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L’épreuve BCE Maths Appliquées emlyon ECG 2026, d’une durée de quatre heures et sans calculatrice, proposait trois exercices couvrant un large spectre du programme : fonctions de deux variables avec lignes de niveau, algèbre linéaire dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) articulée autour des polynômes de Tchebychev, et probabilités sur un modèle original de lancers de pièce. Le sujet est globalement équilibré, avec des entrées accessibles dans chaque exercice et une montée en difficulté progressive vers des questions exigeantes en fin de partie.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Partie A (Q1-2) | Fonction de deux variables | Accessible | Gradient, matrice hessienne, lignes de niveau |
| Exercice 1 – Partie B (Q3-7) | Ligne de niveau zéro | Élevé | Prolongement continu, dérivabilité, tableau de variation |
| Exercice 1 – Partie C (Q8-11) | Aire et intégrales | Très élevé | Intégrale à paramètre, équivalent, développement limité |
| Exercice 2 – Parties A-B (Q1-5) | Endomorphisme et inversion | Élevé | Trace, déterminant, formule d’inversion matricielle |
| Exercice 2 – Partie C (Q6-8) | Polynômes de Tchebychev | Élevé | Récurrence, puissances de matrices, Python |
| Exercice 3 – Parties A-B (Q1-10) | Rang moyen du double pile | Élevé | Loi géométrique, espérance, simulation Python |
| Exercice 3 – Partie C (Q11-14) | Nombre de doubles piles | Élevé | Covariance, Bienaymé-Tchebychev, convergence |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 – Étude d’une fonction de deux variables
Cet exercice étudie \(f(x,y) = x + \ln(1 + xy)\) sur le domaine \(\mathcal{D} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1 + xy > 0\}\). La Partie A est un classique d’optimisation à deux variables : calcul du gradient, recherche du point critique unique \((x_0, y_0)\), matrice hessienne et détermination de sa nature. Une question Python demande de compléter un programme traçant les lignes de niveau \(f(x,y) = k\), ce qui exploite la relation \(y = \displaystyle\frac{e^{k-x} – 1}{x}\) démontrée en Q2a.
La Partie B se concentre sur la fonction \(g(x) = \displaystyle\frac{e^{-x} – 1}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\), qui paramètre la ligne de niveau zéro. On étudie signe, prolongement continu en 0, dérivabilité, et on dresse le tableau de variation complet. La Partie C introduit la primitive \(G(x) = \int_0^x g(t)\,\mathrm{d}t\) et pousse l’analyse vers des intégrales généralisées et des équivalents asymptotiques, en lien avec l’aire délimitée par la ligne de niveau zéro.
Exercice 2 – Endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et polynômes de Tchebychev
La Partie A introduit l’endomorphisme \(\varphi(M) = \mathrm{tr}(M)I – M\) sur l’espace des matrices \(2 \times 2\). On vérifie ses propriétés, on calcule sa matrice dans la base canonique, puis on détermine le spectre et les sous-espaces propres via la diagonalisation. La Partie B établit l’identité fondamentale \(M\varphi(M) = \det(M)I\), qui permet de retrouver la formule d’inversion d’une matrice \(2 \times 2\) et d’en déduire une formule élégante pour \((M + N)^{-1}\).
La Partie C définit les polynômes de Tchebychev par la récurrence \(P_{n+1}(x) = xP_n(x) – P_{n-1}(x)\) et les relie aux puissances d’une matrice \(M\) de déterminant 1 : on démontre par récurrence que \(M^n = -a_{n-1}I + a_n M\) avec \(a_n = P_n(\mathrm{tr}(M))\), ce qui permet d’exprimer \(\mathrm{tr}(M^n)\) comme un polynôme en \(\mathrm{tr}(M)\). Deux fonctions Python complètent l’exercice.
Exercice 3 – Lancers de pièce et doubles piles
La Partie A modélise une expérience aléatoire originale : on lance une pièce jusqu’à obtenir pile, puis on relance une seule fois. On étudie la loi de \(N\) (nombre total de lancers), on reconnaît une loi géométrique décalée, et on s’intéresse à l’expérience répétée jusqu’à un « double pile ». Les questions 3 à 7 explorent la loi de \(R\) (nombre de répétitions), les probabilités conditionnelles des \(N_i\), et l’espérance du nombre total de lancers \(T\). La Partie B propose la simulation Python de ces expériences. La Partie C, indépendante, étudie le nombre de doubles piles \(S_n\) dans une suite infinie de lancers, culminant avec une convergence en probabilité via l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Notions et chapitres testés
- Fonctions de plusieurs variables : gradient, points critiques, matrice hessienne, nature d’un extremum (Chapitre « Calcul différentiel »).
- Étude de fonctions d’une variable : prolongement par continuité, dérivabilité en un point, variations, limites, tableau de variation.
- Intégration : primitives, calcul d’intégrales, équivalents de fonctions, développement limité appliqué à une intégrale.
- Algèbre linéaire : espaces de matrices, endomorphismes, matrice d’un endomorphisme, valeurs propres, sous-espaces propres, inversibilité.
- Suites et récurrences : polynômes de Tchebychev, démonstrations par récurrence, puissances de matrices.
- Probabilités : loi géométrique, variance, covariance, loi conditionnelle, séries à termes positifs.
- Convergence stochastique : inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité (loi faible des grands nombres).
- Python : listes en compréhension, boucles
for/while, simulation d’expériences aléatoires, fréquences empiriques.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Le sujet 2026 est de difficulté modérée à élevée, bien calibré pour l’épreuve emlyon Maths Appliquées ECG. La progression est classique : des questions d’entrée accessibles permettant d’engranger des points, puis une montée en exigence technique dans les dernières questions de chaque exercice.
Par rapport aux années précédentes (2023-2025), le sujet se distingue par :
- Un Exercice 2 plus algébrique qu’à l’accoutumée, avec les polynômes de Tchebychev et la formule \(M^n = -a_{n-1}I + a_n M\) qui requiert une bonne aisance avec les récurrences matricielles.
- Un Exercice 1 Partie C exigeant, avec un travail d’équivalents et de développements limités appliqués aux intégrales qui dépasse le niveau standard.
- Un Exercice 3 très complet qui couvre la quasi-totalité du programme de probabilités, de la loi géométrique à la convergence en probabilité.
Dans l’ensemble, un candidat bien préparé pouvait raisonnablement traiter 60 à 70 % du sujet. Les questions 10-11 de l’Exercice 1 et les questions 6-7 de l’Exercice 3 constituaient les passages les plus sélectifs.
Pièges et points techniques délicats
Q1c – Nature du point critique. Après avoir trouvé le point critique \((0, -1)\), il faut calculer correctement toutes les dérivées partielles secondes de \(f\) en ce point. Une erreur de signe dans la hessienne fausse toute la conclusion. Vérifie bien que \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,-1)\) fait intervenir \(y^2\) et non \(y\).
Q5 – Dérivabilité de g en 0. Il faut calculer \(g^\prime(0) = \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{g(x) – g(0)}{x}\), ce qui revient à évaluer \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^{-x} – 1 + x}{x^2}\). Sans développement limité à l’ordre 2 de la fonction exponentielle, tu es bloqué. Le résultat est \(g^\prime(0) = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Q6b – Montrer que \(g^\prime(x) > 0\). L’expression de \(g^\prime(x) = \displaystyle\frac{1 – (1+x)e^{-x}}{x^2}\) ne se traite pas par manipulation directe. Le piège est de rester bloqué sur le numérateur. L’astuce consiste à poser \(h(x) = (1+x)e^{-x}\), à montrer que \(h^\prime(x) = -xe^{-x}\) change de signe en 0, et que \(h\) atteint son maximum en \(x = 0\) avec \(h(0) = 1\). Ainsi \(h(x) < 1[/latex] pour tout [latex]x \neq 0[/latex]. [/encadre-piege] [encadre-piege] Q5b (Exercice 2) – Formule de [latex](M+N)^{-1}\). Il faut partir de la formule \(M^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(M)}\varphi(M)\) appliquée à \(M + N\), puis utiliser la linéarité de \(\varphi\) pour décomposer \(\varphi(M+N) = \varphi(M) + \varphi(N)\). Beaucoup de candidats oublient cette linéarité, pourtant établie en Q2a.
Q12b (Exercice 3) – Covariance entre \(Y_n\) et \(Y_{n+1}\). Ces deux variables de Bernoulli ne sont pas indépendantes car elles partagent le lancer \(n+1\). Le calcul de \(\mathrm{cov}(Y_n, Y_{n+1})\) passe par \(E(Y_n Y_{n+1}) = P(P_n P_{n+1} P_{n+2}) = p^3\). En revanche, pour \(m \geq n+2\), les variables sont indépendantes et la covariance est nulle.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1 : Dérivées partielles classiques de \(x + \ln(1+xy)\). Résolution du système gradient nul en commençant par l’équation la plus simple.
- Q2a : Manipulation algébrique : isoler \(\ln(1+xy) = k – x\), passer à l’exponentielle, puis résoudre en \(y\).
- Q2b : La ligne 5 du programme est une liste en compréhension calculant \(y = \displaystyle\frac{e^{k-x}-1}{x}\) pour chaque \(x\) du tableau.
- Q9 : Séparer l’intégrale \(G(x) = \int_0^1 g(t)\,\mathrm{d}t + \int_1^x g(t)\,\mathrm{d}t\), puis décomposer \(g(t) = \displaystyle\frac{e^{-t}}{t} – \displaystyle\frac{1}{t}\) sur \([1, x]\).
- Q10-11 : Utiliser que \(\int_1^x \displaystyle\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\) converge pour obtenir \(G(x) \sim -\ln(x)\). Pour Q11, exploiter \(G(x) = -x + o(x)\) via \(G^\prime(0) = g(0) = -1\).
Exercice 2
- Q3 : Calculer \(\varphi(E_i)\) pour chaque élément de la base canonique. On trouve \(\varphi(E_1) = E_4\), \(\varphi(E_2) = -E_2\), \(\varphi(E_3) = -E_3\), \(\varphi(E_4) = E_1\). En déduire que \(A^2 = I_4\), donc \(A^{-1} = A\).
- Q4 : Calculer le produit \(M\varphi(M)\) explicitement pour \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). C’est essentiellement le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices \(2 \times 2\).
- Q7b : Récurrence forte sur \(n\) en utilisant \(M^2 = \mathrm{tr}(M)M – I\) et la relation de récurrence des polynômes de Tchebychev.
Exercice 3
- Q1 : \(N – 1\) est le rang du premier pile, qui suit une loi géométrique de paramètre \(p\) sur \(\{1, 2, \ldots\}\).
- Q3a : \(R\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\) (probabilité de succès = probabilité que le dernier lancer donne pile).
- Q5 : Montrer la convergence de la série \(\sum E(N_i)\) en utilisant que \(E(N_i) = q^{i-1} \displaystyle\frac{1+p}{p}\) et que \(q < 1[/latex].
- Q13a : [latex]E(S_n) = np^2\) par linéarité. Pour la variance, utiliser \(V(S_n) = \sum V(Y_k) + 2\sum_{k=1}^{n-1} \mathrm{cov}(Y_k, Y_{k+1})\), les covariances non adjacentes étant nulles.
- Q14 : Majorer \(V(S_n) \leq 3np^2\) en utilisant \(1 – p^2 \leq 1\) et \(2p(1-p) \leq 2\), puis appliquer Bienaymé-Tchebychev à \(\displaystyle\frac{S_n}{n}\).
Conseils pour les futurs candidats
Priorité n°1 : maîtrise les fonctions de deux variables. Ce chapitre tombe chaque année à emlyon. Entraîne-toi à calculer rapidement gradients et hessiennes, et surtout à déterminer la nature des points critiques sans hésitation. Les lignes de niveau sont un classique à ne pas négliger.
Priorité n°2 : les récurrences matricielles. Le lien entre suites récurrentes, polynômes et puissances de matrices revient régulièrement. Travaille les démonstrations par récurrence sur des identités matricielles et le théorème de Cayley-Hamilton appliqué aux matrices \(2 \times 2\).
- Prolongement continu et dérivabilité : sache calculer proprement la dérivée en un point par le taux d’accroissement, en utilisant les développements limités. C’est un passage obligé de l’épreuve emlyon.
- Python : les questions de programmation sont des points gratuits si tu maîtrises les listes en compréhension et les boucles
while. Entraîne-toi avec les fonctions de simulation, systématiquement présentes en Exercice 3. - Probabilités : la loi géométrique et les calculs de covariance sont à connaître parfaitement. Le schéma final « Bienaymé-Tchebychev → convergence en probabilité » est un classique de clôture : apprends à l’appliquer mécaniquement.
- Gestion du temps : sur quatre heures, vise à traiter les débuts de chaque exercice avant de t’attaquer aux questions difficiles. Les questions 1 à 6b de l’Exercice 1, les questions 1 à 5 de l’Exercice 2 et les questions 1 à 4 de l’Exercice 3 sont les plus accessibles et doivent être sécurisées en priorité.
