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Le sujet de Mathématiques T de la BCE 2026 (conception BSB), destiné aux candidats de la filière ECT, a été proposé le vendredi 24 avril 2026 de 14h à 18h, soit 4 heures d’épreuve. Aucune calculatrice ni document n’était autorisé. L’épreuve se compose de trois exercices indépendants couvrant l’analyse de fonctions, l’algèbre linéaire (suites et matrices) et les probabilités discrètes avec une touche d’informatique (Python, SQL). Le niveau global est équilibré : chaque exercice démarre par des questions accessibles avant de monter progressivement en difficulté, ce qui permet à tout candidat sérieux de grappiller des points sur l’ensemble du sujet.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Partie I (Q1-6) | Étude des fonctions \(f_1\) et \(f_2\) | Accessible | Dérivation, tableau de variations, croissances comparées |
| Exercice 1 – Partie II (Q7-9) | Python et représentations graphiques | Accessible | Factorielle, lecture graphique, script matplotlib |
| Exercice 1 – Partie III (Q10-11) | Intégrales généralisées | Élevé | IPP, convergence d’intégrales impropres, primitive |
| Exercice 1 – Partie IV (Q12-13) | Variable à densité | Élevé | Densité de probabilité, fonction de répartition, espérance |
| Exercice 2 – Parties I-II (Q1-7) | Suites récurrentes couplées et suites auxiliaires | Accessible | Récurrence, suites géométriques, système linéaire |
| Exercice 2 – Partie III (Q8-12) | Récurrence linéaire d’ordre 2 | Élevé | Polynôme caractéristique, terme général |
| Exercice 2 – Partie IV (Q13-17) | Diagonalisation et puissances de matrices | Élevé | Valeurs propres, vecteurs propres, \(M^n = PD^nP^{-1}\) |
| Exercice 3 – Partie I (Q1-6) | Loi conjointe d’un couple de v.a. | Accessible | Loi marginale, espérance, variance, covariance |
| Exercice 3 – Partie II (Q7-9) | Temps d’attente et lois classiques | Élevé | Loi géométrique, loi binomiale, indépendance |
| Exercice 3 – Partie III (Q10-12) | Base de données SQL | Accessible | Clé primaire, CREATE TABLE, SELECT |
Le sujet intégral en PDF
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 — Famille de fonctions et intégrales
L’exercice s’articule autour de la famille \(f_n(x) = \displaystyle\frac{x^n}{n!}\,e^{1-x}\). La Partie I te demande d’étudier en détail \(f_1(x) = x\,e^{1-x}\) (dérivée, variations, point d’inflexion, limites) puis \(f_2(x) = \displaystyle\frac{x^2}{2}\,e^{1-x}\) selon le même schéma. Ces questions forment le socle classique d’une étude de fonction avec la fonction exponentielle.
La Partie II est consacrée à l’informatique : compléter une fonction Python calculant la factorielle, écrire une fonction \(f(n,x)\), puis identifier les représentations graphiques de \(f_1\) et \(f_2\) parmi trois graphiques proposés.
La Partie III introduit les intégrales généralisées \(I_n = \displaystyle\int_0^{+\infty} f_n(t)\,dt\). Tu dois d’abord calculer \(I_0(A)\) explicitement, montrer que \(I_0 = e\), puis traiter \(I_1\) par intégration par parties pour retrouver \(I_1 = e\). Le résultat \(I_2 = e\) est admis.
Enfin, la Partie IV définit une densité de probabilité \(g(t) = \displaystyle\frac{1}{e}\,f_1(t)\) pour \(t \geq 0\), et tu dois vérifier qu’il s’agit bien d’une densité, calculer la fonction de répartition associée, puis déterminer l’espérance de la variable aléatoire correspondante en exploitant \(I_2\).
Exercice 2 — Suites récurrentes couplées et matrices
Cet exercice étudie les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 2\) et le système \(u_{n+1} = 5u_n + 2v_n\), \(v_{n+1} = 3u_n + 6v_n\). L’originalité réside dans l’utilisation de trois méthodes différentes pour trouver le terme général :
- Partie II : suites auxiliaires \(x_n = u_n + v_n\) et \(y_n = 3u_n – 2v_n\), qui sont des suites géométriques de raisons 8 et 3 respectivement.
- Partie III : élimination de \(v_n\) pour obtenir une récurrence linéaire d’ordre 2 : \(u_{n+2} = 11u_{n+1} – 24u_n\), dont le polynôme caractéristique donne les racines 3 et 8.
- Partie IV : diagonalisation de la matrice \(M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\) pour exprimer \(M^n\) et en déduire \(X_n = M^n X_0\).
Les trois méthodes conduisent au même résultat : \(u_n = -\displaystyle\frac{1}{5}\cdot 3^n + \displaystyle\frac{6}{5}\cdot 8^n\) et \(v_n = \displaystyle\frac{1}{5}\cdot 3^n + \displaystyle\frac{9}{5}\cdot 8^n\).
Exercice 3 — Probabilités et base de données
L’exercice modélise une urne contenant des jetons à deux faces (numéro bleu et numéro rouge). Pour \(n = 4\), l’urne contient 10 jetons. La Partie I porte sur la loi conjointe du couple \((B, R)\), les lois marginales, l’espérance, la variance et la covariance. La Partie II étudie les temps d’attente \(T_1\) et \(T_2\) pour obtenir le jeton numéroté 1 en bleu, faisant intervenir la loi géométrique et la loi binomiale. La Partie III propose des requêtes SQL sur une base de données stockant les résultats de parties.
Notions et chapitres testés
Voici les chapitres du programme ECT sollicités dans ce sujet :
- Analyse : dérivation (produit, composée), calcul de dérivées, étude de fonctions (variations, extrema, point d’inflexion), limites et croissances comparées, intégration par parties, intégrales généralisées (convergence, calcul).
- Probabilités continues : densité de probabilité, fonction de répartition, espérance d’une variable à densité.
- Suites : suites récurrentes couplées, suites géométriques, récurrence linéaire d’ordre 2, polynôme caractéristique.
- Algèbre linéaire : calcul matriciel, polynôme annulateur, valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, puissances de matrices.
- Probabilités discrètes : loi conjointe d’un couple de variables aléatoires, lois marginales, espérance, variance, covariance, indépendance, loi géométrique, loi binomiale.
- Informatique : Python (boucles, fonctions), lecture graphique, SQL (CREATE TABLE, SELECT, clé primaire).
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet BSB 2026 s’inscrit dans la continuité des sessions récentes de l’épreuve Maths T ECT : un sujet équilibré et progressif, sans piège majeur en début d’exercice, mais avec des parties finales exigeantes.
Par rapport aux années 2023-2025, on note :
- Un exercice d’analyse classique sur une famille de fonctions exponentielles, comparable en difficulté aux sujets habituels. La présence d’intégrales généralisées et de densités de probabilité relève légèrement le niveau.
- Un exercice de suites-matrices très complet, qui teste le même résultat par trois approches : c’est un format déjà vu mais qui reste exigeant en temps. La partie diagonalisation est dans la droite ligne des sujets 2024 et 2025.
- Un exercice de probabilités original dans sa modélisation (urne à jetons bifaces), avec une difficulté croissante bien dosée. La partie sur \(T_2\) (seconde occurrence) est la plus discriminante.
Verdict global : difficulté comparable à 2025, légèrement supérieure à 2024. Un candidat bien préparé peut viser un score élevé en traitant soigneusement les parties accessibles de chaque exercice.
Pièges et points techniques délicats
Q1 (c) — Dérivée seconde et point d’inflexion : Le calcul de \(f_1^{\prime\prime}(x) = (x-2)\,e^{1-x}\) nécessite de dériver correctement le produit \((1-x)\,e^{1-x}\). Attention au signe : la dérivée de \(e^{1-x}\) est \(-e^{1-x}\). Le point d’inflexion est en \(x = 2\) (changement de signe de \(f_1^{\prime\prime}\)), avec \(f_1(2) = 2e^{-1}\). N’oublie pas de donner les deux coordonnées.
Q2 (b-c) — Écriture de \(f_1\) pour les limites : L’astuce consiste à écrire \(f_1(x) = e \cdot \displaystyle\frac{x}{e^x}\). C’est cette forme qui permet d’appliquer directement le théorème de croissances comparées en \(+\infty\). Si tu oublies de factoriser le \(e\), tu risques de t’enliser dans un calcul inutile.
Q10-11 — Intégrales généralisées : Pour \(I_0(A)\), n’oublie pas que la primitive de \(e^{1-t}\) est \(-e^{1-t}\) (et non \(e^{1-t}\)). Pour l’IPP de \(I_1(A)\), pose bien \(u = t\) et \(v^\prime = e^{1-t}\) pour retomber sur \(I_0(A)\). L’expression finale \(I_1(A) = -Ae^{1-A} – e^{1-A} + e\) doit être parfaitement simplifiée avant de passer à la limite.
Exercice 2, Q9 — Obtention de la récurrence d’ordre 2 : La relation \((\ast)\) donne \(v_n = \displaystyle\frac{1}{2}(u_{n+1} – 5u_n)\). Il faut ensuite écrire \(v_{n+1}\) de deux façons : via \((\ast)\) décalée, et via la relation de récurrence \(v_{n+1} = 3u_n + 6v_n\). L’identification conduit à \(u_{n+2} = 11u_{n+1} – 24u_n\). Gare aux erreurs de signe dans les substitutions.
Exercice 3, Q2 (c) — Tableau de loi conjointe : Le piège classique est d’oublier que certaines cases sont impossibles : un jeton \((i, j)\) n’existe que si \(j \leq i\) (le numéro rouge ne dépasse pas le numéro bleu). Toutes les cases où \(j > i\) valent donc 0, et les cases où \(j \leq i\) valent chacune \(\displaystyle\frac{1}{10}\).
Exercice 3, Q9 — Loi de \(T_2\) : L’événement \((T_2 = k)\) se décompose en \((X_{k-1} = 1) \cap S_k\) pour \(k \geq 2\). Comme les tirages sont indépendants (avec remise), \(X_{k-1}\) et \(S_k\) sont indépendants. La loi obtenue est une loi binomiale négative, ce qui peut dérouter si tu ne l’as jamais rencontrée.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1-3 : Dériver \(f_1(x) = x\,e^{1-x}\) par la règle du produit. Le signe de \(f_1^\prime(x) = (1-x)\,e^{1-x}\) dépend uniquement du facteur \((1-x)\). Pour la dérivée seconde, re-dériver le produit. La table de variations est standard : limite en \(-\infty\), maximum en \(x = 1\), limite en \(+\infty\).
- Q4-6 : Même méthode pour \(f_2\). La dérivée donne \(f_2^\prime(x) = \displaystyle\frac{x(2-x)}{2}\,e^{1-x}\), donc \(f_2\) est positive croissante sur \(]0 ; 2[\) et décroissante sur \(]2 ; +\infty[\).
- Q7-9 : Pour la factorielle : initialiser \(f = 1\) puis multiplier par \(k\) dans la boucle. Pour les graphiques : \(f_1\) a un maximum en \(x = 1\) de valeur 1 (graphique 1), \(f_2\) a un maximum en \(x = 2\) plus bas (graphique 2). Le graphique 3 (valeurs négatives) ne correspond à aucune des deux.
- Q10-11 : Calcul direct de la primitive de \(e^{1-t}\), puis IPP classique. Passer à la limite en utilisant \(Ae^{-A} \to 0\).
- Q12-13 : Vérifier positivité et intégrale totale égale à 1 en utilisant \(I_1 = e\). La fonction de répartition se déduit de \(I_1(x)\), et l’espérance exploite \(I_2 = e\).
Exercice 2
- Q1-2 : Récurrence immédiate : si \(u_n, v_n > 0\), alors \(u_{n+1} = 5u_n + 2v_n > 0\). La croissance stricte se déduit de \(u_{n+1} – u_n = 4u_n + 2v_n > 0\).
- Q3-7 : Calculer \(x_0 = 3\), \(y_0 = -1\). Vérifier que \(x_{n+1} = 8x_n\) et \(y_{n+1} = 3y_n\). Résoudre le système \(2 \times 2\) pour retrouver \(u_n\) et \(v_n\).
- Q8-12 : Calculer \(u_1 = 9\), \(v_1 = 15\). Éliminer \(v_n\) via \((\ast)\). Résoudre l’équation caractéristique \(X^2 – 11X + 24 = 0\) de discriminant \(\Delta = 25\), racines 3 et 8.
- Q13-17 : Vérifier \(X_{n+1} = MX_n\) puis \(X_n = M^nX_0\) par récurrence. Calculer \(M^2\), vérifier \(M^2 – 11M + 24I_2 = 0\). Diagonaliser : valeurs propres 3 et 8, matrices \(P\) et \(D\) données, calculer \(P^{-1}\) (déterminant 5), puis \(M^n = PD^nP^{-1}\).
Exercice 3
- Q1-2 : Dénombrer les 10 jetons en listant les paires \((k, j)\) avec \(1 \leq j \leq k \leq 4\). Le tableau de loi conjointe a des \(\displaystyle\frac{1}{10}\) sous la diagonale et des 0 au-dessus.
- Q3-5 : Sommer les lignes/colonnes pour les marginales. Calculer \(\mathrm{E}(B) = 3\), \(\mathrm{V}(B)\), puis \(\mathrm{E}(BR)\) à partir du tableau joint. La covariance \(\mathrm{Cov}(B,R) = \mathrm{E}(BR) – \mathrm{E}(B)\,\mathrm{E}(R)\) est non nulle, donc \(B\) et \(R\) ne sont pas indépendantes.
- Q7-9 : L’événement \(S_k\) correspond au tirage du seul jeton ayant le numéro bleu 1, donc \(\mathrm{P}(S_k) = \displaystyle\frac{1}{10}\). \(T_1\) suit une loi géométrique de paramètre \(\displaystyle\frac{1}{10}\). Pour \(T_2\), décomposer l’événement et utiliser l’indépendance des tirages successifs.
- Q10-12 : La clé primaire est
IdPartie(identifiant unique). Écrire leCREATE TABLEavec les bons types, puis unSELECTfiltrant sur \(B = 1\).
Conseils pour les futurs candidats
Priorité n°1 — Maîtriser les études de fonctions exponentielles. Chaque année ou presque, l’exercice d’analyse porte sur des fonctions du type \(P(x)\,e^{\alpha x}\). Entraîne-toi systématiquement à dériver ces produits, calculer les limites par croissances comparées et dresser les tableaux de variations rapidement. Les erreurs de signe sur la dérivée de \(e^{1-x}\) coûtent cher.
Priorité n°2 — Consolider le triptyque suites-matrices-diagonalisation. L’exercice 2 illustre parfaitement le lien entre suites récurrentes couplées, récurrence d’ordre 2 et calcul matriciel. Assure-toi de savoir passer d’une formulation à l’autre. En particulier, la technique de puissance de matrice via la diagonalisation doit être un automatisme.
Priorité n°3 — S’entraîner aux lois conjointes et à la covariance. Les exercices de probabilités discrètes sur les couples de variables aléatoires reviennent fréquemment en ECT. Savoir construire un tableau de loi conjointe, en extraire les marginales, calculer espérance, variance et covariance sans hésitation est indispensable. N’oublie pas le critère d’indépendance : \(\mathrm{Cov}(B,R) = 0\) est nécessaire (et suffisant dans le cas discret fini pour vérifier \(\mathrm{P}(B = i, R = j) = \mathrm{P}(B = i)\,\mathrm{P}(R = j)\)).
Priorité n°4 — Ne pas négliger l’informatique. Les questions Python et SQL sont souvent des points « gratuits » pour qui a un minimum pratiqué. Révise la syntaxe des boucles for, des fonctions def, et les commandes SQL de base (CREATE TABLE, SELECT ... FROM ... WHERE). Sur ce sujet, ces questions représentent un volume non négligeable de points accessibles.
Enfin, en termes de gestion du temps sur 4 heures : commence par les parties accessibles de chaque exercice (Partie I de l’exercice 1, Parties I-II de l’exercice 2, Partie I de l’exercice 3). Cela te permet de sécuriser un socle de points solide avant de t’attaquer aux parties plus techniques (intégrales généralisées, diagonalisation, loi de \(T_2\)). La clé du succès à la BCE Maths T réside moins dans la résolution de questions très difficiles que dans l’exécution propre et complète des questions classiques.
