Séries de Riemann : convergence, démonstrations et séries de Bertrand

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Les séries numériques de Riemann \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) constituent la famille de référence en théorie des séries. Paramétrées par un seul exposant \(\alpha\), elles fournissent le critère de comparaison le plus utilisé en CPGE et aux concours. Tu trouveras ici le théorème de convergence avec trois démonstrations distinctes, les séries de Bertrand, et six exercices corrigés de difficulté croissante. Conforme au programme CPGE 2025-2026.

I. Définition et cas particuliers

A. Définition formelle de la série de Riemann

Le terme général \(u_n = \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) est strictement positif pour tout \(n \geq 1\). La suite des sommes partielles \((S_N)_{N \geq 1}\) est donc croissante. Par conséquent, la série converge si et seulement si la suite \((S_N)\) est majorée.

Toute la question est de savoir à quelle vitesse \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) tend vers zéro : suffisamment vite pour que la somme reste finie, ou trop lentement pour que la somme explose.

B. Cas particuliers classiques

Plusieurs valeurs de \(\alpha\) donnent des séries célèbres :

C. La série harmonique : le cas critique \(\alpha = 1\)

La série harmonique \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n}\) est le cas frontière de la famille de Riemann. Bien que son terme général tende vers zéro, elle diverge. Ce résultat, prouvé par Nicole Oresme vers 1350, est l’un des plus anciens résultats non triviaux sur les séries.

La divergence de la série harmonique est souvent le premier résultat contre-intuitif que tu rencontreras en CPGE : \(\displaystyle\frac{1}{n} \to 0\) et pourtant \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n} = +\infty\). Cela illustre que la condition \(u_n \to 0\) est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence d’une série.

D. Lien avec la fonction zêta de Riemann

Pour \(\alpha\) > \(1\), la somme de la série de Riemann définit la fonction zêta de Riemann :

\(\zeta(\alpha) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\)

Cette fonction, prolongée au plan complexe par Riemann en 1859, est au cœur de l’un des plus célèbres problèmes ouverts des mathématiques : l’hypothèse de Riemann sur la localisation de ses zéros. En CPGE, tu n’utiliseras que la restriction \(\zeta : \,]\,1, +\infty\,[ \to \mathbb{R}\), mais il est utile de savoir que les valeurs \(\zeta(2) = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\), \(\zeta(4) = \displaystyle\frac{\pi^4}{90}\), etc. se retrouvent naturellement dans les calculs de séries de Fourier (formule de Parseval).

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II. Convergence : le théorème fondamental et ses trois démonstrations

Le résultat central de cette page est le suivant. Sa démonstration étant un classique des interrogations orales et des écrits, nous en proposons trois preuves — chacune éclairant le résultat sous un angle différent.

A. Énoncé du théorème

L’exposant \(\alpha = 1\) est le seuil critique : la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge, tandis que \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^{1{,}01}}\) converge déjà (très lentement). Plus \(\alpha\) est grand, plus la convergence est rapide.

B. Démonstration par comparaison série-intégrale ⋆

C’est la démonstration la plus fréquemment attendue en concours. Elle repose sur la comparaison entre la somme partielle et une intégrale impropre.

Cas \(\alpha\) > \(0\), \(\alpha \neq 1\). La fonction \(f : t \mapsto \displaystyle\frac{1}{t^\alpha}\) est continue, positive et strictement décroissante sur \([1, +\infty[\).

Pour tout \(n \geq 1\), la décroissance de \(f\) sur \([n, n+1]\) donne :

\(f(n+1) \leq \displaystyle\int_n^{n+1} f(t)\,dt \leq f(n)\)

soit :

\(\displaystyle\frac{1}{(n+1)^\alpha} \leq \displaystyle\int_n^{n+1} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha} \leq \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\)

Majoration de \(S_N\). En sommant l’inégalité de gauche \(\displaystyle\int_n^{n+1} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha} \leq \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) pour \(n\) de \(1\) à \(N-1\), puis en ajoutant le terme \(n=N\) :

\(\displaystyle\int_1^{N} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha} \leq S_{N-1}\)

En sommant l’inégalité \(\displaystyle\frac{1}{(n+1)^\alpha} \leq \displaystyle\int_n^{n+1} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha}\) pour \(n\) de \(1\) à \(N\) :

\(S_{N+1} – 1 = \displaystyle\sum_{n=2}^{N+1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha} \leq \displaystyle\int_1^{N+1} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha}\)

On obtient l’encadrement fondamental :

Calcul de l’intégrale. Pour \(\alpha \neq 1\) :

\(\displaystyle\int_1^{A} \displaystyle\frac{dt}{t^\alpha} = \left[\displaystyle\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^{A} = \displaystyle\frac{A^{1-\alpha} – 1}{1-\alpha}\)

Si \(\alpha\) > \(1\) : alors \(1 – \alpha\) < \(0\), donc \(A^{1-\alpha} \longrightarrow[A \to +\infty]{} 0\). L’intégrale converge vers \(\displaystyle\frac{1}{\alpha – 1}\). L’encadrement donne :

\(S_N \leq 1 + \displaystyle\frac{1}{\alpha – 1} = \displaystyle\frac{\alpha}{\alpha – 1}\)

La suite \((S_N)\) est croissante et majorée : la série converge. ∎

Si \(0\) < \(\alpha\) < \(1\) : alors \(1 – \alpha\) > \(0\), donc \(A^{1-\alpha} \to +\infty\). Par l’inégalité de gauche de l’encadrement, \(S_N \to +\infty\) : la série diverge. ∎

Si \(\alpha = 1\) : \(\displaystyle\int_1^{N+1} \displaystyle\frac{dt}{t} = \ln(N+1) \to +\infty\). Par l’encadrement, \(S_N \to +\infty\) : la série harmonique diverge. ∎

Si \(\alpha \leq 0\) : \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha} = n^{|\alpha|} \geq 1\) pour tout \(n \geq 1\), donc \(u_n \not\to 0\) : divergence grossière. ∎

C. Démonstration par condensation de Cauchy

Cette preuve, due à Augustin-Louis Cauchy, fait appel à un résultat plus général qui est un outil puissant pour les séries à termes positifs décroissants.

Application aux séries de Riemann. La suite \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) est décroissante et positive (pour \(\alpha\) > \(0\)). On forme la série condensée :

\(\displaystyle\sum_{k \geq 0} 2^k \cdot \displaystyle\frac{1}{(2^k)^\alpha} = \displaystyle\sum_{k \geq 0} 2^k \cdot 2^{-k\alpha} = \displaystyle\sum_{k \geq 0} 2^{k(1-\alpha)} = \displaystyle\sum_{k \geq 0} \left(2^{1-\alpha}\right)^k\)

C’est une série géométrique de raison \(q = 2^{1-\alpha}\).

Elle converge si et seulement si \(|q|\) < \(1\), soit \(2^{1-\alpha}\) < \(1\), c’est-à-dire \(1 – \alpha\) < \(0\), d’où \(\alpha\) > \(1\).

Par le théorème de condensation de Cauchy, la série de Riemann \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) a même nature, d’où la conclusion. ∎

D. Démonstration par regroupement dyadique (Oresme)

Cette preuve élémentaire, qui ne requiert aucune intégrale, est historiquement la première. Nicole Oresme la proposa vers 1350 pour la série harmonique. Elle se généralise à tout exposant \(\alpha\).

Principe. On regroupe les termes de la série par paquets de taille \(2^{k-1}\) :

\(S = \underbrace{\displaystyle\frac{1}{1^\alpha}}_{G_0} + \underbrace{\displaystyle\frac{1}{2^\alpha}}_{G_1} + \underbrace{\displaystyle\frac{1}{3^\alpha} + \displaystyle\frac{1}{4^\alpha}}_{G_2} + \underbrace{\displaystyle\frac{1}{5^\alpha} + \displaystyle\frac{1}{6^\alpha} + \displaystyle\frac{1}{7^\alpha} + \displaystyle\frac{1}{8^\alpha}}_{G_3} + \cdots\)

Le groupe \(G_k\) (pour \(k \geq 1\)) contient les termes d’indices \(n = 2^{k-1}+1\) à \(n = 2^k\), soit \(2^{k-1}\) termes.

Preuve de la convergence pour \(\alpha\) > \(1\). Chaque terme du groupe \(G_k\) vérifie \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha} \leq \displaystyle\frac{1}{(2^{k-1})^\alpha}\) (car \(n \geq 2^{k-1}+1\) > \(2^{k-1}\) … en fait, pour être précis, \(n \geq 2^{k-1}+1\) donne \(1/n^\alpha \leq 1/(2^{k-1}+1)^\alpha \leq 1/(2^{k-1})^\alpha\)). Donc :

\(G_k \leq 2^{k-1} \cdot \displaystyle\frac{1}{(2^{k-1})^\alpha} = (2^{k-1})^{1-\alpha}\)

On obtient :

\(S_N \leq G_0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} (2^{k-1})^{1-\alpha} = 1 + \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (2^{1-\alpha})^k\)

Pour \(\alpha\) > \(1\), on a \(2^{1-\alpha}\) < \(1\), et cette série géométrique converge. La suite \((S_N)\) est croissante et majorée : convergence. ∎

Preuve de la divergence pour \(\alpha \leq 1\) (et \(\alpha\) > \(0\)). Chaque terme du groupe \(G_k\) vérifie \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha} \geq \displaystyle\frac{1}{(2^k)^\alpha}\) (car \(n \leq 2^k\)). Donc :

\(G_k \geq 2^{k-1} \cdot \displaystyle\frac{1}{(2^k)^\alpha} = 2^{k-1-k\alpha} = 2^{k(1-\alpha) – 1}\)

Pour \(\alpha \leq 1\) : \(k(1-\alpha) – 1 \geq -1\), donc \(G_k \geq \displaystyle\frac{1}{2}\) pour tout \(k \geq 1\). La somme d’une infinité de termes supérieurs ou égaux à \(\displaystyle\frac{1}{2}\) diverge : divergence. ∎

E. Remarque : série de Riemann alternée

La série de Riemann alternée \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}\) a un comportement différent. Pour tout \(\alpha\) > \(0\), la suite \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\right)\) est décroissante et tend vers \(0\) : par le critère spécial des séries alternées (Leibniz), la série converge.

En particulier, \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\) converge, alors que la série harmonique \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge. La convergence est conditionnelle (pas absolue) pour \(0\) < \(\alpha \leq 1\), et absolue pour \(\alpha\) > \(1\).

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III. La série de Riemann comme série de référence

La puissance des séries de Riemann ne réside pas seulement dans leur convergence ou divergence : elles servent de série de comparaison universelle pour déterminer la nature de la plupart des séries à termes positifs que tu rencontreras en CPGE. C’est ici que la série de Riemann devient un outil de travail quotidien.

A. Comparaison et équivalents avec \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\)

Ce critère est la conséquence directe du théorème de comparaison par équivalent pour les séries à termes positifs : si \(u_n \sim v_n\) avec \(v_n \geq 0\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature.

B. Le critère de Riemann en pratique

En pratique, pour déterminer la nature d’une série \(\sum u_n\) à termes positifs, la démarche standard est :

1. Chercher un équivalent de \(u_n\) de la forme \(\displaystyle\frac{\lambda}{n^\alpha}\) (par extraction du terme dominant au numérateur et au dénominateur).
2. Conclure par comparaison avec la série de Riemann d’exposant \(\alpha\).

C. Comportement asymptotique des sommes partielles

L’encadrement série-intégrale de la section II fournit des équivalents précieux :

L’équivalent \(S_N \sim \ln N\) pour la série harmonique est l’un des résultats les plus fréquemment utilisés en concours. La constante d’Euler-Mascheroni \(\gamma = \lim_{N \to +\infty}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{N} \displaystyle\frac{1}{k} – \ln N\right)\) apparaît dans de nombreux problèmes (on ne sait toujours pas si \(\gamma\) est rationnel ou irrationnel).

Pour un traitement approfondi des techniques de comparaison et les autres critères de convergence (d’Alembert, Cauchy, intégral, Abel), consulte la page dédiée du cocon.

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IV. Séries de Bertrand : extension naturelle des séries de Riemann

Les séries de Riemann ne permettent pas de trancher la nature de séries dont le terme général décroît « à la même vitesse » que \(\displaystyle\frac{1}{n}\), modulo un facteur logarithmique. C’est exactement le rôle des séries de Bertrand, qui affinent l’analyse au voisinage du seuil critique \(\alpha = 1\).

A. Définition et théorème de convergence

Pour \(\beta = 0\), on retrouve la série de Riemann (à partir du rang \(2\), ce qui ne change pas la nature).

B. Démonstration

Cas \(\alpha \neq 1\). C’est une simple comparaison avec la série de Riemann. Pour tout \(\beta \in \mathbb{R}\) et tout \(\varepsilon\) > \(0\), on a \((\ln n)^\beta = o(n^\varepsilon)\) quand \(n \to +\infty\) (la croissance logarithmique est négligeable devant toute puissance).

• Si \(\alpha\) > \(1\) : on choisit \(\varepsilon\) tel que \(\alpha – \varepsilon\) > \(1\). Alors \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta} = o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^{\alpha – \varepsilon}}\right)\) avec \(\alpha – \varepsilon\) > \(1\). Par comparaison, la série converge.
• Si \(\alpha\) < \(1\) : de même, \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta} \geq \displaystyle\frac{C}{n^{\alpha + \varepsilon}}\) pour \(n\) assez grand, avec \(\alpha + \varepsilon\) < \(1\). Par minoration, la série diverge.

Cas critique \(\alpha = 1\). La série devient \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n (\ln n)^\beta}\). On utilise la comparaison série-intégrale. La fonction \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{t(\ln t)^\beta}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\) (pour \(\beta\) > \(0\) ; le cas \(\beta \leq 0\) donne une divergence immédiate par minoration par la série harmonique).

On calcule :

\(\displaystyle\int_2^{A} \displaystyle\frac{dt}{t(\ln t)^\beta}\)

Par le changement de variable \(u = \ln t\) (donc \(du = \displaystyle\frac{dt}{t}\)) :

\(= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln A} \displaystyle\frac{du}{u^\beta}\)

On reconnaît une intégrale de Riemann en \(u\) : elle converge si et seulement si \(\beta\) > \(1\).

Par la comparaison série-intégrale, la série de Bertrand avec \(\alpha = 1\) converge si et seulement si \(\beta\) > \(1\). ∎

C. Applications et exemples

Les séries de Bertrand avec \(\alpha = 1, \beta = 1\) et \(\alpha = 1, \beta = 2\) sont des classiques absolus de colle et de DS. Tu dois connaître leur nature par cœur.

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V. Exercices corrigés

Voici six exercices classés par difficulté croissante, du niveau MPSI au niveau concours. Chaque correction est rédigée au format copie.

Exercice 1 — Nature de séries de Riemann ★ (I)

🟢 MPSI/PCSI

Déterminer la nature des séries suivantes :

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^{3/2}}\)
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\)
3. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\pi}\)

Voir la correction

Ce sont trois séries de Riemann \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). On applique directement le théorème : convergence si et seulement si \(\alpha\) > \(1\).

1. \(\alpha = \displaystyle\frac{3}{2}\) > \(1\) : la série converge.
2. \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\) < \(1\) : la série diverge.
3. \(\alpha = \pi \approx 3{,}14\) > \(1\) : la série converge.

Commentaire méthode. Cet exercice est un test de connaissance du cours. En DS ou en colle, la réponse doit être immédiate — une seule ligne par question suffit.

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Exercice 2 — Comparaison avec Riemann ★★

🟢 MPSI/PCSI

Démontrer que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{\ln n}{n^2}\) converge.

Voir la correction

Méthode : comparaison asymptotique avec une série de Riemann.

Pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), on a \(\ln n = o(n^\varepsilon)\) quand \(n \to +\infty\). Choisissons \(\varepsilon = \displaystyle\frac{1}{4}\) :

\(\displaystyle\frac{\ln n}{n^2} = o\!\left(\displaystyle\frac{n^{1/4}}{n^2}\right) = o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^{7/4}}\right)\)

Or \(\displaystyle\frac{7}{4}\) > \(1\), donc la série \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^{7/4}}\) converge (Riemann). Par comparaison des séries à termes positifs, la série \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\ln n}{n^2}\) converge.

Variante. On peut aussi écrire \(n^{3/2} \cdot \displaystyle\frac{\ln n}{n^2} = \displaystyle\frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0\), puis appliquer le critère de Riemann avec \(\alpha = \displaystyle\frac{3}{2}\) > \(1\).

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Exercice 3 — Équivalent et nature ★★

🟢 MPSI/PCSI

Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n^2 + 3n + 1}{n^4 + n^2 + 1}\).

Voir la correction

On cherche un équivalent du terme général quand \(n \to +\infty\) :

\(\displaystyle\frac{n^2 + 3n + 1}{n^4 + n^2 + 1} = \displaystyle\frac{n^2\!\left(1 + \displaystyle\frac{3}{n} + \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)}{n^4\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n^2} + \displaystyle\frac{1}{n^4}\right)} \underset{n \to +\infty}{\sim} \displaystyle\frac{n^2}{n^4} = \displaystyle\frac{1}{n^2}\)

Le terme général est équivalent à \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) (série de Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)). Les deux termes sont positifs. Par le théorème de comparaison par équivalent, la série converge.

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Exercice 4 — Séries de Bertrand ★★★

🟡 MP/PC/PSI

Déterminer la nature des séries suivantes :

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n(\ln n)^2}\)
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n \ln n}\)

Voir la correction

Ce sont des séries de Bertrand \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\) avec \(\alpha = 1\).

1. \((\alpha, \beta) = (1, 2)\). On a \(\alpha = 1\) et \(\beta = 2\) > \(1\) : la série converge (critère de Bertrand).

Vérification par comparaison série-intégrale. La fonction \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{t(\ln t)^2}\) est décroissante sur \([2, +\infty[\). Or :

\(\displaystyle\int_2^{A} \displaystyle\frac{dt}{t(\ln t)^2} = \left[-\displaystyle\frac{1}{\ln t}\right]_2^A = \displaystyle\frac{1}{\ln 2} – \displaystyle\frac{1}{\ln A} \longrightarrow[A \to +\infty]{} \displaystyle\frac{1}{\ln 2}\)

L’intégrale converge, donc la série converge par comparaison série-intégrale.

2. \((\alpha, \beta) = (1, 1)\). On a \(\alpha = 1\) et \(\beta = 1 \leq 1\) : la série diverge.

Vérification. \(\displaystyle\int_2^{A} \displaystyle\frac{dt}{t \ln t} = [\ln(\ln t)]_2^A = \ln(\ln A) – \ln(\ln 2) \to +\infty\). L’intégrale diverge, donc la série diverge.

Commentaire méthode. Ces deux séries forment le « couple de Bertrand » le plus classique en concours. Le cas \(\beta = 1\) (divergence) est le piège : beaucoup d’étudiants croient que le facteur \(\ln n\) « suffit » à faire converger. Il faut \(\beta\) strictement supérieur à \(1\).

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Exercice 5 — Développement limité et nature ★★★ (CCP / Mines-Ponts)

🟡 MP/PC/PSI

Soit \(\alpha\) > \(0\). On pose \(u_n = \displaystyle\frac{1}{n^\alpha} – \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\right)\). Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum u_n\) en fonction de \(\alpha\).

Voir la correction

Étape 1 — Développement limité. Posons \(x_n = \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). Quand \(n \to +\infty\), \(x_n \to 0^+\). Or :

\(\ln(1 + x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2) \quad (x \to 0)\)

Donc :

\(u_n = x_n – \left(x_n – \displaystyle\frac{x_n^2}{2} + o(x_n^2)\right) = \displaystyle\frac{x_n^2}{2} + o(x_n^2)\)

soit :

\(u_n \sim \displaystyle\frac{1}{2n^{2\alpha}} \quad (n \to +\infty)\)

Étape 2 — Comparaison. Le terme \(u_n\) est positif (car \(\ln(1+x) \leq x\) pour \(x \geq 0\)) et équivalent à \(\displaystyle\frac{1}{2n^{2\alpha}}\).

La série \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^{2\alpha}}\) est une série de Riemann d’exposant \(2\alpha\). Elle converge si et seulement si \(2\alpha\) > \(1\), soit \(\alpha\) > \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Conclusion.

• Si \(\alpha\) > \(\displaystyle\frac{1}{2}\) : la série \(\sum u_n\) converge.
• Si \(0\) < \(\alpha \leq \displaystyle\frac{1}{2}\) : la série \(\sum u_n\) diverge.

Commentaire méthode. Ce type de problème (DL du terme général puis comparaison avec Riemann) est un grand classique des épreuves CCP et Mines-Ponts. La difficulté est de penser à faire un DL pour trouver l’ordre de grandeur du terme général, plutôt que d’essayer d’appliquer directement un critère (d’Alembert serait ici non concluant).

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Exercice 6 — Développement asymptotique de la série harmonique ★★★★★ (X / ENS)

🔴 Concours

Pour \(n \geq 1\), on pose \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k}\).

1. Montrer en utilisant la comparaison série-intégrale que la suite \(\gamma_n = H_n – \ln n\) converge. On note \(\gamma\) sa limite (constante d’Euler-Mascheroni).
2. Étudier la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{1}{n} – \ln(n+1) + \ln n\right)\) : montrer qu’elle converge et exprimer sa somme en fonction de \(\gamma\).
3. On pose \(a_n = H_n – \ln n – \gamma\). Montrer que \(a_n \sim \displaystyle\frac{1}{2n}\) quand \(n \to +\infty\). (Indication : étudier \(a_n – a_{n+1}\) à l’aide d’un développement limité de \(\ln(1+1/n)\) à l’ordre 3.)
4. En déduire la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(H_n – \ln n – \gamma – \displaystyle\frac{1}{2n}\right)\).

Voir la correction

1. Convergence de \(\gamma_n\). Par décroissance de \(t \mapsto 1/t\) sur \([k, k+1]\) :

\(\displaystyle\frac{1}{k+1} \leq \displaystyle\int_k^{k+1} \displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{t} \leq \displaystyle\frac{1}{k}\)

En sommant pour \(k = 1\) à \(n-1\) : \(H_n – 1 \leq \ln n \leq H_{n-1} = H_n – \frac{1}{n}\), soit \(\frac{1}{n} \leq \gamma_n \leq 1\). La suite \((\gamma_n)\) est donc bornée. De plus, \(\gamma_{n+1} – \gamma_n = \frac{1}{n+1} – \ln(1 + 1/n)\) \(\lt 0\) car \(\ln(1+x) \geq \frac{x}{1+x}\) pour \(x \geq 0\) (concavité du logarithme). Donc \((\gamma_n)\) est décroissante et minorée : elle converge vers une limite \(\gamma\).

2. Série de la question 2. Notons \(v_n = \frac{1}{n} – \ln(n+1) + \ln n\). Sa somme partielle vaut :

\(\displaystyle T_N = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left(\displaystyle\frac{1}{n} – \ln(n+1) + \ln n\right) = H_N – \ln(N+1)\) (télescopage du logarithme)

Or \(H_N – \ln(N+1) = (H_N – \ln N) + (\ln N – \ln(N+1)) = \gamma_N – \ln(1 + 1/N) \to \gamma – 0 = \gamma\). La série converge et sa somme vaut \(\gamma\).

3. Équivalent de \(a_n\). On calcule :

\(a_n – a_{n+1} = (H_n – H_{n+1}) – \ln n + \ln(n+1) = -\displaystyle\frac{1}{n+1} + \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)\)

Avec le développement \(\ln(1+u) = u – \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3)\) et \(u = 1/n\) :

\(\ln(1 + 1/n) = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{2n^2} + \displaystyle\frac{1}{3n^3} + o(1/n^3)\)

Et \(\displaystyle\frac{1}{n+1} = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{1}{1+1/n} = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{n^2} + \displaystyle\frac{1}{n^3} + o(1/n^3)\). D’où :

\(a_n – a_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2n^2} – \displaystyle\frac{2}{3n^3} + o(1/n^3)\)

Ainsi \(a_n – a_{n+1} \sim \displaystyle\frac{1}{2n^2}\). Comme \(a_n \to 0\) (par définition de \(\gamma\)) et que \(\sum 1/n^2\) converge, on a par sommation des équivalents (théorème classique pour séries à termes positifs convergentes) :

\(a_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (a_k – a_{k+1}) \sim \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{2k^2} \sim \displaystyle\int_n^{+\infty} \displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{2t^2} = \displaystyle\frac{1}{2n}\)

Donc \(a_n \sim \displaystyle\frac{1}{2n}\), soit \(H_n = \ln n + \gamma + \displaystyle\frac{1}{2n} + o(1/n)\).

4. Nature de la série. Posons \(w_n = a_n – \frac{1}{2n} = H_n – \ln n – \gamma – \frac{1}{2n}\). En poussant le développement à l’ordre suivant : \(a_n = \displaystyle\frac{1}{2n} – \displaystyle\frac{1}{12n^2} + o(1/n^2)\) (calcul analogue à la question 3 en gardant un ordre de plus dans \(a_n – a_{n+1}\) et en sommant). Donc \(w_n \sim -\displaystyle\frac{1}{12n^2}\). Comme \(\sum 1/n^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2\)) et que \(w_n\) est de signe constant à partir d’un certain rang, la série \(\sum w_n\) converge absolument.

Commentaire méthode. Cet exercice est un classique d’oraux X-ENS. Le mécanisme central — décomposer \(a_n\) en télescopage \(a_n = \sum_{k \geq n}(a_k – a_{k+1})\) puis utiliser la sommation des équivalents — est à connaître. Il fournit en bonus le développement asymptotique célèbre \(H_n = \ln n + \gamma + \displaystyle\frac{1}{2n} – \displaystyle\frac{1}{12n^2} + o(1/n^2)\), cas particulier de la formule d’Euler-Maclaurin.

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VI. Erreurs fréquentes et pièges concours

Les séries de Riemann sont une source d’erreurs récurrentes en DS et en concours. Voici les plus fréquentes, présentées sous la forme « ce que l’élève écrit / ce qu’il faut écrire ».

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les séries de Riemann et les séries de Bertrand. Pour poursuivre ta progression sur les séries :

• Séries numériques : cours complet — le cadre général (définition, somme partielle, convergence) dont les séries de Riemann sont un cas particulier.
• Critères de convergence des séries numériques — d’Alembert, Cauchy, comparaison, intégral, Abel : tous les critères et un arbre de décision pour choisir le bon.
• Exercices corrigés : séries numériques — 20 exercices de concours (CCP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) pour t’entraîner.
• Séries entières — la convergence de \(\displaystyle\sum a_n x^n\) fait intervenir le rayon de convergence, qui repose sur les mêmes techniques que l’étude des séries de Riemann.
• Séries de Fourier — le calcul de \(\zeta(2) = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) est une application directe de la formule de Parseval.
• Séries en mathématiques : vue d’ensemble — le pilier du cocon, pour naviguer entre tous les chapitres sur les séries.

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