infinie avec un rayon de convergence.

✅ Correction : « Le DSE de \(e^x\) est \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\), de rayon \(R = +\infty\). Le DL à l’ordre 2 en 0 est \(1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). »

Erreur 2 — Omettre la justification des opérations terme à terme

❌ Copie fautive : « On dérive terme à terme : \(\ln(1+x) \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n\). »

Diagnostic : Aucun théorème n’est cité. Le correcteur attend une justification explicite.

✅ Correction : « D’après le théorème de dérivation terme à terme des séries entières, la fonction \(x \mapsto \ln(1+x)\), somme de la série entière \(\sum \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\) de rayon \(1\), est dérivable sur \(]-1, 1[\) et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. »

Erreur 3 — Oublier la constante d’intégration

❌ Copie fautive : « On intègre : \(\int \displaystyle\frac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Donc \(\ln(1+x) = \sum \ldots\) »

Diagnostic : L’intégration terme à terme introduit une constante. Sans évaluation en \(x = 0\), le résultat est incomplet.

✅ Correction : « \(\int_0^x \displaystyle\frac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). En \(x = 0\) : \(0 = 0 + C\), donc \(C = 0\). » Mieux encore : intégrer directement avec des bornes \(0\) et \(x\) évite le problème.

Erreur 4 — Se tromper sur le rayon après composition

❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). »

Diagnostic : Le rayon de la série géométrique est \(1\). La condition \(|-x^2|\) < \(1\) donne \(|x|\) < \(1\), pas tout \(\mathbb{R}\).

✅ Correction : « Pour \(|x|\) < \(1\), on a \(|{-x^2}|\) < \(1\), donc \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}\) avec \(R = 1\). »

Erreur 5 — Produit de Cauchy sans vérification de convergence absolue

❌ Copie fautive : « Par produit de Cauchy, \(f(x) \cdot g(x) = \sum c_n x^n\) avec \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\). » (sans autre justification)

Diagnostic : Le théorème de Mertens (produit de Cauchy) exige que les deux séries convergent absolument. Pour les séries entières, c’est automatique à l’intérieur du disque de convergence — mais il faut le préciser.

✅ Correction : « Pour \(|x|\) < \(\min(R_f, R_g)\), les séries \(\sum a_n x^n\) et \(\sum b_n x^n\) convergent absolument. Par le théorème de Mertens, leur produit de Cauchy converge et \(f(x) \cdot g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n\) avec \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}\). »

VII. Exercices d’application

Quatre exercices progressifs pour vérifier ta maîtrise de la méthode. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.

★★ Exercice 1 — DSE de \(\displaystyle\frac{1}{2+3x}\)

Énoncé : Développer \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{2+3x}\) en série entière et déterminer le rayon de convergence.

Voir la correction

On factorise pour faire apparaître la série géométrique :

\(f(x) = \displaystyle\frac{1}{2+3x} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 + \displaystyle\frac{3x}{2}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 – \left(-\displaystyle\frac{3x}{2}\right)}\)

On applique le DSE de \(\displaystyle\frac{1}{1-u}\) avec \(u = -\displaystyle\frac{3x}{2}\) :

\(f(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\displaystyle\frac{3x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n\, 3^n}{2^{n+1}}\, x^n\)

Rayon de convergence : La condition \(\left|\displaystyle\frac{3x}{2}\right|\) < \(1\) donne \(|x|\) < \(\displaystyle\frac{2}{3}\), donc \(R = \displaystyle\frac{2}{3}\).

Vérification : \(f(0) = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(a_0 = \displaystyle\frac{1}{2}\) ✓.

★★★ Exercice 2 — DSE de \(x^2 e^{-x}\)

Énoncé : Développer \(f(x) = x^2 e^{-x}\) en série entière et préciser le rayon de convergence.

Voir la correction

On part du DSE usuel de \(e^{-x}\) :

\(e^{-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\, x^n, \quad R = +\infty\)

On multiplie par \(x^2\) :

\(x^2 e^{-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\, x^{n+2}\)

On re-indexe en posant \(m = n + 2\) (soit \(n = m – 2\)) :

\(f(x) = \sum_{m=2}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{m-2}}{(m-2)!}\, x^m = \sum_{m=2}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^m}{(m-2)!}\, x^m\)

(car \((-1)^{m-2} = (-1)^m\)).

Rayon de convergence : \(R = +\infty\) (multiplication par un polynôme ne change pas le rayon).

Remarque : Les termes \(a_0 = a_1 = 0\), ce qui est cohérent avec \(f(0) = 0\) et \(f^\prime(0) = 0\).

★★★ Exercice 3 — Somme de \(\sum (n^2+1)\, x^n\)

Énoncé : Calculer la somme \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n^2 + 1)\, x^n\) pour \(|x|\) < \(1\).

Voir la correction

On décompose : \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n^2\, x^n + \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\).

On connaît :

  • \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{1}{1-x}\)
  • \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2\, x^n = \displaystyle\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\) (cf. section V)

(Le terme \(n = 0\) de \(\sum n^2 x^n\) est nul, donc \(\sum_{n=0}^{+\infty} n^2 x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^n\).)

D’où :

\(S(x) = \displaystyle\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} + \displaystyle\frac{1}{1-x} = \displaystyle\frac{x(1+x) + (1-x)^2}{(1-x)^3}\)

Développons le numérateur :

\(x + x^2 + 1 – 2x + x^2 = 2x^2 – x + 1\)

Résultat :

\(S(x) = \displaystyle\frac{2x^2 – x + 1}{(1-x)^3}, \quad |x|\) < \(1\)

Vérification : \(S(0) = \displaystyle\frac{1}{1} = 1\), et le terme \(n = 0\) de la série donne \((0+1) \cdot 1 = 1\) ✓.

★★★★ Exercice 4 — Résolution d’EDO par DSE

Énoncé : Soit \(y\) la solution sur \(\mathbb{R}\) de \(y^{\prime\prime} + y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y^\prime(0) = 1\). Développer \(y\) en série entière et identifier la fonction.

Voir la correction

On pose \(y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\, x^n\) et on calcule :

\(y^{\prime\prime}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1)\, a_{n+2}\, x^n\)

L’EDO \(y^{\prime\prime} + y = 0\) donne, par identification des coefficients :

\(\forall n \geq 0, \quad (n+2)(n+1)\, a_{n+2} + a_n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{n+2} = -\displaystyle\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}\)

Conditions initiales : \(a_0 = y(0) = 0\) et \(a_1 = y^\prime(0) = 1\).

Comme \(a_0 = 0\), la récurrence donne \(a_{2k} = 0\) pour tout \(k \geq 0\).

Pour les coefficients impairs :

  • \(a_1 = 1\)
  • \(a_3 = -\displaystyle\frac{a_1}{3 \cdot 2} = -\displaystyle\frac{1}{6}\)
  • \(a_5 = -\displaystyle\frac{a_3}{5 \cdot 4} = \displaystyle\frac{1}{120}\)
  • \(a_7 = -\displaystyle\frac{a_5}{7 \cdot 6} = -\displaystyle\frac{1}{5040}\)

On reconnaît \(a_{2k+1} = \displaystyle\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\). Démonstration par récurrence immédiate.

Donc :

\(y(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\, x^{2k+1} = \sin(x)\)

Rayon : \(R = +\infty\).

Vérification : \(\sin^{\prime\prime}(x) + \sin(x) = -\sin(x) + \sin(x) = 0\) ✓, \(\sin(0) = 0\) ✓, \(\cos(0) = 1\) ✓.

VIII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend

Un DSE techniquement correct mais mal rédigé perd des points. Voici les exigences rédactionnelles des rapports de jury (X, Centrale, Mines-Ponts).

A. Plan type de rédaction

Toute question « développer \(f\) en série entière » doit suivre cette structure :

  1. Rappeler le DSE de départ et son domaine de validité : « On sait que \(g(t) = \sum b_n t^n\) pour tout \(t \in ]-R_g, R_g[\). »
  2. Nommer le théorème utilisé : « D’après le théorème de [dérivation / intégration] terme à terme des séries entières, … »
  3. Effectuer le calcul en détaillant le changement d’indice si nécessaire.
  4. Conclure avec un quantificateur complet et la formule encadrée : « \(\forall x \in ]-R, R[, \; f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n\). »
  5. Déterminer explicitement \(R\) et justifier.

B. Erreurs rédhibitoires

Ce qui coûte des points à coup sûr :

  • Dériver ou intégrer terme à terme sans citer le théorème.
  • Écrire « pour tout \(x\) » au lieu de « pour tout \(x \in ]-R, R[\) ».
  • Omettre le rayon de convergence dans la conclusion.
  • Utiliser un DSE usuel sans le rappeler (le correcteur ne le « devinera » pas).
  • Confondre DSE (série infinie, rayon) et DL (polynôme + reste, pas de rayon).

C. Formulations attendues

Phrases modèles à mémoriser :

  • « La série entière \(\sum a_n x^n\) a pour rayon de convergence \(R = \ldots\). Sa somme sur \(]-R, R[\) est… »
  • « D’après le théorème de dérivation terme à terme, \(f\) est dérivable sur \(]-R, R[\) et \(f^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n\, a_n\, x^{n-1}\), de même rayon \(R\). »
  • « Par unicité du DSE, on en déduit que \(a_n = \ldots\) »
  • « Les séries convergent absolument pour \(|x|\) < \(\min(R_1, R_2)\), donc le produit de Cauchy s’applique (théorème de Mertens). »

IX. Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un DSE et un développement limité (DL) ?

Le DSE est une série entière infinie \(\sum a_n x^n\) qui converge vers \(f(x)\) sur tout l’intervalle \(]-R, R[\). Le DL à l’ordre \(p\) est un polynôme de degré \(p\) suivi d’un reste \(o(x^p)\), valable uniquement au voisinage de \(0\). Un DSE fournit tous les DL de \(f\) (par troncature), mais la réciproque est fausse : une fonction peut avoir un DL à tout ordre sans admettre de DSE (cf. \(e^{-1/x^2}\)).

Toute fonction de classe C-infini admet-elle un DSE ?

Non. L’exemple classique est \(f(x) = e^{-1/x^2}\) (prolongée par \(f(0) = 0\)). Elle est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), toutes ses dérivées en \(0\) sont nulles, donc sa série de Taylor est la série nulle — qui converge vers \(0\), pas vers \(f\). Pour qu’une fonction \(\mathcal{C}^{\infty}\) admette un DSE, il faut que sa série de Taylor converge et que sa somme coïncide avec \(f\). On dit alors que \(f\) est analytique.

Série de Taylor et DSE : est-ce la même chose ?

Pas exactement. La série de Taylor de \(f\) en \(0\) est toujours définie (dès que \(f\) est \(\mathcal{C}^{\infty}\)) : c’est \(\sum \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\). Mais cette série peut diverger, ou converger vers une fonction différente de \(f\). On parle de DSE uniquement lorsque la série de Taylor converge vers \(f\) sur un intervalle \(]-R, R[\). En résumé : tout DSE est une série de Taylor, mais toute série de Taylor n’est pas un DSE.

Comment déterminer le rayon de convergence d'un DSE ?

Cinq méthodes principales : la règle de d’Alembert (quotient \(|a_{n+1}/a_n|\)), la formule de Cauchy-Hadamard (\(1/R = \limsup |a_n|^{1/n}\)), la comparaison à une série connue, l’étude de la singularité la plus proche de \(f\) dans le plan complexe, ou le résultat direct par théorème de conservation du rayon (dérivation/intégration terme à terme). La page dédiée sur le rayon de convergence détaille chaque méthode.

Comment trouver la somme d'une série entière ?

Le problème inverse du DSE : on part de \(\sum a_n x^n\) et on cherche \(f(x)\). La stratégie consiste à se ramener à la série géométrique par des opérations inverses : si \(a_n\) contient un facteur \(n\), on dérive la série géométrique ; s’il contient \(1/n\), on intègre. La multiplication par \(x\) sert de « transition » entre \(\sum n\, x^{n-1}\) et \(\sum n\, x^n\). Voir l’exemple résolu dans la section V de cette page.

X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises la méthode du DSE. Pour approfondir ou t’entraîner davantage :

Logo-excellence-maths
Envie de cartonner aux concours ?
Travaille avec un professeur diplômé de Polytechnique qui connaît les attentes des jurys. Cours sur-mesure, suivi régulier, premiers progrès en quelques semaines. Premier cours satisfait ou remboursé.
Réserver mon premier cours
—